Рабочая программа дисциплины (модуля) «Уравнения математической физики» icon

Рабочая программа дисциплины (модуля) «Уравнения математической физики»


Смотрите также:
Рабочая программа по дисциплине «Уравнения математической физики» для направления 010500...
Рабочая программа учебной дисциплины уравнения математической физики Наименование магистерской...
Программа по дисциплине уравнения математической физики...
Рабочая учебная программа по дисциплине уравнения математической физики направление: 5533...
Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения...
Рабочая учебная программа дисциплины Уравнения математической физики Направление подготовки...
Рабочая учебная программа дисциплины Уравнения математической физики Направление подготовки...
Рабочая программа учебной дисциплины «Методы математической физики» Специальность...
Рабочая программа учебной дисциплины «Методы математической физики» Специальность...
Лекция №1. Введение...
Рабочая программа учебной дисциплины "уравнения математической физики" Цикл...
Вопросы к экзамену по курсу уравнения математической физики...



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

математический ФАКУЛЬТЕТ

утверждаю

Декан химического факультета

_________________в.я.денисов

«_____»______________2010 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

«Уравнения математической физики»

Направление подготовки

020100 Химия

^ Профиль подготовки: аналитическая химия, органическая химия, физическая химия, химия твердого дела, неорганическая химия и химия координационных соединений

^ Квалификация (степень) выпускника

бакалавр

Форма обучения

Очная

Кемерово 2010 г.

1. Цели освоения дисциплины.

Цель освоения дисциплины (модуля) «Уравнения математической физики» состоит в способности:

- дать качественные математические и естественно - научные знания, востребованные обществом;

- подготовить бакалавра к успешной работе в сфере научной и педагогической деятельности на основе гармоничного сочетания научной, фундаментальной и профессиональной подготовки кадров;

- создать условия для овладения универсальными и предметно-специализированными компетенциями, способствующими его социальной мобильности и устойчивости на рынке труда;

- сформировать социально-личностные качества выпускников: целеустремленность, организованность, трудолюбие, коммуникабельность, умение работать в коллективе, ответственность за конечный результат своей профессиональной деятельности, гражданственность, толерантность; повышение их общей культуры, способности самостоятельно приобретать и применять новые знания и умения.

- дать современные теоретические знания в области уравнений математической физики и практические навыки в решении и исследовании основных типов дифференциальных уравнений с частными производными, ознакомить студентов с начальными навыками математического моделирования.

^ 2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.

Дисциплина «Уравнения математической физики» включена в базовую часть математического и естественнонаучного цикла (ЕН.Ф.1.4). Изучение данной дисциплины базируется на знаниях студентами общих курсов линейной алгебры, математического анализа, теории функций комплексного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений. «Уравнения математической физики» дают химику один из мощных инструментов для анализа явлений и процессов различной природы математическими методами.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Уравнения математической физики»: ОК-6; ОК-7; ОК-9; ПК-1.

  • использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-6);

  • умеет работать с компьютером на уровне пользователя и способен применять навыки работы с компьютерами, как в социальной сфере, так и в области познавательной и профессиональной деятельности (ОК-7);

  • владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-9);

  • понимает сущность и социальную значимость профессии, основных перспектив и проблем, определяющих конкретную область деятельности (ПК-1).

В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен: овладеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать: основные понятия и теоремы теории дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка; методы решения дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

2) Уметь: классифицировать уравнения; приводить уравнения к каноническому виду, ставить задачу с начальными и граничными условиями, решать поставленную задачу математической физики.

3) Владеть: навыками моделирования практических задач дифференциальными уравнениями; навыками интегрирования простейших дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными; навыками применения качественного анализа решений.

4. Структура и содержание дисциплины «Уравнения математической физики»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы 72 часа.

4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом

Вид учебной работы

Всего часов

Семестры

4

Общая трудоемкость базового модуля дисциплины

72

72

^ Аудиторные занятия (всего)

34

34

В том числе:







Лекции

17

17

Лабораторные работы (ЛР)

17

17

^ Самостоятельная работа (всего)

38

38

В том числе:







Расчетно-графические работы

16

16

Индивидуальные работы

16

16

Вид итогового контроля (зачет)

6

6

^ 4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоёмкость по видам занятий (в часах)



п/п

Раздел дисциплины

Семестр

^ Неделя семестра

Общая трудоемкость

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов
и трудоемкость (в часах)


Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

всего

Уч. работа

Вт.ч актив форм

Сам. работа

лек

прак

1

Классификация, канонические формы и методы решения уравнений и краевых задач математической физики

4

24-30

29

6

9

6

14

Д/р

К/р № 1

Коллоквиум – 15 неделя

2

Уравнения гиперболического типа

4

31-33

13

3

4

2

6

Д/р

К/р № 1

Коллоквиум – 15 неделя

3

Уравнения параболического типа

4

34-37

14

6

2

2

6

Д/р

К/р № 1

Коллоквиум – 15 неделя

4

Уравнения эллиптического типа

4

38-39

10

2

2

2

6

Д/р

Коллоквиум – 15 неделя

5

Зачет

4

40

6










6

зачет




^ Всего за 4 семестр







72

17

17

12

38




^ 4.2. Содержание дисциплины

Содержание лекций базового обязательного модуля дисциплины

п/п

Наименование тем лекций

Содержание раздела дисциплины

^ Результат обучения, формируемые компетенции

1

Классификация, канонические формы и методы решения уравнений и краевых задач математической физики

Предмет и методы математической физики. Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), их классификация по форме: линейные, нелинейные и квазилинейные, однородные и неоднородные, с постоянными и с переменными коэффициентами. Формулы преобразования линейного ДУЧП 2-го порядка с двумя переменными к новым координатам. Понятие характеристического дифференциального уравнения. Получение общих интегралов характеристического дифференциального уравнения и соответствующих канонических форм уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов.

Содержательная постановка задачи о поперечных колебаниях струны с двумя закрепленными концами при малых отклонениях от положения равновесия. Вывод одномерного волнового уравнения. Содержательная постановка задачи о распространении тепла в однородном стержне. Вывод одномерного уравнения теплопроводности. Понятие о начальных и граничных условиях 1-го (условия Дирихле), 2-го (условия Неймана) и 3-го рода. Частные предельные случаи постановок краевых задач (задачи на бесконечной и полубесконечной прямой и задача без начальных условий).

В результате освоения раздела формируются следующие компетенции: ОК-6; ОК-7; ОК-9; ПК-1.

Знать основные понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, используемые при решении физических задач.

^ Уметь: ставить задачу, моделировать ее математическими формулами, решать полученные уравнения, анализировать полученные решения.

Владеть: навыками применения теории дифференциальных уравнений с частными производными для решения физических задач.

2

Уравнения гиперболического типа

Получение и решение характеристического уравнения для волнового уравнения; построение соответствующего простейшего ДУЧП канонического вида. Вывод формулы Даламбера и ее физическая интерпретация (принцип суперпозиции двух волн). Понятие о характеристическом треугольнике. Обобщение формулы Даламбера для неоднородного волнового уравнения.

Иллюстрация метода Фурье на примере задачи о колебании струны с закрепленными концами; построение соответствующей задачи Штурма-Лиувилля и нахождение ее собственных значений и функций. Представление решения задачи о колебании струны с закрепленными концами в виде функционального ряда. Понятие о коэффициентах Фурье. Достаточные условия сходимости указанного ряда.

В результате освоения раздела формируются следующие компетенции: ОК-6; ОК-7; ОК-9; ПК-1.

Знать методы решения дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка гиперболического типа, используемые при решении физических задач.

^ Уметь: ставить задачу, моделировать ее математическими формулами, решать полученные уравнения, анализировать полученные решения.

Владеть: навыками применения теории дифференциальных уравнений с частными производными для решения физических задач.

3

Уравнения параболического типа.

Общая 1-я краевая задача для неоднородного одномерного уравнения теплопроводности. Получение решения 1-ой краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с однородными краевыми условиями методом Фурье; достаточные условия непрерывности указанного решения. Функция мгновенного точечного источника (температурного влияния), ее физический смысл. Теорема о неотрицательности функции мгновенного точечного источника.

Первая краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой; ее качественное (содержательное) отличие от соответствующей задачи на бесконечной прямой. Представление решения указанной задачи в виде суммы решений двух вспомогательных краевых задач, учитывающих влияние лишь начальных и граничных условий соответственно. Нечетное продолжение исходной задачи на бесконечную прямую. Вывод формулы решения первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой. Ее иллюстрация на содержательном примере.

Содержательный смысл задач без начальных условий. 1-я краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полубесконечном стержне (с одним граничным условием). Формула Эйлера, связывающая функции синус, косинус и экспоненту. Решение указанной выше задачи. Решение 1-ой краевой задачи для уравнения теплопроводности на ограниченном отрезке (с двумя граничными условиями). Задача о распространении температурных колебаний в почве. Физическая интерпретация формулы, описывающей распространение температурной волны в почве: 1-й, 2-й и 3-й законы Фурье. Пример, иллюстрирующий использование указанной формулы.

В результате освоения раздела формируются следующие компетенции: ОК-6; ОК-7; ОК-9; ПК-1.

Знать методы решения дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка параболического типа, используемые при решении физических задач.

^ Уметь: ставить задачу, моделировать ее математическими формулами, решать полученные уравнения, анализировать полученные решения.

Владеть: навыками применения теории дифференциальных уравнений с частными производными для решения физических задач.

8

Уравнения эллиптического типа.

Физические процессы, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Уравнение Лапласа; понятие гармонической функции. Стационарное, тепловое поле. Потенциальное течение жидкости. Уравнение Лапласа в полярной, цилиндрической и сферической системах координат.

В результате освоения раздела формируются следующие компетенции: ОК-6; ОК-7; ОК-9; ПК-1.

Знать методы решения дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа, используемые при решении физических задач.

^ Уметь: ставить задачу, моделировать ее математическими формулами, решать полученные уравнения, анализировать полученные решения.

Владеть: навыками применения теории дифференциальных уравнений с частными производными для решения физических задач.

^ 5. Образовательные технологии: активные и интерактивные формы: лекции, семинары, консультации, индивидуальные работы, контрольные работы, зачет, в том числе активные формы: проблемная лекция, лекция по готовому конспекту, лекция – дискуссия, лекция – погружение, мозговой штурм, вопросно-развивающие беседы и решение типовых задач, занятия по решению проблемных и творческих задач, контрольно-корректирующее занятие.



^ Темы занятий

Образовательная технология

Лекционный курс

1.

Классификация ДУЧП 2-го порядка и вывод канонических форм уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов.

Лекция-беседа

2.

Вывод некоторых уравнений математической физики. Понятие о постановке краевых задач.

Информационная лекция

3.

Решение ДУЧП 2-го порядка гиперболического типа методом Даламбера на примере одномерного волнового уравнения.

Лекция-беседа

4.

Метод разделения переменных (метод Фурье).

Лекция с разбором конкретных ситуаций

5.

Уравнения параболического типа. Уравнение теплопроводности.

Лекция-дискуссия

6.

Краевые задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой.

Информационная лекция

7.

Задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности. Законы Фурье.

Проблемная лекция

8.

Уравнения эллиптического типа. Уравнение Лапласа в полярной, цилиндрической, сферической системах координат.

Лекция-дискуссия

Практические занятия

1.

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение типовых задач

2.

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

диспут

3.

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

дискуссия

4.

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

Решение типовых задач

5.

Упрощение линейных ДУЧП канонического вида.

дискуссия

6.

Решение ДУЧП гиперболического типа методом Даламбера.

Ролевые игры

7.

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

Коллоквиум

8.

Задача Коши для уравнений гиперболического типа.

дискуссия

9.

Задача Дирихле для ДУЧП эллиптического типа в круге.

дискуссия

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Итоговый контроль (зачет) оценивается по системе: зачтено, не зачтено. На практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски, при проверке домашних заданий, выполнении контрольных и индивидуальных работ.

Для получения результирующей оценки итогового контроля используются следующие баллы:

  • за контрольные работы – максимально - 20 баллов;

  • за домашние работы – максимально - 10 баллов;

  • за текущую работу на семинарских занятиях – максимально - 10 баллов;

  • за зачет – максимально - 20 баллов.

Итоговый контроль (экзамен) оценивается по системе:

- не зачтено - в сумме набрано 0-30 баллов;

- зачтено - в сумме набрано 31-60 баллов

Вопросы к зачету

1. Понятие дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП).

2. Классификация ДУЧП по форме.

3. Вывод волнового уравнения.

4. Вывод уравнения теплопроводности.

5. Классификация ДУЧП 2-го порядка по типам.

6. Понятие краевых задач для уравнений математической физики.

7. Начальные и граничные условия для основных ДУЧП 2-го порядка; 1-я, 2-я и 3-я краевые задачи.

8. Краевые задачи без начальных условий.

9. Краевые задачи без граничных условий.

10. Краевые задачи на полубесконечной прямой.

11. Метод Даламбера решения ДУЧП.

12. Метод Фурье решения ДУЧП.

13. Задача о колебании струны.

14. Уравнение теплопроводности. Функция температурного влияния мгновенного точечного источника тепла.

15. Общее решение 1-й краевой задачи для одномерного неоднородного уравнения теплопроводности.

16. Фундаментальное решение. Общее решение 1-й краевой задачи для одномерного неоднородного уравнения теплопроводности с неоднородными начальными условиями.

17. Решение полной 1-й краевой задачи для уравнения теплопроводности.

18. Решение задачи Коши (без граничных условий) для уравнения теплопроводности.

19. Решение 1-й краевой задачи на бесконечной прямой для уравнения теплопроводности.

20. Решение 1-й краевой задачи на полубесконечной прямой для уравнения теплопроводности.

21. Интеграл Пуассона.

22. Постановки краевых задач для уравнений эллиптического типа. Примеры.

23. Законы Фурье.

24. Уравнение Лапласа в полярной, цилиндрической, сферической системах координат.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.

а) основная литература:

  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. -736 с.

  2. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. – М.: Наука, 1964. – 208 с.

  3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966.

  4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987. – 352 с.

  5. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1985. – 312 с.

  6. Медведев А.В. Уравнения математической физики. Методическое пособие для самостоятельной работы студентов. – Кемерово: КемГУ, 1998. – 40 с.

  7. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 688 с.


б) дополнительная литература:

  1. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – М.: Высш. шк., 1964. – 559 с.

  2. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971. – 416 с.

  3. Фарлоу С. Дж. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 383 с.

  4. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М., Л.: Гостехиздат, 1950. – 303 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. Образовательный математический сайт Exponenta (Exponenta.ru)

2. Мир математический уравнений EqWorld (EqWorld)

3. www.sl-matlab.ru

    4. Информационная система Math-Net.Ru — инновационный проект Математического института им. В. А. Стеклова РАН — это общероссийский математический портал, предоставляющий российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России. (Math-Net.Ru)

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Уравнения математической физики»

При проведении лекционных и семинарских занятий используются мультимедийные средства, компьютерные классы, интерактивные доски, а так же классическое учебное оборудование.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 020100 Химия и профилю подготовки: аналитическая химия, органическая химия, физическая химия, химия твердого дела, неорганическая химия и химия координационных соединений.

Автор(ы): Антропова Е.В. (доцент, к.ф.-м.н.)

Рецензент(ы)

Рабочая программа дисциплины обсуждена на

заседании кафедры высшей математики

Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.

Зав. кафедрой ______________________________ Брабандер С.П.

Одобрено методической комиссией химического факультета

Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.

Председатель ______________________________

ПРИЛОЖЕНИЯ

^ Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины «Уравнения математической физики»

Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины


п/п

Наименование тем практических занятий

Содержание раздела дисциплины

^ Результат обучения, формируемые компетенции

1

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных.

Классификация формы дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Классификация типа ДУЧП с двумя переменными. [5, с. 6, №1-4, с.7, №№ 13-18, 21-24, с. 9, № 25-27, 36-37]; [6, с.9, прим. 2.1-2.3, с. 11, прим. 2.4].


ОК-6-9; ОК-12-14

2

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

Приведение линейных ДУЧП с двумя неизвестными (постоянные коэффициенты) к каноническому виду. [5, с. 14, № 74-78]; [6, с.14-15, прим. 3.1.].


ОК-6-9; ОК-12-14

3

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

Приведение линейных ДУЧП с двумя неизвестными (переменные коэффициенты) к каноническому виду. [5, с. 14, № 82,83,87-92]; [6, с. 15-19, прим. 3.2-3.4.].


ОК-6-9; ОК-12-14

4

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

Приведение линейных ДУЧП с тремя неизвестными (постоянные коэффициенты) к каноническому виду. [5, с. 15, № 108,109,117-120]; [6, с.20-22, прим. 3.6.].


ОК-6-9; ОК-12-14

5

Упрощение линейных ДУЧП канонического вида.


Дальнейшее упрощение линейных ДУЧП канонического вида с двумя неизвестными (постоянные коэффициенты). [5, с. 14-15, № 95-100]; [6, с.20, прим. 3.5.].


ОК-6-9; ОК-12-14

6

Решение ДУЧП гиперболического типа методом Даламбера.

Решение ДУЧП гиперболического типа методом Даламбера. [6, с. 25-26, прим. 1.1]; [7, с. 22-23, № 52,53,55].


ОК-6-9; ОК-12-14

7

Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду.

Контрольная работа «Приведение линейных ДУЧП к каноническому виду»

ОК-6-9; ОК-12-14

8

Задача Коши для уравнений гиперболического типа.

Задача Коши для уравнений гиперболического типа. [5, с. 65, № 387, 388, 395,396]; [6, с. 26-27, прим. 1.2.].


ОК-6-9; ОК-12-14

9

Задача Дирихле для ДУЧП эллиптического типа в круге.

Задача Дирихле для ДУЧП эллиптического типа в круге. [5, с. 35, № 188 (а, б, г, д)]; [6, с. 36-37, прим. 3.1]; [7, с. 64, № 13 (а - в)].


ОК-6-9; ОК-12-14



^ Тестовые задания для текущего контроля по курсу

«Уравнения математической физики»

ЗАДАНИЯ

^ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1. Указать производную функции :

1) 2) 3)

4) 5)

^ 2. Указать производную сложной функции :

1) 2)

3) 4) 5)

^ 3. Указать существенный признак дифференциального уравнения: это уравнение с

1) алгебраической переменной 2) матрицами 3) производной

4) определителями 5) функцией

^ 4. Указать дифференциальное уравнение:

1) 2) 3) 4)

5)

^ 5. Указать дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП):

1) 2)

3) 4)

5)

^ 6. Определить линейное ДУЧП:

1) 2)

3)

4)

5)

^ 7. Определить нелинейное ДУЧП:

1) 2)

3)

4)

5)

^ 8. Определить однородное ДУЧП:

1) 2)

3)

4)

5)

^ 9. Определить неоднородное ДУЧП:

1) 2)

3) 4)

5)

^ 10. Определить тип ДУЧП:

1) гиперболический

2) параболический

3) эллиптический

4) квазипараболический

5) квазиэллиптический

^ 11. Характеристическое уравнение для ДУЧП

имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

^ 12. Характеристическое уравнение для ДУЧП

имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

13. Решением ДУЧП является функция , которая равна:

1) 2) 3)

4) 5)

^ 14. Квадратичная форма, соответствующая ДУЧП ,

имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

15. Каноническая квадратичная форма соответствует ДУЧП с двумя переменными следующего типа:

1) эллиптического

2) гиперболического

3) параболического

4) сферического

5) цилиндрического

^ 16. ДУЧП с двумя переменными эллиптического типа соответствует квадратичная форма:

1) 2) 3)

4) 5)

^ 17. Решение характеристического уравнения имеет вид:

1) 2)

3)

4)

5)

^ 18. Задача Коши для ДУЧП с двумя переменными имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

^ 19. Укажите задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге :

1)

2)

3)

4)

5)

^ 20. Укажите гармоническую функцию:




21 Частная производная для функции равна:

1)

2)

3) 4)

5)

^ 22. Укажите уравнение с разделяющимися переменными:

1) 2)

3)

4)

5)

23. Для ДУЧП каноническая квадратичная форма имеет вид:

1) 2) 3)

4) 5)






Скачать 266.49 Kb.
оставить комментарий
Дата15.04.2012
Размер266.49 Kb.
ТипРабочая программа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх