Методические указания по физике для студентов заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (раздел «Механика») icon

Методические указания по физике для студентов заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (раздел «Механика»)


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Определение момента сил трения и момента инерции махового колеса...
Изучение законов колебательного движения с помощью физического маятника методические указания к...
Вопросы к экзамену по Физике для студентов-заочников...
Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом отрыва кольца методические...
Исследование собственных колебаний струны методом резонанса Методические указания к лабораторной...
Определение радиуса кривизны линзы с помощью колец ньютона методические указания к лабораторной...
Определение вязкости воздуха...
Методические указания Екатеринбург 2006 Требования к дипломным и курсовым работам и отчетам о...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Определение скорости снаряда методом крутильных колебаний Методические указания к лабораторной...
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...



страницы: 1   2   3   4   5   6
вернуться в начало
^

6. К О Л Е Б А Н И Я




ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Например, качание маятника, переменный электрический ток.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Важным среди колебательных движений является гармоническое колебательное движение. При таком движении колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Характер такого движения лучше рассматривать с помощью следующей кинематической модели. Пусть точка М равномерно вращается по окружности радиуса А с постоянной угловой скоростью  (рис.6.1).





Рис.6.1


Тогда ее проекция N на ось X, проходящую через диаметр, будет совершать колебательное движение от положения N1 до N2 и обратно. Это колебание точки N и будет гармоническим колебанием. Чтобы его описать, нужно найти координату x точки N как функцию времени t. Пусть в начальный момент времени t=0 радиус ОМ составлял с осью X угол . Спустя время t этот угол получит приращение t и станет равным α = t+. Тогда координата x точки N в данный момент t определится как

.

Эта формула и описывает гармоническое колебание точки N.

Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия и называется амплитудой колебания. Величина  называется циклической частотой. Величину t+ называют фазой колебания, а ее значение при t=0, т.е. значение  – начальной фазой колебания. Графически можно изобразить колебательное движение, если откладывать по горизонтальной оси время t, а по вертикальной оси – смещение x (рис.6.2). На рисунке амплитуда А = 2, начальная фаза  = 0.





Рис.6.2


Промежуток времени, через который фаза получит приращение 2π, а колеблющаяся точка вернется в исходное положение, называют периодом колебаний:

.

Скорость колеблющейся точки:

.

Ускорение:

,

или

.

Последнее выражение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна

.

Она пропорциональна отклонению x и имеет противоположное ему направление, т.е. направлена к положению равновесия.

^ Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна

.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

.

^ Полная энергия: .

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии колебательной системой (тепловые потери вследствие трения в механических колебаниях).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

,

где x –колеблющаяся величина,  - коэффициент затухания, 0 –циклическая частота свободных незатухающих колебания той же колебательной системы (т.е. при =0).

Решение этого уравнения в случае малых затуханий (  0)

,

где - амплитуда затухающих колебаний, а А0начальная амплитуда, - частота затухающих колебаний (рис.6.3). Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е – раз, называется временем релаксации.





Рис.6.3


Под периодом затухающих колебаний понимают промежуток времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда

.

Если А(t) и А(t+Т) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то величину



называют логарифмическим декрементом затухания.

Также для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.


^ Примеры решения задач

1.Вычислить период малых колебаний ареометра которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении (рис.6.4). Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости  = 1,00 г/см3. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.


Дано:

m = 50 г = 5·10-2 кг

r = 3,2 мм = 3,2·10-3 м

 = 1,00 г/см3 = 103 кг/м3

______________________

Т-?


Рис.6.4

Решение

В покое действующие на ареометр силы уравновешивают друг друга, поэтому в проекции на ось X:

mg - Fарх = 0.

Т.к. Fарх = Pж = Vжg = πr2hg, то

mg = πr2hg.

После толчка в вертикальном направлении:

ma =mg - Fарх

или

ma = mg - πr2(h+x)g.

Отсюда, с учетом того, что имеем

.

Поскольку дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид

,

видим что в нашем случае

.

Тогда

.

Подставив численные значения, получим Т = 2,5 с.


2.Тело массой m = 100 г, совершая затухающие колебания, за время  = 1 мин потеряло 40 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления среды r.


Дано:

m = 100 г = 0,1 кг

 = 1 мин = 60 c

E(t+) = 0,6E(t)

___________________

r-?


Решение

Сила трения при малых колебаниях , где r- коэффициент сопротивления среды, v- скорость тела. Следовательно , где  - коэффициент затухания. Полная энергия колебаний

,

- амплитуда затухающих колебаний. Тогда

.

С другой стороны, по условию задачи

.

Следовательно,

.

Выражаем отсюда искомую величину:

.

Подставив численные значения, имеем r = 8,5·10-4 кг/c.

^

СПИСОК ЗАДАЧ



6.1. Частица массы m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = U0(1-cos ax), U0 и а – постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .


6.2. Частица массы m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = a/x2-b/x, где а и b – положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Ответ: .


6.3. Неподвижное тело, подвешенное на пружине, увеличивает ее длину на l = 70 мм. Считая массу пружины пренебрежимо малой, найти период малых вертикальных колебаний тела.

Ответ: =0,52 с.


6.4. Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.6.5, если жесткости пружинок равны k1 и k2, а их массы и трение пренебрежимо малы. В положении равновесия пружинки не деформированы.

Ответ: .



Рис.6.5 Рис.6.6


6.5. Найти период малых вертикальных колебаний тела массы m в системе, показанной на рис.6.6. Жесткости пружинок равны k1 и k2, а их массы пренебрежимо малы.

Ответ: .


6.6. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины l = 80 см, если в начальный момент маятник: а) отклонили на угол α = 3,00 и без толчка отпустили; б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость v = 0,22 м/с.

Ответ: а) б).


6.7. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины l = 80 см, если в начальный момент маятник отклонили на угол α = 3,00, а его нижнему концу сообщили скорость v = 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.

Ответ: .


6.8. Тело массы m упало с высоты h на чашку пружинных весов. Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины k. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.

Ответ: , .


6.9. Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид м. Найти зависимость от времени силы F, действующей на точку и максимальное значение силы.

Ответ: ; Fmax = 246 мкН.


6.10. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза Wmax = 1 Дж. Амплитуда колебаний А = 5 см. Найти жесткость пружины.

Ответ: k = 2Wmax/A2 = 800 Н/м.


6.11. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания 0 = 1,5. Каким будет значение , если сопротивление среды увеличить в n = 2 раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

Ответ: = 3,3; = 4,3.


6.12. Найти добротность осциллятора, у которого: а) амплитуда смещения уменьшается в  = 2,0 раза через каждые n = 110 периодов колебаний; б) собственная частота 0 = 100 с-1 и время релаксации  = 60 с.

Ответ: а) ; б) = 3000.


6.13. К невесомой пружине подвесили грузик, и она растянулась на x = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания  = 3,1.

Ответ: =0,7 с.


6.14. Тело совершает крутильные колебания по закону . Найти: а) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент t = 0; б) моменты времени, когда угловая скорость максимальна.

Ответ: а) ; б) , где n = 0,1,2,…


6.15. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения  = 0,1 лежит брусок массы m = 0,5 кг, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой. Жесткость пружинки k = 2,45 Н/см, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на x0 = 3,0 см, и затем отпустили. Найти: а) период колебаний бруска; б) число колебаний, которое совершит брусок до остановки.

Ответ: а) = 0,28 с; б) .


6.16. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6, начальная фаза  = 0. При t = T/4 смещение точки x = 4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания.

Ответ: .


6.17. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника l = 1 м.

Ответ: = 0,023.


6.18. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания  = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

Ответ: n = a0/a = e = 1,22.


6.19. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t1 = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t2 = 3 мин?

Ответ:


6.20. К вертикально висящей пружинке подвешивают груз. При этом пружинка удлиняется на l = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы логарифмический декремент затухания колебаний был равен  = 6?

Ответ:  = 6,89 с-1.


Л И Т Е Р А Т У Р А


1. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1988.

2. Сборник задач по общему курсу физики. Механика. Под ред. Яковлева И.А. М.: Наука, 1977.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002.





оставить комментарий
страница6/6
Дата27.09.2011
Размер0.5 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6
плохо
  8
не очень плохо
  1
средне
  4
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх