01. 01. 02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление icon

01. 01. 02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление


Смотрите также:
Программа вступительного экзамена по специальности 01. 01. 02 «Дифференциальные уравнения...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 “Дифференциальные уравнения...
Автореферат диссертации на соискание...
Шифр Отрасль науки, группа специальностей, специальность...
Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными...
А. Г. Ченцова > 30-10. 15 лекция В. В. Васина...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности...
Программа магистрского экзамена Обыкновенные дифференциальные уравнения...
Рабочая программа курса “Дифференциальные уравнения ” для специальности 010400 “Физика”...
Задача курса: изучить теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго...



Загрузка...
скачать

01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление


Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 24 сентября 2010 г. №200

Цель данной программы состоит в определении минимального объема теоретических сведений, необходимого для овладения основами современной теории дифференциальных уравнений и приобретения профессиональной эрудиции, достаточной для проведения самостоятельных научных исследований по профилю специальности.

Для достижения этой цели в программу включены основные факты теории дифференциальных уравнений, а также ряда разделов смежных математических дисциплин.

Экзаменуемый должен владеть основами общей, асимптотической, аналитической и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, иметь представление о теории уравнений Пфаффа, и уравнений с запаздывающим аргументом и теории динамических систем, знать основные факты теории простейших уравнений в частных производных. Кроме того, он должен владеть необходимыми для этого элементами функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления.

^ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы

  1. Теорема существования и единственности решения задачи Кош и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений ([I], § 3, 21).

  2. Теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров ([I], § 23).

  3. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями ([I], § 7, 8, 10, 12, 14).

  4. Общая теория линейных уравнений и систем: область существования решения, многообразие решений, фундаментальная матрица, матрица Коши, формула Лиувилля - Остроградского, метод вариации произвольных постоянных ([I], § 17, 18).

  5. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, предельные циклы. Классификация особых точек ([1], § 15, 16, 28).

  6. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр характеристических показателей линейной однородной системы. Теория Флоке ([2], гл. III, § 1-3, 8, 15, 16, [3], § 1, п. 1.1- 1.2).

  7. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению ([!], § 26).

  8. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка, метод характеристик ([4], часть II, гл. I, §1).

  9. Вполне интегрируемые системы с многомерной независимой переменной (системы Пфаффа). Задача Коши. Условия полной разрешимости. Линейные уравнения ([5], гл. I, § 2, 3, гл. И, § 6).

  10. Уравнение с отклоняющимся аргументом, основные типы и простейшие свойства. ([6], гл. 3, §§ 3.1-3.5),

  11. Общее понятие динамической системы. Примеры динамических систем ([11], гл.5, дополнительная литература [15], гл. 3, 7).

  12. Динамические системы вход-состояние-выход ([14], раздел «Вводная часть»). 13.Управляемость и наблюдаемость линейных динамических систем ([14], ч. I, дополнительная литература [14], гл. 5).

^ 2. Элементы функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления

  1. Задачи вариационного исчисления. Функция Лагранжа (лагранжиан). Необходимые условия экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа. ([4], часть I, гл. И; [7], гл. I).

  2. Задачи оптимального управления. Понятие о принципе максимума Понтрягина ([7], [12]).

  3. Метод динамического программирования [13].

  4. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода. Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма ([8], гл.IV, § 17, 18).

  5. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром; теорема Гильберта-Шмидта ([8], гл. IV, § 19-22).

  6. Обобщенные функции и их свойства. Свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста ([8], гл.И, § 5-9; гл.III, § 12).

3. Уравнения в частных производных

  1. Уравнения в частных производных типа Ковалевской. Аналитические решения. Теорема Ковалевской ([8], гл. I, § 4).

  2. Классификация и канонические формы линейных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости. Характеристики уравнений. Задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Понятие о некорректных задачах для уравнений в частных производных ([8], гл. I, § 3,4; [9], гл. I, § 1; [10], гл. IX, § 2-4, гл. X, § 1-4, гл. XXV, § 8).

  3. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций: формула Грина, теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности ([8], гл. V, § 24; [9], гл. IV, § 1-3; [10], гл. X, § б, гл. XI, § 1-8).

  4. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Применение функции Грина к решению задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара и круга ([8], гл. V, § 27, 28, 31; [9], гл. IV, § 4,5; [10], гл. XII, § 1-4, гл. XIII, § 1).

  5. Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанные задачи для уравнения теплопроводности. Свойства решений: гладкость, принцип максимума, единственность, бесконечная скорость теплопередачи. Фундаментальное решение ([8], гл. I, § 4, гл. III, § 11, гл. VI, § 34; [9], гл. III, § 1,3; [10], гл. XX, § 1-4, гл. XXIII, § 4).

  6. Метод Фурье (разделения переменных) решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Обоснование метода Фурье. ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. III, § 2; [10], гл. XXII, § 1-3).

  7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона ([8], гл. III, § 16; [9], гл. III, § 1, гл. VI, § 1; [10], гл. XXIII, § 2,3).

  8. Уравнения гиперболического типа. Постановка основных краевых задач. Интеграл энергии, единственность решений. Конечная гладкость решений волнового уравнения. Фундаментальное решение ([8], гл. I, § 4; гл. III, § 11, 12, гл. VI, § 33; [9], гл. II, § 1,2; [10], гл. XXI, § 1-3).

  9. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом Фурье. Обоснование метода Фурье ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. И, § 3; [10], гл. XXII, § 4-7).

  10. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа. Распространение волн в пространстве, на плоскости и на прямой ([8], гл. III, § 13, 14; [9], гл. II, § 2, гл. V, § 1,2; [10], гл. XXI, § 5, гл. XXIV, § 1-7).

  11. Понятие об обобщенных и слабых решениях уравнений в частных производных ([4], часть I, гл. III; [8], гл. VI, § 33, 34; [10], гл. XVII, XX,  § 6, гл. XXI, § 6).

  12. Рекомендуемая литература

Основная

  1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

  2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

  3. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: Б ГУ, 2006.

  4. Смирнов В.И. Курс высшей математики, t.IV, части I и И, М.: Наука, 1981.

  5. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Мн.: Наука и техника, 1983.

  6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

  7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин СВ., Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

  8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978.

  9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1972.

  10. Ю.Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.

  11. И.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. Гостехиздат, 1949.

  12. Понтрягин Л.С. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическаятеория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

  13. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.
    И.Калманн Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М:Наука, 1971.

Дополнительная

  1. Бибиков Ю.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа. 1991.

  2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1976.

  3. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.: Высшая школа. 2001.

  4. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Мн.: Наука и техника. 1989.

  5. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: 1971.

  6. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.

  7. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника. 1972.

  8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

  9. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

  10. Ю.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М: Высшая школа. 1977.

  11. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984.

  12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

  13. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М. Мир. 1984.

  14. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М: Наука, 1979.

  15. Биргоф Дж. Динамические системы. М.: ГИТЛ, 1941.

  16. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Наука, 1978.




Скачать 50,66 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер50,66 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх