Записки лекций, прочитанных на летней школе в Дубне. (копии всех источников доступны) Размерность Хаусдорфа icon

Записки лекций, прочитанных на летней школе в Дубне. (копии всех источников доступны) Размерность Хаусдорфа


Смотрите также:
Конспект лекций прочитанных на кафедре инфекционных болезней для фельдшерского отделения осенью...
Юрия Норштейна "Снег на траве"...
Отчет о Летней Школе пул ап день 29 июня...
Курсов лекций по трем направлениям: Космология...
Конкурс грантов на участие в Летней школе «Фундаментальные взаимодействия»...
Отчет по 2 этапу. Приложение 2 (физика) Пояснительные записки...
Книга представляет собой курс лекций, прочитанных известным дипло­...
Конспект лекции, прочитанной 12 июля 1995 г в Летней школе Company...
Предлагаемая вниманию читателя книга написана на основе лекций...
Предлагаемая вниманию читателя книга написана на основе лекций...
Предлагаемая вниманию читателя книга написана на основе лекций...
Двадцать лекций, прочитанных в Берлине между 23 мая 1904 года и 2 января 1906 года содержание...



Тиморин В.А.


  1. Задача Гурвица про произведения сумм квадратов. В 1898 году Гурвиц поставил такую задачу: описать все тройки натуральных чисел (r,s,n), для которых возможна формула вида
    (x12 + x22 + ... + xr2) (y12 + y22 + ... + ys2) = z12 + z22 + ... + zn2.
    В этой формуле все zk - билинейные комбинации переменных xi и yj. Примеры формул такого вида можно получить, исходя из правила умножения комплексных чисел, кватернионов или октав. Задача Гурвица открыта до сих пор, хотя многие выдающиеся математики пытались ее решить, и созданный ими топологический аппарат (характеристические классы, вещественная К-теория) оказался полезным во многих других областях математики. Сам Гурвиц и, независимо, Радон, полностью описали случай s = n. Он связан с представлениями алгебр Клиффорда. Имеется еще несколько менее общих формул рассматриваемого вида. Разберите примеры таких формул (начиная с кватернионов и октав).
    Источники:
    И.Л. Кантор, А.С. Солодовников, ^ Гиперкомплексные числа, Москва: Наука, 1973
    D. Shapiro, Products of sums of squares, Expo. Math. 2 (1984), 235-261
    B. Eckmann, Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon ueber die Komposition quadratischer Formen, Comm. Math. Helvetici (1929), 358-366
    В. Тиморин, Квадратичная математика. Записки лекций, прочитанных на летней школе в Дубне.
    (копии всех источников доступны)

  2. ^ Размерность Хаусдорфа. Хаусдорф ввел понятие размерности, имеющее смысл для любого метрического пространства - размерность Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа может быть любым неотрицательным действительным числом, в частности, дробным или даже иррациональным. Таковы размерности многих фрактальных множеств, возникающих в топологии и теории динамических систем (известные примеры включают канторовы множества, ковры Серпинского, множества Жюлиа и Мандельброта, и т.д.). Посчитайте хаусдорфовы размерности некоторых фракталов.
    Источники:
    K. Falconer, ^ Fractal geometry, Wiley 2003

  3. Композиция бинарных квадратичных форм. Бинарная квадратичная форма - это функция вида
    f(x) = a x12 + b x1 x2 + c x22, x = (x1, x2),
    где a, b, c - постоянные коэффициенты. Важной задачей является изучение множества значений квадратичной формы с целыми коэффициентами (на векторах с целыми координатами). Пусть f и g - квадратичные формы одинакового дискриминанта. Тогда существует квадратичная форма h и билинейное отображение s: Z2 x Z2Z2, такие, что h(s(x,y)) = f(x) g(y). В частности, любое значение формы h является произведением значения формы f на значение формы g. Этот факт заметил Гаусс, и ввел естественную билинейную операцию s, превращающую несократимые квадратичные формы данного дискриминанта (рассматриваемые с точностью до положительных целочисленных замен переменных) в абелеву группу. Операция в этой группе называется композицией квадратичных форм. Приведите и докажите явные формулы для композиции (например, следуя Гауссу и Дирихле).
    Источники:
    К.Ф. Гаусс, ^ Труды по теории чисел, Изд-во АН СССР, Москва, 1959
    Л. Дирихле, Лекции по теории чисел, М: ОНТИ, 1939
    В. Тиморин, Квадратичная математика. Записки лекций, прочитанных на летней школе в Дубне.

  4. ^ Принцип Гюйгенса и выпуклость.(исследовательский проект) В любой среде (даже неоднородной и неизотропной) свет распространяется таким образом, что световые пятна выпуклы во все моменты времени. Это должно следовать из принципа Гюйгенса и некоторых общих предположений (типа непрерывности). Постройте соответствующую математическую теорию.

  5. ^ Теорема о максимальном числе граней. П. Макмюллен в 1970 году решил следующую задачу, стоявшую открытой довольно долго: среди всех выпуклых многогранников в Rn с фиксированным числом вершин, найти многогранники с максимальным числом граней размерности k. Интересный класс многогранников (циклические многогранники) решает эту задачу одновременно для всех k - это было гипотезой, которую и доказал Макмюллен. Опишите комбинаторные свойства циклических многогранников. Объясните доказательство теоремы о максимальном числе граней. Постройте другие примеры многогранников, реализующие максимальное число граней.
    Источники:
    А. Бренстед, Введение в теорию выпуклых многогранников, М: Мир, 1988
    В. Тиморин, Комбинаторика выпуклых многогранников.^ М: МЦНМО, 2002.

  6. Отображения, переводящие прямые в прямые. Мебиус в 1827 году доказал, что взаимно-однозначное отображение проективной плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является проективным (т.е. дробно-линейным). Хотя доказательство Мебиуса предполагало непрерывность рассматриваемого отображения, позже выяснилось, что над действительными числами предположение непрерывности не нужно. (Это связано с отсутствием нетривиальных автоморфизмов поля действительных чисел). Разберите эту теорему, и получите ее локальный вариант.
    Источники:
    М. Берже, Геометрия, Том 1, М: Мир, 1984

  7. Множество Мандельброта связно. Множество Мандельброта - один из самых известных фракталов. Это множество всех комплексных чисел c, для которых последовательность c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ..., ограниченна. Множество Мандельброта очень важно в теории комплексных динамических систем - благодаря явлению ренормализации, оно возникает практически во всех случаях, когда рассматриваются итерации голоморфных отображений, аналитически зависящих от параметра. Как доказали Дуади и Хаббард, множество Мандельброта связно. Разберите доказательство этого утверждения. Знаменитая гипотеза о том, что множество Мандельброта также локально связно, на протяжении многих лет не поддается активным атакам со стороны многих замечательных математиков.
    Источники:
    Дж. Милнор, Голоморфная динамика, РХД, 2000
    L. Carleson, T.W. Gamelin, Complex dynamics, Springer, 1992

  8. Число вращения, теорема и пример Данжуа. Рассмотрим гомеоморфизм окружности на себя. Сопряжен ли он повороту? Оказывается, для дважды дифференцируемого гомеоморфизма с иррациональным числом вращения, ответ положительный. А если гомеоморфизм только один раз дифференцируем, есть контрпримеры.
    Источники:
    А. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999




Скачать 35.5 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер35.5 Kb.
ТипЗадача, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх