Методическое пособие к лабораторно-практическим занятиям icon

Методическое пособие к лабораторно-практическим занятиям


Смотрите также:
Методическое пособие по курсу «Основы инженерного проектирования» для студентов...
Учебно-методическое пособие Ставрополь 2007 ббк 51. 1 (2) удк 614. 1/2 (06)...
Методические материалы Дисциплина производство продукции растениеводства...
Учебно-методическое пособие по библиографическим дисциплинам для студентов заочного отделения...
Учебно методическое пособие Архангельск 2011...
Учебно методическое пособие Архангельск 2012...
Тесты по курсу общей химии для студентов лечебного и педиатрического факультетов. Киров. 1999...
Методические указания к лабораторно-практическим занятиям для студентов специальности 1-33 01 06...
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по акушерству и гинекологии для студентов 6...
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям и самостоятельной подготовке по внутренним...
План редакционной деятельности воронежского института гпс мчс россии на 2012 год...
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям и самостоятельной подготовке по внутренним...



Загрузка...
скачать

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ



Федеральное государственное образовательное учреждение высшего пРофессионального образования российский государственный аграрный университет – МСха имени К.А. Тимирязева
(ФГОУ ВПО ргау - МСХА имени К.А. Тимирязева)



Экономический факультет

Кафедра экономической кибернетики


ЛУКЬЯНОВ Б.В.


^ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В ПРИЛОЖЕНИИ К ЗАДАЧАМ АГРОЭКОНОМИКИ


МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

к лабораторно-практическим занятиям

Дисциплина «Теория оптимального управления»


Направление – 080100 «Экономика»

Специальность – 080116 «Математические методы в экономике»

Специализация – «Информационные технологии в АПК»

Курс: V

Семестр: X


Москва 2011

ВВЕДЕНИЕ

Методическое пособие предназначено для использования преподавателями при проведении лабораторно-практических занятий по названной тематике и студентами при подготовке к лабораторно-практическим занятиям и их выполнении. Методическое пособие написано с ориентацией на студентов, имеющих практические навыки работы на ЭВМ с профессионально ориентированными программами.

В методическом пособии описываются лабораторно-практические занятия, иллюстрирующие следующие темы теории оптимального управления:

  • Общая постановка задачи теории оптимального управления

  • Оценка управляемости объекта

  • Оптимизация траектории управления

  • Линейная задача быстродействия.

Методическое пособие частично восполняет отсутствие изданий для сельскохозяйственных вузов по теории оптимального управления. Раскрытие названных тем делается в Методическом пособии на базе рассмотрения управления типовым технологическим процессом – кормлением сельскохозяйственных животных, и в рамках рассматриваемой тематики отражает суть и особенности аграрной экономики как науки.


Тема 1. Общая постановка задачи теории оптимального управления

(элементарные определения)

  1. ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЙ

1.1. Знакомство студентов с понятиями, используемыми в «Теории оптимального управления (ТОУ)».

1.2. Приобретение навыков в описании условий и результатов решения задач ТОУ.


2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Для задачи оптимального управления характерно наличие некоторого динамического объекта, т.е. объекта, изменяющегося во времени.

В задачах управления состояние динамического объекта (системы) характеризуется n переменными состояния (фазовыми переменными) x1(t), ..., xn(t).

Вектор

x(t) = (x1(t), ..., xn(t))

называется фазовым вектором объекта.

Задача состоит в определении m управляющих переменных (управления) как функций от t в интервале t0 t t1, минимизирующих заданный критерий, или функционал качества.

Вектор

u(t) = (u1(t), ..., um(t))

называется управляющим параметром объекта или управлением.

В конкретных физических (экономических, физиологических и др.) объектах управление u(t) не может быть произвольным. Обычно предполагают, что вектор управления u(t) удовлетворяет в каждый момент времени t ограничению

u(t) U,

где Uнекоторое заданное множество.

Таким образом задается класс допустимых управлений.


Будем считать, что допустимое управление u(t) переводит объект из множества начальных допустимых состояний M0 на множество конечных допустимых состояний M1 на отрезке времени [t0, t1], если соответствующее этому управлению u(t) фазовое состояние объекта x(t) удовлетворяет условиям

x(t0) M0, x(t1) M1

Предполагается, что каждому допустимому управлению u(t), заданному на отрезке [t0 , t1], и соответствующей ему траектории объекта x(t) сопоставлено некоторое число J, оценивающее качество пары u(t), x(t), т.е. задан функционал, или критерий качества J(u(t), x(t)).

Задача оптимального управления заключается в нахождении таких допустимого управления u*(t) и соответствующей ему траектории объекта x*(t), переводящей объект из множества начальных состояний M0 на множество конечных состояний M1, что при этом функционал качества J(u(t), x(t)) принимает минимальное значение, т.е.

J(u*(t), x*(t)) = min J(u(t), x(t)).


3. ЗАДАНИЕ

Постановка задачи.

Рассматриваем корову как объект управления. Её состояние определяется съеденными кормами. Требуется перевести корову из «голодного» состояния x(t0) в «сытое» x(t1).

«Голодное» состояние характеризуется отсутствием кормления. «Сытое» состояние характеризуется рационом, количество сухого вещества в котором не превышает норму, а величина обменной энергии рациона - не менее 70 % нормы.

Фазовый вектор объекта управления является двумерным:

x(t) =( x1(t), x2(t))

x1(t) = ОЭ(t); x2(t) = СВ(t)

ОЭ(t) – количество обменной энергии, содержащейся в кормах, съеденных коровой к моменту времени t;

СВ(t) - количество сухого вещества, содержащегося в кормах, съеденных коровой к моменту времени t.

В качестве управления выступает рацион.

Функционалом качества управления является величина издержек, обуславливаемых применением рациона:

K t=t1

J(u(t), x(t)) = min( å (цk * å xk (t)) + Псыт)

k=1 t=t0

K – количество кормов, включаемых в рацион;

цkцена k–го корма (k  [1. K]);

xk(t) – масса k–го корма в рационе, относящемуся к моменту времени t;

Псыт – потери, вызываемые применением рациона, переводящего корову из «голодного» состояния в «сытое».

Временная ось траектории объекта характеризуется двумя точками: t0 и t1. Будем считать, что корова съедает все корма рациона в момент времени t1.

    1. Используя демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление молочного скота», по характеристикам коровы (исходные данные по вариантам см. в Приложении) определить нормы кормления для сухого вещества и обменной энергии.

    2. Описать множество начальных допустимых состояний объекта управления M0 и множество конечных допустимых состояний M1.

3.3. Для произвольно выбираемых кормов описать класс допустимых управлений u(t), записать фазовый вектор объекта x(t0) и управление u(t0).

3.4. Записать управление u(t1) и фазовый вектор объекта x(t1).

3.5. Оптимизировать управление.

3.6. Записать значение функционала качества.

3.7. Описать найденное управление u*(t) и фазовую траекторию объекта x*(t).

Указание: демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление молочного скота» скачать (или запустить) с сайта www.korall-agro.ru.


4. РАБОТА С ПРОГРАММОЙ

Включите функцию анализа распределения компонентов питания по кормам рациона. Для этого в окне «Настройка программы» щелкните на закладке «Расчет и анализ». В раскрывшемся перечне найдите функцию «Анализ концентрации компонентов питания в кормах». Щелкните на поле слева от наименования функции. Убедитесь, что в этом поле появилась галочка. Щелкнув на кнопке закрытия окна, закройте окно «Настройка программы».

Далее:

  1. Выберите позицию меню «Планирование. Задание рациона вручную». Укажите группу животных, для которой предназначен рацион. Открывается диалоговое окно «Исходные показатели». Заполните поля окна необходимыми данными.

В поле «Код животного (№ группы)» заносится, если требуется, код или номер животного или хозяйственной группы животных.

Далее вводятся характеристики животного, его продуктивность и стоимостные показатели - цена продукции, стоимость животного и др.

Показатели продуктивности должны соответствовать тем, которые могут быть получены при полнорационном кормлении (потенциальная продуктивность). Значения стоимостных показателей следует задавать в соответствии с текущими или прогнозируемыми рыночными ценами с коррекцией по налогам и дотациям.

  1. Щелкните на экранной кнопке «Задание рациона». Раскрывается диалоговое окно «Задание состава рациона».

  2. Щелкните на экранной кнопке «Отменить все корма».

  3. С помощью курсора и экранной кнопки "V" пометьте корма, входящие в рацион. (Вместо щелчка на экранной кнопке "V" корма можно помечать нажатием клавиши «Пробел»)

  4. Щелкните на закладке «Выбранные». Перемещая курсор по списку выделенных кормов, нажимайте клавишу ввода и в поле «Дача» вводите массу корма в рационе.

  5. Убедитесь в правильности задания анализируемого рациона.

  6. При необходимости скорректируйте нормы кормления. Для этого:

  • Раскройте окно настройки программы, щелкните на закладке «Перед расчетом» и поставьте галочку перед наименованием функции «Коррекция норм кормления»; закройте окно настройки программы экранной кнопкой, расположенной в нижней правой части окна.

  • Щелкните на экранной кнопке «Нормы» и в появившейся таблице измените нормы кормления (используя клавишу ввода аналогично п. 5).

  1. Щелкните последовательно на кнопках «Питательность» и «Диаграмма». По сбалансированности рациона оцените правильность исходных данных. Запомните компоненты питания, имеющие значительные отклонения от норм кормления.

  2. Щелкните на кнопке «Компоненты» (при предварительно активизированной функции «Анализ концентрации компонентов питания», см. выше). В раскрывшемся окне «Компоненты питания» установите курсор на наименовании компонента питания, имеющего значительные отклонения от нормы.

  3. Щелкните на кнопке «Содержание компонента в кормах» и в раскрывшемся окне щелкните на закладке «в рецепте»; а затем на кнопке «Компонент в рецепте».

  4. По появившейся диаграмме оцените причину дисбаланса. Закройте окно с диаграммой.

  5. Последовательно закрывая диалоговые окна, вернитесь в окно «Задание состава рациона».

  6. Щелкните последовательно на кнопках «Питательность» и «Потери суммарные». Проанализируйте появившуюся на экране диаграмму «Структура потерь по компонентам». Для углубления анализа по конкретным компонентам питания закройте окно с диаграммой и вернитесь в таблицу «Питательность рецепта».

  7. Щелкните на закладке «Соотношения». На экране появляется окно с таблицей сбалансированности соотношений.

  8. Щелкните на кнопке «Диаграмма» и проанализируйте появившуюся на экране диаграмму «Структура дисбаланса соотношений», а затем проведите анализ потерь по дисбалансу соотношений.

  9. Закройте окно «Питательность рецепта».

  10. Щелкните на кнопке «Эффективность».

  11. В раскрывшемся окне «Эффективность рациона» проанализируйте экономические показатели рациона.

  12. Щелкните на кнопке «Структура стоимостных показателей» и на появившейся диаграмме проанализируйте соотношения прибыли, стоимости рациона и потерь, вызываемых дисбалансом. Предельно возможная прибыль – это та теоретическая прибыль, которую можно получить при полностью сбалансированном рационе и бесплатных кормах.

  13. Вернитесь в окно с составом рациона и, щелкнув на кнопке «Стоимость», проанализируйте структуру стоимости рациона.


ПРИЛОЖЕНИЕ

Исходные данные к заданию


Возраст коровы = 5 лет.

Масса коровы = 550 + 5 * В * (-1) ^ G, кг.

Потенциальный суточный удой = 10 + В, кг.

Жирность молока = 4.2 – 0.02 * В* (-1) ^ G, %.

Остальные исходные данные задаются самостоятельно.

В – номер варианта, G – номер группы.


Тема 2. Оценка управляемости

посредством имитационного моделирования

  1. ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЙ

Закрепление в смысле «Теории оптимального управления» понятий: «управляемость», «фазовая траектория объекта», «управление».

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Задача управляемости заключается в установлении следующего факта: существует ли на некотором отрезке времени [t0, t1] хотя бы одно такое допустимое управление u(t), что соответствующий этому управлению фазовый вектор x(t) объекта удовлетворяет граничным условиям

x(t0) M0, x(t1) M1.

В задаче управляемости не оценивается качество перехода из M0 на M1.


3. ЗАДАНИЕ

Постановка задачи.

Требуется оценить управляемость откорма поросенка с начальной массой m0 до массы m1 за период времени 40 дней (c 61-го по 100-тый день) при кормлении «вволю» и следующих условиях:

  • Объектом управления является поросенок, состояние которого характеризуется фазовой переменной «масса».

  • Вектор управления характеризуется составом кормосмеси, включающей корма:

  1. Ячмень без пленки

  2. Обрат свежий

  3. Отруби пшеничные,

u(t) = u1(t), u2(t), u3(t).

  • M0 = {x(t0) | x= m0}; M1 = { x(t1) | x m1}.

  • U = { u(t) | 0 ≤ u1(t) ≤ 65%, 0 ≤ u2(t) ≤ 80%, 0 ≤ u3(t) ≤ 60%,

u1(t) + u2(t) + u3(t) = 100%}.

3.1. Используя демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление свиней» (позиция меню «Планирование. Планирование кормосмеси. Расчет кормосмеси»), сформировать рецепт кормосмеси для кормления поросенка в течение первых десяти дней, добиваясь максимума прироста за период.

3.2. По каждому дню откорма i определить массу поросенка:

mi = mi-1 + Δmi-1

i = 62, 63, …, 70;

Δm – суточный прирост массы поросенка (определяется в результате анализа);

m61 = m0.

3.3. Трижды повторить п.п. 3.1, 3.2, начиная управление соответственно с 71-го, 81-го и 91-го дня.

3.4. Оценить управляемость объекта из множества M0 на множество M1.

3.5. Описать управление:

u(t) = (u1(t61), u2(t61), u3(t61); ………; u1(t100), u2(t100), u3(t100)).

3.6. Описать фазовую траекторию объекта:

x(t) = (x1(t61), x1(t62), …, x1(t100)).

3.7. Для управления и фазовой переменной объекта построить графики зависимости от времени.

Указание:

  1. Демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление свиней» переписать с сайта www.korall-agro.ru.

  2. m0 = 22 + 0.4*В, m1 = 31 + 0.5*В; (В – вариант).



4. РАБОТА С ПРОГРАММОЙ

  1. Выберите позицию меню «Планирование. Планирование кормосмеси. Задание кормосмеси вручную». Укажите группу животных. Открывается диалоговое окно «Исходные показатели». Заполните поля окна необходимыми данными.

В поле «Код животного (№ группы)» заносится, если требуется, код или номер животного или хозяйственной группы животных.

Далее вводятся характеристики животного, его продуктивность и стоимостные показатели - цена продукции, стоимость животного и др.

Показатели продуктивности должны соответствовать тем, которые могут быть получены при полнорационном кормлении.

Значения стоимостных показателей следует задавать в соответствии с текущими или прогнозируемыми рыночными ценами с коррекцией по налогам и дотациям.

  1. Щелкните на экранной кнопке «Задание кормосмеси и ее оценка». Раскрывается диалоговое окно «Задание кормосмеси при кормлении вволю».

  2. Щелкните на экранной кнопке «Отмена всех кормов».

  3. С помощью курсора и экранной кнопки "V" пометьте корма, входящие в кормосмесь. (Вместо щелчка на кнопке "V" корма можно помечать нажатием клавиши «Пробел»)

  4. Установите курсор на первой строке столбца «%».

  5. Нажмите клавишу ввода («Enter») и введите процентное содержание корма в кормосмеси. Повторно нажмите клавишу ввода.

  6. Поочередно для всех кормов введите их процентное содержание в кормосмеси.

  7. Убедитесь в правильности задания анализируемой кормосмеси.

  8. Щелкните на кнопке «Рацион». Раскрывается окно «Масса рациона при кормлении вволю», в котором приводятся рассчитанные значения масс кормов, потребляемых животным в составе кормосмеси в течение суток.

  9. В окне «Масса рациона при кормлении вволю» щелкните на кнопке «Эффективность». По значениям показателей в раскрывшемся окне «Эффективность рациона» проведите предварительный анализ кормосмеси. Закройте окно.

  10. Щелкните последовательно на кнопках «Питательность» и «Потери по продуктивности». Выпишите наименования компонентов питания, отклонения которых от нормы приводит к наибольшим потерям.

  11. Вернитесь в окно «Задание кормосмеси при кормлении вволю» и постарайтесь улучшить состав кормосмеси.

  12. Повторяйте п.п. 9 – 12 пока возможно улучшение кормосмеси.


Тема 3. Оптимизация управления выращиванием поросят

  1. ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЙ

Закрепление знаний понятийного аппарата «Теории оптимального управления» и получение практических навыков в оптимизации управления динамическими процессами сельскохозяйственного производства.

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Задача оптимального управления заключается в нахождении таких допустимого управления u*(t) и соответствующей ему траектории объекта x*(t), переводящей объект из множества начальных состояний M0 на множество конечных состояний M1, что при этом функционал качества J(u(t), x(t)) принимает минимальное значение, т.е.

J(u*(t), x*(t)) = min J(u(t), x(t)).


3. ЗАДАНИЕ

Постановка задачи.

Требуется откормить поросенка при кормлении «вволю» с начальной массой m0 до массы m1 за период времени 40 дней (c 61-го по 100-тый день) при сохранении его здоровья в заданных пределах и следующих условиях:

  • Объектом управления является поросенок, состояние которого характеризуется двумя фазовыми переменными: «масса» и «сохранность здоровья».

Сохранность здоровья измеряется индексом сохранности здоровья (z), который вычисляется по формуле:

i

zi = 1 – å Пцж j / (0.1* Сж* i )

j=1

zi - индекс сохранности здоровья в i–тый день откорма;

Пцж j – потери по ценности животного в j–тый день откорма, вызываемые дисбалансом рациона;

i – текущий день откорма;

Сж – продуктивная стоимость животного.

Таким образом, фазовый вектор объекта является двумерным:

x(t) = (x1(t), x2(t)); x1(t) = m(t); x2(t) = z(t).

  • В качестве управления выступает кормосмесь из трех произвольно выбираемых кормов, состав которой может меняться каждые 10 дней.

  • За функционал качества принимается стоимость кормов, расходуемых на одного поросёнка за период откорма:

40

J(u*(t), x*(t)) = min å Cрац j ,

j=1

Cрац j – стоимость рациона в j–тый день откорма.

  • M0 = { x(t0) | x1 = m0, x2 = 1 }.

  • M1 = { x(t1) | x1 [ m1, m1+2 ]; x2 [ 0.5, 1] }.



3.1. Описать класс допустимых управлений.

3.2. В фазовой плоскости объекта графически выделить множества M0 и M1 (Фазовой плоскостью объекта является плоскость с осями координат x1, x2) .

3.3. Используя демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление свиней», сформировать 4 рецепта кормосмесей для кормления поросенка по каждому из рецептов в течение десяти дней.

3.4. Выполнить оптимизацию управления в соответствии с поставленной задачей.

3.5. Записать значение функционала качества.

3.6. Построить график изменения функционала качества во времени.

3.7. Описать найденное управление:

u*(t) = (u(t61), u(t62), …, u(t100)).

3.8. Описать фазовую траекторию объекта:

x*(t) = (x1(t61), x2(t61); x1(t62), x2(t62); …, x1(t100), x2(t100)).

3.9. Отобразить траекторию объекта на фазовой плоскости.

3.10. Построить графики x1(t) и x2(t).

Указание:

1) Демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление свиней» переписать с сайта www.korall-agro.ru.

2) m0 = 22 + 0.15*В; m1 = 30 + 0.2*В

(В – вариант).


Тема 4. Линейная задача быстродействия

в приложении к откорму животных

  1. ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЙ

Получение практических навыков в формализации задач оптимального управления динамическими процессами сельскохозяйственного производства и поиске оптимальных решений; закрепление знаний понятийного аппарата «Теории оптимального управления».


2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Линейная задача быстродействия является простейшей задачей оптимального управления. Динамика объекта в этой задаче описывается системой линейных дифференциальных уравнений

 = Ax + u, (1)

где x – n-мерный вектор фазового состояния объекта;

u – n-мерный вектор управления, на который наложено ограничение u(t) U;

A – постоянная матрица размером n n.

Зная некоторую допустимую функцию управления u(t) и начальное состояние объекта x(t0) = x0, можно получить единственную функцию x(t) вектора фазового состояния объекта как решение системы дифференциальных уравнений (1).

Начальное и конечное состояния объекта выбираются как элементы подмножеств M0 и M1 соответственно из n-мерного фазового пространства.

Критерием качества служит время перехода из множества M0 на множество M1, т.е.

J(u(t), x(t)) = t1t0 .

Таким образом, линейная задача быстродействия заключается в нахождении допустимого управления u*(t) и соответствующего ему решения x*(t) уравнения (1), переводящего объект из множества начальных состояний M0 на множество конечных состояний M1 за минимальное время.

Постановка задачи.

Требуется откормить свинью с начальной массой mнач до конечной массы (mкон1) за минимальное количество дней при следующих условиях:

  • Объектом управления является свинья, состояние которой характеризуется двумя фазовыми переменными: «масса» и «суточный прирост массы».

  • Потенциальный суточный прирост массы Δmпот определяется выражением:

Δmпот = 10 * m, (г/сут),

где m – текущая масса свиньи, кг.

  • Величина суточного прироста массы на начало рассматриваемого периода откорма может находиться в интервале [300, Δmпот нач] г/сут;

Δmпот нач = 10 * mнач, (г/сут)

  • Для обеспечения высокого качества мяса прирост массы в конце откорма должен находиться в интервале [300, 400] г/сут.

  • Увеличение / уменьшение прироста регулируется изменением сбалансированности рациона. Сбалансированность рациона может изменяться в пределах от 40 до 100% Изменение сбалансированности в очередной день откорма не может отличаться более чем на 10% от сбалансированности рациона предыдущего дня.

mнач = 60 + 0.15*В; mкон = 80 + 0.2*В; (В – номер варианта).

3. ЗАДАНИЕ

3.1. Привести задачу к стандартному виду теории оптимального управления:

  • Задать фазовые переменные;

  • Задать переменные управления;

  • Описать класс допустимых управлений;

  • Описать множества начальных и конечных состояний объекта управления;

  • Записать функционал качества управления.

3.2. В фазовой плоскости объекта графически выделить множества M0 и M1.

3.3. Найти решение задачи методом имитационного моделирования, используя демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление свиней».

3.4. Записать значение функционала качества.

3.5. Отобразить траекторию объекта на фазовой плоскости.

3.6. Построить график траектории управления.

3.7. Построить графики x1(t) и x2(t).

Указание:

Демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ – Кормление свиней» переписать с сайта www.korall-agro.ru.


ЛИТЕРАТУРА


  1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. – М.: Высш. шк., 2001

  2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005

  3. Лукьянов Б.В., Лукьянов П.Б. КОРАЛЛ – Комплексная оптимизация рационов, комбикормов, премиксов. Руководство Пользователя, 2010 (файл «рацион.doc»)

  4. Лукьянов Б.В., Лукьянов П.Б. Новая информационная технология оптимизации рационов для сельскохозяйственных животных (Компьютерные программы «КОРАЛЛ»): Учебно-методическое пособие – М.: Изд-во РГАУ - МСХА имени К.А. Тимирязева, 2009

  5. Методы оптимизации // www.bigor.bmstu.ru






Скачать 241.18 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер241.18 Kb.
ТипМетодическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх