Элективный курс Процентные вычисления ( для учащихся 9 класса) Азаров Игорь Виктрович
1 чел. помогло. | скачать Элективный курс Процентные вычисления ( для учащихся 9 класса) Азаров Игорь Виктрович учитель математики Москва 2008 г. Пояснительная записка. Одним из направлений модернизации школьного образования является профилизация старшей ступени общеобразовательной школы. Начальной составляющей реализации профильного обучении является предпрофильная подготовка учащихся. Курс «Процентные вычисления» является предметно-ориентированным курсом по выбору в рамках предпрофильной подготовки Курс «Процентные вычисления» предполагает, что учащиеся смогут свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, сумеют просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков, и выбрать наиболее выгодные. Практические задачи повседневной жизни человека в современном обществе, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, но и более глубоких знаний (простые и сложные проценты, арифметическая и геометрическая прогрессия). Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с внедрением современных информационных технологий, требующих математической грамотности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой. Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию. Краткосрочный курс по выбору «Процентные вычисления» рассчитан на 1 час в неделю, всего 16 часов. Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Учащиеся встречаются с процентами на уроках физики, химии, чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие из них ориентированы на поступление в высшие учебные заведения. Практика показывает, что очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. В последнее время экзамен по математике проводится в форме ЕГЭ, и в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ присутствует задача на проценты. Специфика темы такова, что значительное позитивное влияние на знания и умения учащихся оказывает последующее обучение, причем не математике, а химии, где процентные расчеты являются существенным элементом содержания обучения, об этом свидетельствуют и приемы решения задач, и способы записи их решения. Содержание программы курса включает углубление тем базовой общеобразовательной программы, а так же расширение по отдельным темам. Каждое занятие включает теоретический материал (30%) и практические задания. Этот курс ориентирован на выбор профиля обучения в старшей школе. Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, использует целый ряд межпредметных связей, прежде всего с химией. Цели:
Задачи курса:
Конечный результат:
Задачи учителя:
Содержание изучаемого курса. Тема 1: Подготовительный этап. Тема 2: Проценты и процентное отношение. Занятие 1. Дроби и проценты. Занятие 2,3. Простейшие задачи на проценты. Занятие 4. Задачи из экзаменационного материала. Тема 3: Решение задач с помощью уравнения и системы уравнений. Занятие 1,2. Решение задач с помощью уравнения и системы уравнений. Занятие 3,4. Простой и сложный процентный рост. Тема 4: Процентное содержание, процентный раствор. Занятие 1. Процентное содержание, процентный раствор. Занятие 2,3. Задача на сплавы и смеси. Тема 5: Защита творческих проектов. Занятие 1. Проценты каждый день. Занятие 2. Понятие процентов и их роли в повседневной жизни. Занятие 3. Профессия + Процент. Резерв (решение задач). Учебно-тематическое планирование
^ При изучении курса учащиеся систематизируют знания и умения по теме «Проценты», полученные в 5 и 6 классах (переводить проценты в десятичную дробь, десятичную дробь обращать в проценты, преобразовывать десятичные и обыкновенные дроби, решать задачи простейших видов), и углубят их, познакомившись с различными способами решения задач, не входящих в школьную программу. Учащиеся развивают и углубляют общеучебные навыки и умения за счет: решения дополнительных задач (на процентное содержание, процентный раствор и концентрацию); новых способов их решения (уравнение, система уравнений, геометрически, старинный способ); решения задач с практической ориентацией; решения олимпиадных задач и из материалов ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы. Обучение учащихся осуществляется через практическую, самостоятельную или групповую деятельность учащихся, через выявление, актуализацию и обогащение их собственного опыта в сотрудничестве с другими учащимися и учителем. В конце изучения курса учащиеся представляют свой проект по выбранной ими теме. Они самостоятельно определяют для себя, его цели и задачи. Одни из них собирают предложения магазинов и банков, просчитывают реальные суммы, выраженные в рублях, а затем, анализируя результаты, выбирают наиболее для них выгодные. Другие рассматривают конкретные задачи, которые предлагаются на уроках химии, физики или экономики. В проекте должны быть
Учащиеся оформляют проекты, представляют их, учатся при этом обоснованно и рационально излагать свои мысли, вырабатывают умение слушать товарищей, дополнять и комментировать их ответы. Решение практических задач позволит учащимся применить в новых ситуациях известные приемы, установить связь между изученным материалом и окружающей реальностью. При этом в будущем, любой ученик свободно сможет воспользоваться, полученными знаниями и навыками, подобных расчетов, что, безусловно, будет полезно в его дальнейшей жизни. Таким образом, создаются условия для активизации познавательного интереса, и учащиеся становятся активными участниками происходящих вокруг них жизненных событий, осмысливают материал курса и целенаправленно смогут применить полученные знания, умения и навыки в практической деятельности. Изучение курса поможет учащимся соотнести свои индивидуальные возможности, интересы с особенностями, современными требованиями предмета математики и, далее, определиться в выборе профиля обучения. Приложение Тема 2: Проценты и процентное отношение. Занятие 1. Дроби и проценты. Работа над любым проектом начинается с повторения понятия процента и решения простейших задач на проценты. Важным умением при работе с процентами является:
Более подробно: а) чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100. Например: 1 %= 1/100=0,01; 6%=6/100=0,06; 39%=39/100=0,39; 100%=100/100=1; 254%=254/100=2,54; 0,2%=0,2/100=0,002; Задание 1. Запишите в виде десятичной дроби: 1 %; 7 %; 45 %; 123 %; 2,5 %; 15 %; 0,8 %; 100 %; б) Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо умножить ее на 100. Например. 0,03 = 0,03 ∙ 100 %=3 %; 0,26 = 0,26 ∙ 100% =26%; 1,35 = 1,35 ∙ 100% = 135%; 0,603= 0,603 ∙ 100%=60,3%; Задание 2. Запишите в процентах десятичные дроби: 0,87; 0,09; 1,45; 0,035; 2,6; 0,907; 0,001. в) Чтобы представить обыкновенную дробь в десятичной записи, надо числитель разделить на знаменатель. Задание 3. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных ½; ¼; ¾; 2/5; 17/50, а затем в виде процентов. Полезно заполнить следующую таблицу, научиться свободно, заполнять ее, легко восстанавливать связь между дробями и процентами. Данные дроби часто встречаются при решениях задач и в жизни (магазине, банке и т.д.). Задание 4. Заполните таблицу
^ Простейшие виды задач В хозяйственных и статистических расчетах, а так же во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах. Три данных вида задач:
Задачи простейшего вида рассматриваются в 5 классе, затем при изучении прямой пропорциональной зависимости в 6 классе. Далее с задачами на проценты учащиеся встречаются при подготовке к экзамену по алгебре за курс основной школы т.к. в сборнике заданий (2000 – 2005 годов издания) для проведения экзамена включены задачи таких видов. Далее при изучении химии учащимся предлагаются для решения задачи на смеси, сплавы, концентрацию, процентное содержание, как правило, к тому времени тема «Проценты» и виды задач забыты и учащиеся испытывают затруднения. А) Нахождение процентов от числа. Чтобы найти проценты от числа, надо число умножить на количество процентов, выраженных дробью. Задание 1. Найти 25% от 120. Решение: 1) 25% = 0,25; 2) 120 ∙ 0,25 = 30. Ответ: 30. Б) Нахождение числа по известной его части. Чтобы найти число по известной его части, надо число разделить на количество процентов, выраженных десятичной дробью. Задание 2. Найти число, если 15% его равны 30. Решение: 1) 15 % = 0,15; 2) 30 : 0,15=200. Ответ: 200. В) Сколько процентов составляет одно число от другого. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, надо одно число разделить на другое и умножить на 100. Задание 3. Из 24 учащихся за контрольную работу 16 получили 4 и 5. Какой процент учащихся получили 4 и 5? Решение: 1) 16 : 24 = 0,666…≈ 0,67; 2) 0,67 ∙ 100 = 67%. Ответ: 67%. Пропорция – равенство между двумя отношениями четырех величин a, b, c, d: a : b = c : d. ^ называют две величины, если отношение их не изменяется, т. е. во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна из них, во столько же раз увеличивается (уменьшается) и другая. Задача. В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотеке? Решение: 210 учебников - 15% Х учебников - 100% Составим пропорцию 210:Х=15:100, Х=210∙100:15=1400 (уч.) всего в библиотеке. Ответ: 1400 учебников. Занятие 4. Задачи из экзаменационного материала. Задание 1. В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотеке? Задание 2. Утром было продано 28% товара, днем – в два раза больше, а вечером – оставшиеся 32 кг. Сколько всего кг товара было продано? Задание 3. Банк за год начисляет 20% на вложенную сумму. Какую сумму вкладчик внес на счет, если через год на счету оказалось 1920 руб.? Задание 4. За стиральную машину и ее установку заплатили 7840 р. Стоимость установки составляет 12% от стоимости машины. Сколько стоит машина? Задание 5. В девятых и десятых классах школы 162 ученика. Число учащихся десятых классов составляет 80% числа учащихся девятых классов. Сколько в школе девятиклассников и сколько десятиклассников? Задание 6. Определите стоимость товара до уценки, если после снижения цены на 30% он стал стоить 56 р. Задание 7. В школе два девятых класса. В 9 «А» учатся 52% всех девятиклассников, а в 9 «Б» - 24 человека. Сколько всего учеников в 9-х классах? Задание 8. В ателье за февраль сшили 126 юбок. Это оказалось на 10% меньше, чем было сшито за январь. Сколько было сшито юбок в январе? Задание 9. В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально? Задание 10. В городской думе заседало 60 депутатов, представляющих две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 12%, а от второй – уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в Думе после выборов, если всего было выбрано 56 депутатов? Задание 11. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если первый печник будет работать 2 ч, а второй 3 ч, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно? ^ Занятие 1,2. Решение задач с помощью уравнения и системы уравнений. Решение задач с помощью уравнения Проблема заключается в том, что даже при решении несложных задач, возникают затруднения при переводе текста задачи на язык уравнений. Систематизируем знания по данному вопросу. Неизвестную величину обозначим через Х, тогда
Задача. В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально? Решение: Пусть Х учащихся было в первой школе, тогда (1500-Х) учащихся было во второй школе. После увеличения на 10% учащихся первой школы их стало Х+0,1Х=1,1Х, а во второй школе стало (1500-Х)+0,2(1500-Х)=1500-Х+300-0,2Х=1800-1,2Х учащихся. В результате их общее число стало равным 1720. Составим уравнение 1,1Х+1800-1,2Х=1720 -0,1Х=-80 Х=800 Таким образом получили, что 800 учащихся было в первой школе, тогда 700 учащихся было во второй школе первоначально. ^ 800 и 700 учащихся. Решение с помощью системы уравнений Задача 1. Когда в условии задачи неизвестными являются две величины, то можно решить задачу с помощью системы уравнений. Решим предыдущую задачу с помощью системы уравнений. Решение: Пусть Х учащихся было в первой школе, тогда Υ учащихся было во второй школе. В двух школах поселка было 1500 учащихся. После увеличения учащихся первой школы их стало 1,1Х, а во второй стало 1,2Υ учащихся, в результате их общее число стало равным 1720. Составим систему уравнений и решим ее способом подстановки      ^ 800 и 700 учащихся. Задача 2. После снижения цен на 20 % товар стоит 100 рублей. Сколько он стоил до снижения цен? Задача 3. Товар стоит 100 рублей. Сколько он будет стоить после повышения цен на 20 % ? Задача 4. Атмосферный воздух содержит 77 % азота, 21% кислорода, около 1% нейтральных газов и небольшие количества других примесей. В каком количестве воздуха содержится 1 м3 чистого кислорода. Задача 5. Стоимость акций за первый квартал упала на 30%, а за второй выросла на 40%. Когда стоимость акций была выше, в начале года или в конце второго квартала, и на сколько % ? Занятие 3,4. Простой и сложный процентный рост Задача 1. Стоимость компьютера 1250 долларов. Какова будет его стоимость после снижения цены на 20%? Задача 2. Торт стоил 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит торт? Задача 3. Скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость10,00 м/сек. Какова будет его скорость через три секунды? Задача 4. При внесении квартирной платы на один день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется заплатить в случае задержки квартирной платы на три месяца, если квартирная плата составила 100 рублей? Задача 5. Банком установлена процентная ставка из расчета 3% в месяц. Сколько денег должен получить гражданин, вложивший в этот банк 100 рублей на 3 месяца? Задача 6. Выгодно ли гражданину задержать на три месяца внесение квартирной платы (задача 4), вложив эти 100 рублей в банк (задача 5)? Задача 7. Какую сумму надо положить в сбербанк под 4% в месяц, чтобы по истечении года приращение вклада было бы не меньше, чем: а) 1000 р; б) 350 р.? Задача 8. Семья накопила деньги на новый автомобиль, но решила повременить с покупкой, ожидая снижение цен на 20%. На какой срок имеет смысл откладывать покупку, если инфляция составляет 3% в месяц? Задача 9. Какую сумму надо положить в банк под 1% в месяц (сложные проценты), чтобы начисленные за год проценты покрывали 13% от годовой зарплаты в 5 тыс. р., т. е. банк оплачивал бы подоходный налог. Тема 4: Процентное содержание, процентный раствор. Занятие 1. Процентное содержание, процентный раствор. ^ Тип задач на составление уравнений и систем уравнений – задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность». Процентное содержание вещества в растворе, иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли. Задание 1. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если %-е содержание соли 15%? Решение: 10∙0,15 = 1,5(кг). Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. Задание 2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение: 1) 10 + 15 = 25(кг) сплав; 2) 10 : 25 ∙ 100% = 40% процентное содержание олова в сплаве. 3) 15 : 25 ∙ 100% = 60% процентное содержание цинка в сплаве. ^ 40%, 60%. Задание 3. 12%-й раствор соли наполовину разбавили водой. Какова концентрация полученного раствора? Задание 4. В промышленных месторождениях содержание меди в медных рудах составляет от 0,3% до 6%. а) Сколько надо взять медной руды, чтобы получить не менее 12 т. меди? б) Сколько меди может получиться из 12 т. руды? Задание 5. В 100 г. 3%-го водного раствора вещества содержится 3 г. сухого вещества. В каком количестве 6%-го раствора содержится такое же количество этого вещества? Занятие 2,3. Задача на сплавы и смеси. ^ Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения. Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 300∙0,87 = 261 г. В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. Отношение объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты. Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация – безразмерная величина. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: к = р : 100%, к – концентрация вещества; р – процентное содержание вещества (в процентах). ^ Задача 1. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго слава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? Решение. (с помощью уравнения): Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить Х кг второго сплава. Тогда получим (20+Х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4∙20 = 8 (кг) серебра, а в (20+Х) кг нового сплава содержится 0, 32∙(20+Х) кг серебра. Составим уравнение: 8+0,2Х = 0,32(20+Х), Х=13 1/3. Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра. Задача 2. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято? Решение (с помощью системы уравнений): Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания Х г 5%-ного раствора кислоты (или 0,05Х г) и Υ г 40%-ного раствора (или 0,4Υ г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 0,3∙140 г, то получаем следующее уравнение 0,05Х + 0,4Υ = 0,3∙140. Кроме того Х + Υ = 140. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:  Из этой системы находим Х = 40, Υ = 100. Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора – 100 г. Ответ: 40 г, 100 г. Задача 3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора? Задача 4. Килограмм соли растворили в 9 л. воды. Какова концентрация раствора? Задача 5. В 200 г. воды растворили 50 г. соли. Какова концентрация полученного раствора? Решение. Учтём, что масса полученного раствора 200+50=250г., и составим пропорцию: 250 г. – 100%; 50 г. – x%;  Задача 6. Верно ли, что для приготовления 150 г. 12%-го раствора потребуется больше соли, чем для приготовления 120 г. 15%-го раствора? Тема 5: Защита творческих проектов. Занятие 1. Проценты каждый день. ^ Учащимся предстоит выяснить, какие задачи «на проценты», им приходиться решать каждый день: дома, в магазине, в школе. Учащимися проводится самостоятельная исследовательская работа, в ходе выполнения которой они выясняют, как используется понятие процентов при изучении других дисциплин? Результаты работы обсуждаются совместно, дополняются. При изучении этого вопроса рассматривается использование процентов на уроках химии, физики, географии. Занятие 2. Понятие процентов и их роли в повседневной жизни.
В этом проекте учащимся предстоит:
^ В целом учащиеся приобретают навыки в решении дидактических упражнений на проценты, не имеющих прагматической ориентации (в жизни они с такими формулировками не встретятся), в то время как в практических, значительно более важных ситуациях не могут применить известные приемы. Не имеют достаточного уровня абстрактного мышления, для выделения в реальных явлениях и процессах математической сущности, связи между изученным материалом и окружающей реальностью. Сборник задач для закрепления материала. В классе присутствует 60% всех учащихся. Сколько процентов учащихся отсутствует?
Задания представлены в виде текстовых задач.
6л
200 кг
1 кг, 2 кг
Библиографический список.
2003.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плохо
1отлично
3 Разместите кнопку на своём сайте или блоге: