Курса icon

Курса


Смотрите также:
Задачи курса > Место курса в профессиональной подготовке > Требования к уровню освоения курса >...
Пояснительная записка | 6' I...
Курс 1 этап 2 курса Сроки оплаты за 2 этап 2 курса 2 этап 2 курса...
Задачи курса. Место курса в системе общепрофессионального знания Требования к уровню освоения...
Рабочая программа курса Код курса : сдм. 19 Тип курса : дисциплины...
Рабочая программа курса Код курса : сдм. 19 Тип курса : дисциплины...
Программа элективного курса, 68 часов в год (2 ч/нед.). 10-й класс Пояснительная записка...
Программа курса общая психология для студентов 3 курса физического факультета мгу тематический...
Программа курса общая психология для студентов 3 курса физического факультета мгу тематический...
Программа курса общая психология для студентов 3 курса физического факультета мгу тематический...
Предметом изучения являются теоретические и методологические основы хранения и использования...
Программа элективного курса физики в 9 классе...



Загрузка...
скачать
Тема курса: «Системы счисления и их применения в вычислительной технике»


Новые понятия курса:


Системы счисления

Непозиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Схема Горнера


Опорные понятия курса:

Понятие цифры

Понятие числа

Арифметические операции с числами


После изучения данного курса учащиеся должны:

Знать:

  • общее понятие о системах счисления

  • краткую историю возникновения непозиционной системы счисления

  • что такое цифра

  • что такое непозиционная система счисления

  • порядок записи римских цифр и

  • краткую историю возникновения позиционной системы счисления

  • что такое позиционная система счисления

  • понятие основания

  • понятие алфавита

  • развёрнутую форму записи числа

  • перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

  • перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

  • применять схему Горнера при переводе чисел из одной системы счисления в другую

  • почему в ЭВМ применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

  • преимущества и недостатки каждой системы счисления в ЭВМ

Уметь:

  • производить простейшие арифметические действия с числами, представленными в непозиционной системе

  • переводить целые и дробные числа из одной позиционной системы счисления в другую

  • переводить числа из одной системы счисления в другую с помощью схемы Горнера

  • проверить результаты чисел из различных систем счисления с помощью компьютерной программы

  • производить простейшие арифметические операции с числами в различных системах счисления

  • проверять полученные результаты с помощью компьютерной программы

Иметь навыки:

  • решения примеров по переводу чисел из одной системы счисления в другую

  • простейших арифметических действий над числами, представленных в различных системах счисления

  • работы с программным продуктом по работе с числами в различных системах счисления



Образовательные цели:


  1. для чего необходимо знать данную тему;

  2. дать краткую историю о числах и системах счисления;

  3. вспомнить о понятии цифры;

  4. вводится определение систем счисления;

  5. вводится общее понятие позиционной и непозиционной систем счисления;

  6. вводится понятие непозиционной системы счисления.

  7. краткая история о позиционных системах счисления;

  8. понятие основание и алфавита в позиционной системе счисления;

  9. вводится развёрнутая форма представления чисел в позиционной системе счисления;

  10. перевод чисел из одной системы счисления в другую.


Воспитательные цели:


  1. формирование аналитического мышления;

  2. формирование культурных ценностей человека на конкретном историческом этапе;

  3. системы счисления в истории человеческого общества;

  4. формирование научного мировоззрения.

  5. вводятся начальные сведения о представление информации в памяти компьютера;

  6. культура общения с вычислительной техникой.


Развивающие цели:


  1. развитие у учащихся навыков в использование и сравнение полученных ранее знаний при изучении поставленной задачи;

  2. развитие у учащихся дедуктивного мышления;

  3. формирование у учащихся навыков анализа и обобщения имеющиеся знаний при изучении данной темы.

  4. осознание преимущества позиционной системы счисления перед непозиционной системой счисления.

  5. развитие умений анализировать, сопоставлять и обобщать ранее известных и вновь полученных знаний;

  6. межпредметная связь изучаемой темы с математикой.

  7. умение анализировать различные системы счисления.


Урок 1


Тема урока: «Системы счисления»


Тип урока: изучение нового материала

Место урока в теме: первый урок в изучаемой теме.

Метод: словесно-демонстрационный.


Ход урока:


  1. подготовка учащихся к восприятию нового материала;

  2. ознакомление учащихся с темой, целями и задачами урока;

  3. мотивация к изучению темы;

  4. изучение нового материала:

    1. история чисел и систем счисления;

    2. понятие цифры и числа;

    3. что такое система счисления;

    4. непозиционные системы счисления и их примеры;

  5. закрепление и совершенствование новых понятий;

  6. применение знаний, умений и навыков;

  7. подведение итогов урока;

  8. проработка домашнего задания.


Материал к уроку:


Система счисления – это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.


Непозиционные системы счисления


В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, чёрточек, точек и так далее.

Изучение археологами «записок» времён палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счёт. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятёрками и десятками. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счёт вели группами по «5» или «10» предметов.

В дальнейшем своё название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и так далее. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значениями цифрами. Итак, знаки, которые мы используем при записи чисел называются цифрами. Если при подсчёте предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и ещё 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз – знак десятков и четыре раза знак единицы. В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает, поэтому такие системы счисления называются непозиционными. Непозиционными системами счисления пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы. До нас дошла римская непозиционная система записи чисел (римские цифры), которая до сих пор применяется в некоторых случаях в нумерации. Например, запись века, тома в собрании сочинений, главы книги. Подведём некоторые выводы. В непозиционных системах вес цифры (то есть тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от её позиции в записи числа. Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). Так в римской системе счисления в числе xxxiii (тридцать три) вес цифры Х в любой позиции равен десяти. В римской системе счисления в качестве цифр также используются буквы латинского алфавита:


I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000


В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

На Руси вплоть до xviii века использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы (славянского алфавита) имели цифровое значение, если над ними ставили специальный знак «~» - титло. Например:





Существовали также обозначения очень больших величин. Самая большая величина называлась «колода» и обозначалась знаком А. Это число равно . Считалось, что «более сего несть человеческому уму разумевати».

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и делении.


^ Домашняя работа


Пример 1.

Найти значение числа ccxxxiIi в десятичной системе счисления.


100 + 100 + 10 +10 + 10 + 3 = 233


Пример 2.

Найти значение чисел vi, iv, xi, ix, vii в десятичной системе счисления.


vi = 5 + 1 = 6 iv = 5 – 1 = 4 xi = 10 + 1 = 11 ix = 10 – 1 = 9 vii = 5 + 1 + 1 = 7


Пример 3.

Найти значение числа mcmxcviii в десятичной системе счисления.


mcmxcviii = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998


Урок 2


Тема урока: «Позиционные системы счисления»


Тип урока: изучение нового материала.

Место урока в теме: второй урок в изучаемой теме.

Метод: наглядно-демонстрационный.


Ход урока:


  1. ознакомление учащихся с темой урока;

  2. актуализация знаний полученных на первом уроке данной темы;

  3. изучение нового материала (веб-сайт):

    1. история позиционной системы счисления;

    2. позиционные системы счисления;

    3. вводится понятие основания и алфавита;

    4. развёрнутая форма записи числа;

    5. перевод чисел из одной системы счисления в другую;

    6. применение схемы Горнера при переводе чисел из одной системы счисления в другую;

  1. решение примеров (веб-сайт);

  2. подведение итогов урока;

  3. проработка домашнего задания.


Материал к уроку:


Позиционные системы счисления


Впервые идея позиционной системы счисления возникла в древнем Вавилоне.

В позиционной системе счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


Десятичную систему счисления принято называть арабской, но зародилась она в Индии, в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «арабские цифры». Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная позиционная система счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы счисления дало мощный толчок развитию математики.

С позиционной десятичной системой счисления вы знакомы с раннего детства, только, возможно не знали, что она так называется.

Позиционный характер этой системы очень легко понять на примере любого многозначного числа. Так, например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины.





Число «десять» - не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н.Н. Лузин выразился по этому поводу так: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число больше 1. Вавилонская система счисления имела основание 60. следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счёта единиц времени (1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Запишем примеры алфавитов нескольких систем счисления:


п/п

Основание

Название

Алфавит

1

n = 2

Двоичная

0 1

2

n = 3

Троичная

0 1 2

3

n = 5

Пятеричная

0 1 2 3 4

4

n = 8

Восьмеричная

0 1 2 3 4 5 6 7

5

n = 16

Шестнадцатеричная

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F


Если требуется указать основание системы счисления, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: , , .


В системе счисления с основанием (-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа . Запись числа в -ичной системе счисления имеет вид .

Развёрнутой формой записи числа называется запись в виде:



где – само число, – основание системы счисления, – цифры данной системы счисления, – число разрядов целой части числа, – число разрядов дробной части числа.


^ Перевод чисел из одной системы в другую


Мы настолько привыкли к десятичному счёту, что число в любой другой системе мало, что нам говорит о соответствующем ему количестве. Например, что за величина ? Чтобы понять «много это или мало», нужно перевести его в десятичную систему. Сделать это довольно просто.

Число содержит в себе 2 единицы, 1 тройку и 1 девятку. Как и в десятичной системе, число можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы (нашем примере – тройки).




Этот пример показывает, что в таких выражениях показатель степени десяти зависит от позиции соответствующей цифры в записи числа. Позиция цифры в записи числа называется разрядом числа. Цифра в разряде единиц умножается на ; цифра в разряде десятков умножается на ; цифра в разряде сотен - на и так далее. Дробные разряды умножаются на отрицательные степени десятки: , , и так далее. Степень десятки равна номеру соответствующего разряда в числе (разряды дробной части нумеруются отрицательными числами).

Введём следующие обозначения: пусть обозначает цифру в разряде в записи числа. Тогда десятичное число Х, содержащее, например, 4 разряда в целой части и 3 разряда в дробной части числа можно представить в таком виде:




^ Перевод десятичных чисел из одной системы счисления в другие системы счисления


Перевод целых чисел:

  1. основание системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

  2. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньше делителя (или пока частное не станет равным нулю);

  3. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствии с алфавитом новой системы счисления;

  4. составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего частного.


Пример 1. перевести число 3710 в двоичную систему счисления.


37 ∟2

36 18∟2

1 18 9 ∟2

0 8 4 ∟2

1 4 2 ∟2

0 2 1 ∟2

0 0 0

1

Отсюда следует, что число 3710 = 1001012.


Пример 2. Перевести число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

315 ∟8 315 ∟16

312 39 ∟8 304 19 ∟16

3 32 4 ∟8 11 16 1 ∟16

7 0 0 3 0 0

4 1

Отсюда следует, что 31510 = 4738, 31510 = 13В16 (В = 1110).


Перевод дробных чисел:

  1. основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

  2. последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

  3. полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

  4. составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.


Пример 1. Перевести десятичную дробь в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.


0

1875




0

1875




0

1875




х 2







х 8







х 16

0

3750




1

5000




1

1250




х 2







х 8




1

875

0

7500




4

0000




3

0000




х 2



















1

5000






















х 2



















1

0000



















Здесь вертикальная черта определяет целые части чисел от дробных частей. Отсюда следует, что .


^ Применение схемы Горнера


Переведём число , записанное в восьмеричной системе счисления в десятичную известным нам способом.



Для вычисления значения числа по его развёрнутой форме записи существует удобный приём, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что развёрнутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками. Например, для рассмотренного выше восьмеричного числа это выглядит так:

.

Если раскрыть скобки, то получается, то же самое выражение. В чём же удобство скобочной структуры? А в том, что её вычисление производится путём выполнения последовательной цепочки операций умножения и сложения в порядке их записи слева направо. Для этого можно использовать самый простой калькулятор (без памяти), поскольку не требуется сохранять промежуточные результаты. Схема Горнера сводит вычисления таких выражений к минимальному числу операций.


^ Домашняя работа


Пример 4.

Получить развёрнутую форму записи десятичных чисел , .






Пример 5.

Получить развёрнутую форму чисел , , , .

.

.

.

.


Примечание. Обратите внимание, что в любой системе счисления её основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развёрнутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.


Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему счисления.

.

.

.

.


Пример 7. Перевести целые числа из десятичной системы счисления в троичную и выполнить проверку.

а) , ,

б) , ,


Пример 7. Перевести целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную и выполнить проверку.

а) , ,

б) , ,


Пример 8. Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

а) , ,

б) , ,


Урок 3


Тема урока: «Представление чисел в памяти компьютера»


Тип урока: совершенствование знаний, умений и навыков.

Место урока в теме: третий урок в изучаемой теме.

Метод: частично-поисковый.


Ход урока:


  1. ознакомление учащихся с целями и задачами урока;

  2. актуализация изученного материала;

    1. арифметические действия над числами в двоичной системе счисления;

    2. применение двоичной системы счисления в ЭВМ;

    3. преимущества двоичной арифметики;

    4. недостатки двоичной арифметики;

    5. применение восьмеричной и шестнадцатеричной арифметики в ЭВМ;

  3. решение примеров на сравнение чисел, представленных в различных системах счисления;

  4. арифметические действия над числами в различных системах счислении;

  5. проработка домашнего задания (ребусы, кроссворды);

  6. подведение итогов.


Материал к уроку


Почему компьютеры пользуются двоичной системой счисления


Согласно принципу Джона фон Неймана, компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления.

Для выполнения вычислений с многозначными числами необходимо знать правила сложения и умножения однозначных десятичных чисел.

.

Принцип перестановочности сложения и умножения работает во всех системах счисления, т.е. процедуры сложения, вычитания и умножения «столбиком» и деление «углом» в двоичной системе счисления производятся так же, как и в десятичной.

Рассмотрим правила вычитания, деления и умножения двоичных чисел.

Операция вычитания является обратной по отношению к сложению. Из приведённых выше данных сложения следуют правила вычитания:

.

Пример 1.

.

Полученный результат можно проверить сложением разности с вычитаемым. Должно получиться уменьшаемое число.

Деление – операция, обратная умножению. В любой системе счисления делить на нельзя. Результат деления на 1 равен делимому. Деление двоичного числа на ведёт к перемещению запятой на один разряд влево, подобно десятичному делению на десять.

Пример 2.

.

Деление на смещает запятую на 2 разряда влево и т.д.

Рассмотрим как происходит умножение в двоичной системе счисления.

Пример 3.

.

Информация в памяти компьютера хранится в двоичном виде. Мы уже знаем, почему людям удобно использовать десятичную систему счисления. Но не всегда и не везде люди используют именно эту систему. Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

  1. для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен, и т.д.), а не с десятью, как например в десятичной системе;

  2. представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;

  3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

  4. двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостатком двоичной системы является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.


^ Почему в компьютерах используется также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления


Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за её громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную систему и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Числа в этих системах читаются почти также легко, как и десятичные, а требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе, так как числа «8» и «16» соответственно третья и четвёртая степени числа «2».


Задания для самостоятельной работы


Пример 4.

Сравните числа:

  • и ;

  • и ;

  • и ;

  • и .

Пример 5.

Сложить числа:

  • ;

  • ;

  • .


Домашняя работа


Пример 1. Проверить истинность следующих высказываний:

;

;

.

Выполнить проверку.


Пример 2. Выполнить сложение двух чисел в двоичной системе счисления:

;

;

;

.


Составить ребусы, кроссворды на изученную тему.


Урок 4


Тема урока: «Подведение итогов при изучении систем счисления»

Тип урока: обобщение знаний, умений и навыков

Место урока в данной теме: заключительный урок в изучаемой теме.

Метод: частично-поисковый.


Ход урока:


  1. ознакомление учащихся с целями и задачами урока;

  2. занимательная страничка – повторение материала изученного курса;

  3. анализ домашней работы предыдущего урока;

  4. компьютерное тестирование по пройденному курсу;

  5. работа с раздаточным материалом (кроссворды, ребусы);

  6. подведение итогов изученного курса (тест);

  7. выводы.


Материал к уроку


Весёлая задача


Ей было 1100 лет.

Она в 101 класс ходила.

В портфеле по 100 книг носила.

Всё это правда, а не бред.

Когда пыля десятком ног,

Она бежала по дороге,

За ней бежал всегда щенок

С одним хвостом, зато стоногий,

Она ловила каждый звук,

Своими десятью ушами,

И 10 загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И 10 тёмно-синих глаз

Оглядывали мир привычно.

Но станет всё совсем обычным,

Когда поймёте наш рассказ.


^ Вкусная задача


В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. В какой системе счисления посчитаны деревья?


Ответ: в шестнадцатеричной системе счисления.


^ Загадочная биография


В бумагах одного чудака математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими словами: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, сто мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых приходилось отдавать сестре, так, что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц» и т.д. Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?


Ответ: из-за разницы в системах счисления (, , , , .).




Скачать 197,54 Kb.
оставить комментарий
Дата07.12.2011
Размер197,54 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
хорошо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх