План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 icon

План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18


2 чел. помогло.
Смотрите также:
Задача курса: изучить теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго...
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в химии и...
1 лекция. Уравнения с частными производными первого порядка...
Программа дисциплины дпп. Ф. 05 Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными...
Учебная программа Дисциплины б9 «Дифференциальные уравнения» по направлению 011800 «Радиофизика»...
Вопросы к экзамену Методы решений задач математической физики...
Программа дисциплины дпп. Ф. 05 Дифференциальные уравнения...
Вопросы к экзамену по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения»...
Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными...
Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям в частных производных...
I. Общая теория дифференциального уравнения (нелинейного) первого порядка...
Уравнения первого порядка...



Загрузка...
скачать


План

Введение 3

1. Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5

2. Дифференциальные уравнения первого порядка 13

3. Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18

Заключение 24

Список используемой литературы 26

Приложения 27


Введение


В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Дело в том, что математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений. Этим и объясняется актуальность темы курсовой работы.

Целью курсовой работы является определение понятия дифференциального уравнения и рассмотрение дифференциальных уравнений первого порядка.

Для достижения поставленной цели мною были определены следующие задачи:

1. Дать понятие дифференциального уравнения и исследовать общие сведения о нем.

2. Рассмотреть дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Изучить методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Выявить проблемы в применении дифференциальных уравнений первого порядка, подвести итоги курсовой работы и сделать соответствующие выводы.

Практическая значимость изучения дифференциальных уравнений первого порядка заключается в том, что изучении теории дифференциальных уравнений целесообразно начинать с наиболее простого уравнения – с уравнения первого порядка.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи, основную проблему при решении которых представляет составление самих дифференциальных уравнений.

Объектом курсовой работы являются дифференциальные уравнения первого порядка.

Предметом исследования являются методы решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.


^ 1. Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем


Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение (соотношение), связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у’, у,…, у, т.е. уравнение вида:

F(x,y,y’,…, у) = 0.

Далее я буду рассматривать только уравнения такого общего вида, часто называя их просто дифференциальные уравнения (опуская слово обыкновенное).

Порядок дифференциального уравнения определяется как порядок n самой старшей производной у, входящей в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка этой функции в заданное дифференциальное уравнение F(x,y,y’,…, у) = 0 обращает его в тождество , справедливое при всех . В этом случае говорят также о частном решении дифференциального уравнения.

Операцию (процесс нахождения) решений дифференциального уравнения называют еще интегрированием этого уравнения.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой данного уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка F(x,y,yy,…, у) = 0 определяется как задача нахождения решения у(х) этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:





Решение задачи Коши существует не для всех дифференциальных уравнений и несколько ниже я опишу некоторые из них, для которых такое решение возможно.

Если дифференциальное уравнение определяется соотношением:

F(x,y,yy,…, у) = 0,

которое удается разрешить относительно старшей производной у, то я прихожу к уравнению:



называемому дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Именно такого вида дифференциальные уравнения я и буду рассматривать в дальнейшем.

^ ТЕОРЕМА существования и единственности решения задачи Коши.

Если в дифференциальном уравнении



функция непрерывна по совокупности своих аргументов в некоторой области их изменения D и имеет в этой области непрерывные частные производные , то для любой точки найдется интервал , на котором существует единственное решение данного дифференциального уравнения. удовлетворяющего условиям:





Алгоритм решения задачи Коши.

При его практической реализации необходимо сначала найти общее решение дифференциального уравнения, определение которого относится к основным понятиям дифференциальных уравнений и состоит в следующем.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется семейство функций:



зависящее от n вещественных параметров произвольно фиксированном наборе постоянных , такое, что при каждом функция является на (a,b) решением данного дифференциального уравнения и, если заданы какие-либо начальные условия



то найдутся такие значения постоянных , что функция является решением данной задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.

Если общее решение дифференциального уравнения n-го порядка определяется неявно соотношением



то это соотношение называют общим интегралом данного уравнения.

^ Пояснительные примеры, приводящие к дифференциальным уравнениям.

1. Процесс охлаждения жидкости.

Если некая емкость с жидкостью помещена в холодильную камеру. то, предполагая, что скорость охлаждения жидкости в течение всего времени пропорциональна разности температур камеры и жидкости, сам процесс охлаждения жидкости может быть описан посредством дифференциального уравнения следующим образом.

Пусть и = означают изменяющиеся со временем t температуры холодильной камеры и жидкости, соответственно. При этом температура Т(t) предполагается известной функцией (например, она может быть постоянной), а температуру мне предстоит найти.

Поскольку скорость охлаждения жидкости представляет собой производную , то, согласно условию, прихожу к соотношению:



или кратко

,

где k – некоторый числовой коэффициент пропорциональности.

Данное соотношение является дифференциальным уравнением первого порядка относительно неизвестной функции .

2. Расчет численности населения.

Пусть N(t) означает численность населения (страны, города и т.п.) в данный момент времени t. Предполагая, что за отрезок времени средняя скорость изменения численности населения пропорциональна этой численности, прихожу к равенству:

,

где - заданный коэффициент пропорциональности.

Устремляя здесь , получу дифференциальное уравнение:



для определения неизвестной функции N(t).

3. Движение фондов.

Пусть К – величина фондов, определенная, например, в стоимостном выражении. К фондам, в частности, относятся станки, производственные площади и т.п.

С течением времени t фонды изнашиваются, стареют, ломаются, так что величина фондов есть функция К = К(t).

Скорость выбытия фондов за единицу времени обычно считают пропорциональной величине фондов с заданным коэффициентом пропорциональности 0 1 (называемым еще коэффициентом выбытия и отражающим тот факт, что через 1/ лет фонды должны обновиться полностью).

Это означает, что начиная с момента t, в течение времени фонды К = К(t) уменьшатся на величину , т.е.

.

Чтобы предприятие не потеряло со временем свои фонды полностью, в него вкладываются ежегодные постоянные инвестиции I, которые за год увеличивают фонды на величину , где 0 1 – заданная доля инвестиций на восполнение фондов.

Поскольку за отрезок времени инвестиции дадут увеличение фондов на величину , то, учитывая сказанное выше, имею равенство:



откуда



и, устремляя , прихожу к дифференциальному уравнению:



относительно неизвестной функции K(t).

4. Модель Эванса расчета цены товара.

На рынке одного товара рассмотрю функции спроса d = d(t), предложения S = S(t) и цены P = P(t) этого товара в момент времени t.

Предполагая, что скорость изменения цены за промежуток времени пропорциональна (с коэффициентом у > 0) разности между спросом и предложением, прихожу к равенству:



или короче



Устремляя здесь , получаю дифференциальное соотношение:



связывающее цену, спрос и предложение товара в момент времени t.

В качестве первого приближения обычно считают, что спрос d и предложение S являются линейными функциями цены P, а именно:

и

где все числовые параметры положительны.

Учитывая такое предположение, мое дифференциальное соотношение преобразуется к виду:



представляющему собой дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции цены P = P(t).

Еще не решая этого уравнения, можно сказать, что цена P(t) имеет стационарную точку, когда , и значение цены ^ P в этой точке называют равновесной ценой, обозначая ее символом P*. Значение P*, очевидно, равно:



Обращу внимание, что в случае равновесной цены P* спрос и предложение совпадают, т.е. d(P*) = S(P*).

Действительно,



откуда d(P*) = S(P*), что и требовалось.

Таким образом, дифференциальным уравнением называется уравнение (соотношение), связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у’, у,…, у, т.е. уравнение вида F(x,y,y’,…, у) = 0. В первой главе были рассмотрены теорема существования и единственности решения задачи Коша, алгоритм решения задачи Коши. Рассмотренные пояснительные примеры, приводящие к дифференциальным уравнениям, показали практическую значимость дифференциальных уравнений во многих сферах экономики.


^ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка


Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение:



связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y = y(x) и ее производную y’ = y’(x).

Объектом моих дальнейших рассмотрений будет дифференциальное уравнение вида:

или

называемое уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Это уравнение можно переписать и в другом виде:



являющимся частным случаем более общего уравнения:



Последний вид уравнения удобен тем, что переменные х и у входят здесь равноправно, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Частное решение дифференциального уравнения первого порядка определяется как некая функция, дифференцируемая на некотором интервале, и обращающая на этом интервале данное уравнение в тождество.

График решения называют интегральной кривой.

^ Задача Коши.

Решение задачи Коши уравнения y’ = f(x,y) состоит в отыскании такого решения y(x) этого уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию

Геометрически решение задачи Коши означает нахождение интегральной кривой, проходящей через точку (Приложение 1).

Частный ответ на вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши может быть описан следующим образом.

Если в дифференциальном уравнении y’ = f(x,y) функция f(x,y) непрерывна вместе со своей частной производной f’(x,y) в области D, то для любой точки (x,y)D найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Общее решение и общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка представляет собой однопараметрическое семейство функций , заданное на некотором интервале (a,b) и зависящее от произвольной постоянной c, такое, что при любом значении с функция является на (a,b) решением данного уравнения и для любого начального условия найдется такая постоянная , что функция есть решение данной задачи Коши исходного дифференциального уравнения.

Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка определяется неявно соотношением , то это соотношение называют общим интегралом этого уравнения.

^ Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть функция является решением дифференциального уравнения y’ = f(x,y). Учитывая геометрический смысл производной, видно. что для любой точки М = (х,у), расположенной на интегральной кривой Г, определяемой графиком функции , угловой коэффициент k касательной к данной кривой в точке М равен:



Таким образом, в каждой точке М на интегральной кривой Г посредством уравнения y’ = f(x,y) определяется направление касательной к кривой в данной точке (Приложение 2).

Отсюда прихожу к следующей геометрической трактовке дифференциального уравнения y’ = f(x,y) как поля направлений, задаваемого в каждой точке М = (х,у) вектором, выходящим из этой точки под углом по отношению к оси абсцисс и определяемым равенством . Решение же уравнения y’ = f(x,y) определяет интегральную кривую, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи из физики. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующего закона физики и умения переводить физические задачи на математический язык.

Далее рассмотрю применения дифференциальных уравнений первого порядка на примере задачи о законе «естественного роста».

Закон «естественного роста» – это закон, при котором скорость роста вещества прямо пропорциональна его количеству.

Найду формулу для определения изменения количества вещества у в зависимости от времени t, считая, что в начальный момент при t = 0 количество вещества было y.

Здесь независимой переменной является время t, а искомой функцией – количество вещества в любой момент времени. Скорость роста вещества есть скорость изменения величины у в зависимости от переменной t.

Используя физический смысл производной, можно записать закон «естественного роста» следующим образом:

,

где k > 0 – коэффициент пропорциональности.

Решение уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям , имеет вид:

.

Формула и является формулой, выражающей закон «естественного роста». По этому закону, например, происходит «размножение» числа нейтронов в ядерных реакциях, размножение числа бактерий, рост кристаллов, населения и т.п.

Таким образом, дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношениесвязывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y = y(x) и ее производную y’ = y’(x). В первой главе были рассмотрены задача Коши, общее решение и общий интеграл, геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, обоснована практическая значимость применения дифференциальных уравнений первого порядка на примере решения задачи физики.


^ 3. Методы решений

дифференциальных уравнений первого порядка


1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида:

,

где и - непрерывные функции, зависящие только от одного аргумента, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения такого уравнения нужно, как говорят, разделить в нем переменные. Для этого заменим y’ на dy/dx, разделим на (предполагается, что0) и умножим на dx. Тогда уравнение преобразуется в уравнение:



в котором переменная х входит только в правую часть, а переменная у – только в левую (в таком случае говорят, что переменные разделены).

Предполагая, что функция является решением уравнения, и подставляя ее в получу тождество. Интегрирование этого тождества дает соотношение:



где С – производная постоянная.

Данное соотношение определяет неявным образом общее решение уравнения.

2. Линейные уравнения.

Уравнение вида



где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у’ входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.

Если f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением, если нет, то – линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения может быть применен так называемый метод вариации постоянной.

Сначала находится общее решение линейного однородного уравнения:

,

соответствующего данному неоднородному. Уравнение - уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, буду иметь:

.

Отсюда, потенцируя, нахожу общее решение уравнения :

,

или

,

где С = - произвольная постоянная.

Теперь с помощью найду общее решение линейного неоднородного уравнения, где С буду считать не постоянной, а функцией от х, т.е. в виде:

,

где С(х) – новая неизвестная функция от х. Чтобы найти функцию С(х) и тем самым решение в виде , подставлю функцию в уравнение . Получу:

,

или

.

Чтобы соотношение было решением уравнения , очевидно функция С(х) должна удовлетворять уравнению . Интегрируя его, нахожу:

,

где С - произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение в соотношение , получаю общее решение линейного уравнения:

.

^ 3. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

Если ни один из способов нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка не приводит к цели или требует сложных вычислений, то прибегают к приближенным методам решений уравнений. Простейшим из них является метод Эйлера.

Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломанной.

Пусть даны дифференциальное уравнение и начальные условия . Найду приближенно решение уравнения на отрезке [], удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобью отрезок [] точками х х х …  х= b на n равных частей. Обозначу . Через обозначу приближенные значения искомого решения в точках . Проведу через точки разбиения прямые (Приложение 3), параллельные оси Оу, и последовательно проделаю следующие однотипные операции.

Подставляю значения и в правую часть уравнения касательной к интегральной кривой в точке . Для вычисления приближенного значения искомого решения заменяю на отрезке интегральную кривую отрезком ее касательной в точке . при этом получаю:

,

откуда, т.к. величины известны, нахожу:

, или .

Подставляя значения и в правую часть уравнения . вычисляю угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке . Далее, заменяя на отрезке интегральную кривую отрезком ее касательной, нахожу приближенное значение решения в точке :

, или .

В этом равенстве известными величинами являются , а определяется через них.

Аналогично вычисляю:



Таким образом, я приближенно построила искомую интегральную кривую в виде ломанной и получила приближенные значения искомого решения в точках . При этом значения вычисляются по формуле:

.

Эта формула – основная расчетная формула метода Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность .

Следует отметить, что степень точности метода Эйлера, вообще говоря, невелика. Существуют гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Таким образом, методы решений дифференциальных уравнений делятся на методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка (например, решение уравнения с разделяющимися переменными, линейного уравнения) и приближенные методы решений уравнений, простейшим из которых является метод Эйлера.


Заключение


В результате написания курсовой работы мною было определено понятие дифференциального уравнения и рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка.

Для достижения поставленной цели я решила следующие задачи:

1. Дала понятие дифференциального уравнения и исследовала общие сведения о нем.

2. Рассмотрела дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Изучила методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Выявила проблемы в применении дифференциальных уравнений первого порядка.

Подводя итоги курсовой работы, можно сделать следующие выводы.

Дифференциальным уравнением называется уравнение (соотношение), связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у’, у,…, у, т.е. уравнение вида:

F(x,y,y’,…, у) = 0.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой данного уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение:



связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y = y(x) и ее производную y’ = y’(x).

График решения называют интегральной кривой.

Методы решений дифференциальных уравнений делятся на методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка (например, решение уравнения с разделяющимися переменными, линейного уравнения) и приближенные методы решений уравнений, простейшим из которых является метод Эйлера.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи не только из физики, но и из экономики, статистики и других наук. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующих законов и умении переводить эти задачи на математический язык.

Для решения таких проблем необходимо всестороннее и глубокое изучение теории дифференциальных уравнений, причем начинать следует с наиболее простого уравнения – с уравнения первого порядка.


Список используемой литературы


1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Астрель, 2006. – 991с.

2. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 384с.

3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 416с.

4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике. 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 608с.

6. Шипачев В.С. Курс высшей математики: учеб. / под ред. А.Н.Тихонова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект, 2005. – 600с.

7. Щербакова Ю.В. Дифференциальные уравнения: конспект лекций. – М.: Эксмо, 2007. – 160с.


Приложение 1

Задача Коши




у





х


0


Приложение 2

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка





у


у М




х


0 - касат. х


Приложение 3

Решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера




у













0 х





Скачать 232,12 Kb.
оставить комментарий
Дата04.03.2012
Размер232,12 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх