1. Геометрическое моделирование icon

1. Геометрическое моделирование


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Отчет 31с. Ключевые слова: кожгалантерейные изделия, перчатки, язык проектирования...
Программа учебной дисциплины дн(М). Ф...
Лекция 01. Преобразования в двухмерном пространстве 23...
Геометрическое моделирование структуры физического пространства...
Геометрическое изображение авестийского нумерологического гороскопа мандала...
Урок № Тема: Геометрическое определение вероятности...
«геометрическое образование в современной средней и высшей школе»...
Книга является учебным пособием по языкам программирования C+ и C++...
Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению...
“Компьютерное моделирование работы схемы усилителя”...
Учебная программа. Наименование тем, их содержание...
Программа наименование дисциплины Моделирование бизнес-процессов...



Загрузка...
скачать
1. Геометрическое моделирование.

1.1. Понятие о геометрической модели проектируемого объекта.

Геометрические объекты. Геометрическое моделирование изучает методы построения математической модели, описывающей геометрические свойства предметов окружающего мира.

Инструментом для геометрического моделирования служат математические методы решения тех или иных задач. Используемые методы позволяют описать геометрические свойства предметов, создавать их математические модели и исследовать их путем проведения различных расчетов и численных экспериментов, а также, при необходимости, редактировать моделируемые объекты и строить их графические отображения.

Для описания геометрических свойств окружающих предметов строят твердые тела. Тело описывается точками, линиями и поверхностями. Все они обладают определенными общими свойствами, поэтому ими можно оперировать как объектами. Точки, линии, поверхности и тела называются геометрическими объектами.

Геометрические объекты будут служить основными элементами математической модели геометрии реальных или воображаемых объектов. Будем строить их в трехмерном евклидовом пространстве, считая их неименными во времени.

Обозначения. Существует три операции произведения векторов:

– скалярное произведение:

;

– векторное произведение:

;

– диадное произведение:

.

Точка. Точка R пространства в общем случае описывается координатами , , некоторой системы координат. В декартовой прямоугольной системе координат точку можно описать с помощью радиус-вектора . Радиус-вектор определяет преобразование переноса, переводящее начальную точку декартовой системы координат в заданную точку пространства. Компоненты радиус-вектора точки равны ее координатам.

^ Модификации векторов и точек

Модификациями будем называть изменения положения и формы геометрических объектов. Многие линии, поверхности и тела описываются определенным образом связанным набором точек, векторов и скаляров. При изменении положения геометрического объекта в пространстве требуется выполнять соответствующие модификации радиус-векторов точек и векторов, описывающих данный объект.

^ Сдвиг точки в пространстве. Простейшей модификации точки является ее сдвиг в пространстве на вектор сдвига . Положение точки до модификации является исходным и описывается радиус-вектором , положение точки после модификации будет описываться радиус-вектором, равным сумме исходного положения и вектора сдвига :

. (1.1)

Компоненты вектора равны сумме соответствующих компонент векторов и .

Поворот точки в пространстве вокруг оси. Рассмотрим, как изменится радиус-вектор точки при ее повороте вокруг некоторой оси. Пусть начальное положение точки описывается радиус-вектором , а ось вращения определяется точкой Q и ортом . Пусть – радиус-вектор точки Q. Выполним поворот точки вокруг оси на угол против часовой стрелки, если взгляд направить навстречу вектору . Построим вектор . После поворота рассматриваемая точка будет определяться радиус-вектором

. (1.2)

Матрица поворота определяется равенством

,

где

, , .

Матрица А является ортогональной. При транспонировании матрицы А изменится только знак перед последним ее слагаемым, что соответствует повороту точки на угол .

Симметрия точки относительно плоскости. Определим координаты точки , симметричной точки относительно плоскости. Пусть плоскость симметрии определяется точкой Q и двумя ортами и .

Пусть – радиус-вектор точки Q. Построим вектор . Положение симметричной точки будет описываться радиус-вектором

, (1.3)

где матрица – матрица симметрии, и – диадные произведения векторов.

Масштабирование в пространстве. Рассмотрим масштабирование проекций на координатные оси расстояния до точки относительно некоторой другой точки Q, остающейся неподвижной после масштабирования. Пусть – радиус-вектор точки Q. В общем случае при масштабировании проекции на координатные оси вектора могут изменяться в различное число раз, то есть масштабирование может быть ортотропным. Пусть проекция вектора на орт при масштабировании увеличивается в раз, проекция вектора на орт при масштабировании увеличивается в раз, проекция вектора на орт при масштабировании увеличивается в раз. Тогда положение рассматриваемой точки после модификации будет описываться радиус-вектором

, (1.4)

где А – матрица масштабирования.

Однородные координаты

Рассмотренные выше модификации поворота, симметрии, масштабирования радиус-вектора точки описываются формулами, имеющими одинаковый вид:

, (1.5)

где – преобразованный вектор сдвига. Сдвиг точки описывается этой же формулой с единичной матрицей А и вектором , равным вектору сдвига. Аналогичный вид имеет преобразование координат точки. Преобразованиям координат и модификациям точки можно предать единый простой вид

. (1.6)

Для этого нужно увеличить размерность векторов и матриц на единицу. Вектор, дополненный еще одной компонентой, называется расширенным вектором. Компоненты расширенного вектора называются однородными координатами.

Представим каждый радиус-вектор в расширенном виде

. (1.7)

Матрица представляет собой матрицу А, окаймленную снизу нулями, а справа – вектором сдвига в расширенном виде

. (1.8)

Индекс матрицы говорит о том, что она является расширенной, и включает вектор сдвига . Для преобразований будем использовать запись

, (1.9)

считая, что расширенная матрица включает преобразование по матрице А и сдвиг по вектору . Расширенный вектор описывает точку, остающуюся неподвижной при преобразовании.

В некоторых случаях, например для построения рациональных кривых и поверхностей, наряду с координатами для точек необходим дополнительный параметр – так называемый вес (значимость) точки. Этот параметр точки в вычислениях преобразуется так же, как и координаты, поэтому его считают дополнительной координатой. При наличии у точки дополнительной координаты w запись ее радиус-вектора в однородных координатах имеет вид

. (1.10)

При использовании однородных координат вычисления производятся для однородных компонент , i = 1, 2, 3, 4 без выделения декартовых координат. Декартовы координаты точки получают на конечном этапе вычисления делением

, , .

^ Геометрия кривых линий

Кривой линией или просто кривой будем называть геометрическое место точек, координаты которых описываются непрерывными и однозначными функциями , , параметра t, принимающего значения на отрезке . В декартовой прямоугольной системе координат кривую можно описать радиус-вектором

, . (1.11)

Представление кривой в виде (1.11) называется параметрическим. Далее будем предполагать, что координатные функции имеют непрерывные производные до любого порядка.

Производная кривой есть вектор, направленный по касательной к кривой в точке, определяемой параметром t. Заметим, что производная всегда направлена в сторону возрастания параметра. Зная первую производную радиус-вектора кривой, можно вычислить длину кривой. Длина кривой равна пределу, к которому стремится длина ломаной, вписанной в кривую. Таким образом, длина кривой равна интегралу

. (1.12)


^ 2. Поверхностное моделирование

Геометрическая модель поверхности

Поверхности, как и линии, являются математическими абстракциями, дающие представление об отдельных свойствах предметов.

Способы построения поверхностей



Рис. 2.1 – Способы построения поверхностей

Рис. 2.1 отражает процесс построения поверхностей при чтении его слева направо. Изначально поверхности могут быть построены или по местной системе координат и скалярным параметрам, или по характерным точкам, или на основе линий. Далее эти поверхности могут быть продлены или усечены, на их основе могут быть получены эквидистантные поверхности. Все упомянутые поверхности имеют прямоугольную или треугольную область определения параметров. На базе поверхностей с прямоугольной или треугольной областью определения параметров можно построить ограниченные контурами поверхности произвольной формы.

3. Способы создания геометрических моделей

Выполнение операций

В большинстве случаев сложные геометрические объекты появляются как результат некоторой операции над более простыми объектами. Рассмотрим методы выполнения операций. Операцией будем называть совокупность действий над одним или несколькими исходными объектами, которая приводит к рождению нового геометрического объекта. Действия, которые изменяют объект, не изменяя его природы, будем называть модификацией или редактированием.

Редактирование объекта сводится к изменению значений его данных при неизменной их структуре. Редактирование объектов приводит к изменению этих скаляров и компонент векторов. Редактированием можно масштабировать, зеркально отразить, переместить, повернуть в пространстве геометрический объект или изменить его форму. Преобразования трансформации по матрице, перемещение, поворот в пространстве геометрического объекта сводятся к соответствующим преобразованиям радиус-векторов, лежащих в структуре объекта.

К операциям мы будем относить построение проекций точек на кривые и поверхности по нормали к ним, построение проекций точек на поверхности по заданному направлению, построение точек пересечения кривых, построение точек пересечения кривых и поверхностей, построение линий пересечения поверхностей, построение поверхностей скругления и поверхностей фасок, а также решение других задач. Операция пересечения двухмерных кривых и операция пересечения поверхностей являются основополагающими, так как они присутствуют в большинстве других операций, выполняемых над геометрическими объектами.

Для выполнения операций нужно уметь корректно перемещаться по параметрическим областям кривых и поверхностей в поиске нулевых приближений решения, уметь находить нулевые приближения и уметь находить точное решение, отталкиваясь от некоторого приближения.

^ 4. Базовые элементы формы и их точное аналитическое описание

Топологические объекты

Оболочки. Поверхности могут быть замкнутыми по одному или двум параметрическим направлениям или замкнутыми. Незамкнутые поверхности имеют границу. Границей называется линия на поверхности, соответствующая движению ее параметров по границе их области определения. Линию на замкнутой поверхности, по которой она замыкается сама на себя, называют швом. Поверхности могут стыковаться друг с другом по границам. Говорят, что по шву замкнутая линия стыкуется сама с собой. Совокупность стыкующихся по границам поверхностей называют оболочкой. Оболочка может состоять из одной поверхности или нескольких поверхностей. Также как и отдельная поверхность, оболочка может быть замкнутой и незамкнутой. Замкнутая оболочка не имеет границы. Незамкнутая оболочка имеет одну или несколько границ.

Будем рассматривать непрерывную связь между точками геометрических объектов. Предположим, что оболочка выполнена из эластичного неразрываемого и несклеиваемого материала. Исследуем свойства этой оболочки, которые сохраняются при всевозможных ее деформациях. Деформацией будем называть изменение формы оболочки путем растяжения, сжатия, сдвига или изгиба ее поверхности, не приводящие к разрывам и не требующие склеивания поверхнсотей оболочки. Эластичная оболочка в виде куба может быть деформирована в сферу, или эллипсоид, или оболочку в виде тетраэдра, но не может быть деформирована в тороидальную оболочку. Сфера, эллипсоид, оболочка в виде тетраэдра или куба могут быть преобразованы друг в друга путем непрерывных и обратимых отображений. Свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при непрерывных и обратимых отображениях одного пространства в другое, изучает топология. С топологической точки зрения сфера, эллипсоид, оболочки в виде тетраэдра или куба эквивалентны. Свойства, характеризующие непрерывность точек некоторой оболочки, являются топологическими свойствами. Топологические свойства геометрических объектов связаны с фундаментальными математическими понятиями.

Топология изучает общий случай оболочек, которые могут самопересекаться, иметь или не иметь границы, уходить в бесконечность. Топология оперирует своими объектами, которые несут информацию о их взаимной связи друг с другом, и устанавливает между ними соотношения. При моделировании окружающих нас объектов мы будем строить оболочки из топологических объектов. Они будут нести и количественную геометрическую информацию, и топологическую информацию. Количественная геометрическая информация топологического объекта содержится в его геометрическом носителе, которым может являться точка, кривая или поверхность.

^ Вершины, ребра, циклы, грани. Рассмотрим оболочки, построенные на основе поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Для отслеживания связей составляющих оболочку поверхностей дополним поверхности информацией об этих связях и введем топологические объекты. Топологические объекты будут нести одновременно метрическую и топологическую информацию. Одним из топологических объектов является оболочка. При построении оболочки будем использовать такие топологические объекты, как грани, ребра, вершины и циклы. Все топологические объекты имеют общие принципы построения.

Гранью будем называть топологический объект, построенный на основе поверхности. Фактически грань представляет собой поверхность плюс информация о том, какая сторона поверхности является наружной стороной грани, и информация об ее положении в оболочке, то есть информация о соседях. Информация о соседних гранях оформляется в виде циклов.

Цикл – это топологический объект, который описывает одну из границ грани, и содержит информацию о том, где и как к данной грани примыкают соседние грани. Так как вдоль одного цикла к данной грани могут примыкать несколько соседних граней, то цикл состоит из нескольких участков. Каждый участок цикла опирается на некоторое ребро.

Ребром будем называть топологический объект, построенный на основе линии стыковки соседних граней или на основе граничной линии оболочки. Грани стыкуются только по ребрам. Таким образом, каждая грань со всех сторон окружена ребрами. Вершиной будем называть топологический объект, построенный на основе точки, в которой стыкуются ребра. Вершины могут лежать только на краях ребер. Каждое ребро начинается и оканчивается в вершине. Если ребро замкнуто, то оно начинается и оканчивается в одной и той же вершине. Цикл состоит из ребер, образующих замкнутую линию вдоль одной из границ грани. Цикл всегда замкнут и ему приписывается определенное направление. Грань может содержать несколько циклов, причем один их них является внешним, а остальные – внутренними и целиком лежащими внутри внешнего цикла. За положительное направление цикла примем направление движения вдоль цикла, при котором грань всегда находится слева, если смотреть с наружной стороны грани. Таким образом, внешний цикл грани ориентирован против часовой стрелки, а внутренние циклы ориентированы по часовой стрелке, если смотреть с наружной стороны грани. Каждый цикл проходит по одной из границ поверхности.

^ Ориентируемость оболочек

Для многих замкнутых оболочек одну из сторон можно определить как внутреннюю, а другую – как наружную. Для точек оболочек вводится такое топологическое понятие как ориентируемость. Представим, что вокруг всякой точки оболочки проведена окружность достаточно малого радиуса, расположенная на поверхности оболочки. Для каждой окружности определим такое направление обхода, что достаточно близкие точки всегда будут обходиться в одном и том же направлении. Если для некоторой оболочки это можно сделать, то такая оболочка называется ориентируемой. Существуют оболочки, для которых нельзя ввести единое направление обхода для окружностей близких точек. Такие оболочки называются неориентируемыми.

^ Лист Мебиуса. Примером неориентируемой оболочки является лист Мебиуса.

Лист Мебиуса является односторонней оболочкой. Если оболочка является односторонней, то она неориентируема. Справедливо и утверждение, что если оболочка является двухсторонней, то она ориентируема.

Оболочка тогда и только тогда неориентируема, когда на ней можно построить такую замкнутую кривую s, что придвижении вдоль этой кривой достаточно малой ориентируемой окружности она придет в исходную точку ориентированной в противоположенном направлении. Если двигаться вдоль кривой s на односторонней оболочке по одну сторону от этой кривой, то можно оказаться по другую сторону кривой, хотя при движении кривая не пересекалась.

Лист Мебиуса является незамкнутой оболочкой. Существуют замкнутые односторонние оболочки.

^ Бутылка Клейна. Примером замкнутой односторонней оболочки является бутылка Клейна, которая показана на рис. 4.1. Бутылка Клейна имеет одну замкнутую линию самопересечения. Она не может служить сосудом. Связность Бутылки Клейна равна трем.




Рис. 4.1 – Бутылка Клейна – односторонняя замкнутая оболочка

Если бутылку Клейна разрезать плоскостью ее симметрии, то получим две незамкнутые самопересекающиеся оболочки, из которых путем деформирования можно получить два листа Мебиуса.

Кроме связности оболочки характеризуются еще и направленностью. Тор и бутылка Клейна обладают одинаковой связностью, обе замкнутые оболочки, но тор является ориентируемой оболочкой, а бутылка Клейна – неориентируемой.

^ Оболочки для моделирования тел

Рассмотрим взаимно однозначное и непрерывное отображение одной оболочки в другую. При этом отображении соседние точки остаются соседними. Одним из видов отображения является деформация. При деформации топологический объект как целое непрерывно переходит сам в себя. Движение оболочки в пространстве является частным случаем деформации, тогда как зеркальное отображение оболочки относительно плоскости не является деформацией. При зеркальном отображении изменяется на обратное направление обхода всякой замкнутой кривой на оболочке, тогда как деформация сохраняет направление обхода неизменным.

Твердотельное и поверхностное моделирование

В геометрическом моделировании используются термины «поверхностное моделирование» (моделирование поверхностей) и «твердотельное моделирование» (моделирование твердых тел). В обоих случаях результатом моделирования является некоторая оболочка (или несколько оболочек), описывающая поверхность моделируемого объекта. Но процесс моделирования в первом случае отличается от процесса моделирования во втором случае.

В поверхностном моделировании сначала создаются и модифицируются требуемым образом поверхности, описывающие отдельные элементы моделируемого объекта. Эти поверхности обрезают по линиям пересечения, сопрягают друг с другом поверхностями скругления или перехода, а также выполняют над ними другие операции. Затем из полученных поверхностей собирают оболочку. В поверхностном моделировании результирующая оболочка не обязательно должна быть замкнутой.

В твердотельном моделировании с самого начала работа идет с оболочками тел, а не с отдельными поверхностями. Оболочки полностью описывают поверхности моделируемых объектов, отделяющие их внутренний объем от остальной части пространства. Процесс построения оболочки тела в данном случае аналогичен процессу изготовления моделируемого объекта. Сначала создается оболочка некоторой заготовки простой формы. Далее оболочка заготовки изменяется необходимым образом. Для этого используются булевы операции над телами, операция построения тонкостенного тела из заготовки, опреция скругления ребер, операция построения ребер жесткости и другие операции. С помощью операций оболочке тела придается требуемая форма.

Два подхода к моделированию имеют много общего и отличаются технологией создания модели. В обоих случаях выполняются аналогичные действия, но в разной последовательности.

^ 5. Различные способы представления твердотельных моделей

Математическая модель тел

Для геометрического моделирования предметов, занимающих конечный объем, в математике используются объекты, называемые твердыми телами или просто телами. Способ их описания отличается от способа описания кривых и поверхностей. При моделировании тел строятся поверхности, отделяющие занимаемую ими часть пространства от остальной части пространства. Существует несколько подходов к описанию тел.

Многие предметы можно смоделировать, используя только плоские поверхности. Такое представление тел называется плоскогранным. Для описания криволинейных поверхностей плоскогранное представление может аппроксимировать их некоторым количеством пластин треугольной или четырехугольной формы.

Некоторые поверхности можно описать уравнениями в координатной форме (представить поверхности неявно). Используя для моделирования тел такие поверхности, мы придем к конструктивной твердотельной модели. Над примитивами и полученными из них телами можно выполнять различные операции (в первую очередь булевы операции). Используемые конструктивной твердотельной геометрией поверхности (сферическая, цилиндрическая, коническая, поверхность тора и плоскость) делят пространство на две части и для них можно указать, с какой стороны поверхности находится внутренний объем тела.

Наиболее общий подход к описанию тел состоит в представлении тела совокупностью ограничивающих его объем оболочек, грани и ребра которых заданы параметрически. Каждая оболочка строится из набора стыкующихся друг с другом поверхностей произвольной формы, содержащих полную информацию о своих границах и связях с соседями. Такое описание тел называется представлением с помощью границ. Оно дает возможность выполнять над телами множество операций, сохраняя единый способ их «внутреннего устройства». Представление тел с помощью границ позволяет моделировать объекты произвольной сложности и формы.

Все перечисленные подходы к описанию тел используют топологические объекты и удовлетворяют условиям связности, ориентируемости и замкнутости. Мы будем рассматривать представление тел с помощью границ, опираясь на такие топологические объекты, как вершина, ребро, грань и оболочка. Оболочки состоят из набора граней. Каждая грань базируется на некоторой поверхности. Грань отличается от поверхности тем, что кроме поверхности она в структуре своих данных несет информацию о связях с соседними гранями и об ориентации по отношению к внутреннему объему тела.

Для того чтобы отличать сторону оболочки, направленную наружу тела, от стороны, направленной внутрь тела, каждой точке оболочки приписывается нормаль, которая считается направленной наружу тела. Нормаль внешней оболочки тела направлена вне ограничиваемой ею части пространства, а нормаль внутренней оболочки тела направлена внутрь ограничиваемой ею части пространства.

Для создания математической модели тела достаточно смоделировать совокупность оболочек, ограничивающих его объем. Но для редактирования тела необходима информация о последовательности и способах построения, поэтому в модель тела включают еще и дерево построения (или протокол построения) тела.

Будем строить оболочки тел из топологических объектов, которые будут нести и количественную геометрическую информацию, и топологическую информацию.

^ Последовательность моделирования тел

Моделирование некоторого объекта может включать построение одного тела или построение нескольких тел – сборки тел.

Создание одиночного тела начинается с построения или одного из простых тел, или тела на базе линий, или тела на базе поверхности. Эти способы построения тел приведены в левой части рис. 5.1. Если исходное тело создается на базе плоских линий, то для их построения используются конструктивные плоскости. Операции над телом могут выполняться многократно и в произвольной последовательности.



Рис. 5.1 – Способы построения тел

Из нескольких тел можно получить сборку тел. В сборке все тела равноправны. Для взаимного расположения и ориентации тел сборки можно использовать преобразования сдвига, поворота, масштабирования или симметрии.

Построение отдельных тел и сборок должно сопровождаться протоколом построения (деревом построения). Дерево построения позволяет выполнять редактирование тел и их сборок, создавать наборы однотипных моделей и управлять ими.

^ 6. Вариационные связи геометрических объектов

Каждый геометрический объект имеет структуру данных. Структура данных вместе с набором необходимых объекту функций представляет собой численную модель геометрического объекта. Скалярные величины, компоненты векторов, координаты точек, лежащие в структуре данных геометрического объекта, которые подлежат редактированию, будем называть параметрами этого объекта.

Редактирование объекта сводится к изменению численных значений его параметров. Независимость геометрических объектов отражает тот факт, что значения параметров одного объекта не зависят от значений параметров других объектов.

Наложение связей облегчает труд при проектировании нескольких однотипных деталей и при сборке различных деталей. Достигается это путем установления определенных зависимостей между параметрами геометрических объектов. Эти зависимости представляют собой некоторые уравнения

(6.1)

относительно параметров объектов. Будем называть связывающие параметры уравнения вариационными связями. Кроме координат точек, компонент векторов, скалярных величин из структуры данных геометрических объектов параметрами могут служить дополнительные скалярные величины и координаты точек. Они могут существовать отдельно или могут быть введены в структуры данных геометрических объектов для удобства управления объектами посредством вариационных связей. Для наложения вариационных связей нужно, чтобы геометрические объекты представляли свои параметры «во внешнее пользование» и перестраивались по измененным параметрам. Вариационными связями в общем случае могут служить любые алгебраические уравнения.

Управление геометрическими объектами с помощью вариационных связей осуществляется следующим образом. Пусть задан набор вариационных связей. Каждая связь накладывает одно или несколько уравнений на определенные параметры геометрических объектов. Связями формируется система уравнений относительно участвующих в связях параметров. Пусть в исходном состоянии параметры удовлетворяют этой системе уравнений. Если изменили некоторую константу в уравнении связи или некоторые параметры геометрического объекта, то необходимо изменить остальные параметры. Для этого мы должны решить систему уравнений связей и определить новые значения параметров. О результатах решения следует сообщить геометрическим объектам. Они должны перестроиться в соответствии с этим решением. Если систему уравнений удовлетворить нельзя, то всем параметрам присваиваются первоначальные значения. На практике часто приходится иметь дело с системой уравнений, содержащей больше параметров, чем число уравнений. В последнем случае мы воспользуемся некоторым критерием, определяющим поведение системы параметров, и с помощью этого критерия сформируем систему уравнений для определения всех параметров.

Дополним вариационные связи информацией связываемых ими геометрических объектов, а также функциями общения с объектами и системой уравнений. В результате вариационные связи можно назвать вариационными объектами. Они несут и обрабатывают геометрическую информацию. Как и геометрические объекты, вариационные объекты имеют свою структуру данных и свой набор функций. Состав структуры данных и функций определяется выполняемыми связями задачами. Каждый вариационный объект отвечает за то, чтобы заданные параметры удовлетворяли заданным уравнениям. В структуре данных вариационного объекта должны находиться: информация о связываемых им варьируемых параметрах, исходные значения параметров, информация об уравнениях связи (одном или нескольких). В набор функций вариационных объектов должны войти функции, представляющие и изменяющие необходимую информацию о варьируемых параметрах, функции, предоставляющие информацию об уравнениях связей, функции, изменяющие параметры в процессе решения и после удовлетворения уравнений всех связей, функции восстановления исходного состояния параметров в случае неудачи в процессе решения.

Сначала мы рассмотрим отдельные вариационные связи и их уравнения. Далее введем критерий поведения геометрических объектов, позволяющий сформировать систему уравнений, в которой варьируемые параметры обладают равноправием при любом их числе. Этот критерий в общем случае требует привлечение методов вариационного исчисления. На примере использования критерия поведения геометрических объектов мы рассмотрим вариационные связи двухмерных объектов.

^ Фиксирующие связи

Простейшей связью является фиксирующая связь. Она описывается одним уравнением, содержащим один параметр. Если параметр обозначить через q, то уравнение примет вид

, (6.2)

где – заданное значение параметра, которое должно быть сохранено в дальнейшем. Фиксирующая связь используется тогда, когда требуется, чтобы некоторый параметр не изменялся в процессе решения системы уравнений связей. Если некоторый параметр неизменен, то он может быть удален из списка переменных системы уравнений связей. Иногда удобнее сохранить неизменный параметр, но при этом следует ввести для него фиксирующее уравнение (6.2).

Примером фиксирующей связи может служить вариационная зависимость, называемая закреплением точки.

Уравнение (6.2) может использоваться для любого параметра геометрического объекта – скалярной величины, компоненты вектора или координаты точки.

^ Формирование и решение системы уравнений связей

Вариационные связи являются мощным средством управления геометрическими объектами. Они позволяют редактировать геометрические объекты совместно, когда изменение параметра одного из объектов влечет за собой соответствующие изменения параметров других объектов. Параметром может служить любая величина из структуры данных геометрического объекта или специально введенная переменная. Специально введенные переменные используются для удобства редактирования геометрических объектов с помощью вариационных связей.

Спомощью вариационных связей осуществляется управление сразу всеми связанными объектами. Как правило, на одни и те же параметры наложено несколько вариационных связей. Каждая связь представляет собой некоторый вариационный объект, который изменяет параметры геометрических объектов. Различные типы вариационных связей геометрических моделей представлены на рис. 6.1. Каждая связь имеет одно или несколько уравнений и перечень параметров, участвующих в каждом уравнении.



Рис. 6.1 – Типы вариационных связей

Нормальным состоянием для вариационных связей является состояние, когда их уравнения выполняются. Будем называть это состояние равновесным. В процессе моделирования проходится модифицировать геометрические объекты или их взаимное положение. Таким образом, вариационные связи выводятся из состояния равновесия.




Скачать 208.12 Kb.
оставить комментарий
Дата29.10.2011
Размер208.12 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх