Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события icon

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события


Смотрите также:
Решение. Введем обозначения событий: деталь окажется бракованной...
Проверка статистических гипотез...
Лабораторная работа №1 Измерение ускорения тела при равноускоренном движении...
Хорватский дифференциальный словарик...
Лекция №8. Система передачи и обработки информации...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика...
Формулы сложения вероятностей...
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы...
Лекции, час
На магистерскую диссертацию...
Решение систем линейных алгебраических уравнений...
18 Двигатели внутреннего сгорания. Основные характеристики...



Загрузка...
скачать
ЛЕКЦИЯ №5


Повторение испытаний

(Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события А (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Р(А) = р (0 ≤ p ≤ 1) – постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха Р()=1 – p = q – тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится nk раз.

По теореме умножения вероятностей получим:

p·p·....·p·q·q·....·q = pk qn-k

k n-k




А А А А ...................A A A A A ...................... A




n

Число возможных вариантов выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

.

Окончательно получим:

(1)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(2)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (1) следует:

(3)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
k = {0, 1, 2, ...., n} – получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Введем обозначения, пусть означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем
m1 – раз, и не более, чем m2 – раз (). Тогда имеет место формула:

(4)

Вероятность того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы 1 раз, определяется формулой:

(5)

Необходимо найти k0 – наивероятнейшее число успехов, т.е. такое k0 вероятность которого максимальна.

Запишем условия:

a) ; b) ;

а) ; ; .

b) ; ; .

. (6)

При n → ∞ (достаточно большом) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

Значит, можно сказать, что при больших n наиболее вероятная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна р=0.75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода р=0.75. Вероятность перерасхода q=0.25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m > 2) попарно несовместимых и единственно возможных исходов Аj(j = 1, 2, ..., m). Т.е. Аj – полная группа событий. Вероятности наступления каждого события pi = P(Ai) – в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел ki таких, что выводится вероятность Pn(k1, k2, .., km) того, что при n испытаниях исход А1 наступит ровно k1 раз, исход k2 раз и т.д., исход Am произойдет km раз:

(7)

Это и есть полиномиальное распределение.
^

Локальная теорема Муавра-Лапласа


Несмотря на элементарность формулы при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Поэтому по теореме Муавра-Лапласа:

, где , а . (8)

Данная формула применима при , и тем более точна, чем . Функция – табулирована и обладает свойствами:

a) – четная , b) – убывающая, кроме того ≈ 0.0001. при .
^

Интегральная теорема Муавра-Лапласа


Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n1 – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n2 > n1 считаем, что . Пусть при ,, тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:



– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р4(0), Р4(1), Р4(2), Р4(3), Р4(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .



ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:



Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m1 = 0; m2 = 70. Находим:

m1np =-50, m2np = 20.

, .

Окончательно получим: .







Скачать 48.33 Kb.
оставить комментарий
Дата18.10.2011
Размер48.33 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх