Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и icon

Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и


Смотрите также:
Рабочая программа «Механика и основы механики сплошных сред» Специальность 010400 физика...
Программа курса лекций...
Программа курса лекций...
Вопросы к экзамену по курсу уравнения математической физики...
«Дед-Равняло»
Программа по курсу: динамика сплошных сред по направлению: 511600 факультет...
Программа годового курса «Численные методы решения задач математической физики»...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Урок по теме: «Уравнения»...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 “Дифференциальные уравнения...
Вопросы к экзамену по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения»...



Загрузка...
страницы:   1   2   3
скачать
Лекция 1. Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии.

Электромагнитное поле в веществе полностью описывается микроскопическими уравнениями Максвелла:


(1)


(2)


Первая пара уравнений Максвелла не содержит источников, тогда как вторая пара содержит источники поля: объемную плотность заряда и объемную плотность тока. Нижние индексы говорят о том, что это микроскопическое (истинное) значение поля. Плотность заряда и в плотность тока включают все заряды:


(3)

(4)


Система уравнений (1-4) неполная, для полноты следует добавить уравнения движения:


(5)


Здесь скорость и импульс -ой частицы. Задача, таким образом, заключается в самосогласованном решении уравнений (1-5), нахождении полей и траекторий частиц. При квантовом описании системы уравнения (3-5) должны быть заменены на соответствующие квантовые уравнения.

Очевидно, что такой подход может быть полезен только для вакуума и для небольшого числа зарядов. Если же перед нами стоит задача рассмотрения электромагнитных явлений в веществе, то из-за макроскопического числа частиц (порядка ) задача становится непреодолимо сложной. Но даже в том случае, если бы мы смогли преодолеть все трудности описания огромного числа частиц и вычислить микроскопические электрическое и магнитное поля, эту информацию трудно было бы использовать. Действительно, эти поля настолько быстро меняются в пространстве и во времени, что измерительные приборы будут давать не истинные значения поля, а скорее некоторые усредненные значения. Чтобы получить эти усредненные поля необходимо проделать дополнительные вычисления. Подобную ситуацию мы встречали при переходе от классической механики к молекулярно-кинетической теории (термодинамике), в механике сплошных сред. В таких случаях, когда задача кажется невообразимо сложной, физики отказываются от детального описания, и вводят усредненные величины, которые в действительности проявляются при измерениях. При этом от уравнений (1-5) следует перейти к уравнениям для усредненных величин. Термин усреднение в данном случае означает следующее. В силу того, что мы отказываемся от детального описания системы заряженных частиц, электрическое и магнитные поля, плотности заряда и плотности тока следует рассматривать как случайные величины (случайные процессы). С этими терминами мы скоро познакомимся при изучении теории вероятностей. Процедура усреднения заключается в умножении на функцию распределения и в последующем интегрировании (так вы определяли среднюю скорость движения молекул с помощью распределения Максвелла по скоростям). Это усреднение называют статистическим. Часто его заменяют усреднением по физически бесконечно малым объемам и промежуткам времени (усреднение Лоренца). Его обозначают угловыми скобками, и заключается оно в следующем

(6)


Почти очевидно (и это нетрудно доказать), что операция (6) коммутирует с операцией дифференцирования по координатам и времени


(7)


Тогда применяя это усреднение к уравнениям (1-5) получаем


(8)

(9)

(10)


При усреднении уравнения (5) мы считали скорость частицы постоянной (что можно делать, если усреднение идет по малому промежутку времени). Уравнение (10) позволяет интерпретировать как напряженность макроскопического электрического поля в среде (она дает силу со стороны электрического поля обычным умножением на заряд). Точно также есть индукция макроскопического магнитного поля в среде. Далее представим плотности как


(11)

где величины с индексом означают индуцированные, а без индекса сторонние плотности. Тогда уравнения Максвелла приобретают вид:


(12)

(13)


Система уравнений (12-13) содержат 4 неизвестные функции , поэтому она незамкнута. Но если добавить материальные уравнения


(14)

то система становится замкнутой. Заметим, что на самом деле неизвестных функций только 3, так как выполняется уравнение непрерывности





Уравнения (12-14) описывают произвольные электромагнитные процессы в сплошной среде. Это одна из допустимых форм уравнений Максвелла в среде. Но гораздо чаще встречается другая форма этих уравнений, с которой мы уже встречались ранее. Для того, чтобы показать каким образом эта форма уравнений возникает, введем вспомогательный вектор соотношением . Тогда из (13) получаем


(15)


Далее из (13) имеем


(16)


Так как дивергенция от выражения в квадратной скобке равна нулю в силу закона сохранения индуцированного заряда





То можно считать, что





где новый вспомогательный вектор. Тогда из (15) получаем


(17)


Итак, мы получили уравнения


(18)


Здесь электрическое смещение (индукция электрического поля) и напряженность магнитного поля равны


, (19)


А материальные уравнения записываются в виде


, (20)


Отметим неоднозначность в определении вспомогательных векторов. Вектора связаны следующим соотношением


(21)


Отсюда видно, что преобразование

(22)

не меняет индуцированные заряды и токи. Поэтому выбор вспомогательных векторов неоднозначен. Можно показать, что вспомогательный вектор есть дипольный момент единицы объема. Сложнее обстоит дело с вспомогательным вектором . При или при вектор имеет смысл магнитного момента единицы объема. Но в общем это не так. Эту неоднозначность можно использовать следующим образом (что чаще всего делают при рассмотрении высокочастотных явлений). Выберем


(23)


При этом требуется единственное материальное уравнение


(24)


Итак, мы привели два вида уравнений Максвелла и материальных уравнений для сплошной среды: уравнения (12-14) и уравнения (18,20). Обсудим теперь подробнее конкретный вид материальных уравнений. Наиболее общий вид линейной формы материальных уравнений таков (нелинейная форма материальных уравнений - отдельная тема)


(25)


В этих формулах учтены пространственная и временная нелокальность, неоднородность, и анизотропия. Отметим следующие свойства ядер этих интегралов (на примере , другие два ядра обладают теми же свойствами).

а) при (будущее не влияет на прошлое, причинность).

б) при (конечность скорости распространения взаимодействия).

в) для однородных сред (нет выделенной точки).

г) для стационарных сред (нет выделенного момента).

То есть для однородной, стационарной среды формулы (25) принимают вид





Интегральные формулы подобного вида называют свертками, и их удобнее записывать в представлении Фурье


(26)


Так как фурье-образ от свертки с точностью до коэффициента равен произведению Фурье-образов, то


(27)


Здесь





и аналогично для . Проделать выкладки на семинаре или дома. Тензора называются тензорами диэлектрической проницаемости, проводимости и магнитной проницаемости соответственно. Тензора содержат всю информацию об электромагнитных свойствах среды. Их вычисление не является предметом электродинамики сплошных сред. В электродинамике сплошных сред они рассматриваются как данные (известные) функции, а исследуются различные электромагнитные процессы (распространении волн, возникновении токов, рассмотрении различных эффектов). Расчет же тензоров – это предмет теоретической физики твердого тела. В последующем мы будем придерживаться именно такой точки зрения, иногда поясняя физические соображения приводящие к тем или иными видам указанных тензоров.

Рассмотрим теперь понятия временной и пространственной дисперсий. Посмотрим на уравнения (25). Функции в левой части в момент времени зависят от значений полей в правой части во все предыдущие моменты времени. Запаздывание реакции среды на действующие в среде поля называют временной дисперсией. Временная дисперсия приводит к частотной зависимости тензора диэлектрической проницаемости. Если, запаздывания нет, то нет и зависимости от частоты





По этой причине временную дисперсию называют также частотной дисперсией. При каких условиях можно пренебречь временной дисперсией? Ответ почти очевиден: временной дисперсией можно пренебречь, если характерное время изменения поля много больше характерного времени установления равновесия в среде . Под значением можно понимать, например, время свободного пробега электронов. Аналогично, пространственной дисперсией называют зависимость левых частй (24) в некоторой точке пространства, от значения полей в других точках пространства. Пространственная дисперсия – это нелокальность тензоров в координатном пространстве. Пространственная дисперсия приводит к зависимости тензоров от волнового вектора . В случае локальности имеем




Пространственной дисперсией нельзя пренебрегать, если рассматриваем поля с характерным пространственным масштабом, сравнимым или с меньшим, чем характерный размер среды (например, расстояние между атомами, или размер неоднородностей).


Лекция 2. Общие свойства тензоров проницаемостей и проводимости. Принцип симметрии Онзагера. Связь симметрии среды с видом тензоров проницаемостей и проводимости. Гиротропные и негиротропные среды. Принцип причинности и соотношение Крамерса-Кронига. Связь тензоров с обычными диэлектрическими, магнитными проницаемостями, с проводимостью.


Основным результатом прошлой лекции была следующая, наиболее часто используемая форма уравнений Максвелла для сплошной среды


(1)

(2)


где индукции электрического и магнитного плей связаны с напряженностями формулами


(3)


А линейные материальные уравнения в фурье представлении имеют вид


(4)

(5)

(6)


Для краткости будем называть тензора как в координатном, так и в фурье- представлении материальными тензорами. Рассмотрим их свойства. Рассмотрение начнем с обсуждения их комплексных свойств. Для краткости будем рассматривать тензор диэлектрической проницаемости (о магнитной проницаемости и проводимости смотри ниже). Диэлектрическая проницаемость в координатном представлении действительна, так как связывает две действительных величины. Следовательно,


(7)


является комплексной функцией и должна удовлетворять условию


(8)


Если в тензоре диэлектрической проницаемости выделить действительную и мнимую части





то получим соотношения


(9)


В частности, при отсутствии пространственной дисперсии (отсутствует зависимость от волнового вектора ), то действительная часть должна быть четной функцией частоты, а мнимая часть нечетной. Аналогичными свойствами должны обладать тензора .

Другим важным тензорным свойством является следующее свойство симметрии тензора диэлектрической проницаемости, которое следует из симметрии уравнений движения относительно обращения времени,

(10)


Это соотношение называют принципом симметрии Онсагера. При наличии магнитного поля принцип симметрии Онзагера выражается соотношением


(11)


Важным вопросом является вопрос: как симметрия кристалла сказывается на симметрии физических свойств кристалла (в частности на виде материальных тензоров). Ключом к этому вопросу является фундаментальный принцип кристаллофизики, известный как принцип Неймана: Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии кристалла. Подчеркнем, что принцип Неймана не утверждает, что симметрия структуры кристалла и симметрия его физических свойств совпадают (на самом деле симметрия физических свойств может быть шире, чем группа симметрии структуры кристалла. Например, для кристалла с кубической симметрией, тензора второго ранга, описывающие физические свойства, должны иметь вид





то есть не должен меняться при любых преобразованиях системы координат, а не только при преобразованиях симметрии куба.

Рассмотренные свойства симметрии могут комбинироваться и при водить к новым свойствам и понятиям. Например рассмотрим среду, которая имеет центр симметрии (то есть преобразование является преобразованием симметрии). Это означает, что эквивалентны, то есть


(12)


что вместе с (10) дает


(13)


Такая среда называется негиротропной средой. Если же в среде есть хотя бы одно направление , не эквивалентное , то вместо (13), получим


(14)


Такая среда называется гиротропной. Заметим также, что условие (13) следует из принципа симметрии Онзагера, при отсутствии пространственной дисперсии. Это означает, что гиротропными могут быть только среды с пространственной дисперсией. Все сказанное о тензоре , относится и к материальным тензорам .

Перейдем к выводу свойства, которое является следствием принципа причинности (соотношений Крамерса-Кронига). На первой лекции, когда мы записывали наиболее общее линейное соотношение между напряженностью и индукцией электрического поля, мы упоминали принцип причинности: значения индукции в момент времени могут зависеть от значения напряженности только в более ранние моменты времени. На самом деле принцип причинности вместе с конечностью скорости распространения взаимодействия приводит к еще более сильному утверждению (для однородных сред)


(15)


Рассмотрим среду без пространственной дисперсии, то есть зависимость от координат локальная . Тогда уравнение (15) вместе с определением (7) дает

(16)

Эта формула отличается от обычного преобразования Фурье отсутствием множителя и интегрированием только по положительным временам. Далее для простоты будем опускать индексы (можно сказать, что рассматриваем изотропный случай) и запишем (16) в виде


(17)


где функция описывает поляризуемость среды


(18)


Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической проницаемостью, обладает тем преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических соображений) для любых . Тогда как содержит особый вклад . Для функции из (17) имеем


(19)


Еще одно важное свойство состоит в том, что при . Действительно, значение поляризации в данный момент не должно зависеть от того, что происходило бесконечно “давно”, так как время релаксации среды конечно. Выразим перечисленные свойства через свойства фурье-образа :


(20)


(21)


(22)


(объясните каждое из этих равенств). Отметим также, что (21) для проводников не выполняется.

Теперь рассмотрим функцию как функцию комплексной переменной . Из свойства причинности (смотри (19)) следует, что эта функция аналитическая в верхней полуплоскости . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой частей




(23)


Проверьте условия Коши –Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а это следствие причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие причинности. Итак, аналитична, и кроме того при . Вычислим интеграл (далее действуем как при выводе интегральной формулы Коши в ТФКП):






(24)


Буквы перед интегралом означают , что этого интеграл в смысле главного значения. А из (24) имеем


(25)


Эти соотношения называют соотношениями Крамерса-Кронига: они связывают действительную и мнимую части поялиризуемости. Запишем их в следующем виде


(26)


Соотношения (25 или 26) называют соотношениями Крамерса-Кронига. Как отмечалось выше условия (21) для металлов не выполняются. Действительно, для металла диэлектрическая проницаемость вводится следующим образом





(27)


где называется обобщенной проницаемостью (имеет полюс при ). Учитывая (27) и (26) получаем форму соотношений Крамерса –Кронига, применимую для металлов (при наличии проводимости):





Из обобщенной проницаемости выделяем особую мнимую часть и для остатка получаем (26), а затем возвращаем особую часть (часть с полюсом при ).


Лекция 3. Энергия электромагнитного поля в среде с дисперсией. Нормальные электромагнитные волны в среде с дисперсией, дисперсионное уравнение. Правые и левые среды. Электрические свойства диэлектриков. Положительный знак статической электрической восприимчивости диэлектриков. Микроскопические модели диэлектриков.


Вопрос об энергии и импульсе электромагнитного поля в среде не является тривиальным. Дело в том, что в среде постоянно происходит обмен энергией и импульсом между микроскопическим электромагнитным полем и частицами среды, и вопрос фактически заключается в том, что отнести к макроскопическому полю, а что к среде. Итак, электромагнитное поле может передавать энергию частицам среды, а те, в свою очередь, порождать поле, то есть возвращать энергию полю. Провести границу здесь очень сложно. Но часть энергии поля, полученная частицами может переходить другим степеням свободы, от которых она полю не возвращается. Так энергия может превращаться в тепло (хаотическое движение частиц среды), то есть диссипировать. Эта часть электромагнитному полю не возвращается. Поэтому вычисление диссипируемой энергии достаточно просто. Покажем как она может быть вычислена. Работа, совершаемая электромагнитным полем в единице объема и в единицу времени равна


(1)


Вся эта работа работа превращается в тепло, если амплитуды полей поддерживатся постоянными (а на это указывает индекс ноль у плотности тока). Следовательно, для усредненной по периоду потери энергии имеем


(2)

где



Подставим в (2) выражение для плотности тока





и получим






(3)

Все три слагаемых в формуле (3) имеют ясную интерпретаци: какую? Рассмотрим часть



Считая поле монохроматическим, получаем






(4)

Аналогично для магнитной части диссипации получаем

(5)

Из (4,5) видно, что диссипация обусловлена неэрмитовой частью тензоров проницаемостей. Частные случаи этих соотношений рассмотрим на семинаре. Вывод выражения для плотности энергии электромагнитного поля значительно сложнее. Если он нам потребуется в будущем, то мы рассмотрим этот вывод подробно. А пока перейдем к рассмотрению вопроса о волнах в материальной среде.

Хорошо известно, что в вакууме возможно существование свободных (то есть без источников) электромагнитных волн. Такие свободные волны могут существовать и в сплошных средах. Их называют собственными или нормальными электромагнитными волнами. Благодаря взаимодействию со средой свойства таких волн могут сильно отличаться от свойств волн в вакууме (и речь идет не только о том отличии, которое мы уже рассматривали: другая скорость, затухание). Более того в средах могут существовать принципиально новые типы электромагнитных волн, аналогов которых в вакууме нет. При рассмотрении вопроса о нормальных электромагнитных волнах удобно использовать указанную в первой лекции неоднозначность введения вспомогательных векторов . А именно положим . Тогда уравнения (11,12) лекции 1 дают


(6)


Считая звисимость от времени и координат гармонической , получаем уравнения для амплитуд


(7)


И материальные уравнения в операторном виде


(8)


Из (7) получаем (получить на семинаре)


(9)


Условие существования ненулевого решения есть


(10)


В другой форме аналогичное условие принимает вид (получить его заметно проще)


(11)

(12)


где - обобщенная диэлектрическая проницаемость. Задача нахождения волн различных типов сводится к решению алгебраического уравнения (10 или 12) относительно , затем к решению систем (9 или 11). Обычный путь нахождения собственных значений и собственных векторов. Зависимость или называется законом дисперсии плоских нормальных электромагнитных волн. В силу этого уравнения (10 или 11) называют дисперсионным уравнением.

Для изотропной среды решения есть и только поперечные волны (покажите это на семинаре или дома). Из данного простого закона дисперсии видно, что одновременная замена знаков не показателя преломления. То есть в среде с и могут распространяться плоские незатухающие волны как и в среде с положительными проницаемостями. В чем же тогда отличия сред с одновременно отрицательными диэалектрическими и магнитными проницаемостями? А различия заключатся в следующем. Во-первых, посмотрите на уравнение (одно из уравнений Максвелла для амплитуд)




Из него видно, что для тройка векторов -правая, а для она левая. По этой причине среды с называют левыми средами. В природе естественных материалов с вероятно не существует (пока не найдено). Но искуственно такие материалы (диэлектрики с включением металлических частиц определенной форму) были получены.

Важность и весьма необычные приложения левых сред можно увидеть из следующей задачи. Рассмотрим прохождение плоской волны из одной среды в другую (с резкой границей). Как вы знаете должны выполняться граничные условия


(13)

(14)


Из этих равенств следует, что при прохождении волны из правой среды в левую закон преломления должен отличаться от обычного (луч идет в другой половине вертикальной полуплоскости).



Такой закон преломления дает возможность для создания плоскуих собирающих линз (без всяких недостатков, свойственных сферическим линзам):



Какие необычные физические явления с участием левых сред Вы придумаете сами?

Теперь рассмотрим свойства решений уравнения (12). Так как чаще всего величина комплексная, то и решения уравнения будут комплексными. Существует два вида экспериментальных ситуаций. В первой из них действительным является волновой вектор . Например рассматривается электромагнитное поле в резонаторе и используются периодические граничные условия. Тогда, комплексное решение уравнения (12) записываем в виде . Это означает, что зависимость амплитуд от времени имеет вид . Так как для равновесной среды нарастание поля невозможно, то следует отбирать корни с . Если же среда неравновесна, то поле может поглощать энергию предварительно сообщенную среде, и нарастать. Этому соответствует решения с . Другая типичная ситуация, характерна для оптики. В этой ситуации, постоянной и вещественной является частота (например волна, падающая на среду). Тогда комплексным является волновой вектор

. Тогда зависимость от координат имеет вид. Действительная часть волнового вектора определяет длину волны , а мнимая часть определяет глубину проникновения . Заметим также, что комплексные волновые вектора могут получиться и при действительной диэлектрической проницаемости.

В оптике часто вводят показатель преломления соотношением , где -единичный вектор в направлении волнового вектора. Подставив это в уравнение (12), получаем

(15)



Отсюда нетрудно получить, что



То есть решения уравнения (15) определяют фазовые скорости и глубину затухания электромагнитных волн. Амплитуды волн для каждого решения (15) могут быть найдены решением системы (11), которая через показатель преломления записывается так


(16)


Итак, мы рассмотрели уравнения электромагнитного поля в сплошной среде, общие свойства материальных уравнений, а также вопросы диссипации энергии и распространения волн. Заметим, что общие свойства материальных уравнений (или материальных тензоров) конечно сужают их возможный вид, но не определяют его однозначно. Для лпределения конкретного вида материальных тензоров необходимо сделать некоторые предположения о структуре рассматриваемого вещества. Как говорят надо выбрать модель вещества. Следующий большой блок вопросов, который мы рассмотрим будет связан с конкретными моделями электромагнитных свойств различных веществ и рассмотрением конкретных электромагнитных явлений в рамках этх моделей. При этом, как я уже отмечал раньше, материальные тензора вычисляются на основе квантовомеханических, статистических моделей, и это задача теоретической физики твердого тела. Но для начала мы, там где это будет возможно, ограничимся классическими моделями.

Рассмотрение начнем с класса веществ, которые называют диэлектриками. Диэлектриками называют вещества, которые не проводят электрический ток. Их разбивают на два вида полярные (молекулы имеют дипольный момент в отсутствии внешнего электрического поля) и неполярные (молекулы приобретают дипольный момент, только под действием внешнего электрического поля). Сначала рассмотрим случай неполярных диэлектриков. То, что диэлектрики не проводят электрический ток, означает, что все заряженные частицы связаны друг с другом, причем для неполярных диэлектриков центры распределения положительных и отрицательных зарядов совпадают друг с другом. Модель таких связанных зарядов описывается уравнением


(17)


Это уравнение Ньютона для пары разноименно заряженных частиц, связанных гармоническим потенциалом. Последнее слагаемое в правой части, учитывает релаксацию колебаний частиц друг относительно друга. Если внешнее поле гармонически зависит от времени , то решение уравнения (17) равно

(18)

Отсюда имеем



(19)

С этим выражением мы уже встречались. Но его можно несколько обобщить, учитывая тот факт, что каждой молекуле можно поставить несколько осцилляторов с своими частотами и затуханиями


(20)


Выделите и постройте графики действительной и мнимой частей .

Найдите комплексный показатель преломления .

Если вы внимательно следили за выводом формул (19,20), то наверное обратили внимание на то, что поле действующее на молекулу считалось равнам макроскопическому полю (то есть усредненному по Лоренцу микроскопическому полю). Это справедливо, если молекулы достаточно удалены друг от друга (как в газах). Но в жидкостях и твердых телах расстояния между молекулами порядка их размеров, и в силу этого, эффективное поле, действующее на молекулу, отнюдь не равно усредненному полю. Действительно, поляризованные молекулы должны также давать вклад в это локальное поле. Для кристаллов с кубической симметрией или для изотропной среды (жидкости) результат сводится к уравнению


(21)

Второй член в правой части называется поправкой Лоренц-Лоренца. Вводя поляризуемость

(22)

получаем










оставить комментарий
страница1/3
Дата15.10.2011
Размер0.55 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх