Ю. Н. Шунин Лекции по теории вероятностей и математической статистике icon

Ю. Н. Шунин Лекции по теории вероятностей и математической статистике


Смотрите также:
— форма расчленения набора a на два под­множества взаимно несовместных событий. События h и...
Календарный план по теории вероятностей и математической статистике 2 курс 4 факультет 2007/2008...
А. Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики»...
Новые книги, поступившие в МУК «Кингисеппская ЦГБ» в I кв. 2009 г....
Задачи всероссийских студенческих олимпиад по теории вероятностей и математической статистике:...
Глеб Несторович Сакович  воспоминания...
Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория вероятностей...
Урок №1 тема: история развития теории вероятностей. Предмет теории вероятностей...
Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика»...
Задачи по теории вероятностей и математической статистике...
Программа дисциплины ф. 15...
Программа наименование дисциплины Теория Вероятностей и Математическая Статистика Рекомендуется...



Загрузка...
скачать


Ю.Н. Шунин Лекции по теории вероятностей и математической статистике. ISMA, Рига, 2003

Лекция 3. Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей


Введение


Теория вероятностей раздел математики, изучающий слу­чайные величины и их распределения.

Развитие теории вероятностей обычно связывают с европей­скими игроками и математиками XVII в.

Результаты работ Б. Паскаля (1623—1662), а также работы П. де Ферма (1601—1665), Г. Галилея (1564—1642), Я. Бернулли (1654-1705), П.С.Лапласа (1749-1827), А. де Муавра (1667-1754) и других ученых легли в основу современной теории веро­ятностей. Середина XVII в. обычно считается периодом создания основ теории вероятностей. В XIX в. теория вероятностей сфор­мировалась как стройная математическая дисциплина в связи с выдающимися работами русского математика П.Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников А.А. Маркова (1856—1922) и А.М. Ляпунова (1857—19'18). В нашем столетии значительный вклад в развитие современной теории вероятностей внесли отечест­венные ученые: С.Н. Бернштейн, Б.В. Гнеденко, АН. Колмогоров, B.C. Пугачев, В.И. Романовский, Н.В. Смирнов, А.Я. Хинчин и др. Широкую известность приобрели фундаментальные работы зару­бежных ученых: Г. Крамера, Д. Неймана, Р. Фишера, М. Кендалла, А. Стьюарта и др.

Вероятность количественная мера неопределенности, число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного события.

Вероятность число Р(А) [0;1], характеризующее степень возможности появления определенного события А.

Сегодня теория вероятностей — обязательный инструмент анализа ситуации, включающих неопределенность. Основной зада­чей теории вероятностей является установление математических законов для исследования случайных явлений массового харак­тера и предвидения их на основании отдельных фактов.

Почему именно массовые случайные явления? В окружающем нас мире мы имеем дело с различными случайными явлениями, сравнительно большое число которых подчиняется определенным закономерно­стям, проявляющихся только при большом числе наблюдений.

Теория вероятностей формирует основу для статистического вывода, а также для других областей научного и практического знания, требующих количественной оценки наступления или ненаступления некоторого события, таких, как контроль качест­ва, принятие управленческих решений в фирме, биологии, фи­зике, инженерных расчетах и, конечно, в экономике.


^ 3.1. Алгебра событий


Математическим обсуждением связей между событиями за­нимается алгебра событий. Алгебру событий называют иначе алгеброй Буля по имени английского математика Джорджа Буля (1815—1864).

Для того чтобы понять смысл вероятности, вспомним неко­торые понятия теории множеств и операции над множествами.

Множество одно из основных понятий математики; набор каких-либо различных объектов, или элементов, рассматривае­мый как одно целое.

Множество это совокупность, набор, коллекция, собрание каких-либо элементов, объединенных по определенному признаку. Число элементов в множестве может быть конечным и беско­нечным (все числа, лежащие между 0 и 1).

Полное множество набор, содержащий все элементы в за­данном контексте. Полное множество обозначается буквой X.

Пустое множество набор, не содержащий элементы. Обо­значается как . Всякое подмножество Х есть множество (например, множе­ство А, и ). Задав набор ^ А, можно определить его дополнение.

Дополнением множества А является набор, содержащий все элементы из полного набора X, которые не являются элемента­ми набора А. Обозначим дополнение А как . Набор также называют «не А».

Д
Рис. 3.1. Диаграммы Венна
иаграммы Венна
названы по имени английского логика Джона Венна (1834—1923) — наглядно представляют операции множеств и связанные с ними соотношения. На диаграммах Венва множество обозначается кругом, эллипсом или другой геометрической фигурой внутри прямоугольника, обозначаю­щего полное множество.

Взаимоотношение между набором А и его дополнением по­казано на рис. 3.1, а.

Пример 3.1.

Пусть полный набор — все студенты института. Определим А как множество студентов, сдавших летнюю сессию только на отлично. До­полнение А есть множество студентов неотличников. В сумме А и все студенты института.

Рассмотрим два набора А и В внутри полного множества X, где А, В — подмножества X. Определим пересечение А и В.

Пересечение А и В (обозначается как АВ) есть набор, со­держащий все элементы, которые являются членами и А и В (см. рис. 3.1, б).

Объединение А и В (обозначается AВ) есть набор, содер­жащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе (см. рис. 3.1, в).

Продолжим рассмотрение нашего примера со студентами. Определим В как множество студентов, сдавших зимнюю сессию на отлично. Тогда пересечение А и В — подмножество студентов, сдавших на отлично и летнюю и зимнюю сессию.

Объединение А и В— подмножество студентов, которые сдали на от­лично или летнюю, или зимнюю, или обе сессии.

Два набора могут не иметь пересечения. В этом случае мы говорим, что пересечение А и В есть пустое множество (см. Рис. 3.1, г). В примере с успеваемостью студентов подмножество студентов, получивших двойки в летнюю сессию, не пересекается с подмножеством отличников.


^ 3.2. Основные определения: испытание, событие. Классификация событий


Опыт (эксперимент, испытание) ситуация с более чем од­ним возможным исходом, из которых всегда имеет место точно одно так называемое элементарное событие. Исходом опыта мо­жет быть результат наблюдения или измерения.

Извлечение карты из колоды — эксперимент. Один из исходов экс­перимента есть извлечение дамы бубен. Бубновую даму можно из­влечь из колоды 36 карт и 52 карт. Число карт — условие испытания.

Единичный, отдельный исход эксперимента называется эле­ментарным событием. Набор всех элементарных событий — пространство событий (множество).

Извлечение любой карты из колоды — элементарное событие. Полному набору событий соответствует полное множество X, относящееся к заданному эксперименту. Полный набор событий — набор всех возможных исходов эксперимента. Элементарному событию соответствует только одна точка пространства событий. Аналогом элементарного события является элемент множества.

Следует заметить, что теория вероятностей изучает не любые события, а случайные события.

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого экспери­мента. (В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный»).

Событие это любое подмножество пространства событий. Это набор элементарных исходов. В диаграммах Венна событию соответствует подмножество элементарных событий. Мы говорим, что событие произошло, если в результате эксперимента про­изошло элементарное событие, принадлежащее этому поднаберу.

Например, элементарные события — «туз конкретной масти» — благоприятствуют случайному событию «туз».

События обычно обозначаются заглавными буквами латин­ского алфавита: А, В, С, D, Е, F и т.д. По аналогии со свойствами множеств можно классифициро­вать и события.

Достоверное событие это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. (Например, если в урне со­держатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример: если подбросить вверх камень, то он обязательно упадет на Землю вследствие действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо извес­тен). Достоверные события условимся обозначать символом .

Невозможное событие это событие, которое не может про­изойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невоз­можное, так же как и выпадение выигрыша на все номера об­лигаций в каком-либо тираже выигрышного займа. Невозмож­ное событие обозначим .

Достоверные и невозможные события не являются случайными.

Совместные события несколько событий называют совме­стными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. (Например, при бросании трех монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах). В магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел по­купатель старше 60 лет» и «в магазин вошла женщина» — совме­стные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.

Несовместные события несколько событий называют не­совместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. (Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы как результат одной пар­тии — три несовместных события).

События называют единственно возможными, если в резуль­тате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два,..., или все события из рассматриваемой со­вокупности событий произойдут; одно точно произойдет). На­пример, некоторая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следую­щих событий: «потребитель услышал о товаре по радио», «потребитель прочитал о товаре в газете», «потребитель получил информацию о товаре по радио и из газеты», «потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты». Эти четыре собы­тия единственно возможные.

Несколько событий называют равновозможными, если в ре­зультате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие (при бросании иг­ральной кости появление каждой из ее граней — события равновозможные).

Два единственно возможных и несовместных события назы­ваются противоположными (купля и продажа определенного ви­да товара есть события противоположные).

Полная группа событии совокупность всех единственно возможных и несовместных событий.

Полную группу можно определить так: , если для любой пары (i j), тогда{a1, a2,a3, …an} пол­ная группа событий.


^ 3.3. Классическое определение вероятности. Свойства, вытекающие из этого определения


Игровые модели дают хорошие примеры вероятностей и ил­люстрируют методы оценки вероятностей. Основная причина этого в том, что азартные игры обычно включают механические схемы — кости, карты, рулетку. Если предположить отсутствие мошенничества, то эти «механические схемы» имеют тенденцию выдавать набор выходных результатов, которые равновозможны, что позволяет вычислять вероятность выигрыша в игре.

Пример 3.2.

Предположим, что подбрасывают кость и выигрывают, если появляется ^ 1 или 2; каковы шансы на выигрыш?

Решение. Так как существует 6 равновозможных чисел и выигрыш наступает, если появится любой из двух исходов (двух чисел), то веро­ятность выигрыша вычислится как отношение двух выигрышных шан­сов к шести возможным и будет равна 2/6.

Объективная вероятность вероятность, базирующаяся на симметричной игре шансов или одинаковых ситуациях. Эта ве­роятность обычно называется классической вероятностью и исхо­дит из того, что определенные явления бывают равновозможными. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в честной игре в кости имеют равную возможность появления.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого собы­тия, к общему числу всех единственно возможных и несовмест­ных элементарных исходов. Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N, тогда

P(A)=M/N , (3.3.1)

где М — целое неотрицательное число; 0 М N.

Формула (3.3.1) — классическое определение вероятности. Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события.

Если, к примеру, некоторая фирма в течение определенного времени провела опрос 1000 покупателей о новом сорте напитка, и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероят­ность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1000=0,02. В этом примере 20 — это частота наступления со­бытия, а 20/1000=0,02 — это относительная частота.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний n:

W(A)=m/n , (3.3.2)

где т - целое неотрицательное число; 0  тп.

  • Чем же отличается относительная частота от вероятно­сти? Относительная частота — результат многократных испыта­ний. С увеличением числа испытаний относительная частота проявляет тенденцию стабилизироваться, проявляет устойчи­вость, а именно, приближается с затухающими отклонениями к постоянному числу, называемому статистической вероятностью. В качестве статистической вероятности события принимают от­носительную частоту или число, близкое к ней.

Так, например, известный французский естествоиспытатель Бюффон по 4040 бросаниям монеты получил относительную частоту по­явления герба, равную 0,50693. У английского статистика Пирсона по результатам 23 000 бросаний монеты относительная частота ока­залась равной 0,5005. Демографам хорошо известна цифра 0,514 (на 1000 рождающихся детей приходится в среднем 514 мальчиков).


Статистической вероятностью события А называется отно­сительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний.

Будем обозначать её P*(A) . Следовательно,

,

но, как мы уже видели в приведенных примерах, статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е. P*(A) P (А).

Для определения вероятности выпадения «1» или «2» при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель иг­ры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем опреде­лить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, — это априорная (до опыта) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта,— это апостериорная (после опыта) вероятность; т.е. классическая вероятность — априорная, а статистическая — апостериорная.

  • ^ Почему мы считаем вероятность потребительских предпоч­тений объективной вероятностью? Подобно вероятности «игры в шансы» она объективна в том смысле, что в нее не включаются индивидуальные суждения.


Пример 2.3.


Аналитик следит за движением цен на акции фирмы IBM в определен­ном промежутке времени и желает оценить вероятность того, что акции под­нимутся в цене на следующей неделе. Это другой тип вероятностной (неопределенной) ситуации. У аналитика нет столь ясного набора равно­вероятных исходов, где «акции компании IBM поднимутся в цене на следующей неделе», — есть один из заданного числа исходов этих рав­новероятных возможностей. Следовательно, аналитическое оценивание вероятностей наступления события будет субъективным. Аналитик будет основываться на его собственных оценках этой вероятности, на основе знаний о сложившейся ситуации, предположений или интуиции. Раз­личные люди могут указать различные вероятности этого события в зави­симости от их опыта и знаний, поэтому такая вероятность и называется субъективной вероятностью.

Субъективная вероятность включает индивидуальные сужде­ния, информацию, интуицию и другие критерии. Изучение субъективных вероятностей как области научного знания нача­лось в 30-х гг. XX в. Поскольку идет процесс ее становления, то это — дискуссионная область теории вероятностей. Она близко ассоциирует с методами принятия решений в условиях неопределенности. Эксперт, оценивающий вероятность успеха какого-либо события, предлагает в качестве решения персональное су­ждение, базирующееся на личном знании, ощущении ситуации. Субъективная вероятность также называется персональной веро­ятностью. Субъективная вероятность одного эксперта может существенно отличаться от субъективной вероятности другого при оценке одного и того же события.

Какой бы вид вероятности ни был выбран, следует уяснить, что для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.

Рассмотрим свойства вероятности, вытекающие из классиче­ского определения.

1. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Р() = 1. Действительно, если событие A=, то М = N, значит. P()=N/N= 1.

2. Если событие невозможное, то его вероятность равна , т.е. P() = 0.

Если А = , то оно не осуществится ни при одном испы­тании, т. е. М = 0 и P() = 0/N = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное чис­ло, заключенное между 0 и 1. В самом деле, так как 0 МN , то 0M/N т.e. 0Р(А)<1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1,

т.е. Р(А)+Р()=1. В самом деле, P()=(N-M)/N=l-M/N= = 1-Р(А), а отсюда:

Р(А)+Р()=1, (3.3.3)


Например, если вероятность извлечения туза равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна 1 - 4/52 = 48/52.


Чем больше значение вероятности внутри интервала от 0 до 1, тем более мы уверены в наступлении случайного события. Веро­ятность, равная 0,95, предполагает высокую степень уверенности в наступлении события. Вероятность 0,80 также предполагает высокую степень уверенности. Когда вероятность равна 0,5, то событие имеет равные шансы как произойти, так и не произой­ти. Когда вероятность равна 0,20, то событие скорее всего не произойдет. Когда вероятность равна 0,00005, то мы уверены, что событие практически не может произойти, и так далее.


Неформальную интерпретацию вероятности наступления случайного события иллюстрирует рис.3.2.


0.00-0.25

0.25-0.50

0.50

0.50-0.75

0.75-1.00

1

Событие скорее всего

Не прои­зойдет


Событие скорее

не прои­зойдет, чем произойдет


Событие имеет одинаковую возможность как произойти, так и не произойти

Событие скорее произойдет, чем не прои­зойдет


Событие скорее

' всего произойдет



Событие произойдет

обязательно


Рис. 3.2. Интерпретация наступления случайного события


Заметим, что вероятность есть мера, принимающая значения от 0 до 1.

В обыденной жизни мы часто употребляем термин «вероятность» в менее формальном значении.^ Так, люди часто оценивают шансы. Если шансы 1 к 1, то вероятность равна 1/2; если шансы I к 2, то вероятность равна 1/3; т.д. Люди также иногда говорят:

«Вероятность равна 30%». Мы должны избегать подобных опреде­лений и всегда иметь дело с вероятностью как числом между 0 и 1. Такая интерпретация гораздо яснее.

Алгоритм решения задач по определению вероятности события:

1. Определить состав эксперимента.

2. Определить элементарное событие в данном опыте.

3. Определить полную группу событий, найти число элемен­тарных событий, составляющих полную группу событий.

4. Определить интересующее нас событие, найти число эле­ментарных событий, составляющих интересующее нас со­бытие.

5. Найти вероятность события по формуле (3.3.1).

Пример 2.4.

Монета подбрасывается три раза, найти вероятность того, что при этом (безразлично в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра?

Решение.

1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбра­сывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет).

2. Элементарным событием является любое сочетание последова­тельности выпадений сторон на трех подбрасываемых монетах.

3. U = {ггг, ццц, гцг, ццг, ггц, цгц, цгг, гцц}, N= 8.

4. Событие А — «выпадение двух гербов и одной цифры», М= 3.

5. Р(А}= M/N = 3/8 = 0,375.


^ 3.4. Основные теоремы теории вероятностей


Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

или

Р(A + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ}, P(AB}= Р(А)+Р(В)-Р(А В). (3.4.1)


Доказательство. Пусть событию А благоприятствуют М исхо­дов, а всего N исходов и М < N; событию В благоприятствуют К исходов; событию АВ благоприятствуют L исходов. Тогда Р(А) = = M/N; Р(В) = K/N; Р(АВ) = L/N. Сумму А + В по определению нужно понимать так:




Рис. 3.3. К доказательству теоремы сложения вероятностей


Наступлению только события А благоприятствуют L) исходов. Аналогично наступлению только события В благопри­ятствуют (К — L) исходов. Найдем вероятность события + В} исходя из классического определения (3.3.1):

^ Р(А + В)=((M-L)+(K-L)+L)/N=(M+K+L)/N=M/N+K/N-L/N= Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Правило сложения позволяет записать вероятность объеди­нения двух событий в терминах вероятностей этих двух событий и вероятности их пересечения.

^ Вероятность пересечения двух событии Р(АВ) вероятность их совместного наступления при проведении эксперимента. Смысл этого правила очень прост и понятен интуитивно: когда мы складываем вероятности событий А, В, мы измеряем, или взвешиваем, вероятность их пересечения дважды — первый раз, когда измеряем относительный размер события А внутри пространства событий, и еще раз, когда делаем то же самое с событием В. Отсюда, поскольку относительный размер, или ве­роятность пересечения двух наборов, взвешивается дважды, мы вычитаем одно из них и, следовательно, получаем истинную ве­роятность объединения двух событий.


Пример 2.5.


Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Определим события: ^ А ~ «извлечение туза», В — «извлечение карты трефовой масти». Вероятность извлечения туза из колоды карт P(A)= 4/52; вероятность извлечения карты трефовой масти Р(В) = 13/52; ве­роятность их пересечения — извлечение трефового туза: Р[АВ\= 1/52. Согласно правилу объединения событий (3.4.1):

Р(А B) =4/52 + 13/52 - 1/52=16/52.

Проиллюстрируем это (рис. 3.4):




Трефы

Бубны

Пики

Червы




Событие A

Туз

Туз

Туз

Туз

Событие A

Король

Король

Король

Король




Дама

Дама

Дама

Дама




Валет

Валет

Валет

Валет




10

10

10

10















2

2

2

2





Рис. 3.4. К примеру 3.5


Правило сложения вероятностей особенно полезно, когда нам неизвестно число элементарных событий, составляющих пространство объединенных событий, но известны отдельные вероятности этих событий.

Например, предположим, что вероятность получения опре­деленной работы равна 0,4; вероятность получения другой рабо­ты 0,5; вероятность получения предложения на оба вида работы

равна 0,3. В результате вероятность получения по крайней мере одного из видов работы равна 0,6 (так как 0,4 + 0,5 — 0,3 = 0,6). Для несовместных событий их пересечение есть невозмож­ное событие 0, а вероятность его равна нулю:

Для несовместных событий А, В:

Р(А+В}=Р(А)+Р(В), или Р(АВ}=Р(А)+Р(В), (3.4.2)


Это правило, строго говоря, не является новым, поскольку всегда можно использовать уравнение (3.4.1) для объединения двух событий: если два события взаимно несовместны, то вычи­тают нуль как вероятность пересечения этих событий.


Пример 3.6.

Продолжая пример с картами, определим, чему равна вероятность извлечения либо карты масти «треф», либо карты масти «бубна». Обозначив событием С «извлечение карты бубновой масти», будем иметь:

Р(В +С) = P(B)+P(C)= 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2.

Мы не должны вычитать вероятность пересечения этих событий, поскольку нет карт, имеющих масти «треф» и «бубна» одновременно.

Правило сложения вероятностей справедливо и для конеч­ного числа п попарно несовместных событий, т. е.

. (3.4.3)

В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных со­бытий исключить повторный учет областей пересечения собы­тий. Рассмотрим три совместных события (рис. 3.5).




Рис. 3.5. Три совместных события

Для случая трех совместных событий можно записать:

Р(А + В + C) = Р(А) + P(B) + Р(С) - Р(АВ) - P(AC) -P(BC)+P(ABC).

Сумма вероятностей событий a1, А2,,..., An, образующих полную группу, равна 1:



или

. (3.4.4)

В самом деле, так как события a1, А2,,..., An образуют пол­ную группу, т. е. они единственно возможные и попарно несо­вместные, то появление одного из них есть событие достовер­ное, т. е. a1,+А2,+...+ An= тогда

.


^ 3.5. Зависимые и независимые события


Вернемся к примеру 3.2. Рассмотрим два события. Пусть со­бытие А — «извлечение короля», В — «извлечение карты с порт­ретом». Тогда вероятность появления короля равна 4/52, а веро­ятность появления короля, если извлеченная карта — картинка, равна 4/16.

Другой пример. В урне два белых и три черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при первом извлече­нии из урны? При втором извлечении из урны?

Здесь возможны два случая.

  • ^ Первый случай. Схема возвращенного шара, т.е. шар после первого испытания возвращается в урну.

Пусть событие А — «появление белого шара при первом ис-яьггании». Так как N = 5, а М = 2, то Р (А) = 2/5.

Пусть событие В — «появление белого шара при втором из­влечении». Так как шар после первого испытания возвратился в урну, то N= 5, а М= 2 и Р (В) = 2/5.

Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае называются независимыми.


Итак, события ^ А, В называются независимыми, если вероят­ность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.Вероятности независимых событий называются безусловными.


  • ^ Второй случай. Схема невозвращенного шара, т.е. шар после первого испытания в урну не возвращается.

Вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались один белый и три черных шара. Чему равна веро­ятность события В при условии, что событие А произошло? N = 4, М= 1.

Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)A или РA(В). Итак, Р(В/А)=1/4 называют условной вероятностью, а со­бытия А, В называются зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А)=4/52; P(A/B)=4/16.

Итак, события А, В называются зависимыми, если вероят­ность каждого из них зависит от того, произошло или нет дру­гое событие. Вероятность события В, вычисленная в предполо­жении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.


Очевидно, что если два события А и В — независимые, то справедливы равенства:

Р(В) = Р(В/А), Р(А) = Р(А/В), или P(В/А) - Р(В) = 0.

Как мера неопределенности, вероятность зависит от инфор­мации, поэтому, когда, например, говорят: «Акции фирмы IBM поднимутся завтра в цене», то это утверждение зависит от того, что известно о компании и о ее возможностях; вероятность зави­сит от вашего информационного набора. Вы можете приписать более достоверную вероятность наступлению интересующего вас события, если вы хорошо осведомлены о делах компании. Мы можем определять вероятность события А как условную по от­ношению к появлению события В. В нашем примере событие А может быть событием, состоящим в том, что «акции поднимутся завтра в цене», а событием В могут быть «благоприятные данные квартального отчета фирмы».


  • ^ Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В) • Р(А/В),

или

Р(АВ)=Р(В) •Р(А/В),

P(AB)=Р(А) •Р(В/А),

Р(АB)=Р(А) •Р(B/А). (3.5.1)

Доказательство. Проиллюстрируем понятие условной веро­ятности для случая равновозможных элементарных исходов, где применимо классическое определение вероятности. Пусть даны два события А, В, такие, что Р(А) 0 и Р(В)  0, и пусть из всех возможных N исходов событию А благоприятствуют М исходов, событию В благоприятствуют К исходов, событию АВ благопри­ятствуют L исходов. Вероятности событий А, В, АВ соответст­венно равны Р(А) = M/N, Р(В) = K/N, Р(АВ) - L/N.




Рис. 2.6. К доказательству теоремы умножения вероятностей


Подсчитаем условную вероятность события В/А. Событию В/А будут благоприятствовать L исходов из М исходов. Тогда Р(В/А) = L/M. Разделим числитель и знаменатель дроби на N и получим:

P(B/A)=(L/N )/(M/N)= Р(АВ)/ Р[А)

Вероятность события В при условии появления события А

P(B/A)=P(AB)/P(A) , (3.5.2)

где Р(А)  0.

Вероятность наступления события В, вычисленная при усло­вии, что событие А уже произошло, равна вероятности пересе­чения событий А и В, деленной на вероятность события А.

Из формулы (3.5.2) следует (3.5.1).

Проиллюстрируем формулу (2.5.2). Предположим, что мы подбросили игральную кость. Пусть событие А — «появилось число 6». Мы знаем, что Р(A) = 1/6. Предположим, что мы не знаем, какое именно число выпало при подбрасывании, но зна­ем, что оно четное (событие Е). Информация о событии Е уменьшает наше пространство событий, изменяет вероятность появления события А. Изобразим эту ситуацию на рис. 3.7.





Рис. 3.7. К формуле (3.5.2)

Пространство событий (полная группа событий) для перво­начального события А выглядит как набор точек от 1 до 6. Про­странство событий, корреспондирующее с событием В, как это видно на рис. 3.7, уменьшилось сразу в два раза. Новое про­странство имеет три равновозможные точки, отсюда вероятность выпадения «б» при условии, что выпавшее число четное, возрас­тает от 1/6 до 1/3. Этот пример хорошо показывает обоснован­ность принятого нами определения вероятности из уравнения (3.5.2), мы имеем:

.

Полученный результат согласуется с тем, что мы поняли из рассмотренного примера, когда уменьшали пространство собы­тий до трех точек.

Пример 3.7.

Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А (событие А) равна 0,45. Экс­перты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9.

Какова вероятность получения консультационной фирмой обоих заказов?

Решение. Согласно условиям P(A)=0,45, P(B/A)=0,9. Необходимо найти P(AB), которая является вероятностью того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут. Из формулы (3.5.1) имеем:

Р(АВ) = Р(А) • Р(В/А) = 0,45 • 0,9 = 0,405.

Пример 3.8.

В большой рекламной фирме 21% работников получает высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы — женщины, а 6,4% работников — женщины, получающие высокую зара­ботную плату. Можем ли мы утверждать,что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда

Решение. Сформулируем решение этой задачи в терминах теории веро­ятностей и спросим: «Чему равна вероятность того, что случайно выбран­ный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?».

Определим событие А — «случайно выбранный работник имеет вы­сокую зарплату», событие В — «случайно выбранный работник — жен­щина», тогда:

P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.064/0.40=0.16

Поскольку 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что жен­щины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов полу­чить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Если события А, В — независимы, то имеет место следующая теорема;

Вероятность произведения двух независимых событии А, В рав­на произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А) •P(B)

или

P(A B)=P(A)P(B). (3.5.3)


  • В Независимость событий в совокупности.

Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их не­зависимость в совокупности. Поэтому введем понятие незави­симых событий в совокупности.

События ai, А2,..., An (п > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Распространим теоремы умножения на случаи я независимых и зависимых в совокупности событий.

^ Вероятность совместного появления нескольких событий, независи­мых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1 • A2 • А3 •... • Аn) = P(A1) • Р(А2) • Р(А3) •... • Р(Аn). (3.5.4)

Вероятность совместного наступления конечного числа зависи­мых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех. остальных, причем условная вероят­ность каждого последующего события вычисляется в предположе­нии, что все предыдущие уже наступили:

Р(A1 • A2А3 •... • Аn,)=Р(А1) • P(A2/A1) • P(A3/A1 • A2) • ... • P(An/ A1 • A2А3 •... • Аn-1 ). (3.5.5)


Пример 2.9.

Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов про­граммы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

Решение. Определим следующие события:

А — «студент знает все три вопроса»;

A1 «студент знает первый вопрос»;

A2 — «студент знает второй вопрос»;

A3 — «студент знает третий вопрос».

События A1, А2, A3 зависимые:

Р (А) = Р (A1) • P(A2/A1) • p(A3/A1• A2) ;

Р(А)=(20/25) • (19/24) • (18/23)=57/115=0.496


Пример 2.10.

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потреби­тель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события — независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы?

Решение. Поскольку оба события независимы, то вероятность пере­сечения двух событий (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде) есть

Р(АВ) = Р(А) • Р(В) = 0,04 • 0.06 = 0,0024.


  • Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного события из п независи­мых в совокупности равна разности между 1 и произведением веро­ятностей событий, противоположных данным:

(3.5.6)

Доказательство. Пусть a1, А2,,… Аn события независимые в совокупности, а противоположные им со­бытия и тоже независимые в совокупности. Обозначим собы­тием А наступление хотя бы одного из событий a1, А2,,… Аn.

Рассмотрим событие (). Оно является про­тивоположным событием по отношению к А. Следовательно, .

Отсюда

.

.Если обозначить , то

Если события a1, А2,,… Аn имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна: Р(А)=1 - qn

^ Если события a1, А2,,… Аn — зависимые в совокупности, то ве­роятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:



Возвратимся к условию примера 3.7, определим веро­ятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

Решение. Пусть событие С — «потребитель увидит хотя бы одну рекла­му». Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По правилу определения вероят­ности объединения (суммы) двух событий находим:

P(C) = Р(А + В)= Р(А) + P(B)-P(AB)=0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.

А по теореме о вероятности наступления хотя бы одного из п незави­симых событий = 1 - 0,096 • 0,94 = 0,0976.

Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы. Эта вероятность может означать долю (процент) населения, охватываемого рекламой с разной часто­той, и отсюда следует оценка рекламных усилий.


Задачи к Лекции 3


Задача 1. фирма по продаже автомобилей рекламирует две новые мо­дели машин по радио и телевидению. Компанию интересует эффективность рекламы, в частности, оценка того, что слу­чайно выбранный человек имеет представление хотя бы об одной из двух рекламируемых моделей- Определим событие А как событие, состоящее в том, что случайно выбранный человек слышал рекламу по радио, а событие В — как собы­тие, состоящее в том, что случайно выбранный человек зна­ет о новых моделях автомобилей из рекламы телевидения. Определить в этом контексте АВ, AВ.

Задача 2. Предположим, что 25% населения живет в области, охвачен­ной коммерческим TV, рекламирующим две новые модели автомобилей фирмы; 34% населения охвачено радиорекла­мой. Также известно, что 10% населения слушает и радио и телерекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной области, то чему будет равна ве­роятность того, что он знаком по крайней мере хо­тя бы с одной из рекламных передач фирмы? Ответ: 0,49.

Задача 3. Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Для анализа деятельности фирме полезно оценить вероятность того, что лицо, интересующее фирму, является держателем акций (событие А) или облигаций (событие В}. Опре­делите в этом контексте А • В, А + В.

Задача 4. Предположим, что 85% людей, которые интересуются воз­можными инвестициями (вложениями) в брокерскую фир­му, не покупают акции, а 33% не покупают облигации. Так­же известно, что 28% интересующихся прерывают покупку ценных бумаг — как акций, так и облигаций. Некто интере­суется делами компании; чему равна веро­ятность, что он будет покупать либо облигации, либо акции, либо и то и другое? Ответ: 0,72.

Задача 5. В 1986 г. в Newsweek была опубликована статья математика Джона Паулса, где он сообщил, что большинство людей не обладает способностью реально оценить вероятность событий, которые могут повлиять на их жизнь, и зачастую люди испы­тывают страх перед событиями, имеющими весьма малую ве­роятность, но не волнуются по поводу событий, имеющих большую вероятность. Например, Паулс приводит следующие данные. В 1985 г. 28 млн американцев путешествовали за гра­ницу и 39 человек из них были убиты террористами. Основы­ваясь на этих цифрах, оцените вероятность Р(А) быть убитым при путешествии за границу. Сравните эти данные с другими статистическими данными, приведенными Паулсом:

1 из 5 млн 300 тыс. американцев, попавших в автокатастрофы в том же году, погиб (вероятность f\B)}.


Задача 6. В автопробеге участвуют 3 автомобиля: первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,15; второй — с вероятностью 0,05; третий — с вероятностью 0,1. Определить вероятность того, что к финишу прибудут:

а) только один автомобиль;

б) два автомобиля;

в) по крайней мере два автомобиля. Ответ: а) 0,02525; б) 0.24725; в) 0,974

Задача 7. В ходе исследования потребительского рынка проводили оп­рос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения используют сорт А, а 9% — сорт В, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту). Ответ: 0,23.

Задача 8. Используем условия предыдущей задачи и предположим, что вопрос о зубной пасте был сформулирован так: «Какие из двух видов зубной пасты Вы использовали в последний ме­сяц?» Потребитель может ответить, что использовал более одного вида зубной пасты. Предположим, что приблизи­тельно 1% людей использует 2 вида зубной пасты в течение месяца. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек использовал по крайней мере одну из двух паст в течение месяца? Ответ: 0,22.

Задача 9. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образо­вание, а 412 — среднее специальное, 357 сотрудников имеют и высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно вы­бранный . работник имеет или среднее специальное, или высшее образование, или и то и другое? Ответ: 0,791.

Задача 10. Консультационная фирма получила приглашение для вы­полнения двух работ от двух международных корпораций. Руководство фирмы оценивает вероятность получения заказа от фирмы А (событие А) равной 0,45. Также, по мнению ру­ководителей фирмы, в случае, если фирма заключит договор с компанией А, то с вероятностью в 90% компания В даст фирме консультационную работу. С какой веро­ятностью компания получит оба заказа? Ответ: 0,405.

Задача 11. Крупная торговая компания занимается оптовой продажей материалов для строительства и ремонта жилья. Компания имеет список покупателей в трех регионах, основанный на её собственной системе кодов, и рассылает им по почте ка­талог товаров. Менеджер компании полагает, что вероят­ность того, что компания не получит откликов на разослан­ные предложения ни из одного из регионов, равна 0,25. В этом случае какова вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из одного региона? Ответ: 0,75.

Задача 12. Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,80. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,40. Используя полученную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет развиваться, а норма процента падать в течение обсуждаемого периода? Ответ: 0,32.

Задача 13. Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему рав­на вероятность того, что он окажется не в со­стоянии вернуть долг банку? Ответ: 0,6.

Задача 14. Секрет увеличения доли определенного товара на рынке со­стоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение новых потребителей товара называется brand loyalty (приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара) и это одна из наиболее ответственных областей рыночных исследований- Производители нового сорта товара знают, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание brand loyalty потре­бует по крайней мере шести месяцев, равна 0,02. Произво­дитель также знает, что вероятность того, что случайно ото­бранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Пред­положим, что потребитель только что изменил марку товара. Какова вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение шести месяцев? Ответ: 0,4.

Задача 15. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отме­чает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные представлены в следующей таблице:

^ Выплата дивидендов

Цена

увели­чилась

Цена не

уве­личилась

Итого

Производилась Не производилась

34

85

78

49

112

134

Итого

119

127

246


а) Если акция выбрана аналитиком случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность того, что она из числа тех акций, которые увеличились в цене?

б) Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что по ней выплачены дивиденды?

в) Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что она выросла в цене и по ней выплачены дивиденды?

г) Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что по ней не выплачены диви­денды и она не выросла в цене?

д) Зная, что акция выросла в цене, найдите ве­роятность того, что по ней также выплачены диви­денды.

е) Если по акции не выплачены дивиденды, то оцени­те вероятность того, что она выросла в цене.

ж) Чему равна вероятность того, что случайно отобранная акция в течение интересующего анали­тика периода ухудшила все показатели?

з) Оцените вероятность того, что случайно выбранная акция либо выросла в цене, либо по ней были выплачены дивиденды, либо и то и другое вместе. Ответ: а) 0,4837; б) 0,4553; в) 0,1382; г) 0,1992; д) 0,2857;

е) 0,6343; ж) 0,1992; з) 0,8008,

Задача 16. Статья в журнале Business Week обсуждает проблему заработ­ной платы руководителей крупных корпораций. Следующая таблица составлена на основании данных, представленных в этой статье, и содержит информацию по ряду фирм, в кото­рых руководители имели годовой доход свыше и менее 1 млн долл. Таблица составлена в соответствии с тем, полу­чали или нет владельцы акций этих корпораций годовой до­ход за обсуждаемый период времени.

^ Получение дохода держате­лями акций

Доход руководителя

Итого

Свыше 1 млн долл.

Менее 1 млн долл.

Получили

Не получили

1

2

6

1

7

3

Итого

3

7

10


а) Если фирма выбрана случайным образом, чему равна вероятность того, что ее руководитель имеет годовой доход свыше 1 млн. долл.?

б) Если фирма выбрана случайно, чему равна вероятность, что держатели ее акций получили го­довой доход?

в) Знаем, что некая фирма не выплатила дивиденды. Оп­ределите, чему равна вероятность того, что её руководитель имеет годовой доход свыше 1 млн долл.

г) Знаем, что руководитель одной из фирм получает свыше 1 млн долл. годового дохода. Чему равна ве­роятность получения дивидендов держателями ак­ций этой фирмы? Ответ: а) 0,3; б) 0,7; в) 0,7; г) 0,3.

Задача 17. Вероятность для компании, занимающейся строительством тер­миналов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В, равна 0,3. Вероят­ность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стра­не? Ответ: 0,58.

Задача 18. Какова вероятность того, что последняя циф­ра наугад набранного телефонного номера окажется равной 5 или кратной З? Ответ: 0,40.

Задача 19. Какова вероятность того, что наудачу взятая пластинка игры домино содержит число очков не менее 4 и не более б? Ответ: 0,3571.

Задача 20. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не больше б? Ответ: 0,4167.

Задача 21. В урне 10 белых, 8 черных и 12 красных шаров. Наудачу из­влечены 2 шара. Какова вероятность того, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вы­нут красный шар? Ответ: 0,1839.

Задача 22. В урне содержится 10 шаров, из которых 4 белых, 6 черных. Наудачу извлечены 4 шара. Найти вероят ность того, что хотя бы один из шаров — белый? Ответ: 0,9286.

Задача 23. Игральная кость бросается дважды. Определить ве­роятность того, что по крайней мере один раз поя­вится 6 очков? Ответ: 0,3056.

Задача 24. О двух акциях А и В известно, что они выпушены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется в цене завтра, равна 0,2. Вероятность того, что. обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что Вы знаете, что А поднимется завтра в цене. Чему равна вероятность того, что и В поднимется в цене? Ответ: 0,6.

Задача 25. Из группы студентов, в которой 18 юношей и 12 девушек, в совет факультета избираются два человека. Какова вероятность того, что среди избранных окажется хотя бы один юноша? Ответ: 0,8483

Задача 26.. Вероятность того, что выпуск продукции возрастет, если про­центные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение опре­деленного периода, равна 0,72. Вероятность того, что про­центные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение того же периода, равна 0,25. Чему равна вероят­ность того, что за интересующий нас период процент­ные ставки упадут, а выпуск продукции увеличится? Ответ: 0,18.

Задача 27. Аудиторская фирма размешает рекламу в журнале «Коммерсант». По оценкам фирмы, 60% людей, читающих журнал, являют­ся потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените /чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу? Ответ: 51%.


Задача 28. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к ве­сеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в мо­де весной, модельер оценивает в 0,3, что черный — в 0,2, а ве­роятность того, что будет моден красный цвет ~ в 0,15. Пред­полагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените ве р'о я т н о с т ь того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов? Ответ: 0,524.


Задача 29. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет толь­ко микрокомпьютер, равна 0,15. Вероятность, что покупа­тель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему р а в н а в ероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет про­грамм, или компьютер и пакет программ вместе? Ответ: 0,2.

Задача 30. Вероятность того, что выпускник финансового факультета защи­тит диплом на «отлично», равна 0,6. Вероятность того, что он защитит диплом «на отлично» и получит приглашение на работу в банк, равна 0,4. Предположим, что студент защитил диплом. Чему равна вероятность того, что он получит приглашение на работу в банк? Ответ: 0,6667.


Задача 31. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, пред­полагает, что не более 5% счетов будет заполняться с ошиб­ками. Время от времени компания проводит случайную вы­борку счетов для проверки правильности их заполнения. Ис­ходя из того, что допустимый уровень ошибок 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, определи­те, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок? Ответ: 0,5987.

Задача 32. Иностранная фирма, производящая автомобили, интересует­ся российским рынком. Для изучения вкусов потенциальных покупателей проводится опрос, в котором выясняются наи­более желательные характеристики автомобиля. Предполо­жим, что результаты опроса показали: 35% потенциальных покупателей в основном оценивают автомобиль по его тех­ническим характеристикам, 50% — по его дизайну, 25% — считают одинаково важным и то, и другое. Основываясь на этой информации, ответьте, являются ли два вида предпочтений потенциальных покупателей независимыми друг от друга? Объясните.

Задача 33. Продолжим обсуждение ситуации в предыдущей задаче. Из группы потенциальных покупателей случайно выбраны трое. Чему равна вероятность того, что все трое полагают наиболее важными при покупке автомобиля его высокие технические характеристики? Чему равна вероятность того, что хотя бы один из них считает технические характеристики наиболее важными? Объ­ясните свои расчеты.

Предполагается, что выбор одного покупателя не слишком замет­но уменьшит вероятность (в данном случае частоту т/п ^ 0,35). Ответ: а) 0,0429; б) 0,7254.

Задача 34. Президент компании всегда приглашает одного из трех ви­це-президентов присутствовать на наиболее важных бизнес-встречах и утверждает, что этот выбор (кого-либо из троих) случаен. Однако один из вице-президентов не был уже на пяти последних встречах. Чему равна веро­ятность этого события, если выбор президента дейст­вительно случаен? Каков будет Ваш вывод?

Задача 35. Телефонная компания организует рекламу спутниковой свя­зи. Один из рекламных роликов компании представляет со­бой сюжет, в котором бизнесмен звонит в город Урюпинск, а попадает на острова Фиджи, откуда ему отвечает на поли­незийском диалекте абориген, лежащий на пляже. Конечно, это выдуманный сюжет, но подобные ситуации зачастую возникают. Предположим, что в среднем в одном из 200 наборов номера абонентом спутниковой связи происхо­дит ошибочное соединение. Чему равна веро­ятность хотя бы одного ошибочного соединения при 5 междугородных звонках по спутниковой связи? Предполагается, что все пять наборов номеров независимы. Ответ: 0,0248.

Задача 36. Используем информацию предыдущей задачи/^предположим, что в 2% случаев при неправильном соединении вы попадаете в другое страны- В настоящий момент вы собираетесь позвонить в Урюпинск. Чему р а в н а в ероятность того, что по иронии судьбы вас соединят с какой-либо дру­гой страной, например, вы попадете на Фиджи? Ответ: 0,0001.

Задача 37. Вероятность того, что судоходная компания получит разре­шение для захода в определенный порт назначения, зависит от того, будет принят или нет необходимый для этого закон. Компания оценивает, что вероятность того, что произойдут оба события (принят соответствующий закон и получено разрешение на посещение порта), равна 0,5, а вероятность того, что необходимый закон будет принят, равна 0,75. Предположим, что компания получила сведения, что закон принят. Чему равна вероятность того, что разрешение на заход в порт назначения будет получено? Ответ: 0,6667.

Задача 38. В студенческой группе 28 человек. Среди них 20 студентов старше 19 лет и 8 студентов старше 22 лет. Путем жеребьев­ки разыгрывается пригласительный билет на концерт. Чему равна вероятность того, что билет достанется студенту старше 19 либо старше 22 лет? Ответ: 0,7143.

Задача 39. Алмазы, возможно, вскоре станут использоваться в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, что алмазные микросхемы будут более быстродействующи­ми, термо- и радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответ­ственно. Предполагается, что обсуждение проекта по разра­ботке алмазных микросхем стоит вести лишь в случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обла­дать всеми тремя указанными выше свойствами. Дол­жен ли обсуждаться проект? Ответ: да; 0,770.

Задача 40. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оцен­ку. Компания случайным образом отбирает 10 человек из всего населения. Чему р а в н а в е р о я т -н о с т ь того, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт? Ответ: 0,6513.


Задача 41. Вероятность того, что завтра цены на потребительские това­ры вырастут, равна 0,3; вероятность того, что завтра подни­мется цена на серебро, равна 0,2, а вероятность одновремен­ного роста цен на потребительские товары и серебро состав­ляет 0,06. Являются ли цены на потребительские товары и серебро независимыми друг от друга? Пояс­ните ответ. Ответ: Да.

Задача 42. На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что один из ста кусочков са­хара разбит. Если Вы случайным образом извлекаете два ку­сочка сахара, то чему равна вероятность того, что по крайней мере один из них будет разбит? (Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора). Ответ- 0,0199.

Задача 43. Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу- Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупа­ет ее. В течение некоторого промежутка времени он предло­жил книгу 20 прохожим. Чему равна вероят­ность того, что он продаст им хотя бы одну книгу? Прокомментируйте предположения, которые Вы использо­вали при решении задачи. Ответ: 0,267.


Задача 44. Для рыночного исследования необходимо проведение интер­вью с людьми, которые добираются на работу общественным транспортом. В районе, где проводится исследование, 75% людей добираются на работу общественным транспортом. Если три человека согласны дать интервью, то чему, равна вероятность того, что по крайней мере один из них добирается на работу общественным транспор­том?

Ответ: 0,9844.

Задача 45. В номерах пятизвездочного отеля установлена система элек­тронных дверных замков. Для того чтобы открыть замок, клиент должен вставить электронную карточку в специаль­ное отверстие. Загорающийся зеленый свет свидетельствует о том, что Вы можете повернуть ручку двери и войти; желтый свет — сигнал того, что дверь заперта изнутри и Вы не мо­жете войти. Персонал отеля по опыту знает следующее: когда дверь открыта (не заперта изнутри), а клиент вставляет в отверстие электронную карточку, то одна из каждых 30 попыток дает в результате желтый свет и дверь не откры­вается. Предположим, что каждая из попыток отпереть дверь независима от предыдущей. Чему равна веро­ятность того, что загорится желтый свет при каждой из трех последовательных попыток отворить дверь (когда дверь не заперта изнутри)? Ответ: 0,000037.

Задача 46. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований —- отказ потребителей отвечать на вопросы о потребитель­ских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, — отсутствие их дома на момент опроса. Пред­положим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, что респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероят­ность того, что этот же человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет. Ответ: 61%.

Задача 47. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед дру­гим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй — с вероятностью 0,94, а оба — с вероятностью 0,93. Чему равна вероят­ность того, что устройство сканирует по крайней мере одного из двух входящих вместе покупателей. Ответ: 0,99.

Задача 48. Автомат производит детали, используемые в компьютерах. В любой момент времени автомат может быть в одном и толь­ко одном из трех состояний: работает с включенным блоком автоматического контроля; работает без контроля и выклю­чен. Инженер по контролю качества из опыта знает, что ве­роятность того, что блок контроля отключится в любой мо­мент времени, равна 0,02, а вероятность того, что автомат полностью выключится, равна 0,015.

1. Каковы взаимоотношения между двумя событиями «автомат без контроля» и «автомат выключен»?

2. Когда в автомате отключается блок контроля, либо он пол­ностью останавливается, вызывается механик ремонтной службы. Чему равна вероятность то­го, что в настоящий момент должен быть вызван механик?

Ответ: 0,035.

************************************

Практическое занятие N 2

  1. Напомнить определение вероятности, основные теоремы теории вероятностей

  2. Решить задачи из числа : 1-16

Практическое занятие N 3

1.Напомнить понятия зависимых и независимых событий

2. Решить задачи из числа : 17-32

Практическое занятие N 4

1.Напомнить понятие условной вероятности

2. Решить задачи из числа : 33-48








Скачать 399,55 Kb.
оставить комментарий
Дата05.11.2011
Размер399,55 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх