Учебно-методический комплекс по дисциплине «информационные технологии в математике» для дневного отделения специальность icon

Учебно-методический комплекс по дисциплине «информационные технологии в математике» для дневного отделения специальность


Смотрите также:
Учебно-методический комплекс по дисциплине «история политических и правовых учений» (для...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «проектирование информационых систем» для дневного...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «теория и методика обучения математике» (для дневного...
Учебно-методический комплекс для студентов специальности «Реклама» Санкт-Петербург...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «информатика» для дневного отделения...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «программное обеспечение эвм» для дневного отделения...
Учебно-методический комплекс по поддержке курса «информационные технологии в математике» 2...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информационные технологии в управлении»...
Учебно-методический комплекс по дисциплине...
Учебно-методический комплекс для студентов дневного и заочного отделения по специальностям...
Учебно-методический комплекс по этнологии для дневного отделения Составитель...
Учебно методический комплекс по истории древнего мира для дневного отделения...



Загрузка...
страницы: 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14
вернуться в начало
скачать
^

ЛЕКЦИЯ №4. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ



Вопросы:

  1. Задача Коши.

  2. Символьное решение линейных дифференциальных уравнений.



Введение

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко применяется в практике научно-технических расчетов. Хотя линейные ОДУ могут иметь решения в виде специальных функций, многие физические системы нелинейны и описываются нелинейными ОДУ, не имеющими аналитического решения. В этом случае приходится использовать численные методы решения ОДУ.

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой.


§1. Задача Коши

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом: пусть дано ОДУ:



(1)

и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2, ..., yn решения уравнения в точках x1, x2, ..., xn. Чаще всего хi = x0 + ih, i = 0, 1, ..., n, где h - шаг приращения переменной x, n - число интервалов решения с шагом h.

Рассмотрим здесь две группы численных методов решения задачи Коши: одношаговые и многошаговые.

Одношаговые методы

Одношаговые методы - это методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Простейшим из одношаговых методов является метод Эйлера:

, i = 0, 1, ..., n - 1.

(2)

^ Метод Эйлера имеет невысокую точность (порядка h).

Для достижения более высокой точности (порядка h4) используют метод Рунге-Кутта четвертого порядка:

, где








(3)

Многошаговые методы

В многошаговых методах для отыскивания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек.

Пусть найдены значения в четырех последовательных точках. При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части уравнения (1) . Тогда схему метода Адамса можно представить в виде:

, i = 3, 4, ..., n - 1.

(4)

где конечные разности в точке имеют вид:



(5)

Решение задачи Коши средствами Mathcad

Инструментарий для решения ОДУ (систем ОДУ) различного порядка в Mathcad представлен широким спектром встроенных функций, например, rkfixed - методом Рунге-Кутта (rk) четвертого порядка с фиксированным (fixed) шагом интегрирования.

rkfixed(y, a, b, n, D)

Возвращает матрицу с р + 1 столбцами и n + 1 строками (р - количество уравнений или порядок уравнения, n - число шагов на интервале [a, b]) - таблицу решений системы: первый столбец - это значения аргумента х, а последующие столбцы - значения ординат решения. y - вектор начальных условий размерности n. D(x, y) - функция-вектор из n элементов, содержащая первые производные неизвестных функций.

Можно решить задачу более точно (более быстро), если уменьшить шаг h там, где производная меняется быстро, и увеличить шаг там, где она ведет себя более спокойно. Для этого предусмотрена функция Rkadapt (adaption - адаптация). Аргументы и матрица, возвращаемая функцией Rkadapt, такие же, как при rkfixed.

Краевые задачи

Краевая задача формулируется следующим образом: пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение дифференциального уравнения (для простоты изложение будем вести на примере ОДУ второго порядка):

, при граничных условиях у(а) = А, у(b) = В.

(6)

В этом случае Mathcad предлагает использовать функцию sbval, чтобы найти недостающие начальные условия в точке а.

 

Sbval(v, а, b , D, load , score)

Возвращает вектор, содержащий недостающие начальные условия в точке а. Вектор v задает начальные приближения, а, b - граничные точки интервала решений, D(x, y) - функция-вектор с первыми производными неизвестных функций. load(а, v) - функция-вектор, возвращающая значение начальных условий в точке а. score(b, y) - функция-вектор, каждый элемент которого содержит разность между начальным условием заданным в точке b, и значением искомого решения в этой точке.


После того, как эти недостающие начальные условия будут получены, можно решать обычную задачу с начальными условиями - задачу Коши, используя любую из функций, описанных выше.

 

§2. Символьное решение линейных дифференциальных уравнений

Для получения аналитического решения линейных ОДУ в Mathcad необходимо выполнить следующие действия:

  1. Напечатать исходное уравнение, используя операторы дифференцирования и комбинацию клавиш [Ctrl]= для печати символа =.

  2. Отметив независимую переменную, выполнить прямое преобразование Лапласа Symbolic Transforms Laplaсе Transform (Преобразование Лапласа). Результат для ОДУ выше 1-го порядка будет помещен в буфер обмена. Вызовите его нажав клавишу F4.

  3. По результатам преобразования Лапласа “вручную” составить алгебраическое уравнение, приняв обозначения L = laplace(y(t), t, s), C= y(0) и C2 = diff(y(0), 0).

  4. Решить составленное алгебраическое уравнение относительно переменной L, используя команду Symbolic Solve for Variable (Решить относительно переменной).

  5. Отметить переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа Symbolic Transforms Inverse Laplace Transform (Обратное преобразование Лапласа) получить решение заданного ОДУ в виде временной зависимости.







оставить комментарий
страница11/14
Г.С. Сабитова
Дата04.03.2012
Размер1.22 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14
плохо
  1
хорошо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх