Лекция уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме icon

Лекция уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме


Смотрите также:
Закон Ома и закон Кирхгофа в комплексной форме...
Лекция 18. Переменное электромагнитное поле в проводниках. Электромагнитные волны в диэлектриках...
Учебная программа дисциплины теоретические основы электротехники индекс дисциплины Часы (всего)...
Учебная программа дисциплины теоретические основы электротехники индекс дисциплины Часы (всего)...
Общая трудоемкость изучения дисциплины составляет 7,0 зачетных единиц (252 час)...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической...
Лекция характеристики электромагнитного поля. Сила Лоренца...
Лекция n10
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля...
Программа вступительного экзамена в магистратуру для направления 210400 «Телекоммуникации»...
Календарный план занятий по дисциплине физикА (разделы Электромагнетизм и оптика)...
3 Лекция Теория электромагнитного поля проф. Халютин С. П. ауд. 5-102...



Загрузка...
скачать
ЛЕКЦИЯ 3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.


3.1. Система уравнений Максвелла

Рассмотрим одну из теорем векторного анализа (теорема Гельмгольца), которая нам потребуется для написания уравнений электромагнитного поля. Теорема Гельмгольца: пусть известны дивергенция и ротор некоторого векторного поля во всем пространстве; тогда можно по заданным дивергенции и ротору найти само векторное поле.

Нам необходимо выписать систему уравнений для электромагнитного поля в вакууме, т.е. необходимо написать систему уравнений для векторных характеристик поля . Согласно теореме Гельмгольца следует определить

. (3.1)

В правой части уравнений системы (3.1) должны стоять выражения, зависящие от функций источников электромагнитного поля. В качестве таковых следует взять объемную плотность электрического заряда и плотность тока . В дальнейшем для написания системы уравнений (3.1) привлечем ряд экспериментальных фактов, которые должны быть отражены в системе (3.1) и ряд общих утверждений, основанных на свойствах симметрии уравнений электромагнитного поля. Известно, что магнитное переменное поле порождает переменное электрическое поле (электромагнитная индукция); переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле (магнитоэлектрическая индукция). Поэтому в качестве источников полей, наряду с функциями и , следует взять функции и . В силу принципа суперпозиции правые части уравнений системы (3.1) должны быть линейными уравнениями.

В дальнейшем примем во внимание, что поле - истинный вектор, поле - псевдовектор. В свою очередь - истинный скаляр, - псевдовектор, - псевдоскаляр, - истинный вектор. Уравнения системы (3.1) должны быть ковариантными относительно операции пространственной инверсии: если в левой части уравнения стоит истинный скаляр, то и правая часть уравнения должна представлять собой истинный скаляр и т.д.

Данным требованиям удовлетворяет следующая система уравнений:

, (3.2)


где - неопределенные коэффициенты.

Система уравнений (3.2) является линейной, как того требует принцип суперпозиции, и отражает свойство зеркальной симметрии пространства.

Рассмотри электромагнитное поле в области пространства, где и . Выпишем

.

Отсюда:

. (3.3)

Аналогично, вычисляя , найдем

. (3.4)

Уравнения (3.3) и (3.4) есть волновые уравнения, которые описывают процесс распространения электромагнитного поля в вакууме в виде электромагнитных волн. Скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света . Сравнивая, уравнения (3.3) и (3.4) с волновым уравнением



найдем

.

Следует взять

. (3.5)

В дальнейшем мы покажем, что выбор знаков в формулах (3.5) отражает правило Ленца.

В системе (3.2) остались неопределенными коэффициенты и . Данные коэффициенты определяются выбором единиц измерения. В системе СГС

. (3.6)

Таким образом, система уравнений (3.2) в окончательном виде запишется так:

. (3.7)

Это есть искомая система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.

Покажем, что данная система уравнений включает в себя закон сохранения электрического заряда. Для этого возьмем дивергенцию от и учтем, что дивергенция от ротора равна нулю:

.

В результате получаем закон сохранения электрического заряда в виде уравнения непрерывности:

.


3.2. Принцип причинности в электродинамике.

Уравнения Максвелла (3.7) являются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных по времени и по пространственным координатам. Для однозначного их решения необходимо задать начальные условия

(3.8)

и граничные условия. В качестве граничных условий обычно полагают, что при модули полей убывают до нуля. При заданных начальных (3.8) и граничных условиях система уравнений (3.7) имеет единственное решение. Заметим, что скорости изменения полей определяются через значения полей и в тот же момент времени (динамический принцип электродинамики). Это вытекает из того требования, что функции и полностью определяют состояние системы (электромагнитного поля) и ее характеристики в данный момент времени. Уравнения Максвелла (3.7) при заданных начальных и граничных условиях полностью определяют эволюцию электромагнитного поля, т.е. его изменение со временем – принцип причинности в электродинамике.


3.3. Уравнения Максвелла в интегральной форме

Система уравнений (3.7) может быть переписана в интегральной форме. Для этого следует воспользоваться теоремами Гаусса

(3.9)

и Стокса

. (3.10)

В правой части формул (3.9) и (3.10) стоят поток вектора через замкнутую поверхность и циркуляция вектора по замкнутому контуру (рис. 3.1), соответственно.

Возьмем уравнение , проинтегрируем его по объему пространства и используем теорему Гаусса:

,

т.е.


, (3.11)

где - электрический заряд внутри объема .














Рис. 3.1.


Аналогично, из уравнения , находим

. (3.12)

Уравнение (3.11) называют теоремой Гаусса в электродинамике: поток вектора электрического поля через замкнутую поверхность равен электрическому заряду внутри этой поверхности. В частном случае из данной теоремы следует выражение для электростатического поля неподвижного заряда. Интегрируя по сфере радиуса , в центре которой расположен электрический заряд , получим:



и

, . (3.13)

Поместим заряд в поле точечного заряда (3.13). Сила, действующая на заряд ,

(3.14)

- закон Кулона.

Уравнение (3.12) показывает, что поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю – магнитное поле является соленоидальным, силовые линии его замкнуты; в природе отсутствуют магнитные заряды.

Применим теорему Стокса к уравнению :

,

(3.15)

- циркуляция вектора электрического поля вдоль замкнутого контура пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур. Знак минус в данной формуле отражает правило Ленца. Следует обратить внимание на тот факт, что интегрирование в формуле (3.15) производится по произвольному замкнутому контуру и не связано с наличием в пространстве проводников. Первичное действие переменного магнитного поля есть появление электрического поля. Появление тока в проводнике, помещенном в переменное магнитное поле есть вторичный эффект и связан с природой конкретного проводника. Формула (3.15) называется обобщенным законом индукции Фарадея.

Применяя теорему Стокса к уравнению

,

получим:

. (3.16)

Формула (3.16) показывает, что циркуляция вектора магнитного поля вдоль замкнутого контура пропорциональна полному току, пронизывающего поверхность, натянутую на этот контур, и скорости изменения потока электрического поля через эту поверхность. Данная формула содержит в себе закон полного тока (первое слагаемое) и гипотезу о токе смещения (второе слагаемое). Как и в случае с переменным магнитным полем формула (3.16) изначально не предполагает существования в пространстве каких-либо проводников.

Выпишем уравнения Максвелла в интегральной форме:


. (3.17)


3.4. Уравнения Даламбера

Система уравнений Максвелла (3.7) представляет собой систему зацепляющихся дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Данную систему уравнений можно расцепить так, чтобы каждое из уравнений содержало либо электрическое поле, либо магнитное поле.

Для этого нужно проделать вычисления, что и при выводе волновых равнений (3.3) и (3.4), т.е. вычисляя ротор от ротора электрического и магнитного полей в системе уравнений (3.7). При этом следует взять . В результате мы получим следующие дифференциальные уравнения для электрического и магнитного полей:

. (3.18)

Данные уравнения являются независимыми дифференциальными уравнениями второго порядка по времени. Они называются уравнениями Даламбера. В тех областях пространства, где , уравнения Даламбера переходят в волновые уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн в вакууме.







оставить комментарий
Дата05.11.2011
Размер62 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх