Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам Контрольные вопросы к экзаменам icon

Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам Контрольные вопросы к экзаменам


Смотрите также:
Пояснительная записка. Тематический план. Содержание курса. Список литературы...
Пояснительная записка. Тематический план. Содержание курса. Контрольные вопросы...
Рабочая программа 4 1 Пояснительная записка 6 1 Место курса в профессиональной подготовке...
Тематический план изучения курса «История России» (ч. 1)...
Программы утверждены советом философского факультета Ответственный редактор...
Разработка и создание курса лекций «Россиеведение» на естественнонаучных факультетах...
Рабочая учебная программа по географии для 9 класса моу «Белоозерская оош яльчикского района чр»...
Программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта...
Пояснительная записка 2 Содержание курса и методические рекомендации 4 Учебно тематический план...
Актуальность программы, цели и задачи структура программы курса Компетенции обучающихся...
Рабочая учебная программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Сопоставительная культурология...
Рабочая учебная программа по математике 5-9 классы...



Загрузка...
скачать
Специальность «Математика»


Вариационное исчисление и методы оптимизации


Требования ГОСТ к содержанию курса

Рабочая учебная программа

Цели и задачи курса

Тематический план курса

Содержание программы по разделам

Контрольные вопросы к экзаменам

Дополнительная информация.

Литература


Требования ГОСТ к содержанию курса

Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи линейного программирования и проблемы экономики; теорема двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений; численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.


Программа дисциплины «^ Вариационное исчисление и методы оптимизации»


Составлена проф. В.Н. Кутруновым, утверждена на заседании кафедры математического моделирования 30.10.2003г.


^ Цели и задачи курса


Обеспечить изучение классического вариационного исчисления, в объёме, достаточном для освоения вариационных методов, применяемых в математической физике, теории упругости. Показать применение этих методов в геофизике и геологии для построения карт различных геофизических и геологических параметров при исследовании и эксплуатации месторождений. Продемонстрировать работу соответствующих пакетов программ в реальных условиях моделирования таких карт в проектных и исследовательских организациях Тюмени. Непосредственно на занятиях решить ряд задач вариационного исчисления, используя пакет Maple V, приучая студентов к коллективной работе над проектом. Показать возможности современной компьютерной техники в классическом курсе.

Рассмотреть задачи линейного и нелинейного программирования, теории игр. Изучить симплекс метод решения задач линейного программирования.


^ В результате изучения курса студент должен знать


Классические понятия вариационного исчисления: функционала и его вариации, определение вариации с помощью производной, уравнение Эйлера в простейшем случае минимизации функционала с помощью функции одной переменной. Студент должен уметь обобщать и ставить задачи вариационного исчисления в случае зависимости функционала от многих функций, либо от функций и некоторого количества их производных, либо от функций многих переменных. Студент должен уметь использовать в расчётах численные методы Ритца, ортогональных рядов, Бубнова- Галёркина, наименьших квадратов; ставить и решать задачи линейного программирования.


^ Студент должен иметь представление


О теоретических основах вариационного исчисления, о теории квадратичного функционала, о связи этих теорий с задачами механики и минимизацией некоторых энергий, о связи задач линейного программирования и минимаксных задач экономики.


^ Тематический план курса




Тема

Количество лекционных часов

Количество семинарских занятий

СЕМЕСТР седьмой

1

Линейные и нелинейные функционалы и их свойства.


2

0

2

Классические задачи, приводящие к необходимости минимизировать функционалы.

2

2

3

Интегральные функционалы, зависящие от функции одной переменной. Вариация функционала, уравнения Эйлера.


4

6

4

Интегральные функционалы, зависящие от многих функций; от многих функций и их нескольких производных; от функций, зависящих от многих переменных.


6

6

5

Функционалы в задачах математической физики.

2

2

7

Элементы теории гильбертовых пространств

2

1

8

Теорема о минимуме квадратичного функционала. Энергетические пространства.

2

1

9

Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения.

14

14




Всего часов в седьмом семестре

34

34

СЕМЕСТР восьмой

10

Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения.

4

2

11

Применение вариационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

2

2

12

Применение вариационных методов к решению краевых задач в частных производных

2

2

13

Проблемы выбора базиса в вариационных методах решения операторных уравнений.

2

2

14

Элементы выпуклого анализа


4

4

15

Основы линейного программирования

8

8

16

Основы выпуклого программирования

8

6

17

Основы оптимального управления


4

8




Всего часов в восьмом семестре

34

34



Содержание программы курса по темам

СЕМЕСТР седьмой



Тема

1

^ Линейные и нелинейные функционалы и их свойства.

2

Классические задачи, приводящие к необходимости минимизировать функционалы.

Задача о нахождении кривой минимальной длины между двумя точками и задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую. Функционалы, соответствующие этим задачам. Функционал, позволяющий решать задачу о брахистохроне.

3

^ Интегральные функционалы, зависящие от функции одной переменной. Вариация функционала, уравнения Эйлера.

Определение интегральных функционалов. Обобщения на многомерность, на учёт производных высших порядков. Понятие о приращении функционала. Непрерывность функционала. Определение вариации функционала, два подхода и их неравнозначность. Определение кривой, минимизирующей (максимизирующей) функционал. Теорема о необходимом признаке экстремума функционала, стационарные точки. Постановка задачи о минимуме функционала , ограничения, граничные условия. Классы допустимых кривых, этапы минимизации функционала и окончательный вид вариации функционала. Уравнение Эйлера и лемма, необходимая для его получения.

4

Интегральные функционалы, зависящие от многих функций; от многих функций и их нескольких производных; от функций, зависящих от многих переменных.

Обобщение: функционалы, содержащие несколько функций одного переменного и соответствующие уравнения Эйлера. Обобщение: функционалы, содержащие одну функцию одного переменного, несколько её высших производных и соответствующие уравнения Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных, понятия вариации функции и вариации функционала.

5

^ Функционалы в задачах математической физики.

Вывод уравнения Эйлера в случае функционала, зависящего от функции двух переменных. Примеры: задача Дирихле для уравнения Лапласа и соответствующий функционал. Примеры: задача Дирихле для уравнения Пуассона и соответствующий функционал. Некоторые обобщения: Функционалы зависят от функций трёх переменных, или содержат производные более первого порядка. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей. Экстремумы функционалов при наличии неголономных связей. Понятие о изопериметрических задачах.

7

^ Элементы теории гильбертовых пространств

Линеал, определение, свойства. Предгильбертово и гильбертово пространства. Скалярное произведение, норма, полнота, сепарабельность. Симметричный оператор А. Положительные и положительно определённые операторы. Теорема о единственности решения уравнения Аu=f для положительного оператора А.

8

^ Теорема о минимуме квадратичного функционала. Энергетические пространства.

Теорема о минимуме квадратичного функционала на линеале.Пример .Положительная определённость дифференциального оператора на линеале(нулевые граничные условия) и вид соответствующего функционала. Понятие о классическом и обобщенном решении. Пространство (энергетическое прстранство). Схема его построения на основе гильбертова прстранства и оператора А Теорема о полноте пространства.Соотношения между нормами пространств и.Теорема о существовании минимума квадратичного функционала в пространстве .

9

^ Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения.

Определение обобщенного решения. Понятие непрерывной зависимости обобщенного решения от правой части уравнения. Определение минимизирующей последовательности для квадратичного функционала. Простейшие подходы к построению функционалов в случае неоднородных граничных условий. Приближенная минимизация функционала. Метод ортогональных рядов. Приближенная минимизация функционала. . Метод Ритца. Получение системы алгебраических уравнений Ритца. Определитель Грамма. Доказательство теоремы о сходимости метода Ритца. Нестрогие рассуждения о удачном или неудачном выборе базиса. Метод Бубнова –Галёркина. Система алгебраических уравнений метода. Условия совпадения с системой метода Ритца. Теорема о сходимости метода в частном случае. Широта и области применения метода Бубнова –Галёркина. Метод наименьших квадратов. Понятие А-базиса. Система алгебраических уравнений метода и теорема о сходимости. Метод Куранта


СЕМЕСТР восьмой

10

^ Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения. Линейные ограниченные операторы. Метод наискорейшего спуска минимизации квадратичного функционала, оценка скорости сходимости. Пример применения метода: решение интегрального уравнения, обоснование применимости метода, сопоставление точного и приближённого решений. О других итерационных методах.


11

^ Применение вариационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Основные проблемы, которые нужно решить при использовании метода квадратичного функционала для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неравенство Фридрихса и его частные случаи. Частные случаи выбора констант. Неравенство Пуанкаре и его частные случаи. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка в дивергентной форме. Ограничения на функции в уравнении. Общий вид граничных условий и их частные случаи. Краевая задача u(a)=u(b)=0. Доказательство возможности примения теории минимума квадратичного функционала Обыкновенное дифференциальное уравнение с краевыми условиями u`(a)=u`(b)=0. Доказательство возможности минимизации квадратичного функционала для получения приближенного решения в этом случае. Особый частный случай предыдущей задачи, уход от неединственности решения переходом к более узкому пространству. Общий случай граничных условий для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Четыре частных случая граничных условий. Константы положительной определённости и вид функционалов. Проблема выбора базиса. Основные требования к базису.Примеры базисов для обыкновенных дифференциальных уравнений. Базис из полиномов и способы обеспечения выполнения краевых условий. Базис из собственных функций операторов (или операторов близких в некотором смысле к исходному). Конкретные базисы для дифференциальных уравнений с различными краевыми условиями.

12

^ Применение вариационных методов к решению краевых задач в частных производных

Краевые задачи для уравнений в частных производных. Однородная эллиптичность и дивергентная форма уравнений, производная по конормали. Типы краевых условий. Симметрия дифференциального оператора краевой задачи в частных производных. Положительная определённость опера торов в случае задачи Дирихле. Положительная определённость операторов задач Ньютона и Неймана. Понятие о главных и естественных краевых условиях. Смешанные краевые условия. Неоднородные краевые условия.


13

^ Проблемы выбора базиса в вариационных методах решения операторных уравнений.

14

Элементы выпуклого анализа

Выпуклые множества и функции. Теоремы об отделимости и представление выпуклых множеств

15

^ Основы линейного программирования

Двойственность, признак оптимальности, методы решения задач линейного программирования (симплекс -метод). Теорема двойственности. Некоторые специальные задачи линейного программирования. Линейное программирование и матричные игры.

16

^ Основы выпуклого программирования

Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах. Теорема Куна – Таккера. Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

17

^ Основы оптимального управления

Общая задача линейного программирования. Задача об оптимальном быстродействии. Принцип максимума Понтрягина и классическое вариационное исчисление.




^ Контрольные вопросы к экзаменам (семестр 7)


  1. Простейшие и некоторые классические задачи вариационного исчисления ( Кривая минимальной длины между точками; поверхность минимальной площади, натянутая на замкнутую пространственную кривую; задача брахистохроне ).

  2. Интегральные функционалы. Приращение функционала и его непрерывность.

  3. Два определения вариации функционала и их неравнозначность.

  4. Понятие о стационарных точках. Теорема о необходимом признаке функционала.

  5. Постановка задачи о минимуме функционала, ограничения, граничные условия. Классы допустимых кривых, этапы минимизации функционала и окончательный вид вариации функционала.

  6. Уравнение Эйлера и основная лемма, необходимая для его получения.

  7. Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих несколько функций одного переменного.

  8. Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих функцию одного переменного и несколько ее производных.

  9. Функционалы для функций многих переменных, обобщение понятия вариации.

  10. Вывод уравнения Эйлера в случае функционала, зависящего от функции двух переменных.

  11. Примеры: задача Дирихле для уравнения Лапласа и задача Дирихле для уравнения Пуассона, соответствующие функционалы.

  12. Функционалы зависят от функции трех переменных, или содержат производные более первого порядка.

  13. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей.

  14. Элементы функционального анализа. Понятие о скалярном произведении, норме, полноте, сепарабельности, предгильбертовом и гильбертовом пространствах.

  15. Симметричный оператор А. Положительные и положительно определенные операторы. Теорема о единственности решения уравнения Au=f для положительного оператора А.

  16. Теорема о минимуме квадратичного функционала на линеале.

  17. Пример (изгиб упругой балки). Положительная определенность дифференциального оператора на линеале (нулевые граничные условия) и вид соответствующего функционала.

  18. Понятие о классическом и обобщенном решении. Пространство (энергетическое пространство). Схема его построения на основе гильбертова пространства и оператора А. Теорема о полноте пространства.

  19. Соотношения между нормами пространств . Теорема о существовании минимума квадратичного функционала в пространстве.

  20. Определение обобщенного решения. Понятие непрерывной зависимости обобщенного решения от правой части уравнения. Определение минимизирующей последовательности для квадратичного функционала.

  21. Простейшие подходы к построению функционалов в случае неоднородных граничных условий. Приближенная минимизация функционала.

  22. Метод ортогональных рядов.

  23. Метод Ритца. Получение системы алгебраических уравнений Ритца. Определитель Грамма. Доказательство теоремы о сходимости метода Ритца. Нестрогие рассуждения о удачном или неудачном выборе базиса (влияние ортогональности системы базисных функций на обусловленность алгебраических систем).

  24. Метод Бубнова-Галёркина. Система алгебраических уравнений метода. Условия совпадения с системой метода Ритца. Теорема о сходимости метода в частном случае. Широта и области применения метода Бубнова-Галёркина.

  25. Метод наименьших квадратов. Понятие А-базиса. Система алгебраических уравнений метода и теорема о сходимости.

  26. Метод Куранта и другие обобщенные подходы к построению функционалов.


Контрольные вопросы к коллоквиуму (зачету) (семестр 8)


  1. Линейные ограниченные операторы. Метод наискорейшего спуска минимизации квадратичного функционала, оценка скорости сходимости. Пример применения метода: решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

  2. Использование метода квадратичного функционала для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

  3. Неравенство Фридрихса и его частные случаи. Неравенство Пуанкаре и его частные случаи.

  4. Применение неравенства в доказательствах положительной определенности дифференциальных операторов.

  5. Общий случай граничных условий для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Константы положительной определённости и вид функционалов.

  6. Проблема выбора базиса. Основные требования к базису. Примеры базисов для обыкновенных дифференциальных уравнений.

  7. Базис из полиномов и способы обеспечения выполнения краевых условий. Базисы из собственных функций операторов (или операторов близких в некотором смысле к исходному). Конкретные базисы для дифференциальных уравнений с различными краевыми условиями.

  8. Краевые задачи для уравнений в частных производных. Типы краевых условий.

  9. Дивергентная форма уравнений, производная по конормали. Симметрия дифференциального оператора краевой задачи в частных производных.

  10. Условия положительной определённости операторов в случае задачи Дирихле. Положительная определённость операторов задач Дирихле и Неймана. Понятие о главных и естественных краевых условиях. Неоднородные краевые условия.

  11. Основы линейного программирования. Характерные постановки задач, математические и экономические трактовки.

  12. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества и функции.

  13. Теоремы о представлении выпуклых множеств и их отделимости.

  14. Понятие двойственности в линейном программировании и признак оптимальности решения.

  15. Первая и вторая геометрические интерпретации задач линейного программирования. Теоремы о угловых точках.

  16. Теоретические основы симплекс метода и его вариантов.

  17. Линейное программирование и матричные игры.

  18. Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах.

  19. Теорема Куна-Таккера.

  20. Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

  21. Общая задача оптимального управления. Задача об оптимальном быстродействии.

  22. Принцип максимума Понтрягина и классическое вариационное исчисление.



Дополнительная информация. Maple иллюстрации по темам




Тема

^ Демонстрация в математическом пакете Maple отдельных задач и утверждений из вариационного исчисления

СЕМЕСТР седьмоЙ

1

^ Теорема о минимуме квадратичного функционала

Сравнение классического и обобщённого решений на примере задачи о изгибе упругой балки. Пример. Переформулировать эту задачу в задачу о минимуме квадратичного функционала. На практическом занятии решить её средствами Maple, построить графики.

2

^ Метод наискорейшего спуска решения интегрального уравнения Фредгольма второго порядка

Непосредственно на занятии средствами Maple запрограммировать метод наискорейшего спуска решения интегрального уравнения Фредгольма второго порядка.

3

^ Применение вариационных методов к решению краевых задач в частных производных

На практических занятиях средствами Maple решить вариационные задачи, соответствующие задачам Дирихле и Неймана для прямоугольных областей, построить графики. Каждую задачу запрограммировать используя методы: Ритца, Бубнова - Галёркина, метода наименьших квадратов. Отметить особенности методов, их общие черты и особенности. Выполнить подстановку приближенного решения в уравнение и оценить невязки.

4

^ Основы линейного программирования

Запрограммировать решение канонической задачи линейного программирования. Сравнить результаты её работы с работой соответствующей программы, имеющейся в среде Maple


Литература


  1. Эльсгольц Л.Е.Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука. 1969. 423 с.

  2. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Л.:ЛГУ. 1980284 с.

  3. Ректорис С. Вариационные методы в математической физике и технике М.: Мир.1985.582 с.

  4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.М.:Наука 1970. 511с.

  5. Михлин С.Г.Численная реализация вариационных методов. М.:Наука 431с.

  6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

  7. КармановВ.Г. Математическое программирование. М.: Наука. 1975. 272 с.

  8. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1977. 352 с.

  9. Ляшенко И.Н.и др. Линейное и нелинейное программирование. Киев: Вища школа. 1975. 372 с.

  10. ПонтрягинЛ.С. и др.Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1974. 192 с.

  11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления М.: Наука. 1968. 408 с.

  12. Матросов А.Maple 6 Решение задач высшей математики и механики СПб.:БХВ-Петербург,2001.-529 с.

  13. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5/ М.:СОЛОН. 1998.399 с.




Скачать 145,8 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер145,8 Kb.
ТипРабочая учебная программа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх