Лекция №8 Построение математических моделей технологических объектов и систем аналитическим методом icon

Лекция №8 Построение математических моделей технологических объектов и систем аналитическим методом


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Лекция №4
Лекция №4
Программа по курсу " Моделирование систем управления "...
Лекция яковенко п. Г...
Рабочая программа дисциплины “ Моделирование систем”...
Лекция 1 Виды математических моделей сложных систем...
Название Лекция-семинар: Построение математических моделей целочисленного линейного...
Название Лекция-семинар: Построение математических моделей целочисленного линейного...
Название Лекция-семинар: Построение математических моделей целочисленного линейного...
Название Лекция-семинар: Построение математических моделей целочисленного линейного...
Лабораторная работа №1 исследование математических моделей линейных импульсных систем (лис)...
Рабочая программа учебной дисциплины «математическое моделирование» Цикл...



Загрузка...
скачать
Лекция № 8

Построение математических моделей технологических объектов и систем аналитическим методом


В основу аналитического метода составления математических моделей положен теоретический анализ конструкции исследуемого объекта (системы) и происходящих в нем физических процессов. Основу данного анализа составляют фундаментальные физические законы, к которым, прежде всего, относятся законы сохранения (массы, энергии, количества движения).

Общая формулировка закона сохранения следующая: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.

Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид –

, (1)

где - фазовая переменная (координата), выражающая субстанцию;

- дивергенция вектора плотности потока фазовой переменной;

G – скорость генерации или уничтожения субстанции.

Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока-стока субстанции через поверхность элементарного объема и представляет собой скалярную величину, образуемую суммой частных производных вектора в системе координат исследуемого объекта. Например, для трехмерного технического объекта –

. (2)

На основе общей трактовки закона сохранения могут быть получены уравнения для различных субстанций. В частности, уравнение закона сохранения массы имеет вид –

, (3)

где - плотность массы, кг/м3,

- вектор плотности потока массы, - вектор скорости переноса массы.

В одномерном случае, когда скорость направлена вдоль одной оси декартовой системы координат, плотность потока массы измеряется в кг/(м2с). Примером использования данного закона является описание свойства непрерывности потока жидкости в трубопроводе –

. (4)

^ Уравнение закона сохранения энергии может быть представлено в виде –

, (5)

где - полная энергия единицы массы, е – внутренняя энергия единицы массы,

- энергия единицы объема, Дж/м3, - вектор плотности потока энергии, - скорость генерации или поглощения энергии в единице объема, Дж/(м3с).

В одномерном случае плотность потока энергии измеряется в Дж/(м2с). Примером использования данного закона является уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды –

, (6)

где Q – количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м3, - вектор плотности теплового потока, Дж/(м2с), - количество тепловой энергии, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме, Дж/(м3с).

^ Уравнение закона сохранения количества движения для потока идеальной жидкости (без учета сил трения, обусловленных вязкостью) имеет вид –

, (7)

где - вектор количества движения единицы объема жидкости, p – давление жидкости,

- градиент давления, компонентами которого являются частные производные аргумента по пространственным координатам.

Примером использования данного закона является уравнение Навье-Стокса, приближенная форма которого для анализа движения жидкости в трубопроводе имеет вид –

, (8)

где - скорость потока жидкости, - плотность потока жидкости, - коэффициент линеаризованного вязкого трения в трубопроводе.

Практика показывает, что при разработке математических моделей чаще всего используются закономерности, носящие характер уравнений баланса. К ним относятся уравнения материального и энергетического баланса, уравнения экономического баланса, а также уравнения равновесия сил.

^ Уравнение материального баланса основано на законе сохранения массы вещества и может быть записано в следующей форме:

Приход вещества – Расход вещества = Накопление вещества

Разность между приходом и расходом вещества равна изменению его количества в рассматриваемом объекте. В стационарном (установившемся) режиме не может происходить ни убыль, ни накопление. В этом случае уравнение материального баланса для n-го количества веществ может быть записано в виде:

, (9)

где - весовой приход i-го вещества;

- весовой расход i-го вещества.

С учетом изменения количества вещества в объекте уравнение материального баланса может быть записано в виде:

, (10)

где - мгновенные значения весового прихода и расхода i-го вещества соответственно;

- мгновенное значение накопления i-го вещества.

При определении статистических зависимостей можно воспользоваться интегральной записью уравнения материального баланса в следующей форме:

(11)

В качестве примера использования уравнения материального баланса рассмотрим получение модели, описывающей смешивающее устройство, в которое поступает два потока веществ, а выходит один смешанный поток.

Материальный баланс в переходном процессе может быть выражен как изменение количества вещества, находящегося в растворе емкости, равное разности между количеством притекающих веществ и количеством вытекающего вещества за одно и то же время:

, (12)

где Q1, Q2 – потоки поступления в смешивающее устройство 1 и 2 вещества соответственно;

C1, C2 – концентрация веществ 1 и 2 в приходящих потоках;

Qc, Cc – расход вещества из емкости и его концентрация;

V – объем смешивающего устройства.

В установившемся режиме количество вносимого вещества должно быть равно количеству выносимого раствора, то есть:

(13).

Уравнения (12) и (13) могут быть записаны и в стандартном виде через «вход – выход»:

, (14)

где ;

(15).

Не менее редко, чем материальный баланс применяется энергетический баланс, основанный на законе сохранения энергии. В установившемся режиме количество энергии, притекающей в объект, равно количеству энергии, уходящей из него. По аналогии с выражением (9) уравнение энергетического баланса может быть записано в виде:

, (16)

где - i-й поток энергии (притекающие со знаком +, а уходящие со знаком -).

Примером использования данного типа уравнений является уравнение описания процессов в электрическом колебательном контуре, которое получается на основе 2 закона Кирхгофа (Для любого контура электрической цепи с сосредоточенными параметрами алгебраическая сумма напряжений на ветвях контура равна нулю), отражающего по сути энергетический баланс в электрической цепи:

, (17)

где q(t) – заряд конденсатора в момент времени t.

Аналитические соотношения, основанные на экономическом балансе, описывают показатели эффективности процессов управления производством. Эти уравнения отражают прибыль, себестоимость продукции, приведенные затраты, производительность и другие экономические характеристики производства.

Кроме указанных уравнений баланса для математического описания объектов также используют:

- уравнения элементарных процессов для локальных элементов объектов (уравнения теплообмена, уравнения химических реакций, уравнения напряжений и токов элементов электрических цепей и т.п.);

- ограничения на параметры процесса (например, при моделировании технологических процессов химического производства на концентрации компонентов в многокомпонентных смесях накладывают ограничения по их значениям от 0 до 1).

Все уравнения, описывающих физические процессы в моделируемой системе можно условно разделить на компонентные и топологические. Компонентные уравнения отражают свойства отдельных элементов моделируемой системы и основываются на физических законах протекания элементарных процессов. Примерами компонентных уравнений для различных систем являются:

- уравнение поступательного движения твердого тела, полученное на основе второго закона Ньютона - , F- сила инерции, m- масса тела, - линейная скорость тела;

- уравнение Эйлера для трубопровода постоянного сечения - , - скорость потока жидкости в трубопроводе, - плотность жидкости, х- геометрическая координата;

- уравнение резистора, полученное на основе закона Ома - .

^ Топологические уравнения базируются на физических законах, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных и описывают взаимодействия между элементами моделируемой системы через соотношения между однотипными фазовыми переменными. В частности, к топологическим относятся приведенные выше уравнения баланса. Примерами топологических уравнений для различных систем являются:

- уравнение равновесия сил механической системы, основанное на принципе Даламбера (геометрическая сумма всех сил, приложенных к твердому телу, включая силу инерции, равна нулю) - ;

- балансное уравнение (13), отражающее условие непрерывности потоков жидкости;

- уравнение (17), базирующееся на втором законе Кирхгофа.

Одним из важнейших свойств аналитического метода построения математических моделей является идентичность структуры уравнений, описывающих совершенно разные процессы. В этом проявляется единство физических законов, несмотря на многообразие форм существования материи. Один и тот же тип элемента в системах различных видов описывается аналогичными по структуре компонентными уравнениями.


Моделирование систем автоматического управления осуществляется, как правило, с использованием алгебраических и дифференциальных уравнений. К алгебраическим уравнениям обычно сводится математическое описание стационарных режимов работы объектов. Для описания динамики исследуемых объектов используют дифференциальные уравнения.

Рассмотрим решение уравнения динамики САУ операционным методом при ненулевых начальных условиях в общем виде. Пусть уравнение имеет вид:

, (22)

где ,

, .

Уточним понятие начальных условий для уравнения (22). Под начальными условиями понимают совокупность начальных значений искомой функции y(t) и ее производных до (n-1)-й включительно. Различают левые (y(-0), y’(-0) …) и правые (y(+0), y’(+0) …) начальные условия, различие между которыми заключается в направлении подхода к точке t=0. Левые начальные условия (называемые также предначальными) характеризуют систему до начала динамического процесса, создаваемого воздействием x(t). Если в момент времени t=0 входное воздействие и его производные отличны от нуля и происходит мгновенное изменение выходной величины, то начальные условия будут отличны от предначальных. ( При этом количество начальных условий, отличных от предначальных определяется видом передаточной функции объекта W - чем меньше степень числителя W отличается от степени знаменателя, тем большее число начальных условий отличается от предначальных ).

Если заданы предначальные условия, то преобразование уравнения (22) по Лапласу в соответствии с известной теоремой дифференцирования оригинала () и с учетом того, что при t=-0 внешнее воздействие еще не влияет на систему будет иметь вид:

, (23)

где (24)

Если выражение (24) разложить на суммы и сгруппировать слагаемые относительно множителей «s в степени», то получим следующее выражение для М:

(25)

Из уравнения (23) легко найти изображение искомой функции:

(26)

Если передаточная функция W имеет полюсы (корни полинома D(s)) и нули (корни полинома R(s)) , а изображение имеет полюсы (корни полинома V2(s)) и нули (корни полинома V1(s)) , то выражение (26) можно записать в виде:

(27)

Если заданы начальные условия, то осуществляя преобразование по Лапласу уравнения (22) необходимо учитывать как начальные значения искомой переменной и ее производных, так и начальные значения внешнего воздействия и его производных. Тогда после преобразования по Лапласу уравнение (22) примет вид:

, (30)

где ,

.

Начальные значения определяются в результате подстановки t=0 в функцию x(t) и ее производные.

Заключительным этапом решения дифференциального уравнения операционным методом является отыскание оригинала (искомой функции времени) по изображению. Для отыскания оригинала по известному изображению в операционном исчислении используются так называемые теоремы разложения и теорема свертывания оригиналов, с которыми вы можете познакомиться в специальной литературе по операционному исчислению.

Исходя из вышеизложенного, методика построения математических моделей объектов аналитическим методом сводится к следующей последовательности действий:

  1. ^ Физическое описание объекта моделирования. При этом выделяют «элементарные» процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат математическому описанию, и формулируют основные допущения, принимаемые при их описании, а также определяются фундаментальные законы, которые должны быть положены в основу составления математических уравнений исследуемого объекта (системы).

  2. ^ Составление уравнений статики или динамики объекта моделирования. Данный этап включает составление компонентных и топологических уравнений на базе выделенных на первом этапе физических законов в алгебраической или дифференциальной форме.

  3. ^ Определение начальных и граничных условий моделирования. Данные условия выбираются исходя из особенностей функционирования моделируемого объекта, обусловленных технологическим процессом, в котором он задействован или для которого он разрабатывается.

  4. ^ Выбор метода решения уравнений математического описания объекта, разработка алгоритма и составление программы. При выборе метода решения системы уравнений обычно руководствуются требованиями обеспечения максимальной быстроты получения решения.

  5. ^ Проверка соответствия (адекватности) модели объекту. Математическая модель объекта является лишь его определенным в рамках принятых допущений аналогом. Адекватность модели проверяется путем сравнения значений переменных, получаемых на модели и на реальных объектах, и проверки выполнимости критериев адекватности, которые базируются на методах дисперсионного анализа и анализа остатков, существо которых мы с вами рассматривали на прошлых лекциях.

  6. Изучение свойств объекта моделирования на математической модели. Данное изучение осуществляется в целях определения оптимальных условий протекания процесса, оптимизации управления процессом, а также выработки решений на создание новых объектов.

При проектировании принципиально новых процессов и объектов аналитический метод является единственным приемлемым методом математического описания исследуемых объектов.




Скачать 98,87 Kb.
оставить комментарий
Дата17.10.2011
Размер98,87 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
хорошо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх