Цены активов не могут быть отрицательными, но могут быть бесконечно положительными, поэтому и отношение цен, т е. P1/P2 не может быть отрицательным, но может яв icon

Цены активов не могут быть отрицательными, но могут быть бесконечно положительными, поэтому и отношение цен, т е. P1/P2 не может быть отрицательным, но может яв


Смотрите также:
Лекция 14. Основные методы интегрирования (продолжение)...
«Жизнь и смерть Александра Македонского»...
Социальные ценности как регуляторы поведения людей в обществе...
«Нано» было всегда и повсюду. Действительно...
Книга написана в 1949 г...
Диспут «Какой ты в XXI веке»...
Арсеньев Сергей Владимирович...
«приминение ит в ценообразовании»...
Лекция 3
«Имена существительные собственные и нарицательные»...
1 Трудовой и педагогический стаж работы...
ElujõUD



Загрузка...
скачать
Цены активов не могут быть отрицательными, но могут быть бесконечно положительными, поэтому и отношение цен, т.е. P1/P2 не может быть отрицательным, но может являться бесконечно положительным. Этот эмпирический факт является базой для предположения о логнормальности распределения отношения цен.

Согласно гипотезе об эффективности рынка ценных бумаг, цены активов отображают всю историческую информацию, касающуюся этого актива и немедленно реагируют на поступающую новую информацию по этому активу. Эта ответная реакция проявляется в виде изменения цены. (Т.О. если рынок немедленно реагируют на информацию и каждая часть новой информации независима от предыдущей, изменения в ценах будут следовать марковскому процессу.) Считается, что цены активов изменяются случайным образом на протяжении периода в результате совокупного эффекта многих независимых случайных импульсов, являющихся следствием получения новой информации.

Разновидность марковского процесса, которая используется как отправная точка для определения стохастических процессов цен активов, это основной процесс Винера, или Броуновское движение. Для того чтобы понять, каким образом процесс Винера соотносится с движением цен активов, вспомним что он из себя представляет.

Пусть S некоторая случайная переменная, t – период времени. За малый промежуток времени t случайная переменная S изменится на S. Если S следует процессу Винера, то

,

где  - стандартная нормально распределенная случайная величина. В пределе это можно записать следующим образом

.

Так как  - с.н.р.с.в, то и S – нормально распределена с нулевым средним и дисперсией t.

Следовательно, по сути мы имеем переменную S, которая изменяется случайным образом на величину S, которая зависит от другой случайной переменной t – эффект случайного получения новой информации на рынке.

Независимость переменных – важное свойство процесса Винера. Это означает, что разные значения S независимы и характеризуются как независимые и тождественно распределенные (SN(0, ).


Можем ли мы применить процесс Винера для описания стохастических процессов изменеия цен активов? К сожалению, не в его настоящей форме. Применение Винеровского процесса невозможно по следующим трем причинам:

  1. Активы характеризуются различными степенями волатильности. В процессе, описанном выше, волатильность была одна.

  2. Рисковые активы имеют положительное ожидаемое среднее значение дохода. В процессе, описанном выше, средняя значений S предполагается равной нулю, следовательно, в среднем будущая цена не будет отличаться от настоящей.

  3. В процессе Винера предполагается, что абсолютные изменения в цене S независимы от величины S. Однако в реальности это совсем не так. Абсолютное изменение цены более дорогого актива будет ожидаться в среднем большим, чем абсолютное изменение более дешевого актива. Мы скорее будем ожидать, что пропорциональные изменения в цене актива S/S будут независимы от S.


Проблема 1: разные активы имеют разные степени случайности или волатильности.


Эта проблема легко решаема путем умножения  на , что является годовым средним квадратическим отклонением S. Таким образом, уравнение принимает вид:

.

В пределе оно будет выглядеть так

.


Проблема 2: рисковые активы имеют положительный ожидаемый доход.


Ожидаемый доход от рисковых активов, находящихся во владении инвесторов, в среднем должен быть положительным, чтобы вознаградить инвесторов за несение риска. Поэтому мы должны адаптировать основной процесс Винера и привести его к обобщенному процессу Винера, чтобы учесть положительный ожидаемый доход.

Обобщенный процесс Винера – это основной Винеровский процесс с добавлением тенденции.

По отношению к стохастическим процессам термин тенденция (drift) используется для обозначения положительного или отрицательного (растущего или падающего) тренда во временных рядах стохастической переменной.

Параметр тенденции  представляет собой изменение S за малый промежуток времени dt. Если бы мы рассматривали только процесс с тенденцией, то dS=dt. Объединим этот процесс с Винеровским:



или в дискретной форме

.

SN(t,), т.е. 2 становится дисперсией за единицу времени; параметр  называют волатильностью. Эта модель известна под названием модели Башелье, предложенной им в 1900 году.


Проблема 3:

Для того чтобы понять эту проблему, вспомним, что  - это абсолютный доход за единицу времени, являющийся постоянным, но не зависимым от цены актива. Однако инвесторы нуждаются в процентной ставке доходности, зависящей от принимаемого риска, и, следовательно, не зависящей от уровня цены актива.

Следовательно, желаемый стохастический процесс цен активов должен включать абсолютный доход, который является функцией цены актива, но ставка не должна зависеть от цены актива.

Для удовлетворения этих требований следует использовать процесс Ито. Процесс Ито – это обобщенный процесс Винера, в котором параметры  (ожидаемый доход) и 2 (дисперсия) являются функциями от основных переменных. В общем виде процесс Ито выглядит как

.

В нашем случае основные переменные это цена актива S и время t, тогда процесс Ито для изменения цены запишется следующим образом

.

Для преобразования нашего Винеровского процесса в процесс Ито обозначим ожидаемую ставку доходности, выраженную в десятичной форме, как , тогда S будет абсолютным доходом. Для малого промежутка времени t ожидаемый абсолютный доход будет S=St, что в пределе выглядит как dS=Sdt. Разделив обе части равенства на S получим ставку доходности dS/S=dt. В результате получаем

,

что и является процессом Ито, который называют геометрическим броуновским движением.

Следовательно .

Эта модель движения цены актива записанная в виде

, (1)

где Wt стандартный Винеровский процесс, называют моделью Самуэльсона (1965).

Решением уравнения (1) является

. (2)


Введем в рассмотрение величину логарифмической доходности актива и определим ее следующим образом:

,

где rt,T - логарифмическая доходность с момента времени t до момента T.


Преимущество использования логарифмической доходности двояко. Во-первых, она может быть экономически более содержательной, чем процентная доходность. Если логарифмическая доходность распределена нормально, то распределение никогда не приведет к отрицательной цене. Это потому, что в левом хвосте распределения логарифмы отношения цен стремятся к минус бесконечности при текущей цене, стремящейся к нулю. Напротив, в левом хвосте нормально распределенной процентной доходности величина стремится к минус бесконечности при отрицательной величине текущей цены. Экономически это бессмысленно.

Второе преимущество логарифмических доходностей состоит в том, что они хорошо агрегируются во времени. Логарифмическая доходность от момента времени t до момента времени T эквивалентна сумме логарифмических доходностей на тантервалах от t до  и от  до T, где :

.

Эта временная аддитивность логарифмических доходностей говорит о том, что если однопериодные доходности независимы (что следует из геометрического Броуновского процесса), то волатильность доходностей масштабируется на квадратный корень из времени.

Однако, процентные доходности имеют хорошие свойства, когда мы хотим агрегировать активы. Например

,

где  - доля портфеля вложенная в акцию, r(1) - доходность акции, r(2) - доходность облигации, Pi - стоимость портфеля в i-ый момент времени. В то же время логарифмическая доходность портфеля не является средним взвешенным логарифмических доходностей активов, входящих в портфель.

Рассмотрев особенности каждого типа доходностей, приходим к выводу , что выбор в пользу того или иного типа приводит нас к отказу или от возможности агрегирования активов, или от возможности агрегирования по времени. Учитывая особенности методов оценки риска, что и являлось нашей конечной целью, заключаем, что логарифмические доходности являются наилучшей альтернативой.


Учитывая (2) можно записать



с учетом свойств Винеровского процесса прлучаем

,

где N(0,1).




Скачать 58.81 Kb.
оставить комментарий
Дата27.10.2011
Размер58.81 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх