Размерностная сложность гипотезы пуанкаре icon

Размерностная сложность гипотезы пуанкаре


Смотрите также:
Гипотезы о природе шаровой молнии...
Лекция модели и их роль в создании систем...
Лекция 14 (15). Размер задач и сложность алгоритмов. Временная и пространственная сложность...
Урок биологии 11 класс тема: «Гипотезы происхождения жизни»...
Проверка статистических гипотез...
А. Барбараш
Бланка оценивания...
К вопросу об иранских заимствованиях в эрзянском языке. Мифы и гипотезы...
Концепция Пуанкаре о единстве атомизма и непрерывности основа для выхода из кризиса современной...
Лекция модели и их роль в создании систем...
Актуальность исследования...
Встатье рассматриваютcя цели и результаты обучения в современной основной школе...



Г Л А В А ( 19 )


РАЗМЕРНОСТНАЯ СЛОЖНОСТЬ ГИПОТЕЗЫ ПУАНКАРЕ


Революционное, беспрецедентное событие имело быть невзрачным влажным полднем 7 апреля 2003 года в Кембридже, штат Массачусетс. Аудитория была заполнена людьми, желающими послушать лекцию русского математика, Григория Перельмана. Лектор, бородатый и лысоватый, с густыми кустистыми бровями и проницательными тёмными глазами должен был пролить свет в отношении самой знаменитой, самой красивой, и неуловимой гипотезы во всей математике. Сформулированная в 1904 году ведущим математиком своей эпохи, и наиболее одарённым во все времена, гипотеза Пуанкаре является смелой догадкой о возможной форме нашей с вами ВСЕЛЕННОЙ.

Общее представление об этой гипотезе и почти сто-летней истории развития математики с ней связанной можно получить из работ [ 1,2,3], написанных математиками как специальным [1,2], так и обычным научно популярным языком [3]. Проблема Пуанкаре самым тесным образом связана с понятием математической размерности и является наиболее впечатляющим примером размерностного подхода в науке, которому, была посвящена наша книга [4].

И прежде всего она является наиболее ярким примером колебания коллективного сознания, на этот раз математического сознания, рассмотренным в 19 главе книги, поэтому данную главу следует рассматривать как дополнение.

Время не является ни материальной , ни идеальной сущностью, но тем не менее существует. Однако, момент времени и его движение (прошедшее – настоящее – будущее) являются иллюзией. Физики и философы на современном этапе предпочитают думать о времени как о некоторой целостности, называя эту концепцию «блочным временем или таймшафтом» (по аналогии с ландшафтом). Понятие направленности или стрелы времени означает только ассиметрию в нашем восприятии вселенной, а не свойство самого времени. Вообще любое событие или явление имеет вполне определённый интервал существования, на котором проявляется инвариантность его структуры. Моя гипотеза о колебаниях

коллективного сознания [4] опирается именно на понятие блока (интервала) времени. Время ассоциируется со струной, закреплённой в двух точках, которая колеблется, и набор собственных частот этой струны является дискретной характеристикой таймшафта.

Весь временной интервал событий, связанный с гипотезой, имеет простые делители 99 = 3∙3∙11, и ниже приведенная хронология наглядно показывает, что 6 из 9 наиболее существенных событий концентрируются во временных точках, распределённых с шагом, кратным 11 годам. Интересно, что такие события, как ложные доказательства, содержащие принципиальнные ошибки, не относятся к этим периодическим точкам, а лежат между ними. В отношении подобных точек наиболее выразительно сказал испанский врач и поэт Иуда Халеви (1075 -1141) [5]

« ^ Существуют узлы во времени,сердца лет,которые бьются в ритме времени, пространства, и человеческого бытия, и соответствующие этим узлам дела и свершения созвучны времени».





2003 * Доказательство гипотезы Г. Перельманом


1992 *

-- Ложное доказательство Рего ( 1986)

1981 * Гамильтон использовал поток Риччи (1981); Фридман доказал гипотезу

для m=4 (1982); Тёрстон сформулировал гипотезу геометризации (1982).

1970 *


1959 * Смейл доказал гипотезу для размерностей m≥5 (1960)


1948 *

^ Вторая мировая война

1937 * Ошибочное доказательство Вайтхеда (1935)


1926 *

Первая мировая война

1915 * Общая теория относительности Эинштейна

-- Ошибочное доказательство Дена (1908)

1904 * Гипотеза Пуанкаре


^ Хронология событий.

Одинацатилетниий период колебаний также обнаруживается с помощью нашей формулы [4],

Инерционность математического сознания

τ = √ -------------------------------------------------------------

Напряженность (сложность) гипотезы Пуанкаре

Сложность гипотезы Пуанкаре С=12, так как её размерность равна D=3. Это меньше сложности социального поля в примере с негритянским движением, где она оценивалась значением С=20. Далее, хотя это кажется пародоксальным, но мы должны признать, что инерционность математического сознания ВЫШЕ, чем инерционность общественного сознания. Математическое сознание интегрирует в себе математические знания из всевозможных этносов, имеющих различное общественное устройство. Эти знания проходят особую проверку с точки зрения их правильности благодаря строжайшим правилам математического мышления. Поэтому, процесс смены парадигмы, например в геометрии, которая имеет непосредственное отношение к гипотезе Пуанкаре, занял на исторической шкале 2100 лет (Начала Евклида появились за 300 лет до нашей эры, а Неевклидова геометрия оформилась только в первой половине 19 века), в то время как этнический процесс на исторической шкале, по мнению Л.Н. Гумилёва, занимает интервал 1200-1500 лет. Если мы учтём эти оба фактора, то получим более высокое значение периода колебаний, чем в истории с негритянским движением, где он был равен 7 лет. А именно.

τ = 7 √ 2100/1500 ∙ 20/12 = 10,7.

Таким образом, как формально (разложение на простые множители), так и статистически (хронология событий), а также и психологически (колебания общественных явлений) получается один и тот же результат. Невольно напрашивается предположение, что математическое мышление по поводу формы нашей вселенной находится в резонансе с колебаниями солнечной активности.


19.1 ^ Гипотеза Пуанкаре


Гипотеза Пуанкаре относится к многообразию с размерностью D=3, но чтобы плавно войти в её суть, мы рассмотрим вначале двух-мерные многообразия (или поверхности). Любая точка такого многообразия, а также близко лежащие к ней точки имеют две независимые локальные координаты, то-есть могут быть представлены картой на листе бумаги. Всё многоообразие может быть представлено атласом, содержащим совокупность таких карт. Слово ‘поверхность’ обычно означает границу некоторого тела. Однако, не всегда возможно определить правое и левое направления в любом двумерном многообразии достаточно разумно. Когда это можно сделать, двумерное многообразие называется ориентируемым и считается поверхностью.

Два объекта могут быть одинаковыми, или эквивалентными, в одном смысле, но различными в другом. Если мы говорим о форме, то не интересуемся такими геометрическими понятиями, как размер и расстояние, а принимаем во внимание те свойства, которые сохраняются при растяжениях и малых деформациях. Подобные свойства очень важны не только в математике, но и в обыденной жизни. Благодаря им мы узнаём лицо человека в состоянии радости, смеха, злости, смертельной опасности, и даже после удачной пластической операции в салоне красоты. Эти свойства изучает топология. Две поверхности являются топологически эквивалентными, если точки одной могут быть сопоставлены во взаимно-однозначное соответствие с точками другой таким образом, чтобы близким точкам на одной поверхности соответствовали близкие точки другой поверхности. Иначе говоря, разрывы в топологии не допускаются. И если приходится что-то резать ради технологической простоты, то разрез надо потом зашивать или склеивать.Топологически эквивалентные многообразия называются гомеоморфными. Гомеоморфизм является достаточно грубым понятием сходства, однообразия, или тождественности. Поверхности делятся на три класса: торы (с одной или несколькими дырами), евклидовы плоскости, и сферы. Вопрос принадлежности поверхности к одному из этих классов является критическим, поэтому известный математик Владимир Арнольд приравнивает эту классификацию к открытию Америки. В качестве различающего средства для классификации поверхностей используются замкнутые траектории (или петли). Многообразия, которые различаются между собой в топологическом смысле, различаются поведением этих петель. В частности,если любая петля на многообразии может быть непрерывно преобразована ( стянута) к точке, то такие многообразия называются просто связанными.

В 19 веке математики уже знали, что любое ограниченное двумерное и просто связанное многообразие гомеоморфно сфере. Строгое доказательство этого факта с помощью метода триангуляции поверхности совсем не просто, сравнимо по трудности с основной теоремой Гаусса-Вейнгартена, так как на входе и на выходе имеются объекты с размерностью m=p=2, и в процессе доказательства используются плоские локальные элементы с размерностью к=2. Таким образом, интеллектуальные затраты оцениваются величиной Т = е2 (2е + 2е-1) = 45,5, достаточно высокой, но находящейся в пределах досягаемости индивидуального интеллекта.

Однако, не было известно, справедливо ли подобное утверждение для многообразий с размерностью D=3. Пуанкаре высказал в 1904 году свою смелую гипотезу: гладкое компактное 3-х мерное многообразие, имеющее свойство простой связности, гомеоморфно 3-х мерной сфере.

Сложность 3-х мерного многообразия равна С=12, и для доказательства гипотезы необходима интеллектуальная мощность Т = е3 (3е + 3е-1) ≈ 186, если оставаться в рамках техники покрытия многообразия геометрическими телами известной формы (прозрачными кристаллами или коробками ), из которых можно составить объёмный атлас. Этот уровень мощности находится далеко за пределами индивидуального и даже группового интеллекта как сейчас, так и в прошедшие времена.

Оказывается, представить себе 3-х мерную сферу уже не просто. Для этого топологи советуют взять два прозрачных шара (глобуса), каждый из которых ограничен 2-х мерной сферической поверхностью и включает внутренние области, и мысленно склеить их вместе вдоль их сферических поверхностей, объявляя склеиваемые точки обеих поверхностей неразличимыми между собой. Причём, склейку надо произвести так, чтобы внутренние точки обоих шаров не перемешивались между собой. Я пытался, но у меня ничего не получилось. У вас тоже не получится, потому что физически такую склейку осуществить невозможно. Однако, математически, абстрактно, такую операцию примыслить можно. Представить себе, как это общее многообразие будет выглядеть, находясь в рамках 3-х мерного пространства, тоже невозможно. Однако можно догадаться, что оно будет компактным (ограниченным) и не иметь границ, ибо границы обоих шаров мы склеили так, что они потонули внутри многообразия.

Чтобы получить наглядное представление об этом многообразии, надо иметь возможность посмотреть на него со стороны, а для этого надо поместить его в пространство с большей размерностью, чем 3. Предположим, что мы поместили 3-х мерную сферу в 4-х мерном пространстве. В этом случае сразу открывается возможность ясного математического представления нашего объекта, не прибегая к процессу склеивания. А именно, мы можем воспользоваться обобщением 2-х мерной сферы в 3-х мерном пространстве, добавив ещё одну координату. Трёх-мерная сфера в 4-х мерном евклидовом пространстве есть множество точек, равноудалённых от центральной точки, то-есть x2 + y2 + z2 + w2 =R2. Достаточно просто и красиво, но наглядного представления опять не получается, ибо мы ещё не очень привыкли к 4-х мерному пространству, и что ещё более существенно, наше зрение является трёх-мерным.

^ И всё же, вопрос наглядного представления 3-х мерной сферы S(3) не является безнадёжным. Я думаю такое представление возможно, но не в 4-х мерном пространстве, а в 5-и мерном пространстве Ω (глава 7).Сферу S(3) можно рассматривать как границу 4-х мерной вселенной с координатами (x,y,z,t). Мы живём в этой вселенной и, в принципе, имеем возможность посмотреть на S(3) со стороны, опираясь на координату времени. Однако, этого недостаточно. Необходимо ещё иметь 4-х мерное восприятие пространства.Этому можно научиться путём добавления к нашему 3-х мерному зрению дополнительного восприятия через разум, которое работает в подпространстве (t,c). Координата сложности с как раз может служить количественной мерой восприятия через мозг. Психология и медицина уже располагают данными о том, что зрительный образ формируется как на основе зрения, так и на основе работы зрительного отдела головного мозга.Таким образом, в процессе эволюционного развития имеется возможность поднять сложность восприятия на такой уровень,когда картина S(3) станет ясной, как солнечный день. Предпосылки для такого финала угадываются уже сейчас. Мы уже начинаем привыкать и понимать, что вселенная ограничена, ибо ограничено количество материи, в ней заключённого. И мы начинаем понимать, что, не смотря на её ограниченность, вселенная не имеет границ. Пространство и материя жёстко связаны между собой; там где нет материи нет и пространства, а следовательно, нет никакой возможности оказаться там, где ничего нет и быть не может. И далее, наступившая эра космических путешествий как бы убеждает нас в том, что наша вселенная вероятнее всего обладает свойством простой связности. Правда, вопрос остаётся открытым в связи с наличием чёрных дыр.

Мы заострили вопрос о наглядном представлении S(3), потому что он является критичным фактором особой трудности гипотезы Пуанкаре. Размерность D=3 является пограничной между чувственным и абстрактным восприятиями пространства. Мы живём в 3-х мерном геометрическом пространстве, и у нас складывается впечатление, что мы можем представить себе наглядно любые многообразия с этой размерностью. Поэтому при рассмотрении гипотезы Пуанкаре интуиция стремится быть в рамках обычных геометрических представлений и подводит нас, ибо 3-х мерные многообразия гораздо разнообразнее 2-х мерных. Отсутствовала какая-либо классификация этих многообразий. Это подавляющее разнообразие 3-х мерных форм является вторым критическим фактором сложности в гипотезе Пуанкаре. И кроме этих двух имеется ещё третий специфический фактор сложности: в 3-х мерном пространстве петля может быть завязана узлом, и когда мы начнём стягивать её к точке, проверяя свойство простой связности, она пересечёт сама себя. Такая петля не является границей некоторого 2-х мерного диска. Поэтому в пространствах с размерностью D ≥ 3 для проверки простой связности точек необходимо использовать не только петли, но и соответствующие им диски. Одако, в 3-х мерных и 4-х мерных многообразиях диски также могут самопересекаться, то-есть не являются надёжным средством контроля. Эти, так называемые вложенные диски не дают самопересечений согласно теореме Д. Нэша только при вложении их в пространства с размерностью D = 2∙2+1 = 5 и выше.


^ 19.2 Более высокие размерности


Вернёмся к хронологии событий (19.1), обращая на этот раз главное внимание на размерность, которая их характеризует.


Смайл (D≥7) Cталлингс (D=6) Фридман (D=4) Перельман (D=3)

-----+-------------+----------------------------------------------+-------------------------+---------

1960 1962 1982 2003

^ Хронология размерности.

Явно обнаруживается факт, что после доказательства теоремы вложения Нэшом (1956) был открыт ‘второй фронт’ наступления на гипотезу Пуанкаре со стороны более высоких размерностей. Этот факт является пародоксальным, так как хорошо известно, что увеличение размерности проблемы увеличивает её сложность (проклятие размерностей). И мы уже имели возможность убедиться, что случай

( D = 3) гораздо сложнее классического случая (D = 2). Однако, обратной стороной размерности является свобода: выше сложность, но больше свободы, больше возможностей. Эти возможности, конечно, не лежат на блюдечке с голубой каёмочкой. Их ещё надо открыть, надо ими овладеть, и на это требуется время и немалые интеллектуальные усилия. Однако, другого не дано!

Оказалось так, что гипотеза Пуанкаре имеет самое неблагоприятное соотношение между сложностью и возможностями её проверки. Переход к более высокой размерности как бы позволил начать одновременную прокладку туннеля с другой стороны непреодолимой горы. И если позаботиться об обеспечении условия встречи двух веток туннеля, то это позволяет сократить время решения проблемы.

Американский математик-тополог, Стефан Смейл, начал свои исследования с размерности D ≥ 7 и добился результата в 1960. Он использовал в своём доказательстве результаты Джона Милнора, который в 1956 году установил, что

7-и мерная сфера имеет различные дифференцируемые структуры, 28 совершенно разных структур, предоставляющих новые возможности решения проблем в топологии. Метод Смейла оказался очень продуктивным, и его последователи в течении следующего года покорили размерности D = 6 и D = 5. Однако , дифференциальный метод полностью не годился для размерностей D = 4 и D = 3.

Последовал почти 20-летний инкубационный период. Гипотезу для случая D = 4 доказал Михаил Фридман в 1982году, используя совершенно другую, не дифференциальную технику. Кроме того, он сумел классифицировать все просто связанные компакты 4-х мерных многообразий, используя теорию инвариантов некоторой фундаментальной группы преобразований. Это наступление с обратной стороны оказалось плодотворным не только для углубления понимания гипотезы Пуанкаре, но ещё в большей степени для развития самой математики. Были установлены прочные связи между различными математическими дисциплинами; на стыках между ними возникли новые дисциплины: алгебраическая топология, дифференциальная топология, геометрическая алгебра, и так далее. Однако, гипотеза Пуанкаре оставалась гипотезой в течении ещё 21 года. Некоторые математики даже стали искать контрпримеры, усомнившись в её истинности.

    1. ^ Поток Риччи.


Команда математиков, ведущая ‘прокладку туннеля’ с пологой стороны горы, предполагала, что при встрече обоих направлений должно произойти объединение новейших топологических технологий с технологиями дифференциальной геометрии, разработанными в 19 веке. Они не ошиблись, в конечном счёте так и произошло. В 1981-82г.г., именно в один из критических моментов на 99 летнем отрезке времени, были сделаны два очень существенных продвижения в этой команде. Ричард Гамильтон ввёл новое средство (поток Риччи) для углубленного понимания гипотезы геометризации, предложенной Вильямом Тёрстоном. Тёрстон не только предложил гипотезу, обобщающую гипотезу Пуанкаре, но и ввёл полную топологическую классификацию на 3-х мерных многообразиях, добавив к уже известным геометриям (сферическая, евклидова, и гиперболическая) ещё пять новых, более экзотических геометрий, гомогенных, но не изотропных.

Идея Гамильтона заключалась во введении некоторого нелинейного уравнения диффузии, подобного по физическому смыслу линейному уравнению теплопроводности, которое могло бы сглаживать нерегулярности в метрике, преобразовывая многообразие общего типа к одной из 8 форм, установленных Тёрстоном. Эти два новшества представляли собой единое целое, и они сблизили геометрию и топологию наилушим образом. Тёрстон был вознаграждён медалью Филдса за это достижение, а Гамильтон нет, ибо он уже превысил возрастное ограничение, установленное для этого отличия.

В начале 90-х Гамильтон с сотрудниками показали, что если позволить кривизне на любой компактной поверхности эволюционировать согласно потоку Риччи, то кривизна приблизится повсеместно к некоторому постоянному среднему значению.

Они без особого труда продемонстрировали это для 2-х мерных многообразий, повторив результат, полученный в 19 веке Клейном и Пуанкаре. Однако, обнаружилось, что на 3-х мерных многообразиях поток Риччи порождал ужасные сингулярности в местах с нулевой или очень большой кривизной и не выполнял своего сглаживающего воздействия. Уравнение потока Риччи принадлежит к типу уравнений теплопроводности и рассматривает кривизну пространства как экзотический вид теплоты, похожий на расплавленную лаву, текущую из регионов с более высокой кривизной и заполняющую собой районы с меньшей кривизной, выравнивая её. Немаловажным фактом является также то, что Григорий Перельман принадлежал к группе матфизиков в Санкт-Петербургском отделении института Стеклова, руководимой вплоть до 2004 года всемирно известной специалисткой в теории дифференциальных уравнений в частных производных, Ольгой Ладыженской. Короче говоря, Перельман, как никто другой, был подготовлен к доказательству гипотезы в этом направлении.

Кривизна есть более сложное геометрическое понятие, чем физическая температура. Она определяется не скалярной величиной (ранг 0), а тензором кривизны Римана (ранг 2). В дифференциальной геометрии тензор Риччи Rij представляет собой среднее значение секционной кривизны и определяет степень отличия геометрии с Римановой метрикой от обычной Евклидовой геометрии. Поток Риччи записывается уравнением


t ( gij ) = - 2Rij ,

где gij есть метрический тензор Римана. Оно является ближайшим аналогом уравнения Эинштейна, определяющим кривизну пространства-времени в общей теории относительности.

Перельман доказал очень важную, каноническую теорему для окрестностей с высокой кривизной и ввёл мощную технику для преодоления сингулярностей, порождаемых потоком Риччи. Его программа выравнивания кривизны получила название « Поток Риччи с Хирургией». Топология в своей сущности находится на стыке науки и искусства. Топология включает в себя технику подобную той, которую используют хирурги и скульпторы, моделируя органы с помощью скальпеля или вылепливая скульптуры из глины. Перельман наилучшим образом раскрыл эти возможности топологии в своей работе.

На мой взгляд, эти хирургичекие операции наложили некоторые ограничения на размерность локальной системы координат в окрестности сингулярных точек многообразия, не меняя сущности самого потока Риччи. Конечно невозможно достаточно определённо оценить меру изменения размерности, как это делается, например в случае Ковра Серпинского или Губки Менгера, получаемых в процессе удаления элементов плоскости или объёма. Но если предположить, что величина к снижается на 25%, то интеллектуальная мощность, необходимая для решения гипотезы Пуанкаре, снижается до уровня Т=е2,25( 3е + 3е -1 ) ≈ 86. Этот уровень покрывается интервалом (76 – 106) для группы из 2-3 талантливых математиков, работающих в одном узком направлении.

Около 3-х лет ушло на проверку результатов Перельмана, и в 2006 году на Международном Конгрессе математиков в Мадриде было объявлено о его награждении медалью Филдса. Однако, он не приехал для вручения награды и отказался от премии в миллион долларов, объявленной институтом Клея. Среди математиков такое случается, ибо они отрицательно относятся к общественному признанию и суете, с ней связанной. Это было особенно заметно в характере Бернарда Римана, предвестника современной топологии.

В заключение хочу напомнить, что Основная теорема теории поверхностей, доказанная в 19 веке, имела сложность С=6. Гипотеза Пуанкаре имеет сложность С=12. Историки математики утверждают, что объём математических знаний удвоился за последние 100 лет, что и могло обеспечить возможность решения проблем с удвоенной сложностью. Если накопление математических знаний будет продолжаться в том же темпе, то можно ожидать, что гипотеза Римана о простых числах, имеющая сложность С=20, будет покорена во второй половине 21 века.


Литература к главе

  1. Milnor J. The Poincare Conjecture 99 Years Later.- Stony Brook University, 2003

  2. Gadgil S. and Seshadri H. Ricci flow and Perelman’s proof of the Poincare conjecture. – Current science, vol.91, No 10, 2006

  3. O’Shea D. The Poincare Conjecture.- Walker & Company, New York, 2007

  4. Брандин В, Н. Размерностная сложность. Интеллект. – М.: Наука, 2008

  5. Pavic M. Dictionary of the Khazars. – Alfred A. Knopf, New York, 1988







Скачать 144.78 Kb.
оставить комментарий
Дата16.10.2011
Размер144.78 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

хорошо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх