Дипломная работа icon

Дипломная работа


Смотрите также:
Дипломная работа студента 544 группы...
Настоящая дипломная работа посвящена фольклору русским и чешским народным танцам...
Дипломная работа по теме...
Дипломная работа должна включать следующие разделы...
Дипломная работа по истории...
Дипломная работа по теме...
Дипломная работа...
Дипломная работа...
Дипломной работы  определяется  студентом совместно с его научным руководителем и представляется...
Дипломная работа выполнена на тему: «Ресторанный комплекс при клубе знаменитых людей: ресторан...
Методические рекомендации по написанию дипломной работы Специальность 080...
Методические указания по дипломному проектированию дипломная работа по учебной дисциплине...



Загрузка...
страницы:   1   2   3
скачать
Казанский государственный педагогический университет.

Дипломная работа

«К решению нелинейных вариационных задач».

выполнил студент 151 группы математического факультета

Салахутдинов М.Ш.

Научные руководители:

КФМН, доцент

Сайфуллин Э. Г.

Ст. Преподаватель Хисматуллина Н.Г.

Казань -1999.

ВВЕДЕНИЕ

Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремаль­ных задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных за­дач, которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построе­ния математических моделей экономических задач и их решения.

В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом - на основе известных неравенств: среднее ариф­метическое не меньше среднего геометрического. В случае равенства сум­ма принимает минимальное значение, а произведение достигает макси­мального. Рассмотрены экстремальные значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением производной.

Далее рассматриваются основные понятия о задачах математическо­го программирования: транспортная задача линейного программирования;

задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмот­рены задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции; случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).

Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты приведены в приложениях.

Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и мето­дам их решения.

Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.

Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной за­дачи. Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных разностей, которая не решается аналитическими приема­ми. На основе этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные ре­зультаты приведены в приложениях.

Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности ме­тода Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов весьма актуален.

Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом приближении.

В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания экстремума функции одной переменной. При этом про­цедура нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь при­ближенными методами. Сравнительный анализ численных результатов по­казывает надежность метода. Основная ценность этой модификации в ре­шении существенно нелинейных задач.

В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рас­смотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается дву­мерная задача.

^ I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1. Определение экстремума элементарным способом

Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются не­равенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:



^ ^

С-г I

где среднее арифметическое больше или равно среднего геометриче­ского, что очевидно:

°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS-fT)\0

Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого нера­венства решаются задачи на экстремум:

1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.

Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __ о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = а——

При 0-^0

т.е. ?< = А-У — Х= ^/^

2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр ^ Р и наиболь­шую площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) . Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=а =- -Р/^

3) Положительное число л представить в виде произведения поло­жительных множителей X и С^/у)так, чтобы их сумма была наименьшей.

Речение • /-Ссихт-сх. х ^al<- m-t,n, f х+ ух J . Эше-тб cl^ X,

g= ^узс •, ^и-^ (Cl+^)= 2--SS'.

при х^ /у. -^ X ^Р ^ ^= ip

Значит ^ — р - t-7 ^ L Х+ ^--1 - ^^ Г -/Р^- ^ J ^. JP7

4) Найти минимальное значение функции t/ = Х + /X , т.е. сум­мы А-^- /^ ( Х 70^)

m-Lrb ( х -/- ^< ^ 2 / Х-^( = ^ или при Л = ^ ^ ^ =^ тогда . /

г^п. (Х^- Ух) =- /^ // -^

5) Найти при УЮ ,CL70,o-70 наименьшее значение дроби

77 i (ol-i-x)c 6+Х-}

^ Р f)

Решение- iQ^Lli&tl) = Q10- 4" y +-cl+o если сумма У ' у х

CL 4-6 .- ' /- /-

•—.-— + х принимает наименьшее значение и дробь будет наименьшей, т.е. при а,' & ^ у ^ у,2 ^ cl-u ^' Х^УЛ-о

(о-^)^) х (а^ {лУ ) ( & г /аТ) /_ /^,2 ^ ^—— -- ————^у————— -(/^Ч&;

Итак, мы привели задачи, для решения которых использовали нера­венство Коши для двумерного случая. Переходим к рассмотрению этой за­дачи в общем виде.

1.2. Соотношение между средними величинами. Определение экстремума суммы и произведения из неравенства Коши

Пусть имеется несколько неотрицательных чисел Ct^CLs.,, .., 0^. . Будем считать, что они пронумерованы в порядке возрастания, т.е. О/ ^О-л. ^ ^ ^л- • Средней величиной для этих чисел называется всякое число О. , удовлетворяющее неравенствам и/ ^ й- ^ 0^ • Вообще говоря, средних величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средних величины, наиболее употребительные в математике:

1. Среднее арифметическое: /U = -°-^ ах- ^ •" + л>\- 0)

~t -L < П-

2. Среднее геометрическое: jl^ -•^ Q.^-CLa.-,„ ' Л^. (2)

3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^..^ Уси (3)

4. Среднее квадратичное: -: \ О-^-ь О-а- +^•• -^ ^ (4) ^ v п-

Наша задача состоит из двух частей:

а) доказать, что числа А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние величины для СЬ, О-а., - •-, 0^- ,

б) установить неравенства между ними.

В выражении (1) заменить все йс ( L r // ^ • -, п-) самым наи­меньшим из них Л< ; получим М^ ^ Д< . В выражении (1) заменим все СШ наибольшим из них OLr^ ; получим -/У/ l^ Cin. .

Итак:

Аналогично доказываем неравенства:

а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .

Справедливы следующие неравенства:

^ ^ ^-^. ^-л^

^ ^УЧ^ - ^а/-с^-... •а^ '^ q^^^-^q^ ^ -

п-

и причем неравенство возможно только при (Xt •= 0-f. ^... ^ CU^. В случае ^-^2 - {07~а! ^ ^ ^g2- .

Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге. Там же приводится доказательство

Я^ ^УЧ.2 , -Л^ ^-^

1.Если г\ = Ct-f ^-Ол-^-...+• ftn. , то максимальное значение О^-О.г,--^ достигается при ol< ^ CLa. s.. ^ ^. = ^ /^ ,

^(a,.cu-..-^)-^-^-...-^A-W.

2. Если Р= ^< • ds.' •.. ' Л^ , то минимальное значение (а^ <^^-" ^^'-у достигается при CUf Ол^'-- =" <2и. '= ^УР,

r^^ fo/+C?^+,„^Q^^ /Z-'lfP1.

Рассмотрим частную, но практически важную задачу. Задача 1

Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом \/~, чтобы сумма его изменений была наименьшей. Дано: а-гО^-й^^ У _^ .найти min. ( Qfi-Qii-Cts ) При СИ = 0^ - 0-5 = v^

rvuLn, ^С?/-ка,1+-^).=3' v , т.е. ребра куба равны v Г .

Более подробное изложение приложений неравенств к элементарно­му определению экстремумов более подробно изложено в книгах .

1.3. Об экстремальных значениях квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен ^-=-а-х. +6-Jc.-f-c , а. ^ о, представим в виде: -У ^ а ( х-f- &/2а. ) 2 -f- ( с - ё г/^^) Возможно 2 случая:

О- -70 и ol^-o .

1. О. 70 , ^гъ У^ С - ао. ^и. ^^~°/2о. 2 clz.o, л^ах ^=- С- ^y^ci, г^/усс ж ^ - %cl

Примеры: / 9 ,

1) ^^•г- 6'зс -^/^^ te-з;^^ / ^•^ ^=^ ^с де^.

2) У---^^S^-У^-2(^--%):LS//^^CL)( У-^/Р п^с ^-Х

Рассмотрим частную задачу, которая играет ключевое значение в теории оптимизации.

Задача 2.

Даны числа Ci^, Ci^, ..., Ctn. . Найти число У такое, чтобы сумма / v2 / ,0 / ,2

^п.^ (х-а^)-(-(у-а^)-^,., ч-(^~с^)

имела наименьшее значение. S^ ^•K2-2•(Q^t-CL^-^<^)'X^(Oцi1-Q.^,„^ll^ )^

. ^. ( х- ^^-^) \А, ^ 'А-^^)^^^-^ rv^rv ^^А ^сс эс= ((^+(^f-,„^a^)/h. .

Здесь мы рассматривали лишь простейшие примеры решения задач, с бо­лее сложными задачами можно ознакомиться по литературе.

10

1.4. К решению экстремальных задач с применением производной

Введение изучения производной в школьный курс открыло возмож­ности более глубокого изучения вопросов физики, рассмотрению приклад­ных задач. И задачи на экстремум функции начали рассматриваться с об­щей точки зрения. Например, нахождение экстремума трехчлена = а х2-/- ё х + с =T'fxJ рассматривается при помощи производной:

^= 2.dsei-e^0 ^ r&- -S/2а-критическая точка, при этом если у4. (^+^)^-2oi£>o ^ ^ (е-(-^) = 2ае^о, п^>

г^с^ У- У (- ^/2о.)^ иначе г^гъ У=^(~ wq,) .

В пункте 28 [1] хорошо изложены правила нахождения максимальных и минимальных значений функций.

Однако при решении некоторых задач применение элементарных способов более эффективно, чем применение производной. Например, за­дача № 367 решается очень просто элементарным способом:

Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы произведение было наибольшим.

Решение: Пусть U - данное число, а X - одно из слагаемых. Из усло­вия ^а^ L X^-^J только при Y= О-- Х .находим Х= °-/S .Об­общение этой задачи, решаемое в вузовских курсах при помощи экстрему­ма многих переменных следующее.

Задача 3. Положительно^число OL требуется разбить на П. неотри­цательных слагаемых так, чтобы и произведение было наибольшим. Если <Х данное число, то ft слагаемые будут Я?у, ,„, Д?п-/ ; Ci-( Хг^-,„ч- ^.i). При этом произведение Лу- S?s. •,.,' Хц^' L О. -(х/ ч- ,„ ^ ЗСл.^ ) 3 достигает максимума при Эрг ^ Хл = ,„ = X^.f ^ CL ~ {'У-f -+,., -<• Хп - /) . Отсюда у,-= Ci-fn-()Vf ц ^= ^/п ,т.е. все слагаемые равны ^/г. . А решение этой задачи при помощи экстремума функций нескольких переменных весьма затруднительно.

15

1.6. Экстремальные задачи в неполной средней школе

В курсе математики V - VI классов учащимся нередко приходится решать задачи, в которых допускается несколько или даже много решений, причем далеко не всегда равнозначных. В таких случаях можно ставить дополнительный вопрос: найти наиболее выгодное решение, т.е. решать экстремальные задачи. С такими задачами приходится сталкиваться при изучении следующих разделов: "Неравенства", "Площадь и периметр пря­моугольника", "Натуральные числа", "делимость натуральных чисел".

Поскольку ученики V-VI классов встречаются с двойным неравен­ством, то в этих классах методом оценки можно решать задачи на нахо­ждение наибольшего и наименьшего значения линейного выражения a. y-h^ где /ч^эе^/г (лги/?.- целые неотрицательные числа, ^г- /• п- ).

• -'' ' ^

Задача: Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работни

ками по следующему правилу: по 5 копеек за каждое слово и еще 20 копеек за отправку. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если количество слов в теле­грамме определяется решением неравенства: /^ х- ^ ^0 ?

Решение: решение сводится к нахождению наибольшего и наимень­шего значения выражения S'x-^-20 , если //^ а? ^^ , л GСначала можно предложить вычислить значение выражения при несколь­ких значениях переменной, взятых из промежутка ^ ^ х ^ ^ . Замеча­ем, что сумма будет наибольшая, если слагаемое -Ух будет наибольшим, т.е. будет равно 5*40и наименьшим, если слагаемое .^ будет наимень­шим, т.е. будет равно 5*17.

Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и периметров представляют очень большой интерес. Решение этих задач в V-VI классах методом оценки формирует первое представле­ние о максимальном произведении при постоянной сумме двух перемен­ных и о минимальной сумме при постоянном произведении.

Задача. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, и вычислите его площадь.

Решение: оформим в виде таблицы:

16

периметр (см)

36

36

36

36

36

36

36

36

36

длина (см)

17

16

15

14

13

12

11

10

9

ширина (см)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

площадь (см )

17

32

45

56

65

72

77

80

81


Вывод: SHaH6.=81cM при й.=6=.9см

Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы по­могает лучше видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоян­ной площадью.

Остановимся на решении экстремальных задач в разделе "Натуральные числа". Здесь на первом этапе решаются самые простые за­дачи, где число рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию работы, требует меньше времени и создает хоро­шую возможность детям увидеть особенности применения метода перебо­ра к решению задач.

Задача. С помощью цифр 5,2 и 7 напишите все трехзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Среди этих чисел найдите наибольшее и наименьшее число

Решение: Это есть числа 527, 572, 275, 257, 752, 725. Наибольшее из них - 752, наименьшее - 257.

На первый взгляд кажется, что это очень простая задача, но она несет большую теоретическую нагрузку. В жизненных и производственных си­туациях часто приходится встречаться с задачами, которые допускают много различных решений. Решение экстремальных задач в курсе алгебры проходит в два этапа.

На первом этапе рассматривается неопределенная задача, текст кото­рой переводится на математический язык в виде неопределенного уравне­ния (функции), которое допускает много или бесконечно много решений.

На втором этапе по тем или иным признакам, которые заданы в яв­ном или неявном виде, определяется, какое из решений задачи наиболее выгодно.

1. Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме "Линейная функция". Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линей­ной функции ^= к-х, •+• о , где ^ и о - постоянные. Если эту функцию рассматривать на сегменте L^) J3>.3 , то она будет иметь на нем наимень­шее и наибольшее значения. При ^>о наименьшее значение у принимает

17

в точке л;= t/ , а наибольшее - в точке л'=/; при H^o функция У в точке Je-=<^ принимает наибольшее значение, а в точке л'=^ - наименьшее.

Задача. Расстояние между двумя шахтами А и б по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200т руды в сутки, на шахте В - 100т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наи­меньшим?

Решение: Выясним, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению за­дачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

А С ^ ж ; 6С= 60-х- Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 ткм, а от В до С - 100*(60-JC) ткм. Суммарное количество (ткм) выразится функцией

f^^pOx.-^ {0£>( ео-зе.)-^ ^оОх. т- ёооо, д которая определена на сегменте L. О , 60.1.

ysssas-SL...^- ,,-..^<=--„—--„.™——-, Ясно, что это уравнение может иметь А (- ьи—^ в

бесконечно много решении.

Исследуя функцию У= -foOx + 6000 на сегменте Г о j bo], получим:

^г^п, "s Gooo . Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при ^ ^0, !/^„ = 6cw?TKM. Завод надо строить возле шахты А.

2. Решение задач по теме "Квадратичная функция" сводится к иссле­дованию квадратного трехчлена, поэтому при их решении используются приемы выделения квадрата двучлена или свойствами квадратичной функции.

Задача. Предлагается сделать ограду для квадратного участка земли со стороной 20м или прямоугольного участка земли , основании которого на несколько метров больше, а высота на столько же метров меньше. Сравните площади, периметры квадрата и пря­моугольника.

Решение: Поскольку сторона квадрата 20м, то Р =80м, s5 =400м2 Если бы одну сторону квадрата уменьшить на X метров, а другую увели­чить на Х метров, то Р= -?• (20+ к)ч- 2 • (Ю~ У), S = ^00-х. -? -fc ^СЮ

С^ ^

J наиб. =400//при jc=o . Следовательно, наибольшую площадь из всех прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет квадрат.

18

Достаточно много экстремальных задач можно решать при изучении темы "Квадратный трехчлен". К исследованию квадратичной функции на экстремум сводятся многие задачи экономики, физики, техники, алгебры.

Рассмотрим функцию, заданную формулой (/.^биг^юл. + с , где а., ё,с, - некоторые числа, причем о. ^ о , п. - переменная, п- е ^ Если -- ^/2а<:Д/, то при п.= -^/зл. данная функция принимает экстремальное значение. Если -%а> ^ и { /2а\^/^ то данная функция принимает одно и

- •/ /<й ^ц ,/ fft ./

то же экстремальное значение дважды: при ^\-•=•~^72Q.i•/2 "• Л^~у2сг ~- /2 . Если - ^/2о, ^ \ , то данная функция принимает наибольшее ( наименьшее) значение всегда при п. =. i .

В остальных случаях данная функция принимает экстремальное зна­чение при натуральном п, которое ближе расположено на числовой прямой к числу - &/^ .

Среди задач на оптимизацию есть задачи, которые могут быть ис­пользованы как на уроках алгебры, так и на уроках геометрии. Это объяс­няется тем, что с точки зрения^ содержания они геометрические (сформулированы в геометрических терминах), а по методу решения это задачи алгебры (они сводятся к определению экстремума функции мето­дом опорной функции).

Задача. Найти максимум произведения лу^ , если х- ^ .^ ^JL -^ { о. с> с.2'

Решение: Найдем максимум произведения -х -"— ' -fc— , т.к. зсл/i а2- У с.3 (J

у 22

максимально при тех же условиях, что и -•х . у -. z—. По уело -

а.-2- ^ eQ -

л5- у2 г2 ,

вию —— + -^- ^ —з- = < , тогда должно выполняться равенство:

Тг^- Ч^ ? ^ • J£ У 2 ^

-a-s" :: g7- = ~сТ или -а"^ '^^'с'^ уу . Т.к. сумма слагаемых постоянна, то их произведение будет наибольшим когда они равны. Тогда m-OLK (^г}^ л-8-е -- /Г о ее. Ответ: ^•^•^ о

m-CLX (^i) = j^^g <7 ' '

19

1.7. Понятия о задачах математического программирования

Математические модели реальных задач описываются уравнениями, системами уравнений или дифференциальными уравнениями. Но в школь­ном курсе изучаются еще неравенства и системы неравенств, а их прило­жения иллюстрирующих их применение для решения реальных задач от­сутствуют. Для заполнения этого пробела в первых изданиях учебника "Алгебра и начала анализа" содержался пункт "Понятие о линейном про­граммировании". Ниже приведем методику изложения трех основных за­дач линейного программирования для изучения в математических кружках в средней школе.

1.7 Л. Транспортная задача линейного программирования

^ 1. Постановка задачи : Пусть на двух станциях ^4 и /\, сосредоточено

соответственно Ct, и 0.^ тонн груза, который необходимо доставить в пункты 6 , Ь-г., В,, в количестве I,, ^д , ^ , соответственно. Стоимость перевозки 1

тонны груза со станции у1, в пункты В,, Вд, &з составляет Сц , С^, G^ рублей

соответственно. Аналогично - стоимость перевозки со станции Л>в пункты В/, bj, б»з составляет G, , С^ ,Сщ рублей. Требуется организовать перевозку так,

чтобы общая стоимость этой перевозки была наименьшей. Все данные

представим в виде таблицы 1.

^^

/•"^

В/

fi.




^

Кол-во от­правленного

t ^^^










груза







е^




(^

(^




А,

^




^2




^3

й<







Сг/




С??

Сгз




А.

х„




^2




•Ггз

ft,

Кол-во до­ставленного

&<

^

^




груза








Таблица 1

20

^ Математическая модель задачи

Обозначим через -^-количество груза, перевозимого со станции aj в пункт 6^ . Тогда общая стоимость перевозки будет + При этом Jl^t .?. о и удовлетворяет условиям:



^ с/, х„ ^ е^ ^ ^... ^ ^з -г^ - и и е^; (<) ^ с^ ^/

'S ^ ^CU Г ^ ^ ^ ^ •2?<5 = Ог

^ т.ч. \ ^-f-Xss. -f-^.^CLi . ^-- ^ \ ^^Х,, =^ (2)

Л/2 + ^22 = Ьг

^ Зеез, ^ Д-^з = &

Итак: найти неотрицательное решение системы уравнений (2) дающее минимальное значение линейной формы (1).

^ Решение задачи (частный случай) Пусть 0{ -- 200, Лг. = /60 ^ ^ = f^O , & = 90, ^ = W,

Сн - б , С ^ = ^ С^ = 2 , С,, = S, С^ - J, ^з -= 2.

Для удобства обозначим -IV/ = » -^/'a := t/ . Тогда из (2) и условия задачи получаем следующую систему неравенств:

Г X г0, У 7^0 , Х,л ^CL-( Х„ + Х^ ) = & - (^-+У) ^0 ' .У^^-ге^, Хаг ^&-^?^,

^2.^^^^/-^^)= ^2-^-&^ (^.^^>

В нашем случае оно примет вид:

' З^У.О^г.О Г О ^ эеf^ ^0

^у^2^ ^ ^^у^^ ^/;

^^^0,^^90 ] / JC^y^-У^ 1^^ ^^^У^^6?0

Тогда: -^ S^-h^^f-h 2- lsoo- (y^J -^S L W- X. J + + 3 ^^-^ + ^ L~ Юч- зе^З ш^ А зе^У + ^30 U f)

i Решение системы неравенств (2 ) будет выпуклое ограниченное

множество М. Рис. 1, а линейная форма т= х^У ^230 принимает при этом минимальное значение на стороне C^6J множества J4., т.е. на прямой

"я^^ЧО Здесь решение задачи есть множество точек отрезка пря­мой Г^З . Итак, мы можем взять любую точку на прямой х+-У= Ю . Возьмем, например, точку A (f0',o) , т.е. 'JC-^OC^ Ю, У^О . Тогда

а?/з = ^0 , Хц ^ f0 , Лгг ^ 90, Х^ъ =0.

21

При этих значениях таблица 1 - принимает вид:

^^ь.

,4;-^



В.

Вз

Кол-во от­правленного груза

А,

Ю

о

f30

^00

Аг

40

90

о

/60

Кол-во по­ставленного груза

1^0

90

/зо








При такой схеме перевозок затраты на них будут наименьшими и равны 1300.


22

1.7.2. Задача о рационе

1. Поставка задачи

Пусть известно, что животному ежедневно надо выдать о^ единиц жиров В/ , ш - углеводов Вг , V, - белков В^ . Для откорма живот­ных можно закупать 2 вида комбикормов. Единица веса первого корма dy содержит <2// единицы вещества K-f , d/г. единицы вещества В^ и <2/а единицы вещества , а стоимость ее равна 0^ , С^ц , <^гл и Сц . Требуется составить рацион, при котором была бы обеспечена суточная потребность вещества вг , при чем стоимость ее была бы наименьшей.

Все данные поместим в таблице 2.

Виды корма

Белки

Жиры

Углеводы

Стоимость 1-й единицы

I

ft/< 2

CLfz 3

^<з ^

^

II

^ /

CL^ tt

^ f

е.




6< 6

^3. f2

^ ^





Таблица 2

Математическая модель задачи

Пусть 1\- количество первого вида корма, х^ - количество второго вида корма, получаемого животным за сутки. Так как животное может по­лучить питательных веществ больше нормы ^ , то очевидно:

(Ц.^^^ , '^--f^.s.

с--Г

(3)

Общая стоимость кормов, затраченных на одно животное будет:


(4)
т= C\x^C^Xs =

i^ W Итак, математическая задача формируется следующим образом

23

Найти неотрицательное решение системы неравенств (3), дающее минимальное значение линейной формы + = C-t з^ + Сг ^-а. . Выраже­ние для + называют линейной формой потому, что в него не входят члены со степенями выше первой и произведением -с, и 3^.

^ Решение задачи (частный случай).

Пусть g/=6", 8>^f2, ^д=^ 0,^2 , Q^ ^, ^a ^/ ^ ^ gs.^ =^

CZ^i = / ,




оставить комментарий
страница1/3
Салахутдинов М.Ш
Дата29.03.2012
Размер0,72 Mb.
ТипДиплом, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх