Сглаживание временных рядов по взвешенной скользящей средней icon

Сглаживание временных рядов по взвешенной скользящей средней


Смотрите также:
Лекция 9 Анализ временных рядов. Экспоненциальное сглаживание 9...
Лекция 9 Анализ временных рядов. Заключение и литература 9...
Программа дисциплины Анализ финансово-экономических временных рядов для направления 521600...
Лекция 9 Анализ временных рядов. Спектральный анализ...
Программа дисциплины Анализ финансово-экономических временных рядов для направления 080100...
Программа по дисциплине анализ временных рядов для специальности 013800 Радиофизика и...
Несмотря на новизну, данное направление прошло ряд этапов в развитии собственной теории...
Фрактальный анализ временных рядов и таблиц сопряженности...
Лекция 9 Анализ временных рядов. Автокорреляционные и авторегрессионные модели...
Лекция 9 Анализ временных рядов. Комбинированные модели...
Viii -я Международная школа-семинар «многомерный статистический анализ и эконометрика»...
Практикум ориентирован на использование популярного эконометрического пакета eviews...



ЛЕКЦИЯ 15


Сглаживание временных рядов по взвешенной скользящей средней.

Как уже отмечалось, метод простой скользящей средней хорош только для линейных тенденций временного ряда. Для рядов с нелинейной тенденцией развития применяются другие методы сглаживания, например метод взвешенной скользящей средней. Этот метод отличается от метода простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, входят в сумму с разными весовыми коэффициентами.

Если тенденции временного ряда отвечает полином 2-го, или 3-го порядков, то для пяти-членной взвешенной скользящей средней центральное вычисляемое значение интервала определяется по формуле:


(1)

Для нелинейных тенденций развития временного ряда, определяемые полиномами 2-го или 3-го порядков, весовые коэффициенты в формулах вычисляемых значений сглаживания в зависимости от длины интервала сглаживания представлены в следующей таблице:


Длина интервала сглаживания

Весовые коэффициенты суммирования

5



7



9





Интервалы сглаживания большей длины берутся для достаточно большого числа статистических данных, т.е. когда n достаточно велико, иначе сглаженный ряд получается коротким и по нему невозможно определить какие либо закономерности для исходного ряда.

Для приведенной выше таблицы данных динамики урожайности некоторой культуры за 10 лет вычислим ряд 5-летних скользящих средних взвешенных. Вычисленные значения сведем в таблицу.




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



16,3

21,2

18,1

8,7

16,3

17,3

20,9

15,4

19,7

21,2



-

-

16,2

12,7

13,5

19,1

18,3

18,1

-

-


При сравнении сглаженных рядов, вычисленных значений 5-летних скользящих простых и 5-летних скользящих взвешенных, видно, что более гладкой является кривая скользящей простой, но ряд скользящей взвешенной более точно отражает поведение исходного ряда.


^ Экспоненциальное сглаживание временного ряда.

Выравнивание временного ряда может быть осуществлено методом так называемого экспоненциального сглаживания. Суть метода заключается в том, что в процедуре нахождения значения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем весовой коэффициент суммируемого уровня уменьшается по мере удаления его от уровня, для которого определяется сглаженное значение.

Если для исходного временного ряда (1) соответствующее сглаженное значение уровня обозначить через , где , то экспоненциальное сглаживание проводится по рекуррентному соотношению:

(2)

где - параметр сглаживания, причем , величина называется коэффициентом дисконтирования.

Для уровня , если использовать рекуррентное соотношение последовательно для всех уровней, начиная с первого и заканчивая последним уровнем . можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня , является взвешенной средней всех предшествующих уровне и уровня . Запишем это формулой.

(3)

Зачастую начальный параметр принимается равным значению первого уровня исходного ряда . Иногда же начальный параметр принимается равным средней арифметической нескольких первых членов исходного ряда, например

(4)

Указанный порядок выбора начальной величины обеспечивает хорошее согласование сглаженного и исходного временных рядов для первых уровней. Если же при этом при подходе к правому концу ряда сглаженные значения начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, то целесообразно перейти на другой параметр сглаживания .

Обычно для временных рядов в экономических задачах величину параметра сглаживания выбирают в интервале от 0,1 до 0,3 . Например, при вес текущего наблюдения равен 0,2. Вес предыдущего уровня будет равен . Для уровня вес составит и т.д.

В таблице приведены данные численности преподавателей высших учебных заведений страны (тыс. человек) по годам.


Год

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000



233,5

239,9

239,8

261,9

261,8

268,7

260,7

298,6

299,4


Произведем сглаживание временного ряда с использованием экспоненциальной средней для двух значений параметра сглаживания и . По результатам расчетов определим, какой из сглаженных временных рядов носит более гладкий характер.

Рассмотрим случай .





















Рассмотрим теперь случай . По тем же самым формулам вычисляем, что

Сравнивая значения полученных временных рядов, заключаем, что при временной ряд имеет более гладкий характер, т.е. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания исходного временного ряда.

^ Классификация моделей кривых роста.

Выбор конкретного аналитического метода сглаживания сводится к определению конкретного вида кривой роста, отвечающего общей тенденции экономического процесса, и в определении параметров выбранной кривой роста. Под кривой роста понимается некоторая функция, аппроксимирующая заданный процесс динамического временного ряда.

Процесс разработки прогноза с использованием кривых роста состоит из следующих этапов:

  1. выбор одного или нескольких кривых роста, форма которых в значительной степени соответствует динамике временного ряда;

  2. оценка параметров, определяющих выбранные кривые;

  3. проверка адекватности выбранных форм кривых прогнозируемому, экономическому процессу и окончательный выбор кривой в качестве модели этого процесса;

  4. расчет точечного и интервального прогнозов для исследуемого динамического процесса.

Обычно формы кривых роста выбираются из трех классов функций.

К первому классу относятся кривые, которые используются для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Например, линейная, степенная или экспоненциальная зависимости.

Ко второму классу относятся кривые, имеющие предел роста в исследуемом периоде, но не имеющие точек перегиба. Такие кривые называются кривыми насыщения. Например, гиперболическая без или со сдвигом, ограниченная линейная, ограниченная степенная и др.

Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к третьему классу. Их еще называют S – образными кривыми. Например, котангинсоида, функция знака, двух сторонне ограниченные функции.


^ Характеристики моделей роста кривых первого класса.

Среди кривых роста первого типа следует выделить класс полиномов:

(5)

Параметр - является начальным уровнем ряда при ; - называют уровнем линейного прироста; - ускорением роста; - изменением ускорения роста.

Чаще всего в эконометрическом моделировании временных рядов используются полиномы не выше третьей степени.

Полиномы первой степени

(6)

на графике изображается возрастающей, или убывающей прямой и используется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени.


y y


t t





Полиномы второй степени

(7)

изображается в виде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно.


y y




t t




У полинома третьей степени

(8)

знак прироста ординаты может меняться один или два раза.




y





t


Оценка параметров (коэффициентов) полиномов проводится методом наименьших квадратов (МНК). Так, нормальная система уравнений для определения коэффициентов прямой имеет вид:

(8)

Нахождение коэффициентов из этой системы может быть осуществлено разными методами, например, по формулам Крамера.

Систему нормальных уравнений можно упростить и уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в вычислении величин коэффициентов, если перенести начало координат в середину динамического ряда. Если до переноса начала координат параметр равен 1,2,3,… , то после переноса начала координат получим:

  • для четного числа членов ряда .

  • для нечетного числа членов ряда .

В этом случае коэффициенты функциональной линейной зависимости находятся из выражений:

, (9)

Совершенно аналогично определяются коэффициенты полинома второй степени (параболы), которые после переноса начала координат в середину динамического ряда имеют вид:

(10)

(11)

(12)

Показательная кривая

(13)

растет с ростом , , если , и убывает, если . Параметр

характеризует начальные условия, а параметр - постоянный темп роста.


y y




t t





Прологарифмировав уравнение (13) получим:

(14)

Обозначив , , тогда имеем .

Для оценивания неизвестных параметров можно использовать систему нормальных уравнений для прямой (14) и найти соответствующие параметры. Зная значений и , путем потенцирования найдем значения и . Тем самым определим параметры соответствующей потенциальной функциональной зависимости.

Следует заметить, что полученные таким образом оценки параметров показательной зависимости оказывается смещенным в связи с тем, что в расчете участвуют не исходные данные, с их логарифмы. Отметим, что смещение будет тем значительнее, чем больше разность между соседними уровнями заданного ряда.


^ Характеристики моделей роста кривых второго класса.

Рассмотренные выше типы кривых используются для описания монотонных возрастающих или убывающих процессов монотонных возрастающих или убывающих процессов без насыщения. Примером кривой с насыщением является модифицированная экспонента вида:

(15)

где и . Для такой кривой прямая является горизонтальной асимптотой.




y

k




k+a

t

Коэффициент может быть определен исходя из свойств прогнозируемого процесса или задан экспертным путем. В этом случае оставшиеся параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения исходного уравнения к линейному виду.

Для заданного значения параметра , определяющего горизонтальную асимптоту, преобразуем вид зависимости.

(16)

После логарифмирования этого выражения получим:

(17)

Используя систему нормальных уравнений, можно найти значения параметров и . Путем потенцирования этих значений получаются значения параметров и . Если параметр отрицателен, то асимптота находится выше кривой. Если же параметр положителен, то асимптота находится под кривой.

y




k+a


k


t


В экономических процессах чаще всего используется случай, когда и . В этом случае рост уровней ряда замедляется и стремится к некоторому пределу.




Скачать 89.25 Kb.
оставить комментарий
Дата17.10.2011
Размер89.25 Kb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх