Лекция Режим гармонических колебаний в линейных цепях. Метод комплексных амплитуд Гармонические колебания. Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений icon

Лекция Режим гармонических колебаний в линейных цепях. Метод комплексных амплитуд Гармонические колебания. Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений


2 чел. помогло.
Смотрите также:
Тема урока: Колебательное движение. Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота...
Гармонический сигнал основная форма токов в электросиловых цепях...
Проверочная работа ( тест) на 15 мин...
Лекция №27
Учебно-методический комплекс дисциплины математика (наименование дисциплины)...
Задача на расчет электрической цепи...
Лекция Методы анализа линейных электрических цепей при гармоническом воздействии Методы...
Лекция 1
Периодические несинусоидальные эдс, токи и напряжения в электрических цепях...
Лекция 3
Календарный план курса «Основы теория колебаний» на 2011 год Лекция №1 (11 февраля)...
По физической экологии на тему: «вибрация и ее влияние на организм человека»...



Загрузка...
скачать

Лекция 3. Режим гармонических колебаний в линейных цепях. Метод комплексных амплитуд



Гармонические колебания. Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений.

Метод комплексных амплитуд. Понятие о символических методах. Комплексные изображения гармонических функций времени. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи. Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Общая схема применения метода комплексных амплитуд


Цели изучения

  1. Определение общего подхода к анализу линейных цепей при гармоническом воздействии

  2. Рассмотрение метода комплексных амплитуд как наиболее удобного для анализа линейных цепей при гармоническом воздействии



^

3.1. Гармонические колебания



Определение гармонического колебания


Электромагнитные процессы в электрической цепи, при которых мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называются периодическими, для их количественного описания используются периодические функции времени. Наименьший промежуток времени T, по истечении которого наблюдаются повторения мгновенных значений периодических функций a(t) называется периодом:

a(t + T) = a(t).

Величина, обратная периоду, т.е. число периодов в единицу времени, называется частотой:

f = 1/T.

Частота имеет размерность 1/с, а единицей измерения частоты служит герц (Гц).

Преобладающим видом периодических процессов в электрических цепях являются гармонические колебания, которые описываются синусоидальными или косинусоидальными функциями:

u(t) = Umcos(t + );

u(t) = Umsin(t + ),

где Um – максимальное значение или амплитуда;

 - скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению 2f и измеряется в радианах в секунду (рад/с);

 и - начальные фазы, определяемые смещением гармонических функций относительно начала координат при t = 0.

Поскольку обе записи гармонической функции являются эквивалентными при = + /2, то при анализе электрических цепей используют одну. В настоящем конспекте будет использоваться косинусоидальная функция.

Гармонические колебания обладают важным свойством сохранять форму и частоту при преобразованиях в линейных цепях. Поэтому они используются при изучении и описании характеристик линейных цепей и систем.


Среднее, средневыпрямленное и действующее значения
гармонических токов и напряжений


Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому периодическому закону, наряду с другими параметрами характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими значениями.

Среднее значение периодической функции a(t) за период определяется выражением

(3.1)

Среднее значение гармонической функции за период равно нулю, так как площадь ограниченная положительной полуволной и осью времени, равно площади, ограниченной отрицательной полуволной осью абсцисс.

Средневыпрямленным значением периодического тока или напряжения называется среднее значение модуля соответствующей периодической функции a(t) за период:

(3.2)

Средневыпрямленное значение гармонического тока или напряжения равно среднему значению соответствующей гармонической функции a(t) на положительном полупериоде.



С
редневыпрямленное значение гармонического колебания равно:


Aср.в=(/2)Am=0,637Am. (3.3)

Действующим значением периодической функции a(t) называется среднеквадратичное значение этой функции за период




(3.4)





Действующее значение A гармонической функции a(t) в раз меньше ее амплитуды:




. (3.5)


^

3.2. Метод комплексных амплитуд



Понятие о символических методах


Установившиеся значения токов и напряжении линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, могут быть найдены путем непосредственного решения дифференциального уравнения цепи

(3.6)

при , однако даже для относительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. На практике анализ таких цепей обычно выполняют с помощью метода комплексных амплитуд, разработанного в конце прошлого века американскими инженерами Ч. П. Штейнметцем и А. Е. Кеннели. Большой вклад в развитие и теоретическое обоснование метода комплексных амплитуд внесли профессор Петербургского политехнического института В. Ф. Миткевич и советский ученый академик АН УССР Г. Е. Пухов.

Метод комплексных амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями или символами исходных функций. Методы такого типа называются символическими. Независимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы:

  1. прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символам (изображениям);

  2. определение изображений искомых величин путем выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями;

  3. обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений к оригиналам.



^

3.3. Комплексные изображения гармонических функций времени



Каждой гармонической функции времени можно поставить в соответствие комплексное число , называемое мгновенным или текущим комплексом гармонической функции:

(3.7)

модуль которого равен амплитуде гармонической функции , а аргумент – её фазе . Как видно из выражения (3.7), вещественная часть мгновенного комплекса равна исходной гармонической функции



Г



еометрически мгновенный комплекс может быть представлен в виде вектора , длина которого в определенном масштабе равна амплитуде соответствующей гармонической функции, а аргумент изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции . Для того чтобы обеспечить этот закон изменения аргумента, вектор должен вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью (рис. 3.1). В момент времени вектор должен образовывать с положительным направлением вещественной оси угол , равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции. Как видно из рис. 3.1, проекция вектора на вещественную ось в выбранном масштабе времени равна мгновенному значению исходной гармонической функции времени .


Значение мгновенного комплекса в момент времени называется комплексной амплитудой гармонической функции времени :

(3.8)

Из выражения (3.8) следует, что комплексная амплитуда гармонической функции времени представляет собой комплексное число, модуль которого равен амплитуде рассматриваемой функции, а аргумент – ее начальной фазе . Геометрически комплексная амплитуда мажет быть представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом к вещественной оси, длина которого в определенном масштабе равна .

Используя понятие комплексной амплитуды, выражение (3.7) для мгновенного комплекса может быть преобразовано к следующему виду:

(3.9)




Вектор , называемый оператором вращения, имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения , начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью .

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, есть гармонические функции времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электрической цени может быть поставлен в соответствие текущий комплекс . Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый из текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствующей комплексной амплитуды на оператор вращения . Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжении всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.

Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому информация о них при известной частоте содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов или напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и, обратно, по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания.

Наряду с комплексной амплитудой в качестве изображения гармонической функции в комплексной плоскости широко используют другую комплексную величину – комплексное действующее значение . По определению, комплексное действующее значение гармонической функции представляет собой комплексное число, модуль которого равен действующему значению гармонической функции, а аргумент – её начальной фазе :

(3.10)

Используя выражения и (2.9), можно установить связь между комплексной амплитудой гармонической функции и ее комплексным действующим значением :

(3.11)

^

3.4. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи



Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рис. 3.2, а). Ток и напряжение на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

(3.12)





(3.13)

По определению, комплексным сопротивлением пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

(3.14)

Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

(3.15)

Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной

(3.16)

или алгебраической

(3.17)

формах. Величины и называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины и – его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи называется также полным входным сопротивлением). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, находим из (3.14) и (3.15)

(3.18)

Сравнивая (2.16) и (2.18), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

(3.19)

а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:

(3.20)

Комплексное входное сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплексной плоскости, длина которого в определенном масштабе, равна , а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен (рис. 3.3, а). Вещественная и мнимая составляющие входного сопротивления представляют собой проекции вектора на вещественную и мнимую оси соответственно:



В
еличина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью участка цепи

(3.21)

Комплексная входная проводимость (комплексная проводимость) может быть определена как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого участка цепи:

(3.22)

Представляя комплексную проводимость в показательной форме

(3.23)

находим, что модуль комплексной входной проводимости , называемый полной входной проводимостью цепи, является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления:

(3.24)

а аргумент входной проводимости равен по абсолютному значению и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления .

Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представлена в алгебраической форме . Здесь и -вещественная (резистивная) и мнимая (реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора на вещественную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 3.3, б): , .

Подставляя в (3.21) и , находим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости участка цепи:

(3.25)

(3.26)

Из выражений (3.25), (3.26) видно, что резистивные составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости имеют одинаковые знаки:

(3.27)

а реактивные составляющие – противоположные:

(3.28)

Отметим, что каждая из составляющих комплексного сопротивления ( и ) зависит как от резистивной , так и реактивной составляющей комплексной проводимости, а каждая из составляющих комплексной проводимости ( и ) в свою очередь зависит от и .


Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа
в комплексной форме


Зная комплексное сопротивление (комплексную проводимость) участка цепи и одну из приложенных к данному участку цепи величин: ток или напряжение , можно используя (3.14), (3.22), найти неизвестное напряжение или неизвестный ток исследуемого участка

(3.29)

Аналогично комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи

(3.30)

Выражения (3.29), (3.30) по структуре напоминают соотношения между мгновенными значениями напряжения и тока на зажимах линейного сопротивления (1.9), (1.10) и являются математической записью закона Ома в комплексной форме. В отличие от выражений (1.13), (1.16), (1.22), (1.23) уравнения (3.29), (3.30) являются алгебраическими.

Используя закон Ома в комплексной форме, каждому участку линейной электрической цепи, составленному из идеализированных пассивных элементов и имеющему два внешних вывода (см. рис. 3.2, а), в том числе любому идеализированному пассивному двухполюсному элементу, можно поставить в соответствие комплексную схему замещения, на которой рассматриваемый участок цепи представлен комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах – комплексными амплитудами (см. рис. 3.2, б) или комплексными действующими значениями (см. рис. 3.2, в).

Представляя все входящие в моделирующую цепь идеализированные пассивные элементы их комплексными схемами замещения, а токи и э. д. с. всех идеализированных источников – их комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями, получаем комплексную схему замещения цепи (эквивалентную схему для комплексных амплитуд или эквивалентную схему для комплексных действующих значений). В отличие от этих схем замещения, рассмотренные ранее эквивалентные схемы, на которых были изображены идеализированные двухполюсные элементы и указаны мгновенные значения токов и напряжений ветвей и идеализированных источников, будем называть эквивалентными схемами для мгновенных значений.

Таким образом, комплексная схема замещения цепи может быть получена из эквивалентной схемы для мгновенных значений заменой всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений – их комплексными изображениями.

Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса токов и напряжений, составляемыми на основании законов Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем от законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений к законам Кирхгофа для комплексных изображений токов и напряжений, называемых обычно законами Кирхгофа в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме устанавливает связь между комплексными изображениями токов в каждом из узлов моделирующей цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значении) токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю:

(3.31)

Здесь - номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме определяет связь между комплексными изображениями напряжений ветвей, входящих в произвольный контур электрической цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равна нулю:

(3.32)

Здесь – номер ветви, входящей в рассматриваемый контур.

В ряде случаев удобно использовать другую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных изображений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цепи равна, сумме комплексных изображений э. д. с., всех входящих в контур источников напряжения:

(3.33)

Здесь , - комплексные изображения напряжений всех элементов контура, за исключением источников напряжения; , - комплексные изображения э. д. с. источников напряжения, действующих в рассматриваемом контуре.

В связи с тем, что выражения (3.31) (3.33) непосредственно вытекают из соотношений (2.1), (2.2) и (2.3), при суммировании комплексных изображений токов и напряжений ветвей электрической цепи в выражениях (3.31) – (3.33) сохраняются те же правила знаков, что и при суммировании мгновенных значений токов и напряжений.

Используя выражения для законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, можно составить систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений. В отличие от системы уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений, уравнения электрического равновесия для комплексных изображений токов и напряжений являются алгебраическими. Решение таких уравнений намного проще, чем решение дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений. Таким образом, с использованием комплексных схем замещения и составленных на их основании уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме анализ цепи переменного тока становится не сложнее анализа цепи постоянного тока и может производиться с использованием тех же приемов.

^

3.5. Общая схема применения метода комплексных амплитуд



Анализ цепей методом комплексных, амплитуд содержит следующие этапы:

  1. замена гармонических, токов и напряжений всех ветвей их комплексными изображениями, а эквивалентной схемы цепи для мгновенных значений – комплексной схемой замещения;

  2. составление уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображении токов и напряжений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;

  3. решение системы уравнений электрического равновесия относительно комплексных изображений интересующих токов и напряжений;

  4. переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам.



Выводы





  • Гармонические колебания – одна из наиболее распространённых форм тока и напряжения в электрических цепях.

  • При гармоническом воздействии на линейную цепь реакция цепи - также функция гармоническая.

  • Основным методом анализа линейных цепей при гармоническом воздействии является метод комплексных амплитуд.

  • Комплексная амплитуда – величина, несущая информацию об амплитуде и начальной фазе гармонического колебания. Законы Кирхгофа формулируются не только для мгновенных значений токов и напряжений, но и для комплексных амплитуд и комплексных действующих значений токов и напряжений.

  • В рамках метода комплексных амплитуд участок цепи можно характеризовать его комплексным сопротивлением (закон Ома в комплексной форме).







Скачать 145.44 Kb.
оставить комментарий
Дата04.03.2012
Размер145.44 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх