Дипломная работа icon

Дипломная работа


Смотрите также:
Дипломная работа студента 544 группы...
Настоящая дипломная работа посвящена фольклору русским и чешским народным танцам...
Дипломная работа по теме...
Дипломная работа должна включать следующие разделы...
Дипломная работа по истории...
Дипломная работа по теме...
Дипломная работа...
Дипломная работа...
Дипломной работы  определяется  студентом совместно с его научным руководителем и представляется...
Дипломная работа выполнена на тему: «Ресторанный комплекс при клубе знаменитых людей: ресторан...
Методические рекомендации по написанию дипломной работы Специальность 080...
Методические указания по дипломному проектированию дипломная работа по учебной дисциплине...



Загрузка...
страницы: 1   2   3
вернуться в начало
скачать
С/ ^ Q 2 ^д. ^ ^ 3 , л? ^ д?/, js/ = •2?-2 .

Множество решений системы неравенств:


( .6 2 э^ + ^у ^ ^ ^^1 + ^ ^- ^

есть открытый многоугольник А - (рис.2)

Среди всех точек этого множества нужно найти такую, координаты которой минимизируют линейную форму +=с^5х+ о, -5 У . Если зафик­сировать какое-нибудь значение выражения -f= С , то получим линейное уравнение с двумя неизвестными ^S-sa-O^y^c ^ график которого есть прямая. При изменении от ~т>одо оо прямая o^v.-t-Qb'd^c , сме­щаясь параллельно самой себе, "зачертит" всю плоскость. При некотором значении с = С/ эта прямая достигнет многоугольника М в точке В Оче­видно, в этой точке -f примет наименьшее значение. Координаты точки В, находим решив систему: Г 2 х- i-y ^ G

i ^ ^ = /'




Итак, наименьшее значение линейной формы -/=<^5х-к^3^ в М. достигается в точке в ^г; 2) Таким образом, для наивыгод­нейшего откорма животных надо брать оба вида кормов по две единицы.


24

1.7.3. Задача об оптимальном использовании сырья

1. Постановка задачи

Пусть предприятие вырабатывает продукцию двух видов П, и Лд , для чего используется сырье трех видов S<, ^ , -?э соответственно в коли­чествах ^ , ^z. , ^.i . Для изготовления единицы продукции (^потребуется и/, , й& , ^Sf , ^г. , •5л соответственно. Условно запишем это так: П = Он S{ + Ом. 5л ч- С?/& 5д . Аналогично допуска­ем , что П = Ог/ ^ у- ^ -s;? + ^^ ^з . Доход, получаемый предприятием от выпуска единицы продукции Л< и Па равна соответ­ственно Су и Сд. рублям. Требуется спланировать работу предприятия так, чтобы обеспечить наибольшую прибыль. Все данные представим в виде таблицы 3.



Таблица 3

2. Математическое описание задачи

Предположим, что нужно изготовить •3?/ единиц продукции П< и Л^ единиц продукции П^ . На это уйдет d^ Л\ + Cf^ Xa. единиц сырья J/ i. = /, 2/3 . Принимая во внимание ресурсы предприятия, можно написать:

(2// Л'< + 0.^ ^ ^ ^/ о^ О'/ + 0<.i ^ ^ ^

(2/s Я?/ + йгд ^ ^ ^з

Общий доход выражается линейной формой ^= б< а?/ + Сл. 3?г. Итак, требуется найти неотрицательное решение системы нера­венств, дающее максимальное значение f^ e^ ^ -^ С^Ха. Эта

задача решается аналогично задаче о рационе.

25

1.7.4. Понятие о задаче нелинейного программирования

Рассмотрим примеры решения простейших задач нелинейного про­граммирования.

Пример 1. , Найти минимальное и максимальное значения функции ^= (^ ~^) + (3^ "^ ) при ограничениях С X/-^ Хл. >- ^ \ -?гс< +3^1 ^{2 L лу s^, эс^^О

Решение:

Область допустимых решений представляет собой многоугольник АВСЕ (рис.3). Проводя из точки М, как из центра, окружности различных радиусов, получим: минимальное значение функции г (SZ>)=196/13 прини­мает в точке Ю (24/13, 36/13), в которой окружность касается области ре­шений. Точка ^) не является угловой, ее координаты находят решая си­стему уравнений, соответствующих прямым /Йс> и C£~ . Имеется два ло­кальных максимума: з ( д\ = (f-^)^ + (о-б)2 = ^•5' ;

i(^}-- C&-^)2 + (о~б)2 = Ю


6 . ^

рис.3 Пример 2

Пусть область допустимых решений остается прежней, а й-s (,Т/-^) ^ -<- ( ^й~^)2 найти минимум и максимум i . Решение:



Так как

2M> i

(е)

, то вершина А есть точка глобального мак-

симума.

\.



—-

— —

---^м



















-

/ 1






















/













f-

is,




/










н

\^

^






















^

s




/













,''




\

(



















<2>



















/' /




• ':; ' •-- г
















/




^. 1
















/

//



















/

/ /

























у













в




/













f

\




f /

/ / / \>•~-
















\



Г4

.—^-^-







б

Г л

ч

6

-^

'>




26

Минимальное значение функция принимает в точке A
iW=0. , , -

I: г^с^ i = i( e)- zfe;o) =-^

II: ^а^ г ^ ^fe; - ^" ; глобальный /^wc г = гЛ?; ^)^/c)^2S.

ПримерЗ

Найти максимум и минимум значения функции i ~- Vf

при ограничениях: ( Xr- 3Q. ^^

\ зе^^^-S , ^ ?^ ^г^)

(^ У, ^ Ч, Жг ^6'

Решение:

В этом случае (рис.4) область допустимых решений не является вы­пуклой и состоит из двух отдельных частей, fnin. 2= i (^(-/;^)) = i(L(^^))-=^y I. ^лх i-- i (^ r-^;6'J; -~ ^/9

II.

Точка М (7;4/7) - есть точка глобального максимума



Н

Общая задача математичес­кого программирования формулируется следующим

образом:

\f1 f \ найти вектор: л С ^ / ^у

координаты которой удов­летворяет системе ограни­чений: д

^(^,.,^=^, ^'^/2,...,,С ^ (Х,,...,^]'=^, i^^f,...,n-

Н и доставляющий экстремум __ ^ э. функции i^ f('x^..., х^).

1 ^ ^ 7^

Рис.4

В настоящее время (начиная с 1950-х годов), бурно развивают­ся методы решения задач математического программирования с привлече­нием современной вычислительной техники.

27

II. О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ

2.1. Понятие о краевых задачах

К краевым задачам дифференциальных уравнений сводятся боль­шинство естественно-технических проблем, которые возникают при со­ставлении математических моделей реальных процессов. Здесь Приводятся лишь основные понятия о краевой задаче (на примере двухточечной задачи) и об основных методах решения. Задача

Найти решение дифференциального уравнения Ц = х. в области о^ ос ^ / при граничных условиях ^fo)=o^^)= -f Решение: ^ Интегрируя уравнение У = х- получим общее решение -У = ^-^ ^ х-^С^ ^


а удовлетворяя граничным условиям, получим систему:

с} = о Со + С, -о^ Q = о ('с^=о

/t I . •••» ) ,

У' i

./:

- г" •

Рис.1


(Ч(с)=0 [0-Ц\Л^ t/6

Тогда решение задачи будет; У= ^^ ^ •% х-

Геометрический смысл задачи приведен на рисунке 1

Обобщение:

Рассмотрим простейшую двухточечную задачу:

Найти функцию iy= Ц (^), удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго порядка и "^ -f(v, у, у '} ц .\ (2.1) и краевым условиям: у(а-)^ А , ^(ё)-= В.

Геометрически это означает,

что требуется найти интеграль­ную кривую уравнения (2.1),

проходящую через две данные

точки: М (л,А)^(^ Ь)


/\
(см.рис. 2). На предыдущем при­мере мы видели, что решение

краевой задачи на последнем

этапе свелось к решению систем

уравнений. А при этом может


Рис.2
возникать три случая:

1) Существует множество решений;

'2) Существует единственное решение;

3) Нет решений.

28

Различные случаи решений и постановки краевых условий приведем в следующем пункте 2.2.

2.2. Примеры .аналитического решения краевых задач

I. Пусть дано дифференциальное уравнение у '•=• - и краевые условия:

а)Г^о)-(9 Q)^(o)^o вГ^^^

\^W^l Ц^П)=0 1у^2

Найдем общее решение уравнения U "i- ^и-^ с> .Ее характе­ристическое уравнение будет: ^^ ^-^0 и />^ = ± 2с . Поэтому :

у^ Cf сс>5 ^ус + gl s^n. S. за. . общее решение.

С,-о

0 - ^

a) r^fo)=o (C}-cc5^ o^Ci-^nSO^O \и[^}^1 " \_Cf-cv^-e/^^C,L-^S-8/^S.

"7= ri / s'.^ о - единственное решение (см.рис.3).



б)С^с^о C^-co^-o^ C^-s^tS.o^o г е^о

Un]^o ^iCf-c^^c/l^ Gi- ^^-71-- о ^iCt-о^о

в)

отсюда: С{ = о, С д. - любое число, поэтому множество ре­шений будет и = Слsin <3-^ (см.рис.4) - синусоиды с амплитудой Сл, .

ru^o)=o f(V- Ccss-o^- (^-^ S-o =.о (С(-С> l^W^2. ^ i^-cps^n ^ Q-5-.A-^ = 2. ^ i^ = %nS^^


=• оо


, т.е. нет решения.

/


ТГ у


рис.3




при краевых условиях:
II. Решить уравнение ^ - 5^ - <,У

^"/оМ, ^+00^=0.

Решая характеристическое уравнение г: 'г- -5г - 4" •= ^> , получим: ii =<', ^ = -У . Тогда общее решение будет:

у^б^-к^е^ , у^ ^-^-е^- ^в^. Удовлетворяя краевым условиям:

( !/'(с)^ ^•0-е^й.е-0^

^-f^--^ ''/^ ^-г^-О^^о

[it-7 0й 1»-7ОТ

Второе условие выполняется только при С-/ ^ о . Тогда из пер­вого условия получим <• •0 Q c>~ Сл--{ = ^ -т- <^-= - ^

•— Ti*

Итак решение задачи будет: у = - ^ е (рис.5).



Рис.5


при

Ш. Решить дифференциальное уравнение: у0 граничных условиях: С и Со) ^ 5

ti^)-yY^r

Общее решение будет Краевые условия дают:

fc<^e»=3

\С^ Oe'-^e^/

Решение будет ^^ f-f- He - единственное решение. Очевидно, для решения краевой задачи основной трудностью являет­ся нахождение общего решения дифференциального уравнения. Поэтому рассмотрим приближенные методы решений.

2.3. Приближенный метод решения краевых задач. Конечно-разностный алгоритм

Решение краевой задачи методом конечных разностей несколько сложнее по сравнению с задачей Коши для того же дифференциального уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с краевыми условиями:

^\p(^^^-,H^^(a)^,y(S)^. (1)

Разобьем основной отрезок [ л ; о ] на /г равных частей длины

^= ^-о-. Точки разбиения имеет абсциссы:

' f р '

Ху^ О,, .ЗС^ЭСЬ^Л., :32п.=й? , <.^0^,..-,г^.

Введем обозначения: ^ (^)^У<-, У (^)^^^ / ^^'')=^"^ .

р(^)^р^ ^С^)-у^ т^^-.

Заменяем производные конечно-разностными соотношениями:

и'- ^^- ^-^- '/- У--;^-'

Уо " ~^^ ^ ^ - «^^ , •У^ - ——^——— , ,^ (^-^ -^21)/, ^ ^-2^^^

У. - V ^ 7—//^ J^

Тогда задача (1) сводится к решению системы из ^ - f ли­нейных уравнений с /г.-/ неизвестными Чг :

(^ - ^-У^)/^ -+- Р. (^ -^)/2k ^^ - ^ ,

^--^ , ^^- (2)

Эту систему представим в виде:

-^ ^ 0-^г -С.^ = S^ ^ Q, = (^~2k^)/ (. ,

tc -~ (^p^)/L , S. --^. h/i^ £ ^-^/).

(2')

Система (2') имеет трехдиагональную расширенную матрицу:

/-й^ -У, О О .--;... О f^-^/


>-г.
- ^ а^ - ^ о •... \ ... о i &

О - / Дд - ^ ...-;.. ^ О i &

\ о о о о "^ ^-< ^^ 1 ^"-<

31


/ Q О

О О


~t< О О

Сл - Га. О

О Сз -t3


0 0

1 ctf

cL

\

0

^










/





О


о


о


П.-f




(3')

где с/= а^ с, = а^ - ^-i-, А^-^л ^ = & + "^"г"

Тогда алгоритм решения системы (2) представим в виде алгоритма:

1. {,-- 2-Lp^ I, =^^)/i,, О. = ^-^^/^,

i^^+kp,)/^, ^--(^^p.)/^; ^^-^4^ ^=-^^//.;

(4)

2. e/--ft<, с^о,- -1^ ^=^,

з: ^-< -. f^) /с^ ;

У^ = (о1^ ^ ^^ ^+,^)/Сп-г > ^ ^ ^ з/..., о-i.

Алгоритм называется корректным, если все действия в нем выполне­ны, т.е. ^ , U i-0 / G.f =CiTt-o . Устойчивость алгоритма обуславливается выполнением условия ; Уп-ч, = •с^Н/^/-'1 ^ '^/Сп-^ , |^>-(;/Ся-<: I ^ ^ . Нетрудно видеть, если исходное уравнение (1) нелиней­ное, то система типа (2) также будет нелинейной, а алгоритмы типа (4) со­ставить невозможно.

^ .- Рассмотрим примеры решения краевых задач для дифференциаль-'HbDF'BTOporo порядка с переменными коэффициентами, где как правило аналитических решений не существует.

Пример!.

Дана краевая задача: i/"^- 2^ ^ ^и--= s^ft эс. Ч'(о)=- О, ^ ('/) '= 3 . Результаты вычисления этой задачи по алго­ритму (4) получим в виде таблично заданной функции.

5СГ

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0.7

0,8

0,9

1

{^

0




0,79




1,59




2,32




2,94




3

^

о

0,38

0,76

1,13

1,49

1,82

2,13

2,41

2,65

2,85

3




32

III. ПОНЯТИЕ ОБ ОДНОМЕРНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ

Исходя из общего закона сохранения энергии многие физические за­дачи при адекватном построении их математических моделей сводятся к вариационным задачам. Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и наименьших значений функционалов.

3.1. Постановка простейшей задачи

Задача состоит в определении функции и •=. •? ('>-) , которая со­общает экстремальное значение некоторой величины ^ У= ^У^у7 , т.е. функционала, ^г.

Предположим, что ^ J р ^ у. /) ^ ^

7<

^х'^^; ^^ (1)

где г (. эе/ у, ^/ - заданная функция, и а - заданные числа.

У^

Различным кривым ц : и [ ^е.) , проходящим через граничные точ­ки С эс<; ^ ) и (^л.', Уи.) , будут отвечать различные величины. Определим такую функцию у ^ i/ С^) , для которой ^ i- ^'('^У'^ , т.е. функционал принимает максимальное или минимальное значение. Да­лее будем рассматривать задачу только на минимальное значение УГ^'(>)], т.е. будем искать такую функцию у= уЛ^ , чтобы было

Н^(^).] '- ^п- ^Су(^)] ^ Л3^ Х^Х^ . Например, для задачи

п^- JYy'^ , ^о)--о, ум^ (&)

/ функции i/ =- х. , ol 6r [p, будут удовлетворять условиям :

ylo)^o, ^}--L

При этом .,

г / ^

У г,. ^ - Я U^) ^ ^)^. ^ ^ ^-. fU).

33



задача свелась к нахождению минимума обычной функции -fW:

n'J) - ^^°6 А__ /,

\{^~~^^~ ~^^ ^0 -

(^^)(^1)^-2-(2^-Y)^0 ^

U -г) (^3^ з^ ^ з^ + /) -7 о^ = ^.

Нетрудно показать, что при +{2) ^ /^-п г(0^/ ^ Итак, ь.^ -УГ^-^^,-^0^ ^^> ^ З";

решение задачи будет: и=- ое^' Рассмотрим семейство кривых (см.рис.8):



у f^ jc^ = y^ + с/. ^ ^ , где ^ ^ -произвольная функция, но ц (зе^)^ И (v.s.}~-C> (см .рис. 9).

'.( - i A

Тогда при малых об для кривых L/(o[^oc,) интеграл (1) будет принимать значения близкие к минимальному и зависит от параметра^:

.Vi

(з)

Если мы предположим, что функция у^ доставляет минимум J^v, то необходимое условие минимума будет: ^/,

oL-JW

^^ ^

Продифференцируем (3) по Л:





dl. ? d^d-r,- Тг C)F •^ ^ эр •^7,/

~си ~ J ^г^-J l &r й-+ у cSrJ^ ~-

я< yf q v

~- t^rt^rt'^-

34

Имеем:

.Г;. ^

JVt>^- i^^

Л'« JC< -ха /2г

- Fn' v ^ - ( ^

Поэтому:

^ - ( Г F' ^ F' 7 и/ )У

^^-J Lf^^^J^)^-

л/

-h^ri.-^^^o ®.

'VI.

/ ®

Законность перехода -^ обуславливает следующая основная лемма вариационного исчисления:

Если Ф(^) , ^) непрерывны на JZ У<; % 7

и^Н^-^ то из

У

J^?^^A^--^



вытекает, что ^(ус) = <9 при ^ ^ у ^ СР^ .

35


В нашем случае: р^у^ч- ^и , pi,/ -- ^у , поэтому и получим с. _ сл . с,/ = О ^ ^ - -^г (о-^')^

и"^ л. ^у'^^х+^ , ц^ л^е^^-с^ ;

уо).о^Го^^^^ , ^-^=о ^(<)=.t Z^^ ^ + ^=3

отсюда у = ^ - решение. Таким образом, наше решение совпада­ет с решением полученном из самого определения минимума функционала. Следует подчеркнуть, что решение краевой задачи (5) не является триви­альным и разработка методов решения вариационной задачи (1) весьма ак­туальна.
Доказательство (от противного). _ _ Пусть ^(^^О ^ ^(^)7У>0 при Л^^ж^з^

ПОЛОЖИМ ({X.- Зй)^^- Хг) ^ "Р" Зс/^ Зе^. Д^

^ (-) = ^ о при Xf ^ зе^- ДС,,, L у 5с-^ 5с ^ ^.

—t.

Тогда по свойству интегралов [ g>^L [^olx. >0

У.-1

вопреки допущению. Значит ^Р ( ^,) = О. Итак, мы пришли к следующему утверждению:

задача (1) эквивалентна краевой задаче:

^'-^ /У= ° ' ^)^ ^)^ , . (5)

Дифференциальное уравнение /•?/ - ^' F^' ~ u

носит название Эйлера-Лангранжа.

Решим пример (2), сводя к краевой задаче (5). ,ii . //// t:' - о,/^

Примеры аналитического решения вариационных задач

f!/l

1) ^ у. / Су-\у' -7^ - о. ^о)= о. ^W- i -

Составим уравнение Эйлера-Лангранжа:

~^-^'^-°- -^~У-° - ^-/ -

и^^и^О ^ Lf ^ C^-w эе^ gl ^ ^;

ffo )= О СО, c^-s 0+ ^ -Л fi о = О Г ^ _

^№)^ " lc. ш^^(^-^%^1 ^ 1 e^i





оставить комментарий
страница2/3
Салахутдинов М.Ш
Дата29.03.2012
Размер0,72 Mb.
ТипДиплом, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх