Автореферат разослан «28» июля 2010 г
скачатьУДК 517.956 На правах рукописиСЕРИКБАЕВ ЖАМБЫЛ АБДУКАРИМОВИЧО гладкости и аппроксимативных свойствах решений дифференциальных уравнений с переменными операторными коэффициентами 01.01.02 – дифференциальные уравнения и математическая физика Aвтореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Республика Казахстан Тараз, 2010 Работа выполнена в Таразском инновационно-гуманитарном университете^ доктор физико-математических наук, профессор Муратбеков М.Б. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бердышев А.С. кандидат физико-математических наук Кошанов Б.Д. ^ Защита состоится «31» августа 2010 г. в 16.00 часов на заседании Диссертационного совета Д53.04.01 Института математики МОН РК по адресу: 050010, г. Алматы, ул. Пушкина, 125, к.306, конференц-зал.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики МОН РК Автореферат разослан «28» июля 2010 г. Ученый секретарь Д  иссертационного совета Д53.04.01.доктор физико-математических наук А. Асанова ^ Общая характеристика работы. Диссертационная работа посвящена изучению вопросов о существовании, единственности и гладкости решений, а также о спектральных свойствах дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. ^ Исследование дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами позволяет во многих случаях изучить с единой постановкой, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнения с частными производными. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами изучены в работах Б.М. Левитана, А.Г. Костюченко, М.Отелбаева, Б.А. Суворченковой, В.И. Горбачук, М.Л. Горбачук, И.Г.Гасымова, К.Х. Бойматова, И.М. Гехтмана, В.А. Михлец, П.А. Мишневского, А.Л. Измайлова, М.Б. Муратбекова, К.Н. Оспанова, А.Ж. Тогочуева, Л.Р. Сейтбековой, Н.М. Аслановой и др. Отметим, что во всех этих работах исследованы дифференциальные операторы с операторными коэффициентами четного, первого и третьего порядка, то есть так называемые полуограниченные дифференциальные операторы и операторы с коэрцитивной оценкой. Однако, в приложениях часто появляются дифференциальные уравнения с операторными коэффициентами, которые не удовлетворяют вышеуказанным условиям. Например, дифференциальные уравнения с операторными коэффициентами, которые возникают в теории дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов. Изучение данного случая начато сравнительно недавно в работах М.Б.Муратбекова, Л.Р. Сейтбековой. В работах этих авторов изучен случай, когда операторный потенциал не зависит от переменных. Известно, что совершенно другая ситуация возникает при исследовании дифференциальных уравнений с переменными операторными коэффициентами, т.е. когда операторные коэффициенты зависят от переменных. В этом случае главная трудность заключается в том, что спектр операторного коэффициента зависит от переменных, в связи с чем разложение произвольной функции в ряд по собственным функциям становится невозможным. Поэтому известные методы, использованные в работах вышеуказанных авторов, оказываются малоприспособленными при изучении вопросов о разрешимости, разделимости, гладкости решений и спектре краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными операторными коэффициентами. Этим актуальным вопросам и посвящена данная диссертационная работа. ^ . 1. Получить теоремы о существовании и единственности решений одного класса дифференциальных уравнений с переменными операторными коэффициентами. 2. Изучить гладкость решений (разделимость) вышеуказанного уравнения. 3. Исследовать спектральные вопросы дифференциального оператора высокого порядка с операторными коэффициентами. 4. Исследовать вопрос о принадлежности  , где  - обратный оператор,  - класс всех вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве  , для которых  ,  .5. Найти условия, показывающие, что резольвента данного оператора  является оператором Гильберта-Шмидта. ^ . В работе использованы следующие методы: метод априорных оценок, метод компактности, теория вложения весовых пространств, спектральная теория линейных операторов. ^ . В работе получены следующие новые результаты: - доказана теорема о существовании и единственности решений одного класса дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами (случай, когда операторные коэффициенты зависят от переменных); - доказана гладкость решений (разделимость) вышеуказанных уравнений; - найдены условия на коэффициенты дифференциального оператора высокого порядка с операторными коэффициентами, обеспечивающие следующие свойства: а) дискретность спектра; б) непрерывность спектра; - получен критерий дискретности спектра дифференциального оператора высокого порядка с операторными коэффициентами; - доказана принадлежность , где ; - указан класс дифференциальных операторов высокого порядка с операторными коэффициентами, резольвенты которых являются операторами Гильберта-Шмидта. ^ : - теоремы о существовании, единственности и гладкости решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка с переменными операторными коэффициентами; - спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов высокого порядка с операторными коэффициентами. ^ Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: «II международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке» (Алматы, 2003), «12-ой Межвузовской конференции по математике, механике и информатике» (Алматы, 2008), «Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина» (Москва, 2008), на научных семинарах: семинаре ЕНУ им. Л.Н.Гумилева (руководитель – академик НАН РК, д.ф.-м.н., проф. М.Отелбаев; д.ф.-м.н., проф. Р.О. Ойнаров; д.ф.-м.н., проф. К.Н.Оспанов; д.ф.-м.н., проф. Е. Нурсултанов); семинаре Института математики, механики, информатики МОН РК (руководитель – академик НАН РК, д.ф.-м.н., проф. Т.Ш. Кальменов); объединенном семинаре лабораторий уравнений математической физики и функционального анализа и его приложений Института математики МОН РК (руководитель – академик НАН РК, д.ф.-м.н. Н.К. Блиев; д.ф.-м.н., проф. М.Т. Дженалиев; д.ф.-м.н., проф. Г.И. Бижанова); семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института математики МОН РК (руководитель - д.ф.-м.н., проф.Д.С. Джумабаев); семинаре кафедры ДУ и МФ механико-математического факультета КазНУ им. аль-Фараби (руководитель академик НАН РК, д.ф.-м.н., проф. К.А. Касымов, д.ф.-м.н., проф. М.К.Дауылбаев). Результаты диссертации неоднократно докладывались на общегородском научном семинаре «Спектральные вопросы дифференциальных операторов» в Таразском институте МКТУ им. А.Ясави (рук. проф. М.Б.Муратбеков), а также обсуждались в личных беседах с д.ф.-м.н., проф. А.С. Бердышевым. ^ . Полученные результаты представляют теоретический интерес и могут найти применение в спектральной теории дифференциальных операторов, в квантовой механике, газовой динамике, и могут быть использованы при чтении спецкурсов по спектральной теории линейных операторов для студентов, магистрантов и докторантов. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных статьях и в 3 тезисах докладов на международных научных конференциях, список которых приведен в конце автореферата. В совместных публикациях соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение полученных результатов. ^ Работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка использованных источников из 69 наименований. Нумерация теорем, формул трехзначная: первое число означает номер раздела, второе - номер подраздела, третье – собственный номер теорем, формул внутри этого подраздела. Общий объем работы составляет 78 страниц. ^ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель, новизна исследований, дается краткий обзор содержания диссертации. Первый раздел состоит из 6 подразделов. В подразделе 1.1 приводятся необходимые обозначения, определения и вспомогательные факты. В подразделе 1.2 исследуется вопрос о существовании и единственности решений одного класса дифференциальных уравнений с переменными операторными коэффициентами. Пусть H – абстрактное сепарабельное пространство Гильберта. Обозначим через  гильбертово пространство, полученное пополнением  множества финитных бесконечно гладких вектор функций, определенных на  со значением в H по норме ,соответствующей скалярному произведению  .В заданном пространстве рассматривается дифференциальное уравнение  . (1)Здесь A – положительно определенный самосопряженный оператор, зависящий от переменной у в гильбертовом пространстве H с вполне непрерывным обратным,  ,  - кусочно-непрерывная и ограниченная функция в  ,  и  при  . Через L обозначим замкнутый оператор, соответствующий уравнению (1) в пространстве  . Под решением уравнения (1) понимается функция  , если существует последовательность  такая, что  ,  при  .Отсюда, нетрудно проверить, что найти единственное решение уравнения (1) - означает доказать обратимость оператора при всех  .После такого разъяснения вопроса касающегося понятия решения задачи, дальнейшие формулировки результатов приведем на языке операторов. Приведем основные результаты подраздела 1.2: Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: i)  ,  - непрерывные функции в R;ii)  ;iii)  , для любого  ,  ;iv) существует положительное число  такое, что для всех  и  справедливо неравенство .Тогда, оператор  при достаточно больших  непрерывно обратим в .Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия i)-iii). Тогда, для любого  справедлива оценка , где  - постоянное число не зависящее от  .Как известно, результаты настоящего подраздела близки к результатам М. Отелбаева, М.Б. Муратбекова, Л.Р. Сейтбековой. В этих работах был исследован случай, когда операторные коэффициенты не зависят от переменных. В отличии от вышеуказанных работ, в данной работе мы исследуем нерассмотренные ранее дифференциальные операторы с переменными операторами коэффициентами (случай, когда операторный коэффициент зависит от независимых переменных). При этом, полученные результаты можно использовать, например, при исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов гиперболического и смешанного типов. Второй раздел посвящен вопросу о спектре дифференциального оператора высокого порядка с операторными коэффициентами. В качественном спектральном анализе особое место отводится вопросам изучения существования спектра. В случае его существования, рассматриваются задачи о дискретности и непрерывности спектра. Среди работ, близких по тематике и оказавших влияние на эти исследования, отметим следующие работы: Б.М. Левитана, И.С. Саргсяна, А.Г.Костюченко, М. Отелбаева, Т.Ш. Кальменова, Е.И. Моисеева, С.М.Пономарева, М.Б. Муратбекова, К.Н. Оспанова, Р.О. Ойнарова, А.С.Бердышева и др. Известно, что спектральный анализ дифференциальных операторов занимается изучением природы спектра в зависимости от поведения коэффициентов, граничных условий и геометрии области. В качестве примера, к последнему случаю можно отнести следующие факты: в ограниченной области спектр эллиптического оператора с гладкими коэффициентами всегда дискретен, а в неограниченной области спектр того же оператора с ограниченным коэффициентом непрерывен. Наиболее существенным вопросом спектральной теории при изучении спектра в зависимости от поведения коэффициентов является признак дискретности спектра. Первым существенным результатом в этом направлении является критерий А.М. Молчанова о компактности резольвенты сингулярного уравнения Штурма-Лиувилля. Этот результат затем был распространен М.Ш. Бирманом и Б.С. Павловым, В.Г. Мазьей, М. Отелбаевым и Р. Ойнаровым, М.Г.Гасымовым на оператор типа Шредингера. М. Отелбаев, исследуя топологии энергетических пространств эллиптических операторов, получил критерий компактности их вложения в пространстве Лебега. На основе такого подхода результат А.М.Молчанова был распространен на новые классы полуограниченных дифференциальных операторов, энергетические пространства которых вложены в некоторые весовые пространства С.Л. Соболева. Естественным образом возникают вопросы о дискретности и непрерывности спектра дифференциальных операторов, которые не являются полуограниченными. Здесь существенной трудностью является вопрос о гладкости элементов из области определения оператора, чтобы извлечь нужную информацию относительно структуры спектра. Эти вопросы не исследованы для нижеследующего оператора. Изложим основные результаты первого пункта второго раздела. Через обозначим замыкание в норме  дифференциального оператора  ,определенного на множестве  , где  – целое положительное число.Здесь - кусочно-непрерывная и ограниченная функция в , ^ – некоторый неотрицательный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H с вполне непрерывной резольвентой.В дальнейшем будем предполагать, что  ,  удовлетворяют условию:i)  ,  - непрерывные функции в .Теорема 2.1.1. Пусть выполнено условие i) и - ограниченная функция и пусть  является собственным значением оператора  с конечной кратностью. Тогда непрерывный спектр оператора не пуст.Теорема 2.1.2. Пусть выполнено условие i). Тогда, дискретный спектр оператора не пуст, если для любого  справедливо равенство  .Теорема 2.1.3. Пусть выполнено условие i) и пусть оператор положительно определенный с вполне непрерывным обратным. Тогда, спектр оператора дискретен, если и только, если для любого   ,или  .Во втором пункте второго раздела рассмотрены вопросы о принадлежности резольвенты оператора классу  . Напомним, что класс обозначает множество всех вполне непрерывных операторов таких, что ,где  - собственные числа оператора  .Очевидно, что всегда  . Показатель  характеризует степень уклона оператора от конечномерного. Чем меньше , тем быстрее числа  стремятся к нулю и тем лучше оператор аппроксимтруется конечномерными.Вполне непрерывный оператор  называется оператором из класса Гильберта – Шмидта, если он принадлежит  , т.е. если .Заметим, что операторы Гильберта – Шмидта обладают следующим интересным свойством: множество операторов конечного ранга плотно в  .Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия i)-iii). Тогда, резольвента оператора  принадлежит классу  , если  и  ,где  .Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия i)-iii) и пусть для всех   ,где  - собственные числа оператора . Тогда, резольвента оператора является оператором Гильберта-Шмидта, если  .Пример. Пусть  .Рассмотрим в области  для уравнения смешанного типа задачу: , (2) ,  . (3)Примем за H – пространство  , тогда, очевидно  можно отожествлять с  . Теперь перепишем задачу (2)-(3) в операторной форме , (4)где  - образ  при изометрическом изоморфизме  ,  - оператор Штурма-Лиувилля ,  , (5)с периодическими граничными условиями  .Нетрудно проверить, что условия теорем 1.2.1, 1.2.2 и 2.1.3 выполняются. Следовательно, уравнение (4) имеет единственное решение такое, что  (6)и спектр уравнения (4) дискретен. Теперь, за  возьмем образ  при изометрическом изоморфизме  . Тогда, из (4) и (5) легко получаем, что в смысле обобщенных функций удовлетворяет граничным условиям (3) и уравнению (2), а из (6) следует, что  и спектр задачи (2)-(3) дискретен. ЗаключениеРабота посвящена исследованию вопросов о существовании, единственности решений широкого класса дифференциальных уравнений с переменными операторными коэффициентами, а также о спектре одного класса дифференциальных операторов высокого порядка с операторными коэффициентами. Вышеуказанные исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты диссертационной работы: 1. Доказана теорема о существовании и единственности решений одного класса дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами, случай, когда операторные коэффициенты зависят от независимых переменных. 2. Доказана гладкость решений (разделимость) вышеуказанных уравнений. 3. Найдены условия на коэффициенты, дифференциальных уравнений высокого порядка с операторными коэффициентами, обеспечивающие следующие свойства: а) дискретность спектра; б) непрерывность спектра. 4. Получен критерий дискретности спектра дифференциального оператора высокого порядка с операторными коэффициентами. 5. Доказана принадлежность , где . 6. Указан класс дифференциальных операторов высокого порядка с операторными коэффициентами, резольвенты которых являются операторами Гильберта-Шмидта. Полученные результаты полностью решают поставленные задачи и являются новыми, а также имеют теоретическую ценность и могут быть использованы в решениях задач теоретической физики, квантовой механики и газовой динамики и других областях наук. Кроме того, результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов по спектральной теории дифференциальных операторов с операторными коэффициентами для студентов математических специальностей и применены в дальнейших научных исследованиях. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю – доктору физико-математических наук, профессору М.Б. Муратбекову за постановку задачи, постоянную поддержку, полезные советы при обсуждении научных результатов. ^
Серікбаев Жамбыл Әбдікәрімұлы Айнымалы операторлы коэффициентті дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің тегістілігі және аппроксимативтік қасиеттері туралы 01.01.02 – дифференциалдыдық теңдеулер және математикалық физика мамандығы бойынша физика-математика ғылымдарының кандидаты дәрежесін алу үшін ұсынылған диссертация авторефератына ^ Жұмыстың мақсаты: Диссертациялық жұмыс айнымалы операторлы коэффициентті жартылай шегараланбаған дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар, жалғыз болуы және жоғары ретті операторлы коэффициентті дифференциалдық теңдеулердің бір класы спектрін зерттеу. Жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытынды және әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспеде тақырыптың өзектілігі негізделіп, мақсаты және жаңалығы көрсетілген. ^ Айнымалы операторлы коэффициентті жартылай шегараланбаған дифференциалдық теңдеулер. Зерттеу әдістері: Операторлардың спектралды теориясы, компакт әдісі, априор бағалаулар әдісі. ^
^ Алынған нәтижелердің теориялық маңыздылығы бар. Дифференциялдық операторлардың спектралдық теориясын, кванттық механика, газдар динимикасын зерттеуде және операторлардың спектралдық теориясы бойынша білімгерлер үшін оқылатын арнайы курстарда пайдаланылуына болады. Жариялау. Диссертациялық жұмыстың нәтіжелері 6 ғылыми мақалалар мен 3 халықаралық конференциялардың тезистерінде жарияланған. ^ Serikbayev Zhambyl Abdukarimovich About smoothness and approximate properties of solutions of the differential equations with variable operator coefficients The dissertation for submission of scientific candidate degree in physics and mathematics, 01.01.02 –differential equation and mathematical physics The urgency of theme. Dissertational work is devoted studying of questions on existence, uniqueness and smoothness of decisions, and also on spectral properties of the differential equations with operational factors. Work consists of the introduction, two sections, the conclusion and the list of the used. In introduction the urgency of a theme of the dissertation is justified, the purpose, novelty of researches is underlined, the short review of the contents of the dissertation is given. ^ . To investigate not semilimited differential equations with operational factors. Research technique. In work following methods are used: a method of aprioristic estimations, a compactness method, the theory of an investment of weight spaces, the spectral theory of linear operators. ^ - the theorem of existence and uniqueness of decisions of one class of the differential equations with operational factors (a case when operational factors depend on variables) is proved; - smoothness of decisions (divisibility) of the above-stated equations is proved; - conditions on factors of the differential operator of a high order with the operational factors, ensuring following properties are found: a) step-type behaviour of a spectrum; b) spectrum continuity; - the criterion of step-type behaviour of a spectrum of the differential operator of a high order with operational factors is received; - the accessory  , where  - the return operator, - a class of all quite continuous operators in H Hilbert’s space, for which is proved , ;- the class of differential operators of a high order with operational factors is indicated, resolvents which are Hilbert-Schmidt's operators. Theoretical and practical value: The received results represent theoretical interest and can find application in the spectral theory of differential operators, in the quantum mechanics, gas dynamics and can be used at reading of special courses under the spectral theory of linear operators for students. Degree of introduction: Dissertation materials have been published in 6 scientific articles and 3 scientific theses at the international and republican conferences.
|
//Материалы II международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке» (ММ ИТОН). – Алматы. – 2003. - Т.2. - С.322-327.
//Наука и образование Южного Казахстана. - №10(59). – 2006. - С.130-132.
), 
отлично
1 