Автореферат диссертации на соискание icon

Автореферат диссертации на соискание


Смотрите также:
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 2000...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание учёной степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Автореферат диссертации на соискание ученой степени...
Абдакимова, Д. А...



Загрузка...
скачать


Министерство Образования и науки Российской федерации

Министерство образования и науки Кыргызской республики


Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Кыргызско-российский славянский университет


 На правах рукописи

 


                       

Урывская Татьяна Юрьевна


ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ


Специальность 01.01.02 – «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»


^ Автореферат диссертации на соискание

ученой степени кандидата физико-математических наук


Бишкек 2010

Работа выполнена в Кыргызско-Российском Славянском Университете


Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Керимбеков А.


Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ^ Алексеенко С.Н. ,

доктор физико-математических наук,

профессор Асанов А. А.


Ведущая организация: Ульяновский Государственный

Университет


Защита состоится «27» января 2011 г. в 1400 часов на заседание диссертационного совета К 730.001.02 при Кыргызско-Российском Славянском Университете по адресу: 720000, г. Бишкек, пр. Чуй, 9.


С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кыргызско-Российского Славянского Университета


Авторефереат разослан «___» декабря 2010 г.


Ученый секретарь С.Н. Землянский

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент


^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность работы. Основы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами были заложены в 60-е годы прошлого столетия. Исследования в этом направлении впервые проводились в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова,
Т.К. Сиразетдинова. Далее теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И.Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей и в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений.

При разработке методов решения, задач оптимизации систем с распределенными параметрами множество работ были посвящены исследованию линейно-квадратичных задач, где уравнение управляемого процесса содержит функцию управления линейно и минимизируется интегральный квадратичный функционал. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления и разработаны методы решения линейно-квадратичных задач.

На практике математическая модель многих прикладных задач приводит к необходимости решения нелинейных задач, где, например, уравнение управляющего процесса содержит функцию внешнего источника, нелинейно зависящую от функции управления, и минимизируется интегральный функционал того или иного вида. Нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. Поэтому исследование вопросов разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.

^ Цели и задачи работы. Исследовать вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при следующих условиях:

  1. Уравнение управляемого процесса содержит переменный коэффициент, который в общем случае является, разрывной функцией по временной переменной;

  2. Функция внешнего воздействия нелинейно зависит от функции управления;

  3. Минимизируется интегральный функционал, который является либо квадратичным, либо кусочно-линейным относительно функции управления;

и разработать алгоритм построения приближенного решения, заданной точности, доказать его сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

^ Методы исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительным условием в виде неравенства.

^ Научная новизна. Впервые разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае, когда уравнение управляемого процесса содержит разрывный коэффициент и минимизируется кусочно-линейный (или квадратичный) функционал. Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности

  • установлено, что оптимальное управление определяется как знакоопределенное решение нелинейного интегрального уравнения с дополнительным условием в виде неравенства;

  • установлен класс функций , на котором задача нелинейной оптимизации имеет решение.

  • построено (n,k)-е приближенние решения задачи нелинейной оптимизации в виде тройки и доказана их сходимость к точному решению по схеме:



для оптимального управления,




для оптимального процесса,




для функционала;

– получены неравенства, позволяющие оценить близость между точным и приближенными решениями.


^ Основные положения, выносимые на защиту:

  • найдены достаточные условия, однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения оптимального управления с дополнительным условием в виде неравенства, как в случае минимизации кусочно-линейного функционала, так и в случае минимизации квадратичного функционала;

  • установлено, что задача нелинейной оптимизации имеет решение лишь для определенного класса функций .

  • построено приближенное решение задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость, получены ряд неравенств, позволяющих оценить допускаемую погрешность;

  • на модельных примерах управления тепловыми процессами дана численная реализация алгоритма построения приближенных решений, которая подтверждает достоверность теоретических выводов.


^ Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при наличии разрывного коэффициента в уравнении позволяет довести решение задачи до численных расчетов и пригоден для решения многих прикладных задач, связанных с управлением тепловыми процессами, в случаях минимизации интегрального кусочно-линейного и квадратичного функционалов.


^ Апробация работы. Материалы настоящей работы докладывались на:

  • II Международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике» (Бишкек, 2008);

  • III Международной науйной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике» (Бишкек, 2010);

  • «Ежегодной конференции молодых ученых и студентов – Современные техника и технологии в научных исследованиях» (Бишкек, 2009–2010 гг);

  • научном семинаре кафедры «прикладная математика и информатика» Кыргызско-Российского Славянского Университета (научн. рук.
    д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.);

  • научном семинаре кафедры «дифференциальные уравнения» Кыргызского Национального Университета.



^ Структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав,

заключения, списка литературы из 74 наименований и приложений. Общий объем работы содержит ___ страниц машинописного текста. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (a.b.c), где а – номер главы, b – номер параграфа в данной главе, c – номер формулы в данном параграфе.


^ Краткое содержание работы

Во введении изложена актуальность разработки конструктивных методов решения задач нелинейной оптимизации систем с распределенными параметрами.

В первой главе изложены примеры задач оптимального управления тепловыми процессами, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации и изложено краткое содержание диссертации.

Во второй главе изложен алгоритм построения решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае минимизации кусочно-линейного и квадратичного функционалов. При этом уравнение теплового процесса является линейным и содержит коэффициент, являющийся разрывной функцией по временной переменной, а функция внешнего воздействия нелинейно зависит от управляющего параметра.

В 2.1 рассматривается управляемый процесс, описываемый скалярной функцией V(t,x), которая удовлетворяет уравнению теплопроводности

(1)

начальному

(2)

и граничным

(3)

условиям, где коэффициент является разрывной функцией, заданные функции, причем функция внешнего воздействия нелинейно зависит от функции управления Н – гильбертово пространство, Т фиксировано.


Используя метод Фурье формальное решение краевой задачи (1) представляется в виде

(4)

где {} – полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи, а определяется как решение линейного интегрального уравнения

(5)

и имеет вид

(6)

, – коэффициенты Фурье соответственно функций , , а – собственные значения.

Наличие разрывного коэффициента приводит к тому, что решение (6) не является классическим, ибо оно не имеет непрерывную производную по переменной t. В этой связи при решении задачи оптимизации было использовано понятие обобщенного решения. Найдены условия, при выполнении которых формальное решение (6) является единственным обобщенным решением.

В 2.2 рассмотрена краевая задача, сопряженная с основной краевой задачей управляемого процесса (1)-(3):

(7)



Решение краевой задачи (7) ищется в виде разложения



где определяется как решение линейного интегрального уравнения:



и имеет вид

(8)

Обобщенное решение сопряженной краевой задачи находится по формуле

(9)

где



Доказывается, что функция (9) является элементом гильбертова пространства H.

В 2.3 рассматривается задача нелинейной оптимизации при минимизации кусочно-линейного функционала

(10)

на множестве решений краевой задачи (1)-(3). Здесь – заданная функция. Она характеризует состояние управляемого процесса, в которое управляемый процесс должен попасть в момент времени Т. Применяя принцип максимума для систем с распределенными параметрами установлено, что для оптимальности управления необходимо и достаточно, чтобы условие

(11)

где

, (12)

– решение сопряженной краевой задачи (7), D – открытое множество допустимых значений , выполнялось почти всюду на отрезке [0,T].

Согласно (11) и (12), как следствие, имеют место следующие соотношения:

(13)

(14)

которые одновременно выполняются только на оптимальном управлении и называются условиями оптимальности.

В 2.4 на основе условий оптимальности (13) и (14) получено нелинейное интегральное уравнение

(15)

где



с дополнительным условием

(16)

Таким образом, оптимальное управление следует находить как решение нелинейного интегрального уравнения (15), удовлетворяющее дополнительному условию в виде неравенства (16). Эта задача по своей постановке является новой в теории интегральных уравнений и обладает специфическими особенностями.

В случае , оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения

(17)

удовлетворяющее дополнительному условию

(18)

В случае оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения

(19)

удовлетворяющее дополнительному условию

(20)

Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (17). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., вводится замена u(t) на новую неизвестную функцию по формуле

(21)

Из условия (18) следует, что соотношение (21) однозначно разрешается относительно u(t), т.е. имеет место равенство

(22)

В силу (21) и (22) уравнение (17) приводится к виду

(23)

которое далее исследуется в операторной форме

(24)

где оператор действует по формуле

(25)

Теорема. Пусть выполняются условия:

  1. функция по функциональному аргументу u(t) является монотонной и удовлетворяет условию Липшица, т.е.

(26)

  1. функция удовлетворяет условию Липшица по функциональному аргументу т.е.

(27)

Тогда при выполнении условия

(28)

операторное уравнение (23) в пространстве H(0,T) имеет единственное решение.

Решение уравнения (23) найдено методом последовательных приближений по формуле

(29)

где произвольный элемент пространства H(0,T) и при этом приближенное решение удовлетворяет оценке

(30)

где – точное решение уравнения (23).

Далее , подставив в (21), находим управление

(31)

Для того, чтобы это управление было решением интегрального уравнения (17), должно выполняться условие (18). Это обстоятельство сужает класс функций , ибо при произвольно выбранном f(t,u(t)) условие (18) может не выполниться.

Аналогично строится решение интегрального уравнения (19). Находим , подставляем в (21), находим управление Сравнивая значения функциона , , находим оптимальное управление или .

Заметим, что если как задача (17)–(18), так и задача (19)-(20) не имеет решения, то и задача нелинейной оптимизации не имеет решения. Таким образом, существование оптимального управления тесно связано с вопросом существования решения задачи (17)-(18) (или задачи (19)-(20)).

В 2.5 строится решение задачи нелинейной оптимизации в случае минизации кусочно-линейного функционала (10) в виде тройки

(u0(t), V0(t,x), I[u0(t)]),

где u0(t) – оптимальное управление, V0(t,x) – оптимальный процесс, I[u0(t)] – минимальное значение функционала.

Оптимальное управление u0(t) определяется с учетом значения функционала на решениях задач (17)–(18) или (19)–(20).

Оптимальный процесс V0(t,x) согласно формулам (4), (6) и (31) определяется по формуле:

. (32)

Минимальное значение функционала согласно (10), (31) и (32) вычисляется по формуле:

(33)

В 2.6 приведены результаты аналогичного исследования задачи нелинейной оптимизации при минимизации квадратичного функционала

(34)

т.е. решение задачи нелинейной оптимизации найдено в виде тройки

(u0(t), V0(t,x), I[u0(t)]).

В третьей главе исследованы вопросы построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и их сходимость к точному решению по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

В 3.1 исследованы вопросы построения и сходимости приближенного решения преобразованного нелинейного интегрального уравнения (23). Приближенное решение уравнения (23), найденное согласно схеме (29), удовлетворяет следующим рекурентным соотношениям



где



и приближение при каждом n=0,1,2,3,… определяется как сумма бесконечного ряда, которое не всегда удается построить аналитически. В этой связи приближенное решение нелинейного интегрального уравнения (23), которое можно применять на практике, предлагается находить по формулам

(35)

Функции вида (35) называются (n,k)-м приближением решения нелинейного интегрального уравнения (23).

Далее установлены следующие рекурентные соотношения

(36)

где





на основе которых, получена следующая оценка:



(37)

Далее установлено, что (n,k)-е приближение решения уравнения (23), определяемое по формуле (35), удовлетворяет оценке:

(38)

В 3.2 исследованы вопросы построения и сходимости (n,k,)-го приближенного оптимального управления . На основе формулы (35) приближенное оптимальное управление уравнения (22) удовлетворяет следующему соотношению:

(39)

а (n,k)-е приближенное оптимальное управление -

(40)

Для (n,k)-го приближенного оптимального управления на основе формул (31), (37), (38), (39), (40) установлены следующие соотношения:

(41)

В 3.3 n-e приближение оптимального процесса найдено по формуле

, (42)

а (n,k)-е приближение оптимального процесса -

(43)

и исследована их сходимость к точному оптимальному процессу (32).

Далее установлена оценка:

(44)


В 3.4 строится n-e приближение минимального значения кусочно-линейного функционала по формуле

(45)

а (n,k)-е приближенное минимальное значение функционала -

. (46)

Согласно соотношениям (33), (41), (44) найдена оценка:



(47)

где



Из полученных оценок (41), (44), (47) легко видеть, что приближенное решение задачи оптимизации сходится к точному решению при .

В 3.5 построены (n,k)-е приближения задачи нелинейной оптимизации в случае минимизации квадратичного функционала и доказана их сходимость к точному решения по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

В четвертой главе на примере решения двух задач приведены результаты численных расчетов, которые подтверждают теоретические выводы.


Заключение


В диссертации исследована задача нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае, когда линейное уравнение теплопроводности содержит разрывный коэффициент и минимизируется кусочно-линейный (или квадратичный) функционал. При этом выявлены специфические особенности рассматриваемой задачи, в частности было установлено, что оптимальным управлением может быть лишь функция (непрерывная или разрывная) определенного знака. Разработан алгоритм построения приближенного решения и доказана его сходимость к точному решению. Предложенный метод построения приближенного решения дает возможность его реализации на практике. Разработанный метод имеет прикладное значение в управлении процессами с разрывными параметрами при исследовании задач нелинейной оптимизации тепловых процессов, описываемых полулинейными уравнениями параболического типа.


^ Основные результаты диссертации опубликованы

в следующих работах:


Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ:


    1. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Слабообобщенное решение уравнения теплопередачи с разрывными коэффициентами. //Вестник Кыргызско-Российского университета. – Бишкек: 2010. – Т.10. – №5. – С. 140–142.

    2. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. О разрешимости нелинейной задачи оптимального управления процессами, описываемыми полулинейными параболическими уравнениями. //Вестник Кыргызско-Российского университета. – Бишкек: 2010. – Т.10. – №9. – С. 47–52.

    3. Урывская Т.Ю. О разрешимости одной задачи оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала. //Вестник Кыргызско-Российского университета. Бишкек: 2010. – Т.10. – №9. – С. 52–56.



Статьи в научных сборниках и журналах:


  1. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Оптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэфициентами.//Исследования по интегрально-дифференциальным уравнениям. Выпуск 40. – Бишкек: Илим, 2009. – 246–250 с.

  2. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Распределенное отптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэффициентами. // Ежегодная конференция молодых ученых и студентов. Современные техника и технологии в научных исследованих. – Бишкек: МНИЦГП Научная станция РАН, 2010. – 47с.



^ Ключевые слова: тепловой процесс, кусочно-линейный функционал, квадратичный функционал, знакоопределенное решение, нелинейное интегральное уравнение.

Аннотация:

В диссертации исследован вопрос приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи оптимизации при наличии разрывного коэффициента и минимизации кусочно-линейного и квадратичного функционалов. Найдены условия сходимости приближенного решения к точному. Теоретические выводы подтверждены практическими примерами.


^ Uryvskaya Tatyana


Approximate solution of thermal processes non linear optimization problem


Annotation

The problem of approximate task solution of non-linear optimization of heating processes was investigated in the dissertation. An algorithm of approximate solution of optimization task construction was created. The author found the condition of convergence of approximate solution with discontinuous coefficients and the minimization of piecewise linear and quadratic functional to the exact one. Theoretical conclusions were confirmed by practical examples.


Подписано в печать 8.12.2010 года. Формат 60×84 1/16.

Офсетная печать. Объем 1,25 п.л.

Тираж 100 экз. Заказ № 260.


Отпечатано в типографии КРСУ

720048, г. Бишкек, ул. Горького, 2





Скачать 180,24 Kb.
оставить комментарий
С.Н. Землянский
Дата29.09.2011
Размер180,24 Kb.
ТипАвтореферат диссертации, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх