Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» icon

Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»


Смотрите также:
Программа дисциплины Дифференциальные уравнения для направления 010500...
Программа дисциплины Дифференциальные уравнения для направления 010500...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500...
Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501 (прикладная...
Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения...
Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Для направления 010500...
Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Для направления 010500...
Программа дисциплины дс...
Программа дисциплины дс...
Программа дисциплины ен. Ф...
Рабочая программа по дисциплине «Уравнения математической физики» для направления 010500...
Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная математика...



Загрузка...
скачать



Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра






Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"



Факультет бизнес-информатики, отделение прикладной математики и информатики


^ Программа дисциплины Дифференциальные уравнения

Часть 2


для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»

подготовки бакалавра


Автор программы:

Гордин В.А., д.-ф.м.н. электронный адрес: vagordin@mail.ru


Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики

«___»____________ 2011 г.

Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров


Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2011 г.

Председатель [Введите И.О. Фамилия]


Утверждена УС факультета бизнес-информатики «___»____________ 2011 г.

Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]


Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
^

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов, обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование», специализация «Технологии моделирования сложных систем».

Программа разработана в соответствии с:

  • Образовательным стандартом Государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «национальный исследовательский университет»;

  • Рабочим учебным планом университета по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика», утвержденным в 2011 г.
^

2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины Дополнительные главы дифференциальных уравнений являются 1) углубление теоретических знаний по дифференциальным уравнениям, полученных студентом в другом вузе; 2) приобретение навыков численного решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, но не допускающих аналитического решения.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные теоремы, относящиеся к теории обыкновенных и разностных дифференциальных уравнений

  • Уметь решать аналитически типы дифференциальных и разностных уравнений, перечисленные в программе курса;

  • Качественно исследовать типы дифференциальных и разностных уравнений, перечисленные в программе курса;

  • Разрабатывать алгоритмы численного исследования моделей, связанных с дифференциальными и разностными уравнениями, например, задачу Коши, краевую задачу, смешанную краевую задачу

  • Иметь навыки написания компьютерных программ для реализации подобных алгоритмов.


Выпускник по направлению подготовки 010500.62 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) бакалавр в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в пп. 3.2 и 3.6.1 настоящего ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ, должен обладать следующими компетенциями.

Компетенция

Код по ФГОС / НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

Общенаучная

ОНК-1

Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-2

Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам, задачам и лежащим в их основе противоречиям

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-3

Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить качество исследований в некоторой предметной области

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-4

Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при работе в какой-либо предметной области

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-5

Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппарат дисциплины

Стандартные (лекционно-семинарские)

Общенаучная

ОНК-7

Способность порождать новые идеи (креативность)

Стандартные (лекционно-семинарские)

Инструментальные

ИК-2

Умение работать на компьютере, навыки использования основных классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления баз данных

Стандартные (лекционно-семинарские) и работа в компьютерном классе; решение домашних заданий с применением компьютера

Профессиональные

ПК-1

Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой

Стандартные (лекционно-семинарские)

Профессиональные

ПК-2

способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат

Стандартные (лекционно-семинарские)

Профессиональные

ПК-4

способность критически оценивать собственную квалификацию и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности

Стандартные (лекционно-семинарские), обсуждение домашних заданий и выступлений на семинаре

Профессиональные

ПК-8

способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений

Стандартные (лекционно-семинарские), выполнение домашних заданий и работа в компьютерном классе



^

3Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина является обязательной.


Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • Математический анализ;

  • Высшая и линейная алгебра;

  • Уметь программировать на каком-либо алгоритмическом языке. Такие навыки можно, в частности, приобрести на факультативном курсе «Визуализация аналитических вычислений», который читается на 1 курсе (3 модуль) и 2 курсе (1 модуль).

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Математический анализ

  • Методы оптимизации;

  • Уравнения математической физики;

  • Функциональный анализ;

  • Численные методы;

  • Теория операций-2.

2 курс бакалавриата
^

4Тематический план учебной дисциплины





№№

^ Название темы

Всего часов

Аудиторные часы

Самост. работа

лекции

семинары

1

Дифференциальные и разностные уравнения, как модели явлений и процессов в механике, экономике, биологии, демографии, теории военных конфликтов, теории игр

28

8

8

12

2

Первые интегралы и устойчивость по Ляпунову.

12

2

2

8

3

Семейства траекторий

12

2

2

8

4

Интерполяция и аппроксимация.

18

4

4

10

5

Введение в разностные схемы для решения задачи Коши

18

4

4

10

6

Метод Фурье разделения переменных для решения начально-краевых задач для простейших уравнений математической физики

18

4

4

10

7

Введение в теорию обобщенных функций

18

4

4

10

8

Основные свойства преобразования Фурье и преобразования Лапласа

18

4

4

10

89

Специальные типы систем ОДУ

18

4

4

10

110

Особые точки дифференциальных уравнений

18

4

4

10




Итого

178

40

40

98



^

5Содержание дисциплины



Раздел 1. Дифференциальные и разностные уравнения, как модели явлений и процессов в механике, экономике, биологии, демографии, теории военных конфликтов, теории игр.

Модель Мальтуса, логистическое уравнение. Мягкий и жесткий план лова рыбы. Модели Гомперца и фон Берталанфи. Модель Солоу. Уравнения Лотки – Вольтерра. Модель военного конфликта. Армии и орды. Преобладание рождаемости и преобладание истребления – точка бифуркации. Две популяции конкурируют за общий ресурс. Случайные блуждания на сетке и игра с постоянной суммой. Последовательность Фибоначчи. Формулы решения для однородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней. Разностные уравнения для вероятности выигрыша и для математического ожидания времени окончания игры. Модель Лесли. Асимптотика решения на бесконечности. Гармонические колебания. Физический маятник без трения. Пружинный маятник с трением о стол. Аттрактор этой модели. Метод Герона и метод Ньютона как нелинейное разностное уравнение. Условия сверхсходимости итерационного процесса. Бассейны притяжения и множества Жюлиа.


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Жесткие и мягкие математические модели. М., МЦНМО, 2008.

2. А.О.Гельфонд. Конечно-разностные уравнения. М. «Наука», 1967, URSS, 2006.

3. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.


Дополнительная литература

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.

3. В.А.Гордин Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают

и как их решать? Рукопись в формате pdf.


Раздел 2. Первые интегралы и устойчивость по Ляпунову.

Определение первого интеграла. Фазовые портреты. Первый интеграл для некоторых уравнений второго порядка. Уравнение Кортевега – де Вриса: первый интеграл и солитонное решение. Первый интеграл для модели войн при доминировании истребления. Почему при доминировании рождаемости первого интеграла нет – роль типа стационарной точки. Лемма Морса (без док.).


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 2002.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

3. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.


Дополнительная литература

В.А.Гордин Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают

и как их решать? Рукопись в формате pdf.


Раздел 3. Семейства траекторий. Уравнение в вариациях. Гомотопия. Метод стрельбы (пристрелки) для решения краевой задачи. Изменение фазового объема в окрестности траектории. Дивергенция векторного поля. Теорема Лиувилля, спектр матрицы системы и разбегание траекторий.


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 2002.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.


Раздел 4. Интерполяция и аппроксимация. Интерполяция и экстраполяция. Формула Лагранжа для интерполяционного многочлена. Проблема устойчивости интерполяции к шумам. Нормированные пространства. Пространство C. Константа Лебега. Рост константы Лебега со степенью интерполяционного многочлена на равномерных и чебышёвских сетках. Тригонометрическая интерполяция. Аппроксимация производных на сетке. Порядок аппроксимации. Компактные схемы аппроксимации. Сплайны, их порядок и дефект. Кубические сплайны порядка 3 и дефекта 1. Граничные условия. Трехдиагональные системы. Оценка спектра по теореме Гершгорина. Прогонка. Оценка числа операций. Преимущества сплайн-интерполяции.


Основная литература.

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука'', М., 1987.

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.


Дополнительная литература

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М., Мир, 1972.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

4. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М., Мир, 1986.

5. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.


Раздел 5. Введение в разностные схемы для решения задачи Коши. Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. Метод экстраполяции Ричардсона для повышения точности схемы. Квадратурные формулы. Вычисление интегралов с особенностями подынтегрального выражения. Оценка интегралов, зависящих от параметра.


Основная литература.

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука'', М., 1987.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.


Дополнительная литература

1. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

2. Р.П.Федоренко: Лекции по вычислительной физике. М., МФТИ, 1994, 2008.


Раздел 6. Метод Фурье разделения переменных для решения начально-краевых задач для простейших уравнений математической физики. Вывод уравнений переноса, теплопроводности, диффузии. Самосопряженность оператора второй производной в пространстве . Роль граничных условий. Ортогональные базисы. Полиномы Лежандра и формула Родрига. Собственные функции оператора второй производной. Разложение в ряд Фурье. Представление функции Грина в виде ряда по собственным функциям.


Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.


Раздел 7. Введение в теорию обобщенных функций. Линейные непрерывные функционалы в пространстве С. Дельта-функция. Функционалы типа функция. Линейные операторы в пространстве функций: ограниченные и неограниченные. Примеры. Дельтообразная последовательность. Слабая сходимость последовательности функционалов. Обобщенная производная. Производная дельта-функции. Обобщенные решения дифференциального уравнения с особенностями. Преобразования Фурье обобщенных функций.


Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

2. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.


Раздел 8. Основные свойства преобразования Фурье и преобразования Лапласа. Пространство . Преобразования Фурье. Основные свойства: линейность, унитарность (теорема Планшереля – без док.). Различные нормировки преобразования. Операторы сдвига и дифференцирования. Символы дифференциального и разностного операторов. Формула обращения. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Преобразование Фурье от убывающей экспоненты, умноженной на функцию Хевисайда. Преобразование Фурье от рациональных функций. Интеграл Лапласа. Преобразование Фурье от гауссианы. Собственные функции преобразования Фурье. Свертка. Решение уравнения в виде свертки. Убывание образа Фурье на бесконечности. Операционное исчисление. Оригиналы и изображения. Формулы для преобразования функции Хевисайда, экспоненты, дельта-функция и ее производные. Сдвиг и дифференцирование. Изображение периодических функций. Формула обращения. Формула свертки. Оригиналы рациональных функций. Применение к задаче Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами.


Основная литература.

1. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

3. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., Наука, 1971.


Дополнительная литература

Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т.1., М., Наука, 1969.

2. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

3. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-3. М., Наука, 1969, Спб., Лань, 2002.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., Физматгиз, 1960.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.


Раздел 9. Специальные типы систем ОДУ. Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры.


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.


Дополнительная литература

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. В.И.Арнольд: Математические методы классической механики. ``Наука'', М., 1989.

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц: Механика, ``Наука'', М., 1965.


Раздел 10. Особые точки дифференциальных уравнений. Возможность обобщенных решений. Регулярные и иррегулярные особые точки линейных ОДУ. Уравнение Эйлера и его определяющее уравнение. Метод Фробениуса.


Основная литература.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.


Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

^

6Формы контроля знаний студентов





Тип контроля

Форма контроля

Год

Параметры

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

1

1

Письменная работа 100 минут

Домашнее задание

5

5

4 задачи для аналитического и компьютерного решения. Срок решения 2 недели.

Итоговый

Экзамен




1

Устный экзамен 150 мин.



^

6.1Критерии оценки знаний, навыков


При текущем контроле студент должен продемонстрировать понимание пройденного материала, владение методами определения решения или качественного исследования соответствующего дифференциального уравнения. В домашнем задании студент также должен продемонстрировать владение численными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями (задача Коши, краевая задача и т. п.).

Это же должен продемонстрировать студент и на итоговом экзамене

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.

Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.
^

7Образовательные технологии


Стандартные лекционно-семинарские занятия. Работа в компьютерном классе. Ответы на вопросы студентов.

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля


Несколько тысяч задач имеется в тексте книг:

В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.

В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

В.А.Гордин Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись в формате pdf.

Задачник Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.

^

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


  1. Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями ?

  2. Построить кубический многочлен, который на концах отрезка [-1,1] принимает нулевые значения, а производная его на левом конце равна –1, а на правом Y. Построить график.

  3. Методом разделения переменных решить уравнение при Под словом решить понимается описание общего решения при произвольных начальных данных. Для каждого из вариантов построить несколько траекторий.

  4. Известно, что в момент первая популяция имела численность 2Y, а вторая Y. Первая популяция возрастает со временем согласно уравнению , а вторая . В какой момент численности обеих популяций будут (или были) равными?

  5. Построить график решения уравнения с начальным условием Y при . В какие моменты решение будет в два раза больше и в два раза меньше начального значения?

  6. Рассмотрим три дифференциальных уравнения первого порядка вида: , где с начальным условием при t=0: z(0)=Y. Методом разделения переменных найти решение в максимально возможных пределах в обе стороны по t. Существенен ли знак модуля в уравнении ? Построить графики решений.

  7. Для уравнения фон Берталанфи с определить время удвоения объема при различных начальных данных.

  8. Для уравнения Гомперца финальная масса вдвое больше начальной. Временной масштаб . Определить константу r.

  9. Привести к диагональному виду оператор с матрицей .

  10. Решить систему дифференциальных уравнений с начальным условием . Построить графики компонентов решения на отрезке [0,3].

  11. То же задание для системы с матрицей B=A-2E, E – единичная матрица.

  12. Ответить еще раз на вопросы 8-10, используя метод Рунге-Кутты. Сравнить полученные графики с аналитическими. Исследовать зависимость погрешности численного решения от шага схемы Р-К и времени интегрирования.

  13. Чтобы удержать груз на канате, перекинутом через балку, нужна сила кг, а чтобы начать подтягивать на свою сторону + Y кг. Определить вес груза. Определить коэффициент трения, если угол обхвата градусов.

  14. В следующих задачах начальные данные для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка пробегают единичную окружность: Требуется описать (и нарисовать кривые – геометрическое место точек) множество решений в следующие моменты времени t=-1, 1, 2. Для ориентировки: если А – нулевая матрица, то все три искомые кривые совпадают с единичной окружностью, а если А – единичная матрица, то это окружности радиуса . Для каждой задачи указать, имеется ли у системы первый интеграл ?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

15. Для уравнений химической кинетики при на фазовой области описать множество начальных условий, для которых реакция полностью заканчивается за время Y.

16. Пружинный маятник с трением описывается уравнением . Пусть Построить графики решения при нескольких различных начальных данных. Построить фазовые портреты.

17. Длина физического маятника без трения Y см. Ускорение свободного падения g=9,8 м/сек^2. Определить период малых колебаний. Численно определить амплитуду колебаний при которых период вдвое и втрое больше. Для уравнения идеального маятника энергетическим методом построить траектории. Интеграл для периода колебаний вычислить методом Симпсона. Построить график зависимости периода колебаний от его амплитуды.

18. Построить методом Рунге – Кутты траектории (несколько - с разными начальными данными) для уравнения маятника с трением .

19. Тот же вопрос для

20. Для уравнения подобрать частоту так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний была максимальна. Построить графики и траектории для решения (с нулевыми начальными условиями) для этой частоты, а также для и 2.

21. Построить траектории для уравнения

22. Пусть функция - ступенчатая, попеременно на отрезках равной длины принимающая значения 1 и -1,

23. Для уравнения подобрать частоту так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний была максимальна. Построить графики и траектории для решения (с нулевыми начальными условиями) для этой частоты, а также для и 2.

24. Построить траектории для уравнения

25. Определить численно зависимость периода и сдвига фаз между компонентами решения от амплитуды периодических решений системы Лотки – Вольтера при Построить графики решений для нескольких вариантов начальных данных.

26. Для уравнений химической кинетики построить графики зависимости решения от времени при

27. Для многочлена определить значения , при которых имеется вырожденная стационарная точка. Как различаются многочлены со значениями по разные стороны от числа ? Построить графики для примеров.

28. Параметрическим называется резонанс вследствие изменения коэффициентов уравнения. Для уравнения второго порядка численным экспериментом определить, при каких значениях параметров теряется устойчивость состояния покоя? Указать границы областей параметров, где ПР наблюдается. Для нескольких вариантов параметров построить графики решения.

29. Построить интерполяционные многочлены (16 штук) с узлами (–Y),0,1,2 с интерполяционными значениями . Построить графики.

30. Пусть каждая пара бессмертных кроликов на первом месяце не рожает, на втором месяце рожает (Y+1) пару, а потом каждый месяц по одной. Найти характеристические числа соответствующего уравнения (график характеристического многочлена построить). Оценить численность популяции спустя много месяцев и сравнить с результатом, полученным прямым вычислением (построить график разности). Вначале была 1 пара, только что родившаяся.

31. Для системы уравнений Лотки-Вольтерра с параметрами из задачи 25 определить погрешность (изменение первого интеграла в конечный момент времени по отношению к начальному) в зависимости от периода и шага разностной схемы Рунге-Кутты 4-го порядка с постоянным шагом (была разослана). Время интегрирования – 100 периодов.

32. Использовать экстраполяционный метод Ричардсона для уменьшения этой погрешности. В каком диапазоне шагов метод неэффективен и почему?

33. Привести пример линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой начало координат асимптотически устойчиво и существуют решения, модуль которых сначала растет, а потом убывает. Привести графики компонент и модуля таких решений. Возможно ли, чтобы все решения системы с асимптотически устойчивой стационарной точкой обладали таким свойством немонотонности ?

34. Пусть . Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек. Нарисовать изолинии f.

35. Пусть . Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек.

36. Исследовать системы методом разделения переменных. Устойчивы ли стационарные точки этих систем? Сопоставить с исследованием устойчивости методом Ляпунова.

37. Для уравнения пружинного маятника с трением с начальным условием определить число колебаний до остановки.

38. Методом Ньютона исследовать уравнение

39. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Докажите, что он оставляет инвариантным подпространство многочленов степени не выше 10. Вычислить матрицу этого оператора в базисе, составленном из мономов. Вычислить спектр этого оператора. То же для многочленов степени не выше 12.

40. Для дифф. уравнения Бесселя степени 2: построить решение, ограниченное в нуле. При малых r строить разложением в ряд Ньютона, а потом при некотором использовать полученные в качестве начальных данных для метода Рунге-Кутты, каковым интегрировать до . Оценить зависимость погрешности от числа членов ряда Ньютона, выбора и шага схемы. Применить метод Ричардсона для повышения точности.

41. Для сетки {-Y,0,1,2,3} построить многочлен степени 5, который во всех узлах обращается в нуль, а первая производная которого в левой точке равна 1. То же для правой точки. Построить графики.

42. Построить сплайн-интерполяцию функции sin(x) на этой же сетке при граничных условиях на первые производные на крайних точках: а) нулевые, б) истинные (получить дифференцированием синуса в крайних точках). То же для вторых производных. Построить графики.

43. На единичной окружности задана равномерная сетка из Y+10 точек. Значения сеточной функции равны значениям функции sin(x). Вычислить в точках сетки первую и вторую производные по компактной схеме и сравнить с истинным результатом. Построить графики.

44. На маятник сбоку дует ветер. Поэтому уравнение для его колебаний принимает вид: Нужно a) Объяснить физический смысл В; b) Построить фазовый портрет и проинтегрировать уравнение при А=1, В=Y. c)При этих же значениях параметров определить зависимость периода от амплитуды и сравнить со случаем В=0.

45. Для уравнения маятника с трением рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить соответствующие параллелограммы при t=-1, 1, 3. Построить график зависимости вронскиана от времени.

46. То же для начальных данных в круге . Приложить распечатку программы.

47. Для уравнения , зависящего от параметра рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить для |t|< 1 решения при Построить разности решений для 0,01 и 0, для 0,02 и 0. Построить решения для уравнения в вариациях, полагая Для тех же значений вычислить его решение. Сравнить оба метода. Оценить скорость нарастания погрешности метода уравнения в вариациях со временем.

48. Для уравнения второго порядка численным экспериментом определить, в зависимости от значений параметров , след и определитель матрицы монодромии. Определите мультипликатор с наибольшим модулем. Постройте кривые, на которых он равен 1, - они являются границами устойчивости нулевого решения (и параметрического резонанса). Сопоставить с результатами задачи, полученными в 47.

49. Для уравнения методом вариации постоянных получить общее решение.

50. Полный эллиптический интеграл второго рода задается формулой Этот интеграл при произвольных k не выражается через элементарные функции. Требуется вычислить E(k), E’(k) при k=0, 1. Построить квадратный многочлен на отрезке [0,1] по заданным значениям функции на краях отрезка и значении производной на левом краю. Построить график и сравнить с истинным (например, взятым из ИНТЕРНЕТа, или какого-нибудь справочника, или оцененного численно с помощью квадратурной формулы) графиком E(k). Как можно построить приближение к функции E(k), учитывающее асимптотику производной при K=1? При k=Y/60 вычислить погрешность |E(k)- |.

Справка. Эллиптические интегралы встречаются у Джона Уоллиса в 1655-1659гг. Веком позднее, в 1753г. их исследовал Леонард Эйлер. Используемая здесь форма этих интегралов введена А.М.Лежандром в начале 19в.

51. Шарик с нулевой начальной скоростью под действием силы тяжести без трения движется под действием силы тяжести по желобу, имеющему форму параболы, причем z(0)=1, z(Y)=0. Требуется с помощью численных экспериментов определить, какая из парабол обеспечивает наименьшее время для достижения конечной точки.

52. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы с гамильтонианом

Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость , описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство Предположим, что среда «слоистая»: Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол , при котором лучи не покидают волновод

^

8.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля


См. пункт 8.1.

9Порядок формирования оценок по дисциплине


На оценки и промежуточного и окончательного контроля влияет владение студентом аппаратом дифференциальных уравнений и предшествующих математических дисциплин (математическим анализом и линейной алгеброй), а также умение решать задачи по материалу курса.

Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.


Промежуточный контроль: 1 контрольная работа, учитываемая с весом 0,2. Домашняя работа учитывается с весом 0,2. Ответ на экзамене учитывается с весом 0,6.

Оитоговая = 0,2·Одом.зад +0,2·Оконтр + 0,6·Оэкзамен .


Итоговый контроль: зачет (теоретический вопрос и задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное).

Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,

• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,

• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,

• 8 ≤ O ≤10 -отлично.


Способ округления всех оценок – арифметический.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом выставляет итоговая оценка по учебной дисциплине.
^

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


Указано по разделам выше, в том числе и рукопись книги в формате pdf.

10.2Основная литература


Указана по разделам выше

10.3Дополнительная литература


Указана по разделам выше

10.4Справочники, словари, энциклопедии не используются

10.5Программные средства


  • Выбор программных средств для реализации алгоритмов осуществляется студентом.

10.6Дистанционная поддержка дисциплины


Предусмотрена электронная переписка со студентами.




Скачать 246,12 Kb.
оставить комментарий
Дата30.11.2011
Размер246,12 Kb.
ТипПрограмма дисциплины, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх