Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» Нижний Новгород
страницы: 1 2
| скачать ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Л.В. Смирнов Н.В. Данилова Основы прикладной аналитической гидромеханики напорного течения несжимаемой жидкости Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» Нижний Новгород 2   009УДК 531.3+532.542 ББК 253 С 50 С 50 Смирнов Л.В., Данилова Н.В.^ Учебное пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2009. – 65 с. Рецензент: доктор физ.-мат. наук, проф. ^ Представлены теоретические основы применения методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний при математическом моделировании динамики гидравлических систем. Обоснован способ представления математической модели гидромеханических процессов в виде системы обобщенных на случай переменных масс уравнений Лагранжа с интегрируемыми связями обобщенных скоростей. С помощью прямого метода Ляпунова получено исчерпывающее представление о качественной структуре многомерного фазового пространства гидродинамических переменных и ее зависимости от параметров и вида нелинейностей. Общие результаты подхода продемонстрированы на примере исследования динамики системы циркуляции теплоносителя ядерного реактора. Для студентов старших курсов естественнонаучных специальностей, аспирантов, преподавателей вузов и специалистов, занимающихся проблемами аналитической механики, динамики систем и прикладной гидромеханики. Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии механико-математического факультета ННГУ, к.ф.-м.н., доцент Н.А. Денисова УДК 531.3+532.542 ББК 253 Нижегородский государственныйуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2009 Содержание Введение…………………………………………………..………….........4
2.1. Уравнения и модели, описывающие динамику систем переменного состава……………………………………………………...23 2.2. Уравнение Бернулли и математическая модель гидросистемы с точки зрения аналитической механики………………..................27
4.1. Математическая модель системы циркуляции теплоносителя ядерной энергетической установки ………………………………..41 4.2. Нахождение стационарных режимов…………..……….……..45 4.3. Исследование устойчивости и вида функции Ляпунова……..49 4.4. Связь гидромеханических процессов в системе циркуляции теплоносителя с безопасностью ядерной энергетической установки…………..………………………………………………...54 Заключение……………………………………………………………...60 Литература…………………………………………………………........61 Введение Основой для изучаемого в классических университетах курса гидроаэромеханики является рассмотрение трехмерного течения жидкости и газа как сплошной среды. Применяемые для анализа такого течения математические модели в виде систем уравнений в частных производных достаточно сложны. Решение большого числа практических задач с использованием подобных моделей в настоящее время затруднительно, несмотря на значительные успехи в развитии численных методов, вычислительной техники и вычислительной гидромеханики как научного направления. Выход состоит в применении упрощенного (инженерного) подхода, использующего так называемое «гидравлическое приближение». Соответствующий раздел механики жидкостей и газа называют прикладной гидромеханикой или гидравликой. Этот раздел изучается в технических вузах, и прикладная гидромеханика является базой для исследований, проводящихся при проектировании гидравлических систем для обоснования необходимых технических и экономических показателей. В связи с развитием техники и повышением требований к работе гидравлических систем возникает необходимость как совершенствования методов расчета, так и расширения класса решаемых задач. При этом часто оказывается неизбежным выход за рамки традиционного для прикладной гидромеханики подхода и более широкое привлечение методов других разделов науки. Настоящее пособие посвящено обоснованию и демонстрации использования в прикладной гидромеханике методов, характерных для аналитической механики и теории нелинейных колебаний. По аналогии с аналитической электромеханикой, основы и применение которой рассматриваются в монографиях и статьях (см. например [1]), изложенный в данном пособии подход можно назвать прикладной аналитической гидромеханикой [2]. Предлагаемый материал является обобщением результатов исследований, опубликованных в ряде статей и докладов, в монографии, вышедшей в 1992 году [3], и развитых в последующих работах [4 - 6]. Настоящее пособие предназначено для студентов старших курсов и аспирантов механико-математического факультета университета. Оно принесет пользу также студентам старших курсов других естественнонаучных факультетов, а также преподавателям теоретической механики, гидромеханики и теории нелинейных колебаний, поскольку открывает дополнительные возможности изложения традиционных курсов. Кроме того, приводимые результаты и предлагаемый методологический подход к некоторым важным проблемам прикладной гидромеханики представляют интерес для преподавателей технических вузов и для специалистов, занимающихся гидравликой. Пособие практически не содержит материала, подробно излагаемого в общедоступной рекомендуемой в университетских курсах учебной литературе, на которую имеются необходимые ссылки. Однако для знакомства студентов университета с важным классом решаемых практически задач в первой главе пособия представлено краткое введение в виде обзора использующихся в прикладной гидромеханике подходов и проблем, встающих при проектировании и эксплуатации гидросистем. Работа выполнена в рамках ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.2/3863). Глава 1. Прикладная гидромеханика напорного течения, подходы, решаемые задачи и проблемы 1.1. Одномерные математические модели течения жидкости Из большого числа задач, решаемых в прикладной гидромеханике, наиболее важным для практических приложений является класс задач, относящихся к изучению гидравлических систем с напорным течением жидкости, считающейся несжимаемой. Об этом свидетельствует большое число публикаций в виде статей и монографий [7 – 12]. Гидросистемами, или гидравлическими сетями (ГС), называют комплексы аппаратов, различных устройств и сооружений, соединенных между собой трубопроводами, транспортирующими жидкость или газ. В качестве примеров можно указать системы тепло- и водоснабжения, системы транспортировки нефтепродуктов, циркуляции или перекачки рабочей среды в различных машинах, производствах и энергетике. При решении проблем, встающих при проектировании таких систем, широко используется метод математического моделирования на базе упрощенных математических моделей. Для описания движения вязкой несжимаемой жидкости как непрерывной сплошной среды в классической механике жидкости и газа используется математическая модель, содержащая уравнения неразрывности, количества движения и состояния:   (1.1) где  – скорость жидкости; – плотность;  – вектор массовых сил; P – давление;  – зависящая от скорости течения сила трения; – коэффициент динамической вязкости, считающийся постоянным, что исключает в этой модели необходимость учета температурных полей. На границах области, занимаемой жидкостью, задаются соответствующие физическим процессам на границе краевые условия.Для решения многочисленных практических задач такая математическая модель из-за ее сложности непригодна, и в прикладной гидромеханике используется упрощенный, так называемый гидравлический подход. Турбулентное в общем случае течение заменяется квазиламинарным, осредненным по турбулентным пульсациям (модель Рейнольдса–Буссинеска), а в качестве характеристик течения используются осредненные по поперечному сечению потока давление и скорость. Для описания потерь на трение используется упрощенный подход, основанный на обобщении полученных в стационарных режимах течения экспериментальных данных и эмпирических формулах Дарси–Вейсбаха [13, 14]. Рассмотрим неустановившийся одномерный напорный поток несжимаемой жидкости, ограниченный в поперечном направлении стенкой трубопровода или некоторой непроницаемой, недеформируемой границей. Для объема жидкости, ограниченного также двумя воображаемыми поперечными к потоку сечениями, имеем:  (1.2)где vn – проекция скорости на внешнюю нормаль, S – граница объема, состоящая из ограничивающей поток непроницаемой поверхности и указанных поперечных сечений, через которые движется жидкость. В этом случае из (1.2) получаем:  (1.3)x1, x2 – координаты поперечных сечений вдоль в общем случае криволинейной оси x, являющейся осью потока. Площадь поперечного сечения S(x) в соответствии с формой непроницаемой границы течения также, как и скорость жидкости в этом сечении, зависит от координаты x, а расход протекающей жидкости  в силу ее несжимаемости и недеформируемости границы, как это следует из (1.3), от координаты x не зависит.Для получения уравнения количества движения жидкости в форме, принятой в прикладной гидромеханике, воспользуемся вторым уравнением системы (1.1), записанным для одномерного течения с осредненными по поперечному сечению потока характеристиками:  . (1.4)В качестве массовых сил учтем силу тяжести как производную от потенциальной энергии = gz(x). Здесь z(x) – отсчитываемая от горизонтальной плоскости сравнения высота оси потока, являющейся центром поперечного сечения. Таким образом,  Скорость течения зависит от x и t, поэтому  Для представления силы трения  в случае одномерного осредненного течения в дальнейшем будем использовать принятый в прикладной гидромеханике эмпирический подход, основанный на накопленном и обобщенном экспериментальном материале. Окончательно уравнение (1.4) принимает вид:  Умножая это уравнение на dx и интегрируя по длине потока с учетом выражения  , получим: (1.5)где  , а  потери давления на рассматриваемом участке, обусловленные зависящей от скорости потока, направленной против течения силой трения. Замена распределения скорости потока в поперечном сечении плоским приводит к погрешности в выражениях для количества движения и кинетической энергии. На основании оценки такой погрешности для стационарного течения в прикладной гидромеханике вводятся обычно близкие к единице поправочные коэффициенты Буссинеска и Кориолиса 1, 2, включенные в уравнение (1.5).Уравнение (1.5) в прикладной гидромеханике носит название уравнения Бернулли для целого потока вязкой жидкости [13]. Для установившегося течения идеальной жидкости получаем выражение, которое в теоретической гидромеханике называют интегралом Бернулли, а иногда и уравнением Бернулли. В  прикладной гидромеханике для обоснования работы ГС также проводятся исследования течения сжимаемой жидкости. Используемая с этой целью математическая модель является более сложной и содержит уравнения количества движения и неразрывности с учетом сжимаемости.У Рис. 1. Элемент жидкости, ограниченный поверхностью вращения и двумя нормальными к оси потока сечениями равнение количества движения для квазиодномерного нестационарного течения жидкости выводится с помощью суммирования проекций на ось потока всех сил, действующих на бесконечно малый его участок. Такими силами являются: равнодействующая сил давления на поперечных сечениях, сила реакции боковых стенок, ограничивающих поток, собственный вес, направленная против течения сила гидравлического сопротивления и сила инерции. Рассмотрим неустановившееся одномерное течение жидкости, ограниченное в поперечном направлении поверхностью вращения с гладкой произвольной образующей. Осью этой поверхности является ось потока x. Двумя сечениями, бесконечно близкими друг к другу и нормальными к оси x, направленной по течению, выделим элемент dx (см. рис. 1). Пусть радиус кривизны оси x много больше радиуса ограничивающей поверхности. В этом случае методика и результат рассмотрения для криволинейной и прямолинейной оси x совпадают. Деформации трубопровода будем считать малыми. Составим выражения для проекций на ось потока всех сил, действующих на выделенный элемент жидкости. 1. Проекция равнодействующей гидродинамического давления по ограничивающим элемент сечениям равна  , где S – площадь сечения, а p – давление, которое считаем одинаковым во всех точках данного сечения.2. Проекция действующих на элемент сил реакции стенок определится из следующих соображений. Длина образующей выделенного элемента равна  , где – угол между касательной к образующей и осью x. Проекция на указанную ось сил давления, действующих на боковую поверхность рассматриваемого элемента выражается следующим образом: (1.6)где D – диаметр поперечного сечения ограничивающей течение поверхности. Проекции сил реакции ограничивающих поток стенок с учетом, что  , запишется в виде: 3. Проекция собственного веса жидкости будет равна  ,где – угол, образуемый осью x с горизонтом, z – ордината оси, – плотность жидкости. 4. Связанную с вязкостью жидкости силу гидравлического сопротивления в случае приближенной одномерной квазиламинарной модели течения можно представить как результат действия направленного против течения касательного напряжения на поверхности, ограничивающей поток [13, 15, 16]. Реальный физический процесс, определяющий эту силу, имеет сложную природу и в значительной степени связан с турбулентным перемешиванием. Для проекции силы сопротивления на ось x имеем:  (1.7)Введенный здесь гидравлический уклон i равен обусловленной трением потере давления, приходящейся на единицу длины. Использованная в выражении (1.7) связь касательного напряжения с гидравлическим уклоном i обсуждается в указанной выше специальной литературе. Таким же образом можно выразить силу трения в уравнении Бернулли (1.5), однако в конечном итоге учет потерь на трение при численных и аналитических исследованиях на основе одномерных моделей течения проводится с использованием эмпирических формул, хорошо известных в прикладной гидромеханике. Касательные напряжения вводятся с целью замыкания качественного представления о квазиодномерной модели осредненного по турбулентным пульсациям и поперечному сечению потока для приближенного учета неидеальности жидкости. 5. Приложенные к жидкости силы инерции дадут проекцию  где v – средняя скорость в сечении. Приравнивая нулю сумму всех этих проекций после элементарных преобразований, получим  . (1.8)Пренебрегая, как это принято в теории одномерного течения слабо сжимаемой жидкости [15, 16], незначительной разницей в величине за счет ее зависимости от давления, то есть, учитывая, что  представим уравнение (1.8) в следующем виде:  (1.9)Из баланса массы втекающей и вытекающей из рассматриваемого элемента dx получаем уравнение неразрывности. За время dt в рассматриваемый элемент втекает масса жидкости Q dt, где Q = vS – расход. За то же время из него вытекает масса  , следовательно, приращение массы жидкости в рассматриваемом элементе равно  . С другой стороны, первоначальная масса жидкости в элементе Sdx за время dt изменится на величину  , следовательно, (1.10)Так же, как это было сделано выше, пренебрежем незначительным изменением r по длине, так как  ,получим  . (1.11)Входящие в правую часть выражения (1.11) производные по времени от площади проходного сечения и плотности можно выразить через производную по времени от давления. Относительная величина изменения плотности при изменении давления равна  , где Е – объемный модуль упругости жидкости. Если пренебречь инерцией деформирующейся при изменении давления упругой цилиндрической границы потока и зависимостью этой деформации от x [15, 16], то абсолютное удлинение радиуса ограничивающей поток упругой цилиндрической стенки составит  , где ^ – давление, вызывающее удлинение радиуса R на единицу длины, тогда увеличение площади проходного сечения будет равно  . Итак, зависимость изменения плотности жидкости и площади проходного сечения упругой цилиндрической стенки, ограничивающей поток, от изменения давления выражается следующим образом: (1.12)и (1.11) принимает вид  (1.13)где  – скорость распространения звука в жидкости,  – скорость звука с учетом упругой радиальной податливости границы. Как это принято в теории гидравлического удара, заменим левую часть уравнения (1.13) на  , (1.14)На основании оценок вторым слагаемым в правой части, полученным с учетом (1.12), можно пренебречь. Например, для воды a0 1 400 м/с, и даже для z = 1000 м второе слагаемое равно 0,005. Таким образом, уравнения математической модели одномерного течения сжимаемой вязкой жидкости принимают хорошо известный [15, 16] вид:   (1.15)где v, p – скорость жидкости и давление, предполагающиеся одинаковыми во всех точках поперечного сечения; – плотность жидкости, g – ускорение силы тяжести; x – координата вдоль оси потока; z – высота оси потока относительно горизонтальной плоскости; S – площадь поперечного сечения; a – скорость звука, определяющаяся сжимаемостью и упругой податливостью границы; i – гидравлический уклон, характеризующий потери на трение; vS = Q – расход жидкости через поперечное сечение потока. Вместе с краевыми условиями на концах участка, то есть при x = x1 и x = x2 имеем модель напорного, неустановившегося, одномерного течения жидкости. Эта модель используется при расчетах волновых процессов, обусловленных сжимаемостью жидкости и упругостью боковых границ потока. Такие расчеты обычно проводятся численно при изучении гидравлического удара и одномерных акустических колебаний в ГС (см., например, [5, 16]). Для медленных процессов, для которых характерное время ^ значительно больше времени распространения волны  , и v << a, жидкость можно считать несжимаемой. В этом случае из второго уравнения системы (1.15) имеем  и, полагая в первом уравнении  ,  ,после интегрирования первого уравнения по x, получаем уравнение Бернулли (1.5). В этом уравнении потери на трение получаются интегрированием гидравлического уклона по x, то есть  . Таким образом, при указанных выше ограничениях на скорость течения и характерное время рассматриваемых процессов, уравнение (1.5) описывает медленные процессы и следует из уравнений (1.15), если скорость звука a устремить к бесконечности. Связанный со сжимаемостью жидкости волновой процесс возникает при быстром перемещении регулирующего расход клапана или при существовании в спектре турбулентности движущейся жидкости достаточной по величине составляющей, близкой к одной из слабо демпфированных собственных акустических частот ГС.Анализ результатов исследований, проведенный для некоторых конкретных случаев возникновения волновых процессов в ГС (см., например, [4, 5]), дает основание утверждать следующее. Уравнения (1.15) описывают как быстрые волновые процессы, так и медленные, когда сжимаемость жидкости несущественна, и численный расчет по этим уравнениям для медленных процессов дает тот же результат, что и расчет по уравнению (1.5). Быстрый процесс, после его окончания, переходит в медленный. Если возмущение является достаточно медленным, то быстрый процесс вообще не возникает. Теория разрывных колебаний [17, 18], называемая также теорией сингулярно вырожденных систем [19], разработана для уравнений в полных производных. Наличие малых параметров при производных в части уравнений динамической системы с сосредоточенными параметрами позволяет разделять и раздельно исследовать быстрые и медленные процессы. В системе уравнений (1.15) малым параметром можно считать  и по аналогии с дискретными системами для рассмотрения медленных процессов использовать вырождение уравнений (1.15), то есть использовать уравнение Бернулли (1.5).Кроме пренебрежения сжимаемостью, получение и использование уравнения Бернулли базируются на ряде других допущений. Главным из них является использование данных о гидравлических потерях, кинетической энергии и количестве движения, справедливых для стационарных потоков. При этом, в частности, предполагается совпадение структур стационарных и нестационарных потоков в общем случае трехмерного течения. Это позволяет применять имеющиеся данные для оценки погрешностей, которые учитываются введением в уравнение Бернулли (1.5) поправочных коэффициентов 1, 2. Такое предположение справедливо не всегда и требует обоснования. Учет влияния особенностей нестационарности трехмерного течения не может быть осуществлен на основании теоретического рассмотрения. При использовании с этой целью экспериментальных данных часто обнаруживается их противоречивость, поэтому первостепенную роль приобретает решение проблемы о границах применимости квазистационарного подхода. Не останавливаясь на этой не до конца решенной проблеме, укажем некоторые работы, где обсуждается эта проблема и, в частности, имеются оценки предельного ускорения жидкости и максимальной частоты спектра возмущений скорости, когда такой подход справедлив [3, 20 - 22], Анализ имеющихся оценок, экспериментальных и теоретических данных позволяет сделать следующий вывод. Гипотеза квазистационарности справедлива для процессов в ГС, когда сжимаемость жидкости несущественна, и основными элементами такой системы являются достаточно длинные трубопроводы. В этом случае поправками, связанными с динамикой перестройки потока, можно пренебречь. Однако для ГС, использующихся, например, в гидропневмоавтоматике и содержащих большое число элементов со значительной перестройкой потока (так называемые местные сопротивления) и очень короткие трубопроводы, этот вопрос практически открыт [20, 22]. ^ Уравнение Бернулли (1.5) является основой математических моделей динамики, изучаемых в рамках так называемой трубопроводной гидравлики медленных процессов в ГС. В таких системах число участков, узлов соединения и разделения потоков, насосов, запорно-регулирующих и других устройств обычно велико. Изучение общих свойств решений, полученных при моделировании ГС, и зависимости этих свойств от параметров и структуры системы является сложной задачей. Решению подобных задач посвящено много работ. Как правило, исследования процессов в сложных инженерных сетях при их проектировании и в процессе эксплуатации проводятся с помощью численных расчетов. С этой целью разрабатываются сложные вычислительные комплексы. В ряде случаев такие программные продукты позволяют успешно справиться с поставленными задачами, но область их применения часто оказывается весьма ограниченной. Во многих работах, посвященных рассмотрению напорных потоков в ГС [23 – 29], используются геометрические или алгебраические методы, которые основаны на представлении структуры гидравлической системы в виде плоского, связного орграфа с определенным набором вершин (узлов), ребер (ветвей) и граней (контуров). Наиболее часто рассматриваются гидравлические цепи с сосредоточенными параметрами при установившемся напорном течении несжимаемой жидкости (задача стационарного потокораспределения). При постановке задачи используются линеаризованные соотношения, аналогичные законам Кирхгофа для электрической цепи, а также нелинейные (в отличие от электротехники, где этот подход был разработан) уравнения связи между расходами и перепадами давления на ветвях. Полученные системы алгебраических уравнений решаются численно градиентными методами или методом Ньютона. Однако при таком решении имеются ограничения на размерность задач: известные алгоритмы решения стационарной задачи ограничены числом участков до 300. Требуемая точность задания начального приближения очень высока, и при увеличении размерности выбор начального приближения мало отличается от собственно решения. Предложены также модифицированные методы последовательных приближений, позволяющие изучать системы с более высокой размерностью уравнений. Однако класс задач, решаемых описанными выше методами, невелик, а число ограничений и упрощений существенно [8, 30]. Существует еще одна особенность сложных ГС, связанная с их нелинейной природой. Если гидравлические характеристики участков ГС немонотонны, так, например, часто немонотонны характеристики используемых насосов, то исследуемая система может иметь несколько состояний равновесия, а значит, и несколько режимов работы. Это обстоятельство при расчете сетей с помощью алгебраического подхода обычно не учитывается. В исследованиях практически не рассматриваются динамические процессы, происходящие в сложных гидравлических цепях. Другой, менее разработанный, подход, который также посвящен рассмотрению главным образом стационарного потокораспределения, связан с использованием тех или иных экстремальных методов, опирающихся на физическую или математическую сущность задачи о потокораспределении для произвольной ГС. Работы этого направления связаны с минимизацией некоторой специальной функции, отвечающей тому или иному вариационному принципу [23, 24, 26, 28, 29]. Большинство из них описывает методы, основанные на решении задач нелинейного программирования, в частности нелинейной транспортной задачи [31], либо на применении градиентных или пошаговых методов безусловной минимизации для особым образом подбираемых функций [25, 32]. Среди перечисленных имеются также публикации, в которых в качестве основы вариационного подхода для расчета ГС используется теорема Максвелла о принципе наименьшего теплового действия, согласно которому стационарное состояние электрической системы соответствует минимальному выделению тепла. Обобщение этого принципа состоит в том, что потокораспределение в произвольной ГС отвечает точке минимума некоторого функционала [23, 25, 26]. Однако на практике реализация такого экстремального подхода приводит к системам уравнений, подобных уравнениям Кирхгофа и практически не дает ничего нового по сравнению с алгебраическими методами. В некоторых работах рассматривается имеющее понятный физический смысл обобщение такого подхода на нестационарные и стационарные режимы. Целевым функционалом служит полная механическая энергия системы, а в качестве вариационного принципа выбран вариационный принцип наименьшего действия [28, 29]. Такая постановка задачи позволяет адекватно моделировать течение среды и избежать некоторых упрощений и допущений, однако здесь практически не принимается во внимание влияние механических элементов ГС. Например, узловые напоры и угловые скорости вращения рабочих колес центробежных насосов, положения клапанов запорно-регулирующей арматуры считаются постоянными величинами или наперед заданными функциями времени. Устойчивость и неоднозначность режимов работы системы в случае немонотонности характеристик не рассматривается. Исследования нестационарных процессов в ГС и влияния возмущений на поведение системы играют особую роль в атомной энергетике, так как надежность и безопасность ядерных реакторов в значительной мере зависит от работы систем циркуляции теплоносителя (СЦТ) в стационарных, переходных и аварийных режимах. Для решения этой проблемы для СЦТ, как частного вида ГС, был предложен и реализован принципиально новый подход [3]. При этом ГС рассматривается как совокупность имеющих одну степень свободы тел переменного состава, обменивающихся массой в узлах соединения и разделения потоков. Анализ динамики такой СЦ в качестве примера применения разработанного подхода и демонстрации влияния механических процессов на гидродинамические процессы рассмотрен в главе 4. Сущность подхода состоит в следующем. Математическую модель динамики гидромеханических процессов оказалось возможным представить в виде системы соответствующим образом обобщенных уравнений Лагранжа с избыточными координатами и голономными связями. Это значительно упростило применение качественных методов теории нелинейных колебаний для анализа общих свойств решений и позволило получить необходимую для практики информацию, практически недоступную для численных исследований. Это информация о структуре многомерного фазового пространства гидродинамических переменных и ее зависимости от параметров и возмущений. Этот подход назван прикладной аналитической гидромеханикой [2], и его изложению посвящено данное пособие. Остановимся на математических моделях ГС, получаемых традиционным способом, постановке задач и проблемах, для решения которых оказалось необходимым использование классических методов аналитической механики и методов теории нелинейных колебаний. ^ Рассмотрим произвольную ГС, состоящую из N участков и L узлов, из которых L' – внутренние узлы. Будем предполагать, что жидкость несжимаемая, течение напорное, одномерное, тогда течение жидкости в отдельном участке, являющемся основной частью ГС, описывается уравнением Бернулли (1.5). Также будем предполагать, что на некоторых участках имеются насосы, приводящие жидкость в движение. В этом случае в гидравлической характеристике такого участка следует учесть не только потери на трение, но и зависимость перепада давления от расхода и от скорости вращения рабочего колеса насоса. Влиянием размеров и динамических свойств узлов на поведение ГС пренебрегаем, как это обычно делается в прикладной гидромеханике даже при описании обусловленных сжимаемостью волновых процессов. Будем считать, что в концевых сечениях соединяющихся в узле участков одно и то же давление. В сложных ГС число участков велико, и их соединение происходит в узлах. Узлами могут быть тройники, коллекторы и смесительные камеры, в которых происходит соединение или разделение потоков. В качестве гидродинамических характеристик узлов соединения участков будем использовать давление в узле и уравнение неразрывности. В этом случае математическая модель медленных процессов в ГС из N участков, N1 из которых содержат насосы с угловыми скоростями вращения рабочих колес насосов i,  , имеет вид: (1.16)где  ;xi1, xi2 – координаты поперечного сечения Q потока на входе и выходе i-го участка;  ;  ;  – характеристика насоса на участке;  – движущий момент, в общем случае зависящий от внешних воздействий i на привод насоса;  – определяющийся трением и расходом перекачиваемой среды момент сопротивления; Ji – момент инерции рабочего колеса насоса и вращающихся элементов, связанных с ним механически. Если имеются внешние воздействия на привод, то необходимо задать закон изменения переменных i или соответствующие уравнения (например, это могут быть уравнения электрических процессов в сетях питания электродвигателей насосов). Параметр j – постоянный множитель, равный +1, если жидкость поступает в узел, и (–1), если жидкость выходит из узла. Знаки этих множителей можно определить, зная геометрическую структуру и назначение ГС. При определении коэффициентов i интегрирование выполняется по направлению течения от входа до выхода участка. Точкой здесь и ниже обозначается дифференцирование по времени.Первые ^ уравнений системы (1.16) – это уравнения Бернулли для участков, содержащих и не содержащих насосы. Следующие N1 уравнений – это уравнения угловых скоростей вращения рабочих колес насосов. Если на некоторых участках ГС имеются запорно-регулирующие устройства, то их гидравлические характеристики могут быть учтены, так же как и для насосов. Следующие L уравнений – это уравнения неразрывности для L узлов, в каждом из которых соединяются Mk участков. Имеется ряд отличий системы (1.16) от систем уравнений, приводящихся в литературе по теории гидравлических цепей. Это, в частности, вошедшие в эту систему уравнения вращения твердого тела относительно неподвижной оси для угловых скоростей i. В уравнениях Бернулли (первые N уравнений системы (1.16)) это разности высот концов участков и члены, учитывающие разности удельных кинетических энергий жидкости на концах. Если концы участков ГС имеют разные высоты, то вместо давлений Pi можно использовать выражения yi = Pi + gzi, называемые пьезометрическими напорами. В случае, когда проходные сечения на концах участка с площадями Si1 и Si2 различны, разности удельных кинетических энергий жидкости на входе и на выходе можно включать в гидравлическую характеристику участка, как это сделано выше. Если обратиться к обычной постановке рассматриваемой в прикладной гидромеханике задачи нахождения стационарного потокораспределения, то соответствующую систему N алгебраических уравнений получаем из (1.16), задавая величины  и принимая  . Как уже отмечалось, при решении задачи статики возникает проблема единственности решения. Часто для решения этой проблемы вводятся ограничения на характер нелинейных зависимостей, соответствующих гидравлическим характеристикам участков. Подобные ограничения гарантируют единственность решения. Это позволяет сформулировать только достаточные условия единственности решения и, конечно, ограничивает класс рассматриваемых систем и общность получаемых результатов. Другой проблемой является относительно редко рассматриваемая задача о динамическом поведении ГС и, в частности, об устойчивости стационарных режимов, характере установления этих режимов при запуске или изменениях в работе насосов, плановом или аварийном отключении части ГС или отдельных ее элементов. Результаты решения этих проблем на основании численных расчетов, получаемых при фиксированных параметрах, начальных условиях и возмущениях, часто не удовлетворяют практику. Малое число работ по исследованию динамики сложных ГС, характерных для тепло- и водоснабжения, объясняется не только сложностью задачи, но, возможно, и ее недостаточной актуальностью. Однако есть объекты современной техники, для которых проблема исследования общих динамических свойств ГС имеет первостепенное значение. К таким объектам, в первую очередь, относится ядерный реактор, надежность и безопасность которого в значительной степени зависит от циркуляции теплоносителя. Для надежного функционирования СЦТ решение проблемы динамики (с учетом динамического поведения механических переменных, например, частот вращения ) обязательно. Математическая модель динамики гидромеханических процессов в системе циркуляции, учитывающая ее структуру, принципиально не отличается от модели, описываемой уравнениями (1.16). Обращение к опыту математического моделирования ГС с использованием традиционного для прикладной гидромеханики подхода и последующих численных расчетов не позволяет получить ответ на большинство вопросов по обеспечению надежности работы системы циркуляции, как в стационарных, так и в нестационарных плановых и аварийных режимах. Как уже отмечалось выше, выход был найден в использовании подходов и методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний. При этом ГС рассматривается как совокупность имеющих одну степень свободы тел переменного состава (участков), обменивающихся массой в узлах соединения потоков. Такой подход потребовал использования уравнений Лагранжа, обобщенных на случай потока массы через границы каждого из участков системы, и рассмотрения математической модели ГС с позиций аналитической механики. Методика такого обобщения, разработанная и использованная для исследования динамики систем циркуляции ядерных реакторов [3], была распространена на ГС общего вида. Она позволила для таких ГС получить практически важные и интересные с теоретической точки зрения результаты, представленные в следующих главах.
|
страницы: 1 2
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 