Методические указания к выполнению лабораторной работы №4 «Cтруктурные модели и их применение» по дисциплине

скачать Федеральное агентство по образованию РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ _____________С.А. Гайворонский «___»_________________2008г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ Методические указания к выполнению лабораторной работы № 4 «Cтруктурные модели и их применение» по дисциплине «Математические основы общей теории систем» для студентов направления 010500 «Прикладная математика и информатика» Томск 2008г. УДК 681.513.2 Математические основы общей теории систем. Методические указания к выполнению лабораторной работы № 4. «Cтруктурные модели и их применение» по дисциплине «Математические основы общей теории системе» для студентов направления 010500 «Прикладная математика и информатика». – Томск: Изд. ТПУ, 2008. - 10с. Составители – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин Резензент – доц. канд. техн. наук В. Г. Гальченко Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению методическим семинаром кафедры прикладной математики «___»_________2008г. Зав. кафедрой Проф. д-р физ. -мат. наук _________________Григорьев В.П. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 4 ^ Тема: структурные модели и их применение 1. Цель работы Цель работы – изучение способов построения структурных моделей систем и их исследование. 2. Основные теоретические положения ^ Пусть дана передаточная функция системы . (1) Ее можно представить в виде , (2) где - корни характеристического уравнения , (3) которые могут быть действительными или комплексно-сопряженными. Рассмотрим элементарную передаточную функцию . (4) Характеристическое уравнение имеет действительный корень . Звено системы с передаточной функцией Wа(p) называют апериодическим или инерционным. Из (4) следует, что . (5) Этому уравнению соответствует структурная модель вида (рис. 1). Рис. 1. Структурная модель элементарного апериодического звена Математическая модель, описывающая данное звено имеет вид E(p) = U(p) - Y(p), Y(p) = E(p)/p ---> E(p) = pY(p) ---> pY(p) = U(p) -Y(p) ---> (p+)Y(p) =U(p). Передаточную функцию апериодического звена часто приводят к виду, когда свободный член в знаменателе равен единице . (6) Величину Та принято называть постоянной времени, а k - коэффициентом передачи апериодического звена. В данной схеме k = Tа = 1/. Рассмотрим структурную модель колебательного звена, представленную на рис. 2. Рис. 2. Структурная схема колебательного звена Передаточная функция колебательного звена записывается в виде . (7) При а1 = 0 она принимает вид . (8) Характеристическое уравнение p2+а0=0 имеет чисто мнимые сопряженные корни , (9) а реакция звена на ступенчатую функцию на входе представляет собой незатухающие гармонические колебания с частотой . Таким образом, коэффициент а0 равен квадрату резонансной частоты колебательного звена. При а1 # 0 характеристическое уравнение имеет корни . (10) При а1/2 < они становятся комплексно-сопряженными и для них удобнее записать выражение . (10) Частоту называют собственной. Она проявляет себя в виде частоты колебаний на выходе звена при ненулевых начальных условиях или при подаче на вход звена единичного ступенчатого сигнала . (11) Таким образом, коэффициент модели а1=2=2 равен удвоенному коэффициенту затухания . Параметр называют степенью затухания, а - коэффициентом затухания. Передаточную функцию колебательного звена часто приводят к виду со свободным членом в знаменателе, равным 1: , (12) где T = 1/ - постоянная времени колебательного звена; k = T2 = 1/a0 - коэффициент усиления колебательного звена. Структурная модель, представленная на рис. 2, реализует два сомножителя вида соответствующих паре комплексно-сопряженных корней . Таким образом, запись передаточной функции в виде произведения дробей рассматривается как еще одно аналитическое представление системы, но в виде последовательно соединенных элементарных звеньев. В случае действительных различных корней передаточную функцию системы можно представить в виде суммы n слагаемых . (13) Коэффициенты ri находят как вычеты функции комплексного перемен­ного W(p) в полюсах или рассчитывают методом неопределенных коэффи­циентов. Такая модель непосредственно соответствует аналитической записи общего решения как линейной комбинации частных решений, опре­деляемых корнями характеристического уравнения в виде , (14) где ci - коэффициенты, рассчитываемые по начальным условиям. Эта модель удобна для графоаналитического расчета переходной характеристики системы как суммы переходных характеристик входящих в ее состав типовых звеньев. Структурная модель системы для такого случая приведена на рис. 3. Рис. 3. Структурная модель системы в виде параллельного соединения элементарных апериодических звеньев По структурной модели системы можно записать систему дифференци­альных уравнений первого порядка (15) или в развернутой матричной форме (16) В компактной матричной форме система уравнений примет вид , (17) где X(t) - n-мерный вектор состояния динамической системы; - диагональная матрица собственных значений размером n*n; R - n-мерный вектор управления. Матрица связана с матрицей А соотношением , (18) где Р - матрица Вандермонда, а вектор X(t) связан с вектором Z(t) соотношением . (19) Матрица Вандермонда имеет вид . (20) Таким образом, структурная модель, представленная на рис. 4, соответствует канонической форме аналитического представления математической модели системы с действительными различными корнями характе­ристического уравнения. При наличии комплексно-сопряженных корней к этой модели надо прибавить колебательные звенья, вид структуры которых приведен на рис. 4. Рис. 4. Структурная модель колебательного звена В случае кратных действительных корней можно использовать модель, показанную на рис. 5. Рис. 5. Структурная модель для кратных корней Коэффициенты ci для этих моделей удобнее всего рассчитать методом неопределенных коэффициентов. В матрице колебательным звеньям соответствуют элементы вида . ^ 3. Исходные данные Варианты заданий коэффициентов исходного дифференциального уравнения а0"(t) + a1y'(t) + а2(t)y(t) = b0u(t ) приведены в таблице. Таблица 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b0 a2 a1 a0 0.5 1 0.6 0.4 0.6 1 0.8 0.3 0.7 1 0.7 0.5 0.8 1 0.8 0.2 0.9 1 0.9 0.4 1 1 0.8 0.4 0.9 1 0.8 0.5 0.8 1 0.7 0.3 0.7 1 0.8 0.25 0.6 1 0.8 0.12 0.5 1 0.6 0.1 0.4 1 0.9 0.3 ^ 4. Порядок выполнения и содержание работы 4.1. Составить структурную модель системы из последовательных звеньев. 4.2. Получить передаточную функцию системы W(p). Определить резонансную частоту колебаний (при a1 = 0), собственную частоту колебаний , степень затухания , коэффициент затухания , посто­янную времени Т и коэффициент усиления k колебательного звена. 4.3. Запустить пакет программ ТАУ-1 на диске Х в разделе tsoft\TAU1 файл taу.bat. Набрать структурную схему в программе CONTROL. 4.4. Провести исследование влияния коэффициента затухания на харак­теристики системы (уменьшение и увеличение коэффициента а1 относительно заданного в два, четыре раза, включая а1 = 0.). По кривым переходного процесса определить собственную частоту коле­баний, вынужденную частоту колебаний, установившееся значение , время установления (tуст=t, при котором abs(y(t)-yуст)<0.1yуст и перерегулирование = (уmax – yуст)/ууст*100%. Снять АЧХ, по ней найти Аmax и час­тоту пропускания при A() = 0.1*Amax, выписать таблицу корней характеристического уравнения. 4.5. Построить графики зависимостей ууст, tуст и от коэффициента а1. Найти взаимосвязь между переходными процессами, корнями характеристического уравнения, АЧХ, ууст, tуст и . 4.6. Представить W(p) в виде суммы элементарных передаточных функций. 4.7. Составить структурную модель системы из параллельных звеньев. 4.8. Составить математическую модель системы в матричной форме. 4.9. Найти решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и единичном входном сигнале любым известным Вам способом, построить график переходной характеристики и сравнить с результатом, полученным в пункте 4.4. 4.10. Найти решение исходного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и единичном входном сигнале, начертить график и сравнить с результатами, полученными в п.4.4 и 4.9. 4.11. Найти переходную характеристику системы по теореме разложения и сравнить с результатами п. 4.9. ^ 5. Контрольные вопросы 5.1. Как влияет форма представления передаточной функции системы на вид уравнений состояния? 5.2. Как влияет коэффициент а1 на параметры переходного процесса? 5.2. Какова связь между параметрами переходного процесса и корнями характеристического уравнения? 6. Требования к отчету В отчете должны быть представлены: цель работы, структурная схема системы, исходные данные, результаты переходных процессов, полученных с помощью передаточной функции и матричной модели, выводы. Литература 1. Основы автоматического регулирования и управления. Под ред. В.М. Пономарева, А.П. Литвинова, М., Высшая школа, 1974 г. 2. Справочное пособие по теории систем автоматического регули­рования и управления. Под ред. Е.А. Санковского, Мн., Вышэйш. школа, 1973 г. Скачать 85,97 Kb. оставить комментарий Дата 29.09.2011 Размер 85,97 Kb. Тип Методические указания, Образовательные материалы