Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности
| скачать Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Иркутский государственный университет П Р О Г Р А М М А кандидатского экзамена по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения» (2 части: основная программа и дополнительная программа) УТВЕРЖДЕНА На заседании Ученого совета Института математики и экономики (протокол № 2 от 22.10.2004 г.) Председатель Ученого совета _______________Срочко В.А. Иркутск – 2004 ПРОГРАММА-МИНИМУМ (Часть I - Основная) кандидатского экзамена по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения» по физико-математическим наукам Введение Настоящая экзаменационная программа соответствует утвержденному паспорту научной специальности «Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, а также ряд отдельных вопросов функционального анализа и теории функциональных пространств. Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова и Московского энергетического института (технического университета).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения. Общая теория линейных уравнений и систем (область существования решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля—Остроградского, метод вариации постоянных и др.). Автономные системы уравнений. Положения равновесия. Предельные циклы. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по первому приближению. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи. Задача Штурма—Лиувилля для уравнения второго порядка. Свойства собственных функций. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. Задача Коши. Теория Гамильтона—Якоби.
Системы уравнений с частными производными типа Ковалевской. Аналитические решения. Теория Коши—Ковалевской. Классификация линейных уравнений второго порядка на плоскости. Характеристики. Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и др.) Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.) Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.) Обобщенные функции. Свертка обобщенных функций, преобразование Фурье. Пространства Соболева Wpm . Теоремы вложения, следы функций из Wpm на границе области. Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка. Задачи на собственные функции и собственные значения. Псевдодифференциальные операторы (определение, основные свойства). Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства. Монотонные нелинейные эллиптические уравнения. Основные свойства. Монотонные нелинейные параболические уравнения. Основные свойства. ^
^
ПРОГРАММА-МИНИМУМ (Часть II - Дополнительная) Принцип неподвижной точки Шаудера, степень отображения и их приложения Теоремы о неявных операторах Точки ветвления и точки бифуркации решений нелинейных уравнений Уравнения разветвления решений Теоремы разветвляющихся решений Аппроксимация, устойчивость и сходимость абстрактных приближенных схем Функции линейных ограниченных операторов, существование и устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений со стационарной правой частью в банаховых пространствах Задача Коши с неограниченным оператором и полугруппы Обобщенные жордановы цепочки и наборы присоединенных элдементов линейных операторов, их приложения Фундаментальные решения и фундаментальные операторы в теории обобщенных решений ЛИТЕРАТУРА
|
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: Разместите кнопку на своём сайте или блоге: