Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона
| скачать Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона. Подлинная жизнь длится до тех пор, пока есть потребность в познании [1]. Состояние интеллектуального здоровья цивилизации отражает уровень математики: возникают ли у математиков новые проблемы, решают ли они давно стоящие проблемы. Сто лет назад 6-12 августа 1900 года в Париже состоялся второй Международный математический Конгресс. В нем участвовало 226 математиков, в том числе 10 человек из России, в частности от Харьковского университета – Н.А. Тихомандрицкий. Д.М. Синцов (1867-1946), много лет заведовавший кафедрой геометрии Харьковского университета, также участвовал в работе Конгресса. В то время он работал в Екатеринославском (Днепропетровск) высшем горном училище. На этом Конгрессе с докладом выступил 38-летний немецкий математик Д. Гильберт, который в то время с А. Пуанкаре делил славу одного из первых математиков мира. В своем докладе Д. Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые во многом определили развитие математики XX века. О проблемах Гильберта можно прочитать на уровне, доступном школьнику [2]. Замечу, что 19-я проблема Гильберта была решена в 1903 году выдающимся математиком, профессором Харьковского университета С. Н. Бернштейном (1880-1968). Окончательное решение 4-й проблемы Гильберта дано А. В. Погореловым. Кроме того, из советских математиков в решении проблем Гильберта принимали участие: 7-й проблемы – А.О Гельфонд, 16-й проблемы – И.Г. Петровский, О.А. Олейник, Д.А. Гудков. Свой доклад Д. Гильберт начал следующими словами: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшее столетие? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли»? И далее: «Один старый французский математик сказал: математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному» [3][4]. Но были проблемы, стоявшие перед математиками и ранее, в частности, проблема Ферма [4]. Уже в древности грекам было известно, что треугольник со сторонами 3,4,5 – прямоугольный. То есть эти целые числа удовлетворяют уравнению  , где  и  – длины катетов, а  – длина гипотенузы. Легко выписать все целочисленные решения этого уравнения [5].В 1637 году П. Ферма изучал книгу Диофанта «Арифметика» и сделал на полях книги замечание, что уравнение  , где  – натуральное число больше двух, не допускает решение в целых числах. Дальше он писал, что найденное им остроумное доказательство теоремы слишком длинное, чтобы его можно было поместить на полях книги, с которой он работал. Попытки ее доказать положили начало многим исследованиям в теории чисел. В 1908 г. Пауль Вольфскель, немецкий промышленник, в своем завещании установил премию за решение проблемы Ферма. Это была премия в 100 тысяч марок (более 1000000 фунтов стерлингов в современных масштабах). Эту премию съела инфляция после первой мировой войны. А установлена она была при любопытных обстоятельствах. Вольфскель увлекся красивой женщиной, но был отвергнут ею. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову ровно в полночь. Он написал завещание, привел все дела в порядок и у него еще оставалось время. Вольфскель отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Ему попалась на глаза работа Куммера, связанная с проблемой Ферма. Он нашел в ней пробел. Если пробел был бы невосполнимым, то имелся бы шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать проще, чем полагали многие. Он начал пытаться восполнить пробел в доказательстве и ему это удалось, и проблема Ферма снова осталась нерешенной. Но время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнста Куммера, что его печаль и отчаяние развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни. Он разорвал свои прощальные письма, переписал завещание, и написал новое, в котором значительную часть своего состояния завещал в качестве премии тому, кто сумеет решить проблему Ферма [6]. И вот в 1994 году Эндрю Уайлс наконец доказал теорему Ферма. Он писал [6]: «Те, кто занимается чистой математикой любят вызов. Они в восторге от нерешенных проблем. Когда Вы занимаетесь математикой, Вами овладевает великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для Вас полную загадку. Вы ее не можете понять – настолько она сложна. Вы не имеете малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот, наконец, Вам удается решить ее, и Вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности детали и целого». Но всегда необходимо находить новые проблемы. Математик Э.Ч. Титчмарш писал: «От того, что мы знаем, что некоторое число иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать нечто, то не знать этого становится невыносимо». В связи с наступлением нового столетия В. Арнольд по поручению Международ-ного математического союза обратился к ряду ведущих математиков с предложением сформулировать проблемы для следующего столетия. На это откликнулся американский математик С. Смейл, который опубликовал свой список из 18 проблем [7]. Под эгидой Международного математического союза в 1999 году вышла книга “Mathematics: Frontiers and Perspectives” под редакцией В. Арнольда, М. Атьи и др. Эта книга является сборником статей ведущих математиков мира, в котором обсуждаются проблемы математики следующего столетия и тысячелетия. Глобальное обсуждение математических проблем для нового тысячелетия состоялось 24 мая 2000 года в Коллеж де Франс. Было выделено 7 таких проблем. Математический институт Клея, который был основан в 1997 г. на пожертвования супружеской четы Клеев, (Кембридж, Массачусетс (СМI), США) объявил, что за решение каждой из них будет присуждена премия в 1 млн. долларов (см. в Интернет www/claymath.org/prize_problems/statement.html). Это гипотезы Римана, Пуанкаре и др. В 2002 году Гриша Перельман – математик из Санкт-Петербурга поместил на сайте www. arxiv.org препринт, где он анонсировал решение гипотезы Пуанкаре и более общей геометрической гипотезы Терстона. В 2003 году он вывесил еще 2 препринта, в которых он завершает доказательство гипотезы Терстона и Пуанкаре. Когда Г. Перельман докладывал весной 2003 года свои результаты в Нью-Йорке, то известие о решении гипотезы Пуанкаре напечатали главные газеты Америки [8]. Математическое сообщество проверяет верность этих доказательств и, наверное, окончательный вердикт будет на Международном Конгрессе математиков, который состоится в августе 2006 года в Мадриде. Но уже и сейчас все математики сходятся во мнении, что сделан существенный прорыв. Я убежден, что доказательство верно, но возможны некоторые неточности, которые устранимы. Хотя в истории математики был и такой прецедент. В 1879 году Кемпе дал доказательство задачи о четырех красках [4]. Одиннадцать лет оно считалось верным, пока Хивуд в 1890 году не нашел ошибки. А окончательно эта проблема была решена лишь в 1976 году. Теперь я постараюсь изложить, в чем же состоит гипотеза Пуанкаре, которую выдающийся французский математик сформулировал в окончательном виде в 1904 году [9]. ^ Пусть  и  – два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение  , которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и 1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные; 2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие; 3) обратное отображение  непрерывно,то множества и – гомеоморфны, а отображение  называется гомеоморфизмом. Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1),
поверхность куба – сфере (рис. 2).
Но интервал и окружность не гомеоморфны между собой, тор и сфера также не гомеоморфны между собой (рис. 3)
^ (или двумерным многообразием) называется такое множество точек, что в каждой точке есть окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Сфера, плоскость, тор, бесконечный круговой цилиндр, сфера с выколотыми двумя точками является поверхностями. Если возьмем внутренность узкого прямоугольника и отождествим точки следующим образом, а именно (рис. 4) Рис.4 склеим точку  с точкой  , а точку  – с  , то из внутренности прямоугольника получим одностороннюю (неориентируемую) поверхность, которая называется листом Мебиуса (рис. 5).
У листа Мебиуса границей является окружность. Поверхность называется компактной, если из любого покрытия окрестностями, гомеоморфными кругу, можно выбрать конечное покрытие. В противном случае поверхность некомпактна. Плоскость, бесконечный цилиндр, сфера с двумя выколотыми точками – некомпактные поверхности; сфера, тор – компактные поверхности. Естественно задать вопрос: как много компактных поверхностей с точностью до гомеоморфизма? То есть две гомеоморфные поверхности мы считаем эквивалентными и не отличаем одну от другой. Это аналогично тому, что в элементарной геометрии мы не отличаем два равных треугольника. Просто сейчас мы используем другое отношение эквивалентности. Вопрос топологической классификации компактных двумерных поверхностей был решен в конце XIX столетия. Любая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориентируемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой. Сейчас я опишу эти поверхности. Возьмем двумерную сферу и сделаем в ней дырку, вырезав из нее круг (рис. 6),
сделаем также дырку в поверхности тора. Мы получили поверхность, границей которой является окружность и она называется ручкой (рис. 7) Рис.7 Границей сферы с дыркой, также как и ручки, является окружность. Склеим сферу с дыркой и ручку по граничным окружностям. Мы получим компактную двумерную поверхность – сферу с одной ручкой (тор). Но если мы на сфере вырежем  непересекающихся дырок и к ним приклеим ручки, то получим сферу с ручками (рис.8).Рис.8 При  – это крендель (рис.9) , Рис.9  – крендель с тремя дырками. Но окружность является границей также для листа Мебиуса. Поэтому мы можем взять сферу с  непересекающимися дырками и к ним приклеивать листы Мебиуса. Мы получим сферу с листами Мебиуса. Если мы к одним дыркам будем приклеивать листы Мебиуса, а к другим – ручки, то это эквивалентно только приклеиваниям листов Мебиуса. При  мы получаем проективную плоскость, при  - бутылку Клейна (рис. 10).Рис.10 Заметим, что сферы с -листами Мебиуса нельзя поместить без самопересечений в трехмерном евклидовом пространстве в силу их неориентируемости. ^ . Зафиксируем на поверхности точку  и рассмотрим на ней петли, проходящие через данную точку . Напомним, что петлей называется непрерывный образ окружности на поверхность, проходящий через данную точку. Если любую петлю на поверхности можно по поверхности стянуть в точку, то поверхность называется односвязной. Если мы возьмем кольцо, то петлю  мы можем стянуть в точку, не покидая кольца, а петлю  - нет (рис. 11). Рис.11 Это значит, что внутренность кольца не является односвязной поверхностью, плоскость – односвязная поверхность. Среди замкнутых поверхностей только сфера является односвязной поверхностью. Если поверхность неодносвязна, то вводится количественный показатель неодносвязности – фундаментальная группа  . Две петли  и  , проходящие через фиксированную точку  , называются гомотопными, если их можно непрерывно деформировать одна в другую. И мы уже можем рассматривать класс  гомотопных петель. Петли можно умножать: произведением двух петель называется петля, которая получается последовательным прохождением одна за другой двух петель. Можно умножать и классы гомотопных петель. Если мы возьмем из класса  петлю-представителя , а из класса  - петлю  и умножим петли и . Получим новую петлю  . Возьмем ее гомотопический класс  . Это и будет произведением гомотопических классов  . Например, если мы на окружности  возьмем петлю , которая обходит ее один раз, то  будет петля, которая обходит окружность 2 раза за тоже самое единичное время. Для петли , вводится обратная петля , которая как множество точек совпадает с петлей , но пробегает ее в обратном направлении. Гомотопический класс  называется обратным к классу . Гомотопический класс петель, стягивающихся в точку называется единичным и обозначается  и   . Кроме того умножение гомотопических классов обладает свойством ассоциативности. А это все вместе и значит, что совокупность гомотопических классов петель, проходящих через фиксированную точку, образует группу, которая и называется фундаментальной группой данного множества. Например, фундаментальная группа окружности  , где  – группа целых чисел,  , где  – проективная плоскость,  – группа двоичных чисел 0, 1, фундаментальная группа тора  – , а для –мерной сферы  –  ,  .Трехмерные многообразия. Аналогично можно рассматривать трехмерные поверхности (их еще называют трехмерными многообразиями). Это такие множества, что каждая их точка имеет окрестность гомеоморфную внутренности трехмерного шара, т. е. в окрестности каждой точки множество устроено как в окрестности точки трехмерного евклидова пространства, хотя в целом оно имеет сложную структуру. Двумерный тор (сфера с одной ручкой) можно получить из квадрата, отождествив стороны квадрата следующим образом (рис. 12):Рис. 12 Склеиваем точки на концах параллельных отрезков  . Если мы возьмем куб в трехмерном евклидовом пространстве и аналогично отождествим противоположные грани куба, то получим трехмерный тор  . Торы  не являются односвязными. Другим примером трехмерного многообразия является трехмерная сфера  . Это множество точек четырехмерного евклидова пространства  , прямоугольные декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению Аналогично координаты точек двумерной сферы в  , удовлетворяют уравнению .Двумерную сферу с точностью до гомеоморфизма можно представить следующим образом: возьмем два единичных круга на плоскости, у них граничные единичные окружности. Склеим эти круги по граничным окружностям. Мы и получим поверхность гомеоморфную двумерной сфере (рис. 13).
Аналогичным образом можем представить трехмерную сферу: возьмем два трехмерных единичных шара в . У них граничные двумерные сферы. Склеим эти шары по граничным сферам. Мы и получим трехмерное многообразие гомеоморфное трехмерной сфере.Замкнутые трехмерные многообразия допускают каноническое разложение на простые многообразия. Пусть  и  два компактных трехмерных многообразия.  и – двумерные сферы в и соответственно, которые ограничивают там трехмерные шары  и  . Выбросим из и эти шары. Мы получим трехмерные многообразия, в которых границей будут сферы и . Они гомеоморфны между собой, склеив и по этим сферам, мы получим новое компактное трехмерное многообразие  , которое называется связной суммой , и обозначается  (рис. 14).
Рис. 14 Трехмерное многообразие  называется неприводимым, если каждая вложенная (без самопересечений) двумерная сфера является границей трехмерного шара в . И справедлива теорема Кнезера (1929 г.) о классификации трехмерных многообразий. Он показал, что каждое компактное ориентируемое 3-мерное многообразие раскладывается в связную сумму  ,где сомножители  - замкнутые неприводимые трехмерные многообразия,  декартово произведение окружности на двумерную сферу и в связную сумму входит  –компонент.  множители имеют бесконечную фундаментальную группу,  множители конечную фундаментальную группу.Так как связная сумма  , то считаем, что среди множителей нет , кроме случая  . Неприводимые многообразия можно разрезать двумерными торами , то есть представить как объединение непересекающихся многообразий, границами которых являются торы.Тор в многообразии называется несжимающимся, если любая петля на торе нестягиваемая в точку по тору, нестягиваемая в точку и в объемлющем многообразии .Возьмем полноторие (тело, ограниченное поверхностью тора) в трехмерном евклидовом пространстве . Петля на торе не стягиваемая в точку, а на полнотории - стягиваемая. А петля не стягивается в точку как на торе так и на полнотории (рис.3). Замкнутое многообразие называется торонеприводимо, если многообразие не содержит несжимающихся торов. Имеет место теорема (1979 г, Джако, Шален): любое трехмерное компактное неприводимое многообразие можно разрезать конечным числом несжимающихся торов на компактные многообразия, границей которых есть торы. Каждое из этих многообразий или торонеприводимо или является многообразием Зейферта. Многообразие Зейферта – это трехмерное многообразие, которое расслаивается на окружности, аналогично тому, как цилиндр, тор, лист Мебиуса расслаиваются на окружности. Но в окрестности некоторых слоев это слоение закручено. Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Пусть – компактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля на многообразии стягивается в точку). Верно ли, что это многообразие гомеоморфно трехмерной сфере ?Я уже отмечал, что это верно для двумерного случая. Удивительно, что многомерный аналог этого утверждения при  был доказан еще в 1960 году С. Смейлом. В 1982 году для  это доказано М. Фридманом. За свои результаты они получили Филдсовские премии. Интересно, что С. Смейлу основная идея пришла, когда он был на пляже Копакабана в Рио-де-Жанейро. Оставался недоказанным случай  . Именно доказательство гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы Терстона предложил Г. Перельман. Гипотеза Терстона заключается в том, что на тех элементарных кусках, на которые можно разрезать трехмерное многообразие можно задать одну из 8 стандартных геометрий [10]. ^ До этого мы рассматривали многообразия с топологической точки зрения. А сейчас мы хотим, чтобы на них была метрика и мы могли измерять длину кривых, объемы, могли определить кривизну многообразия. Такие многообразия называются римановыми. В них в окрестности каждой точки введена положительно определенная квадратичная форма   ,где  - локальные координаты в окрестности точки. Если в трехмерном евклидовом пространстве введем прямоугольную декартову систему координат  , то а на евклидовой плоскости с координатами   .Это метрика нулевой гауссовой кривизны. Если возьмем стандартную сферу  радиуса единица в евклидовом пространстве . то  .Это метрика постоянной положительной гауссовой кривизны равной 1. Метрика пространства Лобачевского в интерпретации Пуанкаре в верхней полуплоскости  имеет вид: .Это метрика постоянной отрицательной гауссовой кривизны равной -1.Эти три двумерные однородные геометрии (евклидова, сферическая, плоскости Лобачевского) в окрестности каждой точки устроены одинаково. И других таких геометрий нет. В трехмерном случае всего ^ , которые 1) в окрестности каждой точки выглядят одинаково, пространство является однородным; 2) задаются на односвязном многообразии; 3) и для каждой геометрии существует трехмерное компактное многообразие, на котором она задается. Существование только 8 геометрий приписывается Терстону, но это следует из результатов Бианки. Это следующие геометрии: 1) – метрика стандартной единичной сферы в ;2) – евклидово пространство;3)  – трехмерное пространство Лобачевского;Метрики прямого произведения: 4)  ;5)  ;Возьмем пространство единичных окружностей в касательных пространствах к плоскости Лобачевского  . В нем вводится естественная метрика Сасаки. Универсальное накрывающее пространство и есть 6)  .7)  Это трехмерная группа Гейзенберга, состоящая из матриц  , которые образуют группу относительно операции умножения и на ней задана метрика 8)  Это трехмерная группа, на которой задана метрика  .Заметим, что только сфера является односвязным компактным многообразием, на котором задана стандартная геометрия.В двумерном случае есть три стандартные геометрии: геометрия стандартной сферы (постоянной положительной гауссовой кривизны), евклидовой плоскости (нулевой гауссовой кривизны), плоскости Лобачевского (постоянной отрицательной гауссовой кривизны). В двумерном случае метрика постоянной положительной гауссовой кривизны задается на сфере и проективной плоскости, геометрия евклидовой плоскости задается на торе и на бутылке Клейна, геометрия плоскости Лобачевского задается на всех остальных компактных двумерных поверхностях. ^ Теперь мы в состоянии сформулировать геометрическую гипотезу Терстона. Неприводимое трехмерное замкнутое трехмерное многообразие разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий. Из верности геометрической гипотезы Терстона следует гипотеза Пуанкаре. Действительно, если односвязно, то в разложении на связную сумму будут присутствовать только  сомножители. Так как в сомножителях несжимающихся торов нет, только на сомножителях можно задать одну из стандартных геометрий. Компактные многообразия, где задана любая стандартная геометрия, отличная от сферической, имеют бесконечную фундаментальную группу, множители имеют конечную фундаментальную группу. Поэтому, в силу справедливости гипотезы Терстона, на них задается локально сферическая геометрия. Отсюда следует, что любой  фактор имеет вид:  , где  – конечная группа без неподвижных точек. Но так как односвязная, то  .Конечно, у Г. Перельмана были предшественники. Прежде всего – это Р. Гамильтон, который ввел в 1982 году потоки Риччи и получил глубокие результаты в теории трехмерных многообразий, которые существенно использовал Г. Перельман в своих исследованиях. На разных этапах доказательства использовались идеи и результаты выдающихся математиков, работавших в Харьковском университете. А.М. Ляпунова (1857-1918), С.Н. Бернштейна (1880-1968), новосибирского геометра В.А. Топоногова (1930-2004), М. Громова, Д. Чигера и др. ^ Пусть  есть риманово неприводимо компактное многообразие, на котором в локальных координатах  метрика задается в виде Следуя идее гармонического потока, введенного Илсом и Сэмпсоном, и потока средней кривизны, введенного К. Брекке, Р. Гамильтон в 1982 г. ввел поток Риччи, когда метрика на римановом многообразии меняется по закону  , (1)где  - тензор Риччи, который определяет кривизну многообразия в одномерном направлении, и вычисляется через коеффициенты метрического тензора  и производные до второго порядка. Например, если – есть сфера радиуса при  , то эта система уравнений имеет решение и метрика остается метрикой сферы радиуса  , где и сфера схлопывается в точку при  (рис. 15).
Рис. 15 Но если мы в каждый момент времени будем гомотетично растягивать метрику сферы, чтобы она имела объем равный объему единичной сферы, то предельной будет метрика единичной сферы. Система уравнений (1) является нелинейной системой параболических уравнений в частных производных, которая является обобщением параболического уравнения  ,которое описывает эволюцию температуры. Сначала Р. Гамильтон доказал, что при любой начальной регулярной метрике  на компактном многообразии при достаточно малом  существует регулярное решение  . И решение существует до тех пор пока не возникнут при  особенности и его нельзя регулярно продолжить при  (рис. 16). Рис.16 Такое возможно в силу нелинейности системы. Это будет когда кривизна при  стремится в какой-нибудь точке к бесконечности. Если кривизна стремится в бесконечности во всех точках, то многообразие схлопывается в точку. Если мы перед схлопыванием гомотетично растягиваем метрику так, чтобы кривизна была ограничена единицей, то метрика стремится к метрике постоянной положительной секционной кривизны.Если кривизна стремится к бесконечности не во всех точках, то после гомотетического растяжения в окрестности такой точки, метрика стремится к стандартной метрике прямого произведения . Это является принципиальным достижением Перельмана. Он показал, что невозможно чтобы в пределе был сигар-солитон (рис.17) с метрикой  Рис.17 Перед временем  мы вырезаем из многообразия в окрестности точки перешеек (рис. 18),
Рис. 18 гомеоморфный и после растяжения близкий по метрике к стандартному перешейку на метрическом произведении (рис.19). . Рис.19 Приклеиваем по граничным сферам стандартные шапочки (рис.20). Рис. 20 Получаем после хирургии новое регулярное риманово многообразие  и на котором продолжается Риччи поток (рис. 21).
Рис. 21 На конечном интервале времени будет лишь конечное число значений времени  , при котором будет хирургия. Старое многообразие получается из нового путем связной суммы с  ,  . При  распадается на толстую и тонкую части. Метрика на толстой части стремится к гиперболической метрике, а на тонкой части – коллапсирует. Откуда следует, что тонкая часть разрезается торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных метрик. Так как все время при хирургии мы применяем стандартную операцию, то первоначальное многообразие получается из предельного с помощью связной суммы с многообразиями, на которых задается стандартная геометрия . Поскольку гипотеза Терстона верна для многообразия , то верна и для первоначального многообразия .Раз в четыре года на Международном Конгрессе математикам присуждаются Филдсовские премии для молодых математиков до 40 лет. Г. Перельман не публиковал статей в журналах, а только на сайте препринтов. Получит ли он Филдсовскую премию и 1 млн. долларов? Об этом мы уже узнаем в августе, когда будет Конгресс в Мадриде. Но это собственно и не важно. А важно то, что мы продвинулись в понимании строения трехмерных многообразий, а значит и объемлющего трехмерного пространства. Но это не значит, что мы покорили самую высокую вершину. Отличие географии от геометрии состоит в следующем: если мы покорили Эверест, то более высокой вершины на земле не найдешь, а в геометрии после покорения вершины (решения проблемы) возникают новые проблемы, более трудные, которые будут штурмовать новые поколения математиков. Выражаю искреннюю благодарность П.Г. Доле за компьютерную реализацию рисунков, О.В. Лейбиной за тщательное прочтение рукописи и за замечания, а Е.А. Максимчук за оформление рукописи. Литература [1] Шкода В. Порассуждаем о правильной жизни, журнал «Доктор жизнь», 2005г, декабрь. [2] Болибрух А.А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). Библиотека математического просвещения.– М.: Изд. Московского центра непрерывного математического образования, 1999 [3] Проблемы Гильберта. Сборник статей под редакцией П.С. Александрова. –М.: Наука, 1969. –237с. [4] Борисенко А. А. Математика и общество, Universitates, №1, 2001, – С. 18-26. [5] Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. М.: Просвещение, 1967, – 558 с. [6] Синг С. Великая теорема Ферма, МЦНМО, 2003 . [7] Smale S. Mathematical Problems for next Centure, The Mathematical Intelligenger, V.20, №2, 1998, – Р. 7-15. [8] Коллинз Г. Формы пространства. В мире науки (Scientific american), №10, 2004,– Р. 52-61 [9] J. Milnor, Towards the Poincare conjecture and the classification of 3-manifolds, Notice of AMS, – Vol.50. № 10, 2003, – Р.1226-1233. [10] Morgan J.W. Resent Progress on the Poincare conjecture and the classification of 3-manifolds, Bul. AMS, – V. 42, №1, 2004. – Р. 57-78.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отлично
2 Разместите кнопку на своём сайте или блоге: