Теоретические основы электротехники
1 чел. помогло. | скачать Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения  и  , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно: первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:  . второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:  .Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).  Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа  . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа  . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:  Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для  . Необходимое число начальных условий р авно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .Пример. Определить токи и производные  и  в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.В соответствии с законами коммутации  и  .На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место  ,откуда  и  .Для известных значений  и  из уравнения  определяется  .Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)  .^ Выражение свободной составляющей  общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).Таблица 3. ^
Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными. При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением  ,которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения  ,называемым логарифмическим декрементом колебания, где  .Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:  ,где р – корень характеристического уравнения. Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при  . Литература
Контрольные вопросы
Лекция N 25. Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом. Способы составления характеристического уравнения Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:
Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения  на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая. Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1. Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем: записывается входное сопротивление цепи на переменном токе; jw заменяется на оператор р; полученное выражение  приравнивается к нулю.Уравнение  совпадает с характеристическим. Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание. Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника  .Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем  или
При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов. Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид  Отсюда выражение для главного определителя этой системы  .Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1). ^ В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:
Примеры расчета переходных процессов классическим методом 1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении к источнику напряжения Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п. Рассмотрим два случая: а  )  б)  .Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать
Тогда для первого случая принужденная составляющая тока
Характеристическое уравнение  ,откуда  и постоянная времени  .Таким образом,
Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем  .В соответствии с первым законом коммутации  . Тогда  ,откуда  .Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением  ,а напряжение на катушке индуктивности – выражением   .Качественный вид кривых  и  , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:  ,где  .Отсюда  .Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,  .Поскольку , то  .Таким образом, окончательно получаем
Анализ полученного выражения (6) показывает:
Если  значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса  может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, г де  , максимум тока имеет место примерно через  . В пределе при   . Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока:  .Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени  цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения  , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения:  .2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности о  т источника питанияПри размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности  .Характеристическое уравнение  ,откуда  и  .В соответствии с первым законом коммутации  .Таким образом, выражение для тока в переходном режиме  и напряжение на катушке индуктивности
Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при  модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника:  . При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.3. ^ При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:   .Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе  .Из характеристического уравнения  определяется корень  . Отсюда постоянная времени  .Таким образом,  .При t=0 напряжение на конденсаторе равно  (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е.  ). Тогда  и .Соответственно для зарядного тока можно записать  .В зависимости от величины : 1 - ; 2 -  ; 3 -  ; 4 -  - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7. При разряде конденсатора на резистор  (ключ на рис.6 переводится в положение 2)  . Постоянная времени  .Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения  (в частном случае  ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать .Соответственно разрядный ток
Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина должна быть достаточно большой.В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный. Литература
Контрольные вопросы
 Ответ:  .
Ответ:  .
|
вещественные и различные
- с энергетических позиций. 
и напряжений 
на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если 
. 
; 
.
аписывается уравнение (2); 
.
. 
. 
. 
. 
. 
постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим. 
свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины. 
. 
. 
. 
. 
, 
, 
, 
. отлично
2 Разместите кнопку на своём сайте или блоге: