Программа дисциплины ен. Ф. 01 «Математика. Численные методы» Специальность 032100 050201
| скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Томский государственный педагогический университет (ТГПУ) Физико-математический факультет «УТВЕРЖДАЮ» Декан физико-математического факультета ________________А.Н. Макаренко «___»____________200__г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «Математика. Численные методы» Специальность 032100 (050201.65) Математика Квалификация - учитель математики ^ Курс «Математика. Численные методы» является одним из основных разделов вычислительной математики, который посвящен разработке методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей. Программа предназначена для построения курса лекционных и лабораторных занятий для студентов специальности Математика (квалификация – учитель математики). В программу входят следующие темы дисциплины: теория погрешностей, решение уравнений с одним неизвестным, интерполирование, решение систем линейных алгебраических уравнений, метод наименьших квадратов, численное интегрирование, метод Монте-Карло, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. ^ Изучение курса «Математика. Численные методы» ставит своей целью сформировать у студентов в систематизированной форме понятия о численных методах решения прикладных задач, источниках ошибок и методах оценки точности результата. Задача курса – познакомить студентов с основными численными методами, продемонстрировать обоснование существования решений прикладных задач на базе математических знаний студентов.
В результате изучения дисциплины «Математика. Численные методы» студент должен: уметь применять теоретический материал к решению вычислительных задач; обосновывать выбор численного метода; уметь оценивать точность результата; владеть алгоритмом используемого метода; составлять соответствующую программу на одном из конкретных языков программирования.
4.2. Содержание разделов дисциплины ^ Приближенные числа, погрешности результатов основных арифметических действий. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа. Общая формула для погрешности. ^ Способы отделения корней (аналитический, графический, машинный). Итерационные методы. Обоснование сходимости итерационного процесса, оценка точности. Метод хорд, метод Ньютона, комбинированный метод. 3. Интерполирование. Интерполяционный многочлен Лагранжа и его погрешность. ^ Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формула трапеций. Формула Симпсона. ^ Решение систем уравнений. Прямые и итерационные процессы (метод Гаусса, метод главных элементов, метод простой итерации). Обращение матрицы. ^ Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия. Нахождение приближающей функции в виде степенной, показательной дробно - рациональной. ^ . Идея метода Монте-Карло. Вычисление площади произвольной фигуры. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло. 8. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара. Понятие устойчивости. Пример плохой обусловленности. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта.
^ а) основная литература:
б) дополнительная литература:
^ Рекомендуемая литература и учебно-методические пособия по предмету. Вся основная литература, указанная в пункте 6.1 имеется в достаточном количестве в библиотеке ТГПУ. ^ Компьютерные классы.
^ Преподаватель должен ориентировать студентов на то, чтобы они учились оценивать полученные результаты. Ему необходимо обращать особое внимание на то, как студенты записывают результаты в тетрадь с монитора компьютера. Они должны записывать только верные цифры. Для этого следует преподавателю объяснять студентам о необходимости осмыслить результат, убедиться, что задача решена правильно. Он должен обратить внимание студентов на то, что при компиляции программы на языке Паскаль, выдаются сообщения о синтаксических ошибках в тексте программы, запуск программы на вычисление невозможен без исправления этих ошибок. Поэтому после прохождения компиляции у студентов может возникнуть иллюзия, что всё вычисляется верно, но это не всегда так. Преподаватель должен предложить студентам самостоятельно дополнить программу или выполнить какие-то действия с тем, чтобы они убедились, что программа выдаёт правильный результат. В каждом конкретном методе будут даны указания, что нужно делать для контроля результата. ^ Теория погрешностей вынесена полностью на самостоятельное изучение студентами. Преподаватель должен проверить, как студенты усвоили основные понятия теории погрешностей. Особое внимание обратить на понятия предельной абсолютной погрешности и предельной относительной погрешности. Эти понятия является весьма широкими, а именно всякое число, большее предельной погрешности, также может быть принято за предельную погрешность числа. Объяснить студентам, что точность измерения или вычисления определяется относительной погрешностью. ^ Преподаватель должен обратить внимание студентов на то, что методы отделения корней не являются универсальными, они зависят от вида уравнения и студенты должны их выбирать самостоятельно и уметь обосновать свой выбор. Преподаватель должен предложить студентам решить уравнение разными методами и сравнить результаты по скорости сходимости. Для контроля вычислений им необходимо выдавать не только значение корня, но и значение функции в нём, и сравнивать визуально это значение с заданной точностью. Так, если точность  , то значение функции в корне должно быть меньше этой величины. Дополнительно по этой теме студентам может быть предложено, рассмотреть геометрическую интерпретацию итерационных методов.3. Интерполирование. Для определения погрешности формулы Лагранжа преподаватель должен предложить студентам выбор – решить её аналитически или с помощью вычислений на компьютере. Он должен объяснить студентам, что результат можно записать только тогда, когда будет определена погрешность. Для контроля вычислений преподавателю необходимо проверить значения интерполяционного многочлена в узловых точках, они должны точно совпадать со значениями исходной функции в узлах, и только после этого студент может использовать интерполяционный многочлен для произвольных точек. ^ При изучении численного дифференцирования обратить внимание студентов на то, что данная задача является некорректной. Решение этой задачи опирается на интерполирование, в котором мера близости приближающей функции – это совпадение в узлах с исходной функцией. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых  и  ещё не гарантирует близости на этом отрезке их производных  и  , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента. При изучении численного интегрирования обратить внимание студентов, что вывод квадратурных формул изложен в общем виде, для произвольного n, а затем приведены их частные случаи. Студенты вычисляют интеграл по разным квадратурным формулам, выполняют, так называемый вычислительный эксперимент, и определяют какая из формул более точная при равных условиях. Дополнительно в этой теме студенты могут научиться вычислять коэффициенты Котеса при различных значениях n. ^ При решении систем линейных алгебраических уравнений, число неизвестных  может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. Преподавателю следует обратить внимание студентов на то, что необходимо учитывать не только время, требуемое для проведения большого количества арифметических операций в каком – либо методе, но и на то, что происходит накопление ошибок округления, появляющихся в результате большого числа операций - это является очень серьёзной проблемой. Обратить внимание студентов на то, что математическое изложение метода главных элементов достаточно простое, но реализация этого метода на алгоритмическом языке для компьютера весьма сложная задача. Поэтому, чтобы уменьшить вычислительную погрешность им, необходимо использовать метод Гаусса с выбором главных элементов.Дополнительно при вычислении обратной матрицы, студенты должны уметь расписать компактную формулу  в развёрнутом виде. Таким образом, они представят общий объём вычислений - это решение систем уравнений, относительно  неизвестных  . ^ Преподаватель должен обратить внимание студентов на отличие приближения функции по методу наименьших квадратов от приближения функции методом интерполирования. Преподаватель предлагает студентам таблично заданную функцию приближать различными аналитическими функциями. При сравнении результатов аппроксимирования определяющим является величина суммарной ошибки  , где  . По величине  они должны самостоятельно сделать вывод - какая функция лучше приближает данную таблицу. Величины  используются для контроля вычислений. Они должны быть небольшими по значениям, а знаки этих величин должны чередоваться.Дополнительно студенты могут выполнить самостоятельно аппроксимирование по методу наименьших квадратов логарифмической  и гиперболической  функциями. ^ Способы решения задач, использующие случайные величины, получили общее название метода Монте-Карло. Преподаватель должен обратить внимание студентов на математическое обоснование метода Монте-Карло, определить сходимость последовательности по вероятности и объяснить отличие детерминированного метода от недетерминированного метода. Важно понимать то, что для решения одной и той же конкретной задачи схема применения метода может быть существенно различной. Он должны обратить внимание студентов на то, как меняется классический алгоритм вычисления кратных интегралов с увеличением кратности и, что происходит в этой ситуации с методом Монте-Карло. ^ Преподаватель должен обратить внимание студентов на отличие приближенных методов от численных методов, на область применения этих методов и на то, в каком виде они дают решение. Сформулировать им необходимые условия применения численного метода, чтобы задача была хорошо обусловлена или устойчива, т.е. малые изменения начальных условий приводили бы к достаточно малому изменению интегральных кривых. Если это условие не выполнено, то небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим изменениям небольшие погрешности численного метода могут сильно исказить решение. Студенты должны знать условие, когда дифференциальное уравнение можно решить методом Пикара. ^ По курсу «Математика. Численные методы» студенты должны прослушать лекции, самостоятельно проработать теоретические вопросы и выполнить лабораторные работы, которые проходят в компьютерных классах. По данному курсу опубликовано шесть методических разработок, в которых кроме изложения теории, рассмотрены примеры и приведены программы на языке Паскаль. Каждая тема заканчивается контрольными вопросами, с помощью их студент самостоятельно может проверить глубину усвоения соответствующей темы. Так как отдельные темы полностью вынесены на самостоятельное изучение, то наличие таких методических разработок, даёт студентам возможность, изучить, соответствующую тему не обращаясь к другим источникам. Для получения зачета студентам необходимо выполнить индивидуальные задания и пройти устный опрос теории по темам лабораторных занятий. Выполнение заданий, вынесенных на самостоятельное изучение, проверяются преподавателем в течение семестра, по ним так же проводится зачет. Студенты должны обращать особое внимание на точность того или иного метода, а так же на область его применения. При записи результата они должны записывать только верные цифры. Для этого им необходимо осмыслить результат, убедиться, что задача решена правильно. При компиляции программы на языке Паскаль, выдаются сообщения о синтаксических ошибках в тексте программы, запуск программы на вычисление невозможен без исправления этих ошибок. Поэтому после прохождения компиляции у студентов возникает иллюзия, что всё вычисляется верно, но это не всегда так. Они должны сами дополнить программу или выполнить какие-то действия с тем, чтобы убедиться, что программа выдаёт правильный результат. В каждом конкретном методе будут даны указания, что нужно делать для контроля результата. ^ Теория погрешностей вынесена полностью на самостоятельное изучение студентами. В этой теме они должны обратить внимание на источники и классификации погрешностей, а так же на понятие – верная цифра и связь количества верных цифр с относительной погрешностью числа. Дополнительно к основным вопросам студенты могут рассмотреть, что происходит с погрешностью при умножении приближенного числа на точный множитель, а так же какая проблема возникает при вычитании близких чисел и каким образом можно решить эту проблему. ^ При изучении методов решения уравнений с одним неизвестным студенты должны обратить внимание на то, что не только большинство трансцендентных уравнений не имеют формулы решений, но и алгебраические уравнения степень, которых выше четырёх. Они должны обратить особое внимание на то, что методы отделения корней не являются универсальными, зависят от вида уравнения. Студенты должны их выбирать самостоятельно и уметь обосновать свой выбор. Изложение итерационных методов решения уравнения выполнено в общем случае, затем рассмотрены частные случаи. Такой подход в изложении даёт возможность студентам создать свой итерационный метод. Студенты должны уметь выбирать начальное приближение в каждом методе, обосновывать этот выбор и определять условие, которое является критерием для достижения заданной точности. Студенты самостоятельно должны дополнить приведенную в методической разработке программу так, чтобы она выдавала количество итераций для достижения заданной точности. Студенты решают уравнение разными методами, сравнивают количество итераций. Это позволит им сделать вывод о скорости сходимости того или иного метода. Дополнительно по этой теме студенты могут рассмотреть геометрическую интерпретацию итерационных методов. 3. Интерполирование. Формула погрешности интерполирования содержит производную (n+1) порядка от исходной функции. Студенты должны найти эту производную и определить её максимальное значение на заданном интервале. При решении этой задачи у них есть выбор – решить её аналитически или с помощью вычислений на компьютере. Студенты должны понимать, что результат можно записать только тогда, когда будет определена погрешность. Для контроля вычислений студенту необходимо проверить значения интерполяционного многочлена в узловых точках, они должны точно совпадать со значениями исходной функции в узлах, и только после этого он может использовать интерполяционный многочлен для произвольных точек. Дополнительно для более полного усвоения этой темы студенты должны уметь расписывать формулу Лагранжа в развёрнутом виде. ^ При изучении численного дифференцирования студент должен обратить внимание на то, что данная задача является некорректной. Решение этой задачи опирается на интерполирование, в котором мера близости приближающей функции – это совпадение в узлах с исходной функцией. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых и ещё не гарантирует близости на этом отрезке их производных и , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента. При изучении численного интегрирования студенты должны научиться выводить квадратурные формулы для произвольного n, а затем рассмотреть их частные случаи. Студенты вычисляют интеграл по разным квадратурным формулам, выполняют, так называемый вычислительный эксперимент, и определяют какая из формул более точная при равных условиях. Когда речь идёт о точности той или другой квадратурной формулы, то это понятие довольно условное, так как всегда можно выбрать надлежащим образом значение h, получить результат, с какой угодно степенью точности. Дополнительно в этой теме студенты должны научиться вычислять коэффициенты Котеса при различных значениях n. ^ При решении систем линейных алгебраических уравнений. Число неизвестных может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. Студенты должны понимать, что необходимо учитывать не только время, требуемое для проведения большого количества арифметических операций в каком – либо методе, но и то, что происходит накопление ошибок округления, появляющихся в результате большого числа операций - это является очень серьёзной проблемой.Дополнительно при вычислении обратной матрицы, студенты должны уметь расписать компактную формулу в развёрнутом виде. Таким образом, они представят общий объём вычислений - это решение систем уравнений, относительно неизвестных .^ Студенты должны знать, каким образом получается эмпирическая формула. Они должны обратить внимание на отличие приближения функции по методу наименьших квадратов от приближения функции методом интерполирования. Студенты должны знать, каким образом строится приближающая функция в виде различных элементарных функций. При выполнении лабораторной работы студенты таблично заданную функцию приближают различными аналитическими функциями. При сравнении результатов аппроксимирования определяющим является величина суммарной ошибки , где . По величине они должны самостоятельно сделать вывод - какая функция лучше приближает данную таблицу. Величины используются для контроля вычислений. Они должны быть небольшими по значениям, а знаки этих величин должны чередоваться.Дополнительно студенты могут выполнить самостоятельно аппроксимирование по методу наименьших квадратов логарифмической и гиперболической функциями. ^ . Под методом Монте-Карло понимается совокупность приёмов, позволяющих получать решения математических или физических задач при помощи многократных случайных испытаний. Студенты должны обратить внимание на математическое обоснование метода Монте-Карло. Они должны уметь объяснить сходимость последовательности по вероятности, чем отличается детерминированный алгоритм от недетерминированного метода. Студенты должны понимать, что для решения одной и той же конкретной задачи схема применения метода может быть существенно различной. Они должны обратить внимание на то, как меняется классический алгоритм вычисления кратных интегралов с увеличением кратности и, что происходит в этой ситуации с методом Монте-Карло. ^ Студенты должны знать основные виды дифференциальных уравнений и методы их решения. Они должны представлять отличие приближенных методов от численных методов и то, в каком виде эти методы дают решение. Они должны знать условие, когда дифференциальное уравнение можно решить методом Пикара. Дополнительно студенты могут рассмотреть геометрический смысл численных методов и сравнить их по точности результатов. ^ работы:
а)  ,  ; б) ,  ;в)  , ; г) , .
 .Написать в развернутом виде два первых слагаемых суммы.
Примерный перечень вопросов к экзамену:
Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 032100 (050201.65) Математика, квалификация - учитель математики. Программу составил: кандидат физ.- мат. наук, доцент кафедры теоретической физики ТГПУ ______________ Г.К. Разина. Программа учебной дисциплины утверждена на заседании кафедры теоретической физики протокол № ________ от “____” _______________ 200___ г. Зав. кафедрой, профессор _______________ И.Л. Бухбиндер Программа учебной дисциплины одобрена методической комиссией физико-математического факультета ТГПУ (УМС университета) Председатель методической комиссии физико-математического факультета, профессор_____________________ В.И. Шишковский Согласовано: Декан физико-математического факультета ________________________ А.Н. Макаренко
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на отрезке [a,b], содержащем один корень?
переходят к эквивалентному уравнению вида 
, где 
- произвольная непрерывная функция. Какая функция 
и 
в методе хорд для следующих случаев:Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: Разместите кнопку на своём сайте или блоге: