Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» Нижний Новгород icon

Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» Нижний Новгород



Смотрите также:
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано комиссией для преподавателей и студентов высших...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией подготовительного факультета...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...



страницы: 1   2
вернуться в начало
скачать
Глава 2. Математические модели динамики гидромеханических процессов в форме уравнений Лагранжа


Использование динамических аналогий между движением механических систем и систем иной физической природы является эффективным средством изучения поведения природных и технических объектов. Можно, в частности, отметить рассмотрение так называемых систем Гельмгольца [2, 3]. Это системы различной природы, уравнениям движения которых можно придать форму уравнений Лагранжа. Такой прием открывает возможность значительного расширения области применения подхода и хорошо развитых методов аналитической механики при исследованиях поведения подобных систем. Математический аппарат, структура математических моделей и результаты, полученные в рамках аналитической механики, широко используются при рассмотрении электромеханических систем. Основой для этого послужила предложенная Максвеллом идея применения в электромеханике уравнений Лагранжа, форма которых не зависит от физической природы переменных состояния. Это направление известно как аналитическая электромеханика [1].

Настоящая глава посвящена обоснованию методики применения такого подхода к выводу полученных в гидравлическом приближении математических моделей гидромеханических процессов. Развитие идеи применения методов аналитической механики для изучения движения жидкости привело к формированию аналитической гидромеханики как самостоятельного научного направления. Для работ этого направления характерно использование вариационных принципов при выводе уравнений движения и при анализе общих свойств решений этих уравнений. Однако из-за сложности математических моделей возможности аналитических исследований в случае изучения неодномерных течений с учетом вязкости и сжимаемости жидкости ограничены. В связи с этим приходится в ущерб общности получаемых результатов обращаться к численным методам. Несмотря на значительные успехи в развитии и применении таких методов в гидромеханике, большое значение имеет изучение общих динамических свойств гидромеханических систем с помощью аналитических методов, что требует значительного упрощения исследуемых моделей. Приведенное ниже рассмотрение относительно простого, но практически очень важного случая движения несжимаемой жидкости, когда справедливо гидравлическое приближение, в первую очередь относится к так называемой трубопроводной гидравлике.

В первой главе было показано, что получающаяся при традиционном для прикладной гидромеханики напорных течений подходе математическая модель сложной ГС представляет собой систему нелинейных уравнений в полных производных достаточно общего вида. Изучение динамических свойств решений соответствующих уравнений движения и зависимости этих свойств от параметров и структуры системы является сложной задачей. Однако рассмотрение ГС в виде совокупности тел переменной массы позволяет представить уравнения движения в виде системы уравнений Лагранжа и голономных связей. Последние являются уравнениями неразрывности в узлах, где происходит соединение и разделение потоков. Тем самым доказывается, что система уравнений движения является системой Гельмгольца [33].

Такой подход позволяет по-новому взглянуть на математическую модель гидромеханических процессов и использовать для получения уравнений движения ГС и их исследования хорошо разработанный аппарат аналитической механики и методов качественной теории дифференциальных уравнений, зародившихся в классической механике и получивших развитие в теории нелинейных колебаний. Этот подход представляет интерес и в связи с возможностью проведения аналитических исследований с помощью вычислительной техники и с использованием компьютерной алгебры. В этом случае математическая модель обычно представляется в виде системы уравнений Лагранжа.


^ 2.1. Уравнения и модели, описывающие динамику систем переменного состава


При обычном для механики рассмотрении системы, ограниченной некоторой областью, внешнее воздействие выражается в виде сил, действующих на границах, и массовых сил, а также в виде изменения материального состава, если имеется поток вещества через границы области, что является нарушением одного из исходных предположений, лежащих в основе законов и принципов классической механики, которые обычно используются при получении уравнений движения. Компенсация такого нарушения производится с помощью введения некоторой дополнительной силы, иногда называемой реактивной. Выражение этой силы получается при выводе уравнения Мещерского [34], которое является соответствующим обобщением уравнения Ньютона. Для системы из N материальных точек или имеющих одну степень свободы тел переменной массы в инерциальной системе отсчета имеем систему уравнений Мещерского:


(2.1)


где Fi +Ri – равнодействующая всех активных сил и реакций наложенных связей; mi, vi – масса и абсолютная скорость частицы; ui – абсолютная скорость массы, отделяющейся от частицы или присоединяющейся к ней; Fi – функции радиус-векторов положения материальных точек и скоростей этих точек . При отсутствии потока массы (2.1) – это система уравнений Ньютона.

Умножим каждое из уравнений (2.1) на соответствующее точке виртуальное перемещение и просуммируем по i. В результате получим общее уравнение динамики, которое с учетом идеальности связей () имеет вид:


(2.2)


Заметим, что




, (2.3)


а mi зависят от времени и координат. Предполагается, что массы изменяются непрерывно. Подставляя (2.3) в (2.2), интегрируя (2.2) по времени с учетом того, что , получаем принцип Гамильтона-Остроградского для системы тел переменной массы:


, (2.4)


где



– вариация кинетической энергии системы;



– работа активных (потенциальных и непотенциальных) сил Fi, действующих на материальную точку;



– работа дополнительных сил, обусловленных абсолютным движением присоединяемых и отбрасываемых в единицу времени масс;



– изменение кинетической энергии за счет зависимости масс от координат и скоростей. Это последнее слагаемое в выражении (2.4) сокращается со вторым слагаемым в выражении для вариации кинетической энергии T. Если имеется несколько потоков присоединяемого и отделяющегося вещества, то в выражении для A2 необходимо просуммировать эти эффекты для каждой массы.

Принцип Гамильтона-Остроградского в форме (2.4) можно использовать для получения уравнений движения конкретных механических систем с учетом изменения массы или состава. В случае систем с сосредоточенными параметрами вместо вариационного принципа обычно используются уравнения Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат.

Пусть положение системы описывается координатами j, (n  3N):


, (2.5)

тогда


и (2.6)


Учитывая соотношения (2.5) и (2.6), перепишем слагаемые A1 и A2 из (2.4) в виде:


.


Проведем преобразования остальных членов выражения (2.4):





Подставляя все слагаемые в (2.4), получим:


,


и в силу произвольности вариаций i запишем:


(2.7)


где





Если потоков массы несколько, то выражение для дополнительной силы Hj усложняется. В общем случае, суммируя потоки массы для каждой из N частиц, получаем:

(2.8)

Для частного случая одной материальной точки в (2.7) и (2.8) следует опустить как индексы i, j, так и суммирование по индексу i.


^ 2.2. Уравнение Бернулли и математическая модель гидросистемы с точки зрения аналитической механики


Для описания динамики одномерного напорного течения несжимаемой жидкости в каждом участке ГС используется уравнение Лагранжа, обобщенное на случай потока массы через границы (2.7). Для имеющего одну степень свободы тела оно имеет вид:


,


где  – обобщенная координата, G – обобщенная сила, выражающаяся через активные потенциальные и непотенциальные силы; – кинетическая энергия; m, v – масса и абсолютная скорость тела соответственно;





– добавочная сила, обусловленная потоками массы через границы; – потоки массы с абсолютной скоростью ui.

Рассматривая участок ГС (k = 2) для функций, входящих в уравнение (2.7), получим:




(2.9)


Интегрирование проводится по длине участка от его входа до выхода. В качестве обобщенной скорости выбран расход жидкости Q, который в случае пренебрежения сжимаемостью зависит только от времени. Такой выбор очевиден, если рассмотреть выражение для кинетической энергии в (2.9). Роль обобщенной координаты выполняет общее количество жидкости, прошедшей через участок. Эта координата в уравнение не входит, то есть является скрытой.

Выражение для обобщенной силы получено интегрированием по длине участка проекций равнодействующей гидродинамического давления, реакции стенок трубопровода и собственного веса жидкости на направление течения (см. вывод первого уравнения системы (1.15)). Входящая также в это выражение сила трения определяется гидравлическими потерями, которые вводятся в виде эмпирической зависимости перепада давления от расхода.

При получении выражения для добавочной силы H, обусловленной переменностью состава жидкости на участке, учтено, что


(2.10)


Окончательный вид уравнения движения жидкости на участке следующий:


. (2.11)


Таким образом, уравнение Бернулли, используемое для описания нестационарного течения несжимаемой жидкости на участке ГС, – это уравнение Лагранжа.

Поскольку уравнение Бернулли – основа математической модели гидросистемы, то эта модель может быть представлена в виде системы уравнений Лагранжа. Следовательно, эта модель является системой Гельмгольца, и для ее получения и исследования могут быть использованы методы аналитической механики.

С точки зрения аналитической механики уравнения неразрывности для узлов, то есть элементов соединения и разделения потоков, являются уравнениями связи, наложенными на обобщенные скорости:

, (2.12)

где суммирование проводится по всем соединяющимся в узле участкам. Эти связи могут быть проинтегрированы, то есть являются голономными [35, 36].

В составе ГС имеются участки, содержащие насосы. Уравнения для угловых скоростей вращающихся рабочих колес насосов записываются в форме уравнений Лагранжа для вращающихся тел с закрепленной осью. Угловые скорости также являются обобщенными скоростями.

Полная система уравнений гидромеханических процессов в ГС (1.16) может быть получена после подстановки в уравнения Лагранжа (2.7) следующих выражений для кинетической энергии и для обобщенных (Gi) и дополнительных (Hi) сил, проведения преобразований и добавления уравнений связи:


;

(2.13)


В выражениях (2.13) сохранены обозначения, использованные в (1.16). Для сложной системы, содержащей насосы на некоторых участках, кинетическая энергия является суммой двух составляющих: первая из них связана с гидродинамическими процессами, а вторая – c механическими.

Математическая модель нестационарных гидромеханических процессов в ГС является системой Гельмгольца и имеет ряд особенностей.

Уравнения содержат только обобщенные скорости , . Сами координаты имеют простой физический смысл и являются скрытыми. Это полное количество прошедшей через поперечное сечение участка жидкости i, , полный оборот рабочего колеса насоса i+N, , которые практического интереса не представляют.

Число обобщенных скоростей является избыточным [36], и часть из них может быть исключена с помощью независимых уравнений связи.

Таким образом, уравнения (1.16) могут быть получены как с использованием аналитической механики, так и традиционным способом. Преимущества и связанные с использованием аналитической механики новые возможности исследования ГС обсуждаются в следующих главах.

Следует отметить, что уравнения одномерного течения сжимаемой жидкости (1.15) также могут быть получены с помощью аналогичного рассмотрения. В этом случае вместо обобщенного на случай переменного состава уравнения Лагранжа используется принцип Гамильтона-Остроградского в виде (2.4). В этом случае на каждом из расположенных между узлами участков изменяется не только состав, но и масса. Уравнение неразрывности, то есть второе уравнение системы (2.4), выводится отдельно и является наложенной связью. Математическая модель обусловленных сжимаемостью волновых процессов в ГС, таких как акустические колебания и гидравлический удар, используется только для численных расчетов (см., например, [4, 5]), поэтому в отличие от рассматриваемого здесь случая несжимаемой жидкости предлагаемый подход не дает ничего нового по сравнению с традиционным.

Кроме представленного выше обоснования нетрадиционного способа представления уравнений гидромеханических процессов в ГС в виде уравнений Лагранжа, можно указать и более простой путь, базирующийся не на физическом обосновании, а на формальном подборе обобщенных координат и вида входящих в уравнение Лагранжа функций и обобщенных сил. Конечной целью такого подбора является получение уже известных уравнений (в нашем случае уравнения Бернулли или системы уравнений динамики ГС) после подстановки этих функций и известных из уравнения Бернулли сил в уравнение Лагранжа.


^ 3. Качественная структура фазового пространства математической модели гидродинамических процессов. Методика решения задачи стационарного потокораспределения


Для представляющих в большинстве случаев основной интерес (и обычно изучаемых в прикладной гидромеханике напорных течений) гидродинамических процессов воспользуемся уравнениями (1.16), но при постоянных или меняющихся квазистатически механических переменных :

(3.1)

где Pi(Qi) – суммарная гидравлическая характеристика соответствующего участка. Если участок содержит насос, то его гидравлическая характеристика зависит не только от расхода Qi, но и от скорости вращения рабочего колеса насоса , как от фиксированного параметра. Как уже отмечалось выше, особенностью этой системы уравнений с точки зрения классической механики является присутствие в ней только обобщенных скоростей . Часть обобщенных скоростей является избыточной и может быть исключена с помощью уравнений связи, являющихся голономными. Определяющий размерность фазового пространства порядок этой системы уравнений , где – ранг матрицы уравнений связи, среди которых могут быть уравнения-следствия.

Рассматриваемая в большинстве работ задача потокораспределения сводится к численному решению уравнений (3.1) при . При этом остается в стороне ряд проблем, связанных, в частности, с неоднозначностью состояний равновесия, их устойчивостью и существованием других режимов, например, автоколебаний. Решение этих проблем оказалось возможным при использовании рассмотренного выше подхода и методов теории нелинейных колебаний.

Правые части первых ^ N уравнений системы (3.1), представленных в виде системы уравнений Лагранжа, можно выразить через производные от некоторой образующей функции R:


(3.2)

Здесь




– кинетическая энергия системы, учитывающая движение жидкости во всех N участках системы,


(3.3)


– зависящая от обобщенных скоростей и определенная с точностью до постоянного слагаемого ^ C1 образующая функция, которую можно назвать обобщенной функцией Рэлея.

Как было отмечено выше, часть из N обобщенных скоростей может быть исключена с помощью уравнений связи (группа алгебраических уравнений системы (3.1)). Каждое выражение Pim + gzim, m = 1, 2 входит с соответствующим знаком в дифференциальные уравнения системы (3.1) столько раз, сколько участков соединяется в каждом из узлов, поэтому первая сумма в выражении (3.3) преобразуется к виду:


, (3.4)


то есть эта сумма с учетом уравнений связи обращается в нуль.

Умножая каждое из N первых уравнений системы (3.1) на и суммируя по i, получаем:


. (3.5)


Первая сумма в правой части выражения (3.5), так же как и выражения (3.3), обращается в нуль. Таким образом, (3.5) приобретает вид:


. (3.6)


В левой части выражения (3.6) стоит так называемая удвоенная «энергия ускорений» [36], которая всюду положительна, кроме состояний равновесия системы (3.1), где она обращается в нуль. В правой части (3.6) стоит взятая со знаком минус полная производная по времени от функции R, которая с учетом уравнений связи имеет вид:


. (3.7)


Независимые переменные Q1, …, Qn описывают состояние исследуемой математической модели динамики ГС.

Рассмотрим качественный вид функции R (Q1, …, Qn). Входящие в выражение (3.7) функции Pi(Qi) представляют собой суммарные гидравлические характеристики соответствующих участков системы. Аналитические выражения этих функций для участка без насоса и с насосом, согласно данным прикладной гидромеханики и теории гидравлических машин, имеют следующий вид [13, 37, 38]:


(3.8)


(3.9)


a1, a2, b, c, d1, d2 – положительные коэффициенты, вид которых зависит от гидравлических сопротивлений участков и гидравлических характеристик насосов. В исследуемой системе предполагается постоянство угловых скоростей вращения рабочих колес насосов, то есть . Качественный вид графиков гидравлических характеристик участков без насоса и с насосом представлен на рис. 2 (соответственно а и б).

Вид функций Pi позволяет сделать вывод о том, что функция R ограничена снизу и неограниченно растет при удалении от начала координат, поскольку каждое слагаемое, входящее в выражение (3.7) для этой функции, также ограничено снизу и неограниченно растет с ростом модуля аргумента Qi. Константу C1 в (3.7) можно выбрать, исходя из условия , где – некоторые значения переменных, при которых R (Q1, …, Qn) имеет глобальный минимум. Поэтому функция R положительна всюду в области изменения переменных Q1, …, Qn, кроме точки (). В общем случае эта функция может иметь несколько минимумов.




Рис. 2. Качественный вид графиков гидравлических характеристик участков без насоса (а) и с насосом (б)


Из выражения (3.6) видно, что – отрицательно определенная функция, которая обращается в нуль только в состояниях равновесия исходной системы (3.1). Указанные свойства R и для изучаемой ГС позволяют использовать функцию R в качестве функции Ляпунова и получать приведенные ниже исчерпывающие качественные представления о структуре фазового пространства (Q1, …, Qn).

Из выражений для Pi (3.8), (3.9) и вида функции R(Q1, …, Qn) (3.7) следует, что эта функция непрерывна, непрерывно дифференцируема и может быть представлена в виде ряда в окрестности каждого из состояний равновесия :


(3.10)


Первые два слагаемых в правой части выражения (3.10) можно обратить в нуль выбором C1. Используя те же рассуждения, что и в предыдущем пункте при преобразовании выражения (3.4), можно показать, что в каждом из состояний равновесия системы (3.1) первая сумма в разложении (3.10) обращается в нуль. Равенство нулю всех коэффициентов этой суммы является необходимым условием как устойчивого, так и неустойчивого состояния равновесия. Таким образом, функция R(Q1, …, Qn) в малой окрестности состояния равновесия, может быть аппроксимирована второй суммой ряда (3.10). Условия минимума функции R(Q1, …, Qn) в точке имеют вид:


. (3.11)


Функция R фактически зависит только от n независимых фазовых переменных Q1, …, Qn, а избыточные переменные при вычислении , и T выражаются через основные с помощью уравнений связи, входящих в систему (3.1). Например,


.


На основании теорем прямого метода Ляпунова и указанных свойств функций R и [17, 18] можно утверждать:

    1. система (3.1) диссипативна, то есть все процессы независимо от начальных условий заканчиваются в одном из устойчивых состояний равновесия, в которых R(Q1, …, Qn) имеет минимум;

    2. единственность состояния равновесия – необходимое и достаточное условие устойчивости “в целом”;

    3. при наличии нескольких состояний равновесия с помощью указанной функции можно выделить устойчивые, в которых она имеет минимумы, и грубо оценить области притяжения.

Следовательно, все фазовые траектории идут из бесконечности в некоторую ограниченную область, в которой находится либо одно устойчивое состояние равновесия системы (3.1), и тогда R(Q1, …, Qn) имеет единственный минимум, либо несколько состояний равновесия (устойчивые и неустойчивые), в этом случае R (Q1, …, Qn) имеет несколько минимумов, каждый из которых соответствует устойчивому состоянию равновесия. В частности, из выражения (3.7) для функции Ляпунова следует, что система (3.1) имеет только одно состояние равновесия, если все гидравлические характеристики участков Pi – монотонные функции.

Согласно геометрической трактовке прямого метода Ляпунова [18], имеем систему вложенных друг в друга гиперповерхностей R(Q1, …, Qnconst. Фазовые траектории пересекают эти гиперповерхности снаружи внутрь, так как производная от используемой функции Ляпунова, вычисленная с учетом уравнений движения, отрицательна всюду, кроме состояний равновесия. При наличии нескольких состояний равновесия имеются неустойчивые состояния равновесия типа седла, и сепаратрисные гиперповерхности, проходящие через эти состояния равновесия, разделяют фазовое пространство на области притяжения устойчивых состояний равновесия.

Таким образом, анализ функции R(Q1, …, Qn) дает исчерпывающую информацию о качественной структуре n-мерного фазового пространства. При изменении параметров или фиксированных значений переменных , из-за деформации гидравлических характеристик участков с насосами (см. зависимости (3.8)) происходят бифуркации в виде рождения и исчезновения пар особых точек с нулевым суммарным индексом векторного поля [39].

Полученные выше результаты исследования позволяют свести задачу нахождения стационарного потокораспределения ГС, не содержащей объемы со свободными уровнями, к поиску координат минимумов функции многих переменных R. Эти минимумы достигаются в устойчивых состояниях равновесия. Для частного вида ГС, содержащих объемы со свободными уровнями, в работе [3] показана возможность автоколебаний, проявляющихся в виде периодического перераспределения жидкости между объемами.

Задача поиска минимумов функции R(Q1, …, Qn) представляет собой конечномерную многоэкстремальную задачу безусловной оптимизации следующего вида [40]:


(3.12)


где величины i, i () – константы, задающие границы изменения координат вектора Q; целевая функция R(Q) может иметь в допустимой области D несколько локальных экстремумов.

Если воспользоваться выражением (3.10), то становится понятным, что традиционно используемая методика решения задачи стационарного потокораспределения сводится к нахождению в фазовом пространстве точек обращения в нуль коэффициентов первой суммы в этом разложении: (то есть правых частей уравнений (3.1)), что соответствует нахождению всех состояний равновесия этой системы независимо от их типа. При существовании нескольких состояний равновесия возникает отмеченная выше проблема нахождения всех состояний равновесия и определения их типа. Относительно предлагаемого метода поиска координат минимумов функции R(Q1, …, Qn) можно сказать, что он представляет собой поиск устойчивых состояний равновесия, которые и представляют практический интерес.

Описанный в данной главе подход дает возможность исследования не только статики, но и динамики ГС, что очень важно для обоснования надежности их работы. В частности, рассмотрение гиперповерхности R(Q1, …, Qn) = const, проходящей через ближайшее неустойчивое состояние равновесия, позволяет грубо оценить область притяжения каждого из устойчивых состояний равновесия, а наиболее удовлетворяющее практику требование обеспечения единственности состояния равновесия, гарантирующее его устойчивость «в целом», может служить критерием выбора гидравлических характеристик оборудования, включая насосы, приводящие в движение жидкость. Обоснование и способы реализации методов, позволяющих находить экстремальные значения функций многих переменных, рассматриваются в литературе по методике принятия оптимальных решений [40–44].

Однако решение таких задач при увеличении числа измерений n представляет определенную сложность. Если в одномерной задаче для достижения точности решения  требуется p вычислений функции, то в задаче с размерностью n для решения с той же точностью необходимо осуществить испытаний, где  зависит от свойств целевой функции, допустимой области и используемого метода. Кроме того, при решении многомерных многоэкстремальных задач возникает проблема поиска всех локальных минимумов целевой функции – необходимо найти для каждого локального минимума зону его притяжения, то есть такую окрестность точки минимума, в которой исследуемая функция одноэкстремальна.

В условиях отсутствия информации об областях притяжения минимумов рассматриваемой функции, множество начальных точек может быть задано автоматически, по схеме метода Монте-Карло или на регулярной сетке во всей области [44]. Обзор методов поиска локально-оптимальных точек для решения многоэкстремальных задач имеется, например, в [41, 43, 45].

Несколько проще задача поиска глобального экстремума целевой функции, для решения которой в настоящее время существуют эффективные методы [40, 44].

Если в выражении (3.9) все характеристики Pi монотонны, то, как уже отмечалось, функция R(Q1, …, Qn) имеет только один экстремум (минимум), в таком случае можно использовать обычные градиентные методы поиска этого минимума [40–42].

Глава 4. Динамика системы циркуляции теплоносителя ядреного реактора


^ 4.1. Математическая модель системы циркуляции теплоносителя ядерной энергетической установки


В этой главе описанная выше методика продемонстрирована на примере исследования динамики системы циркуляции теплоносителя (СЦТ) ядерной энергетической установки (ЯЭУ), являющейся частным видом ГС. Нарушение предусмотренной проектом работы СЦТ недопустимо с точки зрения безопасности реактора, поэтому необходимо изучение общих динамических свойств этой системы. Полученные результаты позволяют получить наглядное геометрическое представление об изложенной в предыдущей главе методике. Отметим, что приведенные в данной главе результаты являются не обоснованием, а только демонстрацией разработанного метода на частном примере.

Ядерный реактор представляет собой достаточно сложный объект исследования, поскольку его работа связана с взаимодействием процессов различной природы. Это процессы деления ядер и диффузии рождающихся нейтронов, теплообмена ядерного горючего и теплоносителя, поток которого обеспечивает перенос тепла из активной зоны в теплообменники, процессы, связанные с работой циркуляционных насосов, клапанов, паровых турбин, а также процессы в системах управления. Во многих случаях теоретической основой для принятия ответственных проектно-конструкторских решений служит численный расчет с использованием сложных математических моделей указанных взаимодействующих процессов. Получаемые при этом частные решения из-за сложности математических моделей часто не поддаются тщательной количественной проверке и нуждаются в изучении с точки зрения понимания физики протекающих процессов, качественного характера изменения переменных, а также оценки области, где справедливы результаты расчетов. Кроме того, необходимо изучение зависимости динамики от параметров, начальных условий и возмущений. В связи с этим представляется важным использование адекватных проблеме аналитических и численных методов. Результаты изучения общих динамических свойств системы циркуляции теплоносителя, полученные с использованием представленного в предыдущей главе подхода, могут служить иллюстрацией решения такой проблемы, имеющей важное практическое значение.

На рис. 3 представлена структурная модель типовой СЦТ. Теплоноситель, нагревающийся в активной зоне реактора 1, через узел поступает по трубопроводам в параллельно работающие теплообменные петли 2 и после охлаждения в теплообменниках 3, пройдя другой узел, снова подается в активную зону. Течение теплоносителя обеспечивается работой циркуляционных насосов 4, снабженных электродвигателями 5. Стрелками показано направление течения теплоносителя в нормальном эксплуатационном режиме. Эта схема при числе петель, равном четырем, соответствует установке с реактором ВВЭР-1000. Аналогичные СЦТ используются и в других водо-водяных реакторах, но число петель может быть иным. Изменение плотности теплоносителя при нагревании и охлаждении невелико, и имеющиеся оценки [3] показывают, что влиянием этих изменений в рассматриваемых ниже гидромеханических процессах можно пренебречь. Это дает основание изучать гидродинамические процессы независимо от теплофизических.




Рис. 3. Расчетная модель системы циркуляции: 1 – активная зона реактора, 2 – теплообменная петля, 3 – теплообменник, 4 – насос, 5 – двигатель


Полная математическая модель динамики гидромеханических процессов, соответствующая представленной расчетной схеме, при произвольном числе петель получается как традиционным, так и предлагаемым в главе 2 способом и имеет вид:


(4.1)


где n – число петель с насосами и теплообменниками; MДi, MСi – движущий момент и момент сопротивления на валу циркуляционного насоса, определяющиеся характеристиками насосов и приводов; i – параметр, характеризующий внешние воздействия на привод центробежного насоса; Pi, zi, xi (i = 1, 2) – давление, высота и значение направленной по потоку координаты, соответствующей началу и концу участка;

.

Остальные обозначения такие же, как и для системы (1.7). Уравнения неразрывности для двух имеющихся в системе узлов одинаковы. Одно из этих двух уравнений является следствием и в соответствии с указанием о ранге матрицы уравнений связи опущено.

Математическая модель (4.1) с учетом зависимости плотности теплоносителя от температуры является частью более сложной математической модели, используемой для изучения не только гидромеханических, но и теплофизических процессов. При пренебрежении изменением плотности теплоносителя эта система уравнений является автономной и пригодна для изучения гидромеханических процессов и общих динамических свойств СЦТ. Данная модель отражает динамику двух взаимодействующих процессов разной природы. Это соответственно процессы течения теплоносителя и процессы вращения рабочих колес циркуляционных насосов и связанных с ними масс (редуктор, ротор электродвигателя и маховик). Таким образом, система циркуляции теплоносителя, так же как и рассматриваемая выше ГС общего вида (см. (1.16)) при фиксированных i, представляет собой две взаимодействующие подсистемы – гидродинамическую и механическую.

Для системы циркуляции ядерного реактора учет изменения частот вращения рабочих колес насосов является важным, однако исследование полной системы уравнений (4.1) затруднительно. Анализ показывает, что гидродинамические и механические процессы имеют значительно различающиеся характерные временные масштабы и могут рассматриваться раздельно.

При введении необходимого для разделения движений малого параметра исключим, как это было сделано в главе 3, избыточную переменную с помощью уравнения связи. Сложив каждое из n первых уравнений со следующим получим:


(4.2)


После приведения этих уравнений к форме Коши и объединения с уравнениями для , математическая модель (4.2) принимает вид:

(4.3)


где




Проведем следующие преобразования:

  1. Умножим каждое из первых n уравнений системы (4.3) соответственно на Qi, а каждое из следующих уравнений – на i.

  2. Заменим переменные Qi, i выражениями соответствующих гидродинамическим и механическим процессам составляющих кинетической энергии системы для каждого из участков: , .

  3. Нормируем и , поделив их на соответствующие стационарному режиму составляющие и полной кинетической энергии системы , где – гидродинамическая, а – механическая составляющие кинетической энергии системы в стационарном режиме работы.

  4. Проведем замену переменных: , .

Окончательно получим систему уравнений относительно нормированных составляющих кинетической энергии, эквивалентную системе (4.2):


(4.4)


Перейдем к новому времени и обозначим , тогда:

(4.5)

В результате указанных преобразований удалось ввести имеющий ясный физический смысл параметр, равный отношению гидродинамической составляющей полной кинетической энергии системы к механической составляющей:


(4.6)


Оценки, проведенные для ряда систем циркуляции ядреных реакторов, показывают, что параметр  << 1 [3, 45]. Таким образом, в стационарном режиме основная часть кинетической энергии системы обусловлена вращением рабочих колес насосов и связанных с ними редукторов, роторов электродвигателей и маховиков. Оценки и прямые численные расчеты переходных процессов в системе циркуляции реактора ВВЭР-1000 при одновременном отключении всех четырех циркуляционных насосов показали следующее. Расход теплоносителя обеспечивается запасенной кинетической энергией и уменьшается в e раз за 30 секунд. Если снизить на два порядка суммарные моменты инерции рабочих колес насосов, это время составит 1 с. Это обусловлено установкой на каждом насосе специального маховика. Растянутый во времени процесс снижения расхода теплоносителя при аварийном отключении электропитания предохраняет от опасного перегрева активной зоны [46].

Таким образом, в соответствии с теорией разрывных колебаний [17–19] можно раздельно изучать быстрые гидродинамические и медленные механические процессы, то есть понизить порядок исследуемой системы уравнений (4.1) вдвое.

Для быстрых процессов после исключения Qn+1 с помощью уравнения связи системы (4.1) имеем:


, (4.7)


где значения медленных переменных предполагаются постоянными либо медленно меняющимися в соответствии с решением системы уравнений медленных процессов, следующей из (4.2) при В этих уравнениях так же, как и в общем случае (см. гл.3), уже нет Pi, zi (i = 1, 2). Аналитические выражения функций ∆P(Qi, ωi), , и Pn+1(Qn+1) приведены в главе 3 в виде зависимостей (3.12), (3.13), а качественный вид графиков – на рис. 2.

При записи системы уравнений (4.7) в форме уравнений Лагранжа, характерной для аналитической механики, имеем:


(4.8)


При относительно редком рассмотрении динамики ГС более общего вида подобные оценки не проводятся, а предполагается, что скорости вращения рабочих колес насосов поддерживаются постоянными за счет работы идеальных регуляторов оборотов.


^ 4.2. Нахождение стационарных режимов


Исследование устойчивости по гидродинамическим процессам в общем случае было проведено в главе 3 прямым методом Ляпунова с использованием функции R(Q1,…,Qn), аналитическое выражение которой дает зависимость (3.7). Для рассматриваемого в этой главе частного вида ГС сохраняются все результаты, представленные в главе 3 (диссипативность, условия устойчивости). Поиск устойчивых состояний равновесия также сводится к нахождению точек минимумов функции R. Однако для этого частного вида ГС может быть использован более простой графический метод, делающий поиск решения очевидным и дающий наглядное представление о зависимости решения от вида гидравлических характеристик.

Для нахождения состояний равновесия имеем систему уравнений, которая следует из (4.7) или (4.8):


. (4.9)


Решение этой системы соответствует определению стационарных значений расходов .

Задача (4.9), полученная при рассмотрении системы (4.7), в отличие от общего случая, имеет частный вид и решается с помощью несложного графического построения или соответствующего ему разработанного численного алгоритма. Схематический способ решения системы (4.9) состоит в следующем. Каждое уравнение системы (4.9) разрешим относительно Qi:


. (4.10)


Сложим все n уравнений (4.10) и обозначим выражение в правой части через функцию :


.


далее найдем обратную для функцию и вместо уравнений (4.10) получим одно уравнение относительно :

(4.11)

После решения этого уравнения и подстановки результата в (4.9) получаем систему уже несвязанных уравнений для нахождения стационарных значений переменных , .

Для наглядности рассмотрим процедуру построения зависимости , которую назовем характеристикой системы петель, для случая двух одинаковых петель (n = 2). Результаты качественного построения функции  –1(Q+ Q2) представлены на рис. 4. Зависимости для i = 1 и i = 2 совпадают и отображены кривой 4. Кривые 1,2,3 – возможные гидравлические характеристики общего участка ∆P(Q1+ Q2), 4 – характеристики петель с насосами – ∆P(Qiω0i), 5 – зависимость  –1 (Q1+Q2).




Рис. 4. Нахождение состояний равновесия системы (4.9): 1,2,3 – гидравлическая характеристика общего участка ∆P3 (Q1Q2), 4 – характеристики петель с насосами –∆Pi (Qi, ω0i), 5 – зависимость  –1 (Q1+Q2)


Зададимся некоторым произвольным значением перепада давления на общем участке ∆P и по равному ему значению перепада давления в петле –∆P(Qiω0i) найдем возможные значения расходов в петлях Qi. Таких расходов может быть либо один, либо три для каждой петли. Три значения расхода получаются из-за наличия «падающего» участка характеристики KM. Зная значения расходов в петлях, можно определить все возможные при заданном перепаде давления ∆P значения расходов через общий участок Q+ Q2. Полученные значения Q+ Q2 вместе с соответствующим значением ∆P определяют на плоскости (Q+ Q2∆P) точки характеристики системы петель , а изменение ∆P от – до + позволяет получить всю эту характеристику.

Решение задачи стационарного потокораспределения (4.5) на рис. 4 соответствует точкам пересечения характеристики общего участка ∆P3 (Q+ Q2) (кривые 1, 2, 3) и получающейся графически или численно суммарной характеристики системы петель (кривая 5). Последняя при одинаковых характеристиках участков с теплообменниками имеет двойную петлю, отмеченную жирной линией, каждая точка на ней соответствует двум симметричным режимам.

Процедура и результаты построения характеристики системы петель в случае произвольного n описана в [3]. При любом заданном n и при неидентичности петель, что, например, имеет место при различных скоростях вращения рабочих колес насосов в петлях или при различных насосах, построение характеристики системы петель проводится аналогично. Результаты такого построения для n =2 приведены ниже.

При изменении нелинейных характеристик – ∆P(Qi, ), , и ∆Pn+1(∑Qj), обусловленном изменением параметров, например, гидравлического сопротивления реактора или величин , стационарные значения расходов , , изменяются, что соответствует изменению координат и количества особых точек системы уравнений (4.7). В силу диссипативности данной системы в ее фазовом пространстве могут происходить бифуркации в виде рождения и исчезновения пар некоторых особых точек. Например, двухпетлевая система может иметь одно, пять или три состояния равновесия, что определяется возможным числом точек пересечения кривых. Рис. 4 дает наглядное представление о том, как изменяются координаты и количество особых точек системы при увеличении гидравлического сопротивления реактора (соответственно кривые 1, 2, 3). При этом рождаются и исчезают пары состояний равновесия с нулевым суммарным индексом Пуанкаре [17, 18]. Другие бифуркации в системе невозможны.

Алгоритм решения системы (4.9) для случая двух петель был реализован численно, что позволило проследить изменение координат и количества состояний равновесия при разных значениях угловой скорости вращения рабочего колеса одного из насосов. На рис. 5 представлены результаты решения этой задачи при в случае трех состояний равновесия. В следующем разделе для этого же случая приведен вид функции Ляпунова и разбиение фазовой плоскости Q1, Q2 на траектории.

Демонстрационные расчеты для случая двух петель (n = 2) проводились при следующих заданных параметрах характеристик (3.8), (3.9) системы (4.3): a1 = 1,4; a2 = – 4; b = 4; c = 6; d1= –d= 0,75 (гидравлические характеристики для обеих петель полагались одинаковыми, поэтому коэффициенты a1, a2, b, c зависимостей Pi из (3.8) для первой и второй петли совпадают). При расчетах задавались значения безразмерных частот вращения 1 и 2.




Рис. 5. Нахождение состояний равновесия системы (4.3) в случае различных характеристик (3 состояния равновесия)


^ 4.3. Исследование устойчивости и вида функции Ляпунова


Для рассматриваемого здесь случая двухпетлевой СЦТ (n = 2) при указанных параметрах ниже приведены результаты построения функции Ляпунова и разбиение фазовой плоскости на траектории.

Функция Ляпунова для случая n = 2 после вычисления интегралов с учетом аналитических выражений для нелинейностей (3.8), (3.9) представляется следующим образом:


(4.12)


За счет выбора h можно добиться положительности ограниченной снизу функции R (Q1Q2).

На рис. 6 представлен вид функции R (Q1, Q2) для различных характеристик петель теплоносителя, когда угловая скорость вращения рабочего колеса насоса во второй петле ω2 отлична от ω1: (3 состояния равновесия – два узла и одно седло).




Рис. 6. Вид функции Ляпунова для различных характеристик петель теплоносителя (3 состояния равновесия – два узла и одно седло).


Численный поиск экстремумов функции R (Q1, Q2) для данного случая показал полное соответствие с результатами, представленными на рис. 5. Поиск осуществлен локальным методом Ньютона, начальная точка выбиралась из соответствующей области притяжения, определенной ранее.

Система (4.7), записанная в форме Коши, при тех же параметрах была также исследована численно. При этом были построены фазовые траектории на плоскости Q1Q2. Начальные условия для фазовых траекторий выбирались автоматически по периметру прямоугольной области [–1, 4; –1, 4]. Численный счет системы проводился при    1. Полученные результаты полностью подтверждают теоретические представления о структуре фазовой плоскости. На рис. 7 представлены результаты численного исследования структуры фазовой плоскости Q1Q2, соответствующие режиму работы системы, изображенному на рис. 5, а также значениям параметров системы, используемым выше при построении графического решения системы (4.9). Заметим, что качественный вид фазовой плоскости не зависит от параметров , а полностью зависит от нелинейных гидравлических характеристик, определяющих функцию Ляпунова. Это справедливо и для общего случая ГС.




Рис. 7. Результаты численного исследования структуры фазовой плоскости (Q1Q2) для ω1= ω2 = 1 (5 состояний равновесия)


Так как система (4.7) диссипативна, можно утверждать, что состояния равновесия этой системы представляют собой либо устойчивые узлы, либо седла.

Рис. 8, имеющийся в монографии [3], качественно демонстрирует связь структуры фазовой плоскости Q1Q2 и поверхности R (Q1Q2) для системы циркуляции теплоносителя ЯЭУ в случае двух одинаковых петель и пяти состояний равновесия (случай соответствует пересечению кривых 5 и 2 на рис. 4). Сопоставление изображений поверхности Ляпунова и соответствующей фазовой плоскости показывает, что каждому устойчивому состоянию равновесия системы соответствует экстремальная точка функции Ляпунова. Причем в точках, соответствующих устойчивым состояниям равновесия, она имеет минимум. Являющимся седлами неустойчивым состояниям равновесия соответствуют седловые точки поверхности (Q1Q2). Фазовые траектории ведут себя подобно материальным точкам, скатывающимся по поверхности (Q1Q2) под действием силы тяжести, направленной вниз. На рис. 8 представлены качественный вид функции Ляпунова, структура фазовой плоскости сечение функции (Q1Q2) плоскостью const и проекция этого сечения.




Рис. 8. Качественный вид функции Ляпунова и структура фазовой плоскости.

Случай пяти состояний равновесия.


Построение и анализ функции Ляпунова для n = 2 дают полное представление о структуре фазового пространства без построения фазовых траекторий и об изменениях этой структуры в результате бифуркаций.

Результаты качественного исследования данной системы состоят в следующем:

  • Координаты состояний равновесия в представленном на рис. 8 частном случае определяются в соответствии с решением уравнений статики, проведенным графически на рис. 4 для характеристики общего участка 2. Каждая точка пересечения кривой 2 с участком кривой 5, выделенным жирной линией, соответствует на фазовой плоскости двум симметричным относительно линии Q1 = Q2 состояниям равновесия. Симметричность системы относительно индексов 1, 2 при n = 2 следует из вида уравнений (4.7).

  • Диссипативность системы свидетельствует о том, что в системе нет предельных циклов, фазовые траектории идут из бесконечности в некоторую ограниченную область фазовой плоскости, содержащую все состояния равновесия. На рис. 8 штриховкой выделены область притяжения состояния равновесия , и часть областей притяжения устойчивых состояний равновесия, лежащая внутри проекции сечения функции (Q1Q2) плоскостью = const на плоскость Q1Q2.

  • Из всех состояний равновесия системы (4.7) устойчивы те, для которых функция R (Q1Q2) имеет минимум. Для случая, представленного на рис. 8, система имеет три устойчивых состояния равновесия, которым соответствуют минимумы функции Ляпунова, и два неустойчивых состояния равновесия типа седла, которым соответствуют седловые точки поверхности R (Q1Q2).

В случае неодинаковых характеристик петель результаты аналогичные, но отсутствует симметрия фазового портрета и функции R (Q1Q2).

Вид функции Ляпунова, соответствующей фазовой плоскости, изображенной на рис. 7, представлен на рис. 6.

Рассмотрение этого частного случая СЦТ дает картину качественной структуры фазового пространства и возможных в нем бифуркаций, а также связи этой структуры с функцией R (Q1Q2). Кроме того, это позволяет получить представление о более общем случае СЦТ при произвольном n, и об общем случае произвольной ГС, рассмотренной в главе 3. Области притяжения устойчивых состояний равновесия в многомерном фазовом пространстве разделяются сепаратрисными гиперповерхностями, проходящими через неустойчивые седловые особые точки. Происходящие в результате изменения параметров бифуркации представляют собой только рождение и исчезновение пар особых точек.

Доказанная в главе 3 устойчивость единственного равновесного режима ГС «в целом» позволяет утверждать, что выбором гидравлических характеристик можно добиться выполнения условия единственности состояния равновесия. Именно единственность состояния равновесия гарантирует устойчивость и установление равновесного режима работы ГС при возмущениях, что наиболее приемлемо для практики.

Однако единственность такого состояния равновесия в основном эксплуатационном режиме работы СЦТ ЯЭУ может быть нарушена при изменениях параметров. Такими параметрами, в частности, являются скорости вращения циркуляционных насосов. В следующем разделе рассмотрен случай такого изменения, связанного с отключением и медленной остановкой одного из насосов. Возникающее при этом возмущение циркуляции теплоносителя рассмотрено с точки зрения безопасности реактора.

В главе 3 проведено исследование качественной структуры фазового пространства для произвольной ГС прямым методом Ляпунова с использованием функции Ляпунова R, аналитическое выражение которой дает формула (3.9). Рассматриваемый в данной главе частный случай ГС позволяет наглядно продемонстрировать результаты, представленные в главе 3.

Функция Рэлея для случая n = 2 представляется следующим образом:


. (4.13)


Производная по времени , вычисленная в силу системы уравнений (4.3) при n = 2 имеет вид:


. (4.14)


Важным качественным результатом, представляющим интерес с точки зрения общих динамических свойств СЦТ, является возможность существования нескольких состояний равновесия. Проектному расчету на рис. 4 отвечает состояние равновесия, соответствующее рабочей точке на участке MN характеристики для каждой из петель. Работа СЦТ в стационарных режимах, соответствующих другим состояниям равновесия, с технической точки зрения недопустима, так как при этом в одной из петель расход теплоносителя либо мал, либо отрицателен.

Исследование типа соответствующих особых точек фазового пространства Q1Q2 проводилось разными способами: путем анализа структуры поверхности R (Q1Q2) в окрестности особой точки в соответствии с результатами, представленными в предыдущем разделе, путем построения фазовых траекторий на основании численного интегрирования уравнений при различных начальных условиях, а также с помощью анализа возникающих бифуркаций при изменении параметров. Полученные при дискретных значениях ω2 результаты могут быть использованы и при рассмотрении медленного изменения этой угловой скорости, представленном в следующем разделе. В этом случае они наглядно демонстрируют процесс изменения фазового портрета быстрых движений при изменении медленных механических переменных.


^ 4.4. Связь гидромеханических процессов в системе циркуляции теплоносителя с безопасностью ядерной энергетической установки


Наиболее часто встречающимся источником возмущения расхода теплоносителя СЦТ является отключение и выбег одного или нескольких ГЦН. Это приводит к изменению теплосодержания теплоносителя в активной зоне, а значит, к возмущению коэффициента размножения нейтронов (реактивности) и изменению мощности реактора. В этом случае система автоматического управления должна приводить в соответствие тепловыделение и теплосъем, восстанавливая отклонившуюся от заданного значения мощность реактора и производя соответствующие изменения в работе установки. Рассмотрим только особенности чисто гидромеханических процессов при таком возмущении и укажем на их влияние на безопасность ЯЭУ.

При исследовании двухпетлевой СЦТ были построены графики нахождения состояний равновесия системы (4.7) и фазовые портреты, соответствующие некоторым дискретным значениям угловой скорости вращения одного из двух ГЦН (ω1, ω0,92, ω0,86 и ω0,8) при неизменном значении скорости вращения другого насоса. Расчеты проводились при следующих заданных параметрах характеристик системы (4.7): a1 = 1,4; a2 = – 4; b = 4; c = 6; d1 = – d= 0,4.

Основная часть настоящего исследования посвящена изучению случая, когда из-за изменения оборотов ГЦН меняется характеристика одной петли СЦТ как результат процесса медленного изменения скорости вращения рабочего колеса одного из насосов при его отключении и выбеге. При этом 2 медленно убывает, и этот процесс может быть определен из последних уравнений системы (4.1) при n = 2, обращении в нуль и 0. Однако качественные представления о характере влияния медленного уменьшения 2 можно получить, задав это изменение в виде и варьируя значение . Наглядную картину решения задачи статики и вида фазовой плоскости при различных значениях 2 и фиксированном значениями 1 = 1 дают рис. 9–12. Эти рисунки, а также рис. 13 могут быть использованы для демонстрации влияния медленного изменения частоты вращения одного из ГЦН на число и расположение особых точек системы (4.7), описывающей гидродинамические процессы в двухпетлевой СЦТ.




Рис. 9. ω1 = 1, ω2 = 1 (1 состояние равновесия)




Рис. 10. ω1 = 1, ω2 = 0,92 (1 состояние равновесия)




Рис. 11. ω1 = 1, ω2 = 0,86 (3 состояния равновесия)




Рис. 12. ω1 = 1, ω2 = 0,8 (1 состояние равновесия)


Интерес представляют происходящие при касании кривых и ∆ P(Q1+Q2) рождение и исчезновение пар состояний равновесия. На рис. 13,а представлен вид характеристики одной из двух петель при различных уменьшающихся значениях 2, а на рис. 13,б – соответствующая эволюция функции . При этой эволюции изменяются число и координаты состояний равновесия, в частности, меняется и значение величины расхода теплоносителя через реактор. При этом происходят последовательно две бифуркации, в результате которых появляется, а затем исчезает пара состояний равновесия – устойчивого и неустойчивого. Сначала на рис. 13, б (а также на рис. 9) видим, что при кривые и ∆ P(Q1+Q2) пересекаются один раз, то есть на фазовой плоскости системы имеется единственное устойчивое «в целом» состояние равновесия (устойчивый узел). Далее с уменьшением 2, вследствие эволюции, происходит бифуркация, и количество пересечений указанных кривых возрастает до трех (см. рис. 11). При этом рождается пара новых состояний равновесия – устойчивый узел и седло. При дальнейшем уменьшении значения угловой скорости вращения колеса насоса 2 происходит еще одна бифуркация, которая сопровождается слиянием и исчезновением пары состояний равновесия (см. рис. 13,б, рис. 12). Далее, при уменьшении параметра 2 на фазовой плоскости будет происходить только изменение координат единственной устойчивой особой точки.




а) б)

Рис. 13. Влияние медленного изменения частоты вращения одного из ГЦН на число и расположение особых точек системы (4.7)


При последней из двух бифуркаций, когда исчезают ранее существовавший устойчивый узел и родившееся при первой бифуркации седло, происходят опрокидывание циркуляции в петле с выбегающим ГЦН и относительно резкий (при малых , соответствующих медленному изменению 2) провал расхода через реактор. На рис. 14 представлена бифуркационная диаграмма в виде зависимости расхода через реактор от параметра 2, а на рис. 15 – изменение расхода через реактор как функция времени при уменьшении 2 по указанному выше линейному закону и при малых .




Рис. 14 Рис. 15


Бифуркации происходят при наличии значительного участка немонотонности характеристики ГЦН. С уменьшением этого участка бифуркации могут не происходить, но несколько менее выраженное падение расхода через реактор все равно сохранится. Время, за которое происходят опрокидывание циркуляции через медленно выбегающий насос и уменьшение расхода через реактор, определяется характерным временем относительно быстрых гидродинамических процессов. Этот процесс можно назвать потерей устойчивости по быстрым гидродинамическим переменным при медленном изменении механических переменных.

При анализе начального этапа аварии на Чернобыльской АЭС были отмечены как недостатки проекта, так и ошибки проводившего эксперимент обслуживающего персонала [47-49]. В частности, из-за этих двух факторов в самом начале работы системы аварийной защиты реактора произошло не уменьшение, а увеличение коэффициента размножения нейтронов (реактивности), а значит, и рост мощности реактора. Проведенное исследование влияния гидродинамических процессов на безопасность ядерного реактора позволяет указать еще на один вид опасного возмущения [50, 51]. При проводимом эксперименте изменение угловых скоростей половины медленно останавливающихся циркуляционных насосов привело к кратковременному и относительно быстрому снижению расхода теплоносителя через реактор и к росту количества пара в активной зоне. Это произошло в момент смены направления течения теплоносителя в петлях с останавливающимися насосами. Во время вызвавшего аварию эксперимента из-за ошибки оператора соответствующее началу аварии движение поглощающих нейтроны стержней аварийной защиты зарегистрировано только через 36 секунд после отключения по пару турбогенератора, питающего часть двигателей циркуляционных насосов. Примерно в это же время в результате уменьшения 2 произошло указанное выше гидродинамическое возмущение. Сложение двух вызвавших рост реактивности возмущений могло оказаться решающим фактором на начальном этапе аварии на ЧАЭС.

Рассмотренный в настоящей главе частный вид ГС наглядно иллюстрирует результаты главы 3. Исследованный в разделе 4.4 вид возмущения демонстрирует необходимость изучения в некоторых случаях не только гидродинамических процессов, но влияющего на них изменения механических переменных.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


В данном пособии изложен основанный на применении методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний подход, который используется при получении и анализе уравнений движения гидромеханических систем. С его помощью разработана новая методика исследования сложной ГС, которая позволяет получить информацию о динамических свойствах ГС, то есть о качественном и количественном влиянии возмущений, параметров и начальных условий на работу изучаемой системы. Как следствие, теоретически обоснован новый способ решения задачи стационарного потокораспределения ГС. При этом задача нахождения стационарных режимов сведена к решению многоэкстремальной задачи нахождения экстремумов функции Ляпунова, представляющей собой в изучаемом случае сумму интегралов от гидравлических характеристик участков ГС.

Методика использована при анализе являющейся частным видом ГС типовой системы циркуляции теплоносителя ядерного реактора. Рассмотрено влияние гидродинамических процессов на безопасность ядерного реактора. Полученные на основе изучения этого частного примера результаты продемонстрировали способ и особенности исследования гидромеханических систем более сложного вида.


Литература


  1. Наумов, А.Л. Аналитическая электромеханика / А.Л. Наумов, Н.И. Жигоцкая, Э.В. Лузик. – Киев: Вища школа, 1974. – 128 с.

  2. Смирнов, Л.В. Динамика гидромеханических процессов в гидросистемах. Основы прикладной аналитической гидромеханики / Л.В. Смирнов // ICOVP-2001: Докл. 5 Междунар. конф., М., ИМАШ. – 2001. – С. 416 – 420.

  3. Смирнов, Л.В. Математические модели динамики и устойчивость систем принудительной циркуляции теплоносителя / Л.В. Смирнов.– М.: Энергоатомиздат, 1992. – 128 с. – (Физика и техника ядерных реакторов; Вып. 44) – ISBN 5-283-03822-X.

  4. Динамика конструкций гидроаэроупругих систем / К.В. Фролов [и др.] / Отв. ред. С.М. Каплунов, Л.В. Смирнов – М.: Наука, 2002. – 397 с.

  5. Динамика и прочность водо-водяных энергетических реакторов / Н.А. Махутов [и др.] / Отв. ред. Н.А. Махутов. – М.: Наука, 2004. – 440 с.

  6. Кассина, Н.В. Математическое моделирование динамики гидравлических систем с использованием методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.06: защищена 28.12.2006: утв. 13.04.2007 /  Кассина Наталья Васильевна. – Н. Новгород, 2006. – 118 с.

  7. Иванов А.П. Автоматизация создания АРМ разработчика и эксплуатационника сложных гидравлических сетей / А.П. Иванов, Н.Д. Михейкина, Т.Б. Сизова // Приборы и системы управления. – 1993. – № 12. – С.38 – 42.

  8. Логинов, К.В. Расчет, оптимизация и управление режимами работы больших гидравлических сетей / К.В. Логинов, А.М. Мызников, Р.Т. Файзуллин // Математическое моделирование – 2006. – Т. 18, № 9. – С. 92 – 106.

  9. Меренков, А.П. Теория гидравлических цепей / А.П. Меренков, В.Я. Хасилев. – М.: Наука, 1985. – 230 с.

  10. Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей / В.Я. Хасилев [и др.]. – М.: Энергия, 1978. – 176 с.

  11. Селезнев, В.Е. Основы численного моделирования магистральных трубопроводов / В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов // Под ред. В.Е. Селезнева. – М.: КомКнига, 2005. – 496 с. – ISBN 5-484-00387-3.

  12. Софиев, А.Э. Системы математического моделирования теплогидравлических сетей / А.Э. Софиев, В.А. Иванов, А.П. Иванов // Теплоэнергетика. – 2002. – №3. – С.35 – 39.

  13. Чугаев, Р.Р. Гидравлика / Р.Р. Чугаев.– Л.: Энергоиздат, 1982. – 672 с.

  14. Пустовойт, Б.В. Механика движения жидкостей в трубах / Б.В. Пустовойт. – Л.: Недра, 1971. – 144 с.

  15. Чарный, И.А. Неустановившееся течение реальной жидкости в трубах / И.А. Чарный. – М.: Гостехтеориздат, 1951. – 224 с.

  16. Аронович, Г.В. Гидравлический удар и уравнительные резервуары / Г.В. Аронович, Н.А. Картвелишвили, Я.К. Любимцев. – М.: Наука, 1968. – 248 с.

  17. Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин.– М.: Наука, 1959. – 917 с.

  18. Горяченко, В.Д. Элементы теории колебаний. Учеб. пособие для вузов / В.Д. Горяченко.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2001. – 395 с.

  19. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: Наука, 1980. – 232 с.

  20. Калишевский, Л.Л. Некоторые результаты исследования нестационарного турбулентного движения / Л.Л. Калишевский, С.В. Селиховкин // Теплоэнергетика. – 1967. – №1. – С.69 – 72.

  21. Попов, Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы / Д.Н. Попов. – М.: Машиностроение, 1982. – 320 с.

  22. Лямаев, Б.Ф. Стационарные и переходные процессы в сложных гидросистемах. Методы расчета на ЭВМ / Б.Ф. Лямаев, Г.П. Небольсин, В.А. Нелюбов // Под ред. Б.Ф. Лямаева. – Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1978. – 192 c.

  23. Геометрические методы в теории гидравлических цепей / С.Г. Валюхов [и др.]. – Воронеж: Воронеж. ун-т, 1999. – 126 с. – ISBN 5-85815-124-8.

  24. Квасов, И.С. Решение задач оптимального проектирования гидравлических систем аппроксимационно-топологическими методами / И.С. Квасов, М.Я. Панов, В.П. Мешалкин // Изв. РАН. Сер. Энергетика. – 1997. – №5. – С.101 – 106.

  25. Меренков, А.П. Дифференциация методов расчета гидравлических цепей / А.П. Меренков // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. – 1973. – Т. 13, № 5. – С. 1237–1248.

  26. Меренков, А.П. Теория гидравлических цепей / А.П. Меренков, В.Я. Хасилев. – М.: Наука, 1985. – 230 с.

  27. Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей / В.Я. Хасилев [и др.]. – М.: Энергия, 1978. – 176 с.

  28. Панов, М.Я. Моделирование потокораспределения в трубопроводных системах на основе вариационного принципа / М.Я. Панов, И.С. Квасов // Изв. РАН. Сер. Энергетика. – 1992. – №6. – С.111 – 115.

  29. Панов, М.Я. Универсальная математическая модель потокораспределения гидравлических цепей и условия ее совместимости с оптимизационными задачами / М.Я. Панов, И.С. Квасов // Изв. ВУЗов. Строительство. – 1992. – №11-12. – С.91 – 95.

  30. Файзуллин, Р.Т. Расчет и оптимизация больших гидравлических сетей / Р.Т. Файзуллин // Междунар. конф. RDAMM-2001. – 2001. Т.6. Ч.2. Спец. выпуск. – С.638–641.

  31. Васильева, Е.М. Нелинейные транспортные задачи на сетях / Е.М. Васильева, Б.Ю. Левит, В.Н. Лившиц. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 104 с.

  32. Пшеничный, Б.Н. Расчет энергетических цепей на ЭВМ / Б.Н. Пшеничный // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. – 1962. – № 5. – С. 942–947.

  33. Галиуллин, А.С. Аналитическая динамика / А.С. Галиуллин. – М.: Высш. шк., 1989. – 264 с. – ISBN 5-06-000054-0.

  34. Айзерман, М.А. Классическая механика: Учеб. пособие / М.А. Айзерман. – М.: Наука, 1980. – 367 с.

  35. Лурье, А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. – М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1961. – 824 с.

  36. Гантмахер, Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер. – М.: Наука, 1966. – 300 с.

  37. Степанов, А.И. Центробежные и осевые насосы / А.И. Степанов.– М.: Физматгиз, 1960. – 375 с.

  38. Pfleiderer, C. Die Kreiselpumpen / C. Pfleiderer. – Berlin: Julius Springer, 1955. – 376 p.

  39. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. – М.–Л.: Гостехиздат, 1947. – 392 с.

  40. Современные методы принятия оптимальных решений. Учебник / Р.Г. Стронгин [и др.]. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2002. – 189 с. – ISBN 5-85746-697-0.

  41. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. / Ф.П. Васильев. – М.: Наука, 1988. – 552 с.

  42. Жиглявский, А.А. Методы поиска глобального экстремума / А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 248 с. – ISBN 5-0104257-3.

  43. Соболь, И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников. – М.: Наука, 1981. – 110 с.

  44. Стронгин, Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы) / Р.Г. Стронгин. – М.: Наука. – 1978. – 240 с.

  45. Смирнов, Л.В. Динамические свойства системы циркуляции теплоносителя первого контура ЯЭУ / Л.В. Смирнов [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов.– 1991.– Вып.3.– С. 25 – 31.

  46. Сидоренко В.А. Вопросы безопасной работы реактора ВВЭР / В.А. Сидоренко. – М .: Атомиздат, 1977. – 280 с.

  47. Смирнов, Л.В. Качественное исследование Чернобыльской аварии на основе анализа простой математической модели / Л.В. Смирнов, А.Л. Пригоровский, Е.Ф. Сабаев // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов. – 2004. – Вып.3. – С.61 – 70.

  48. Смирнов, Л.В. О чернобыльской аварии 20 лет спустя / Л.В. Смирнов // Нелинейный мир. – 2007. – №1-2. – Т.5. – С.47 – 53.

  49. Дятлов, А.С. Чернобыль. Как это было / А.С. Дятлов. – М.: Научтехлитиздат.2000. 239с.

  50. Смирнов, Л.В. О некоторых факторах, существенных для начального этапа развития аварии на Чернобыльской АЭС/ Л.В. Смирнов // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов.– 1999.– Вып.2.– С. 75 – 78.

  51. Кассина, Н.В. Влияние изменения работы ГЦН на режим работы ядерного реактора / Н.В. Кассина, Л.В. Смирнов // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. – 2004. – Вып.3. – С.71 – 78.



Лев Васильевич Смирнов

Наталья Васильевна Данилова


ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ НАПОРНОГО ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

^

Учебное пособие




Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского».

603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.


Подписано в печать 24.04.2009 г. Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 3,7. Заказ № 304. Тираж 100 экз.


Отпечатано в Лаборатории множительной техники Нижегородского государственного университета

им. Н.И. Лобачевского

603950, г. Н. Новгород, пр. Гагарина, 23




оставить комментарий
страница2/2
Дата16.10.2011
Размер0,7 Mb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх