Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Интеллектуальные информационные системы» Санкт-Петербург

скачать ^ Лабораторная работа № 1 Цель работы: освоить операции матричного вычисления средствами универсальной системы MATLAB. Порядок выполнения работы Средствами универсальной системы MATLAB получить для исходной матрицы А размерности (3х3) следующие величины: транспонированную, псевдообратную, евклидову норму; собственные значения и собственные векторы; сингулярные числа, правые и левые сингулярные векторы. ^ Оформление отчета Отчетом о лабораторной работе является файл с именем, совпадающим с фамилией студента с результатами работы в папке Мои документы/номер группы. ^ Контрольные вопросы Что такое иммунокомпьютинг? Перечислите основные вычислительные процедуры иммунокомпьютинга. Свойства сингулярного разложения матриц. ^ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ Математический аппарат Как известно, для произвольной матрицы А размерности (m n) существует так называемое сингулярное разложение, т.е. представление матрицы в виде A = USVT, (1) где U   (m  m) и V – (n x n)– ортогональные квадратные матрицы, удовлетворяющие критерию ортогональности: VVT = VTV = Emm, UUT = UT U = Enn, где E   единичные матрицы соответствующих размерностей. Матрица S состоит из квадратного диагонального блока размерности rr (r = min (m, n)) с неотрицательными элементами на главной диагонали и, если , из дополнительных нулевых строк или столбцов S = [S’;0], если m < n, S = [S’;0]T, если m > n, S = S’, если m = n, S’= diag {s1,s2,…,sr, s1 s2…sr}. Числа si, i = 1, 2,….,r называются сингулярными числами матрицы A, которые определяются матрицей A однозначно. Сингулярное разложение вещественной прямоугольной матрицы A в покомпонентной форме имеет следующее представление: A= s1U1V1T + s2U2V2T + …. +srUrVrT, (2) где si –сингулярные числа матрицы A, Ui, Vi – соответственно, правые и левые сингулярные векторы, r –ранг матрицы. Эти сингулярные числа и сингулярные векторы удовлетворяют следующим соотношениям: s1  s2 …,sr  , si = UiT AVi, UiTUi = 1, ViT Vi = 1, i = 1,….,r. (3) Известно, что процессы сингулярного разложения для любой вещественной матрицы А обладают весьма полезными свойствами для теории и приложений, а именно, каждая матрица над полем вещественных чисел имеет вещественные сингулярные числа и векторы. Кроме того, сингулярное разложение матриц устойчиво к малым возмущениям матриц, т.е. сингулярное разложение каждой матрицы является хорошо обусловленной процедурой. Относительно практических аспектов, сингулярное разложение матрицы в общем случае может быть получено по достаточно простой и надежной схеме: VT(k+1) = UT(k)A, V(k+1) = V(k+1)/ /V(k+1)/ U(k+1) = AV(k+1), U(k+1) = U(k+1)/ /U(k+1)/ (4) sk = UTkAVk, /sk+1 – sk/ ≤ ε где k=0,1,2,... – номер итерации, U(k+1) - любая векторная норма,  - заданная точность вычисления. Можно показать, что для произвольных начальных векторов U(0) , V(0) итерации по схеме (4) сходятся в общем случае к сингулярным векторам U, V, соответствующим максимальному сингулярному числу smax= UTAV. Следуют отметить, что такие свойства не свойственны спектральному разложению, которое в действительности формирует основу для многомерного статистического анализа. В отличие от сингулярного разложения матриц, собственные числа и собственные векторы спектрального разложения являются вещественными только для вещественных симметрических матриц, в общем случае не симметрические вещественные матрицы обладают комплексным спектром и определить его не просто. С использованием вышеприведенного итеративного алгоритма (4) сингулярное разложение матрицы А, представленное в форме (2,3) может быть получено с использованием метода исчерпывания. Сущность этого метода заключается в следующем: максимальное сингулярное число и соответствующие ему правый и левый сингулярный векторы матрицы ^ А вычисляются с помощью итеративного алгоритма (4). Формируется матричная компонента А1 =s1U1VT1; формируется матрица невязки А2 = А   А1 = А   s1U1VT1, (5) для которой максимальное сингулярное число и соответствующие ему правый и левый сингулярный векторы матрицы А2 вычисляются с помощью итеративного алгоритма (4) и т.д. Скачать 0,62 Mb. оставить комментарий страница 4/9 Дата 17.10.2011 Размер 0,62 Mb. Тип Методические указания, Образовательные материалы