Методические указания по физике для студентов заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (раздел «Механика») icon

Методические указания по физике для студентов заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (раздел «Механика»)


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Определение момента сил трения и момента инерции махового колеса...
Изучение законов колебательного движения с помощью физического маятника методические указания к...
Вопросы к экзамену по Физике для студентов-заочников...
Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом отрыва кольца методические...
Исследование собственных колебаний струны методом резонанса Методические указания к лабораторной...
Определение радиуса кривизны линзы с помощью колец ньютона методические указания к лабораторной...
Определение вязкости воздуха...
Методические указания Екатеринбург 2006 Требования к дипломным и курсовым работам и отчетам о...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников образовательных учреждений...
Определение скорости снаряда методом крутильных колебаний Методические указания к лабораторной...
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...



страницы: 1   2   3   4   5   6
вернуться в начало
^

5. М О М Е Н Т Ы. Д И Н А М И К А Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А




ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Момент силы F относительно точки есть вектор, равный

,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки, относительно которой рассматривается момент силы F, к точке приложения силы.

Моментом нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно неподвижного начала:

.

Момент силы и момент импульса связаны между собой соотношением, которое называется уравнением моментов:

,

где N – геометрическая сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек.

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю (^ N=0), то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени (М=const) – закон сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для замкнутой системы материальных точек.

^ Моментами силы и импульса относительно произвольной оси называются проекции на эту ось их моментов относительно точки, лежащей на той же оси.

Моментом инерции системы относительно оси называется величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения:

.

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление его момента инерции сводится к вычислению интеграла

,

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела.

^ Основное уравнение динамики вращательного движение вокруг неподвижной оси:

,

где ω – угловая скорость вращения. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции I, роль скорости – угловая скорость ω, роль силы – момент силы N, роль импульса – момент импульса M=Iω. Момент импульса М часто называют вращательным импульсом системы. Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс Iω сохраняется.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде:

.

^ Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma2, где а –расстояние между осями

.


^ Примеры решения задач.

1. Шайба A массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис.5.1) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен . Найти: а) точки, относительно которых момент импульса M шайбы остается постоянным в этом процессе; б) модуль приращения вектора момента импульса шайбы относительно точки О, которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии l от точки О.




Рис.5.1


Дано:

m, , l, α, v=const

____________________

- ?


Решение:

В первом вопросе спрашивается, относительно каких точек момент импульса М остается постоянным. Из уравнения моментов , где N – момент внешних сил относительно рассматриваемой точки, видно, что ^ М=const, если момент сил N относительно этой точки равен нулю. В процессе движения шайбы ее скорость v=const, поэтому равнодействующая сил, действующих на нее, равна нулю и N=0. Но в момент удара о стенку на шайбу будет действовать сила реакции опоры Nоп .Выберем произвольную точку В и вычислим относительно нее момент сил:

.

Он будет равен нулю, если sinβ=0, или β=π. Т.о., М=const относительно точек прямой, перпендикулярной к стенке и проходящей через т.О.

Найдем приращение ΔМ=М1-М, а затем его модуль. Момент импульса шайбы относительно точки О’ после удара о стенку(см.рисунок):

.

Вектор М1 перпендикулярен плоскости, в которой движется шайба, и направлен от нас. По модулю . Момент импульса шайбы относительно точки О до удара о стенку находится аналогично: . Он также перпендикулярен плоскости, в которой движется шайба, но направлен от нас. По модулю . Тогда приращение момента импульса ΔМ=М1-М=2М1, а модуль приращения .


2. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 300 с горизонтом, скатывается без скольжения шарик (рис.5.2). Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на h = 30 см.


Дано:

α = 300

h = 30 см = 0,3м

_______________

t - ?







Решение:

Т.к. трения нет, воспользуемся законом сохранения механической энергии:

,

где - кинетическая энергия поступательного движения шарика, - кинетическая энергия вращательного движения шарика. - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, - угловая скорость вращения. Подставив все в закон сохранения энергии, найдем скорость поступательного движения шарика:

.

Поскольку движение шарика равноускоренное, воспользуемся следующими формулами:

.

Выразим время:

.

Воспользовавшись полученным ранее выражением для скорости, получим:

.

Подставив численные значения, имеем: t = 0,585 с.


^ СПИСОК ЗАДАЧ.


5.1. Шарик массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить M в вершине траектории, если m = 130 г, = 450 и v0 = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: M = (1/2)mgv0t2cos; M = (mv03/2g) sin2cos = 37 кг∙м2/с.


5.2. Момент импульса частицы относительно некоторой точки^ O меняется> со временем по закону bt2, где a и b - постоянные векторы, причем ab. Найти относительно точки O момент силы N, действующей на частицу, когда угол между векторами N и M окажется равным 450.

Ответ: = 2b


5.3. Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке O, движется по горизонтальной окружности постоянной угловой скоростью . Относительно каких точек момент импульса M шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

Ответ: Относительно центра окружности. M=2mgl/.


5.4. На массивный неподвижный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы m. В момент t = 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t.

Ответ: MZ = Rmgt.


5.5. Некоторая система частиц имеет суммарный импульс p и момент импульса M относительно точки O. Найти ее момент импульса M’ относительно точки O’, положение которой по отношению к точке O определяется радиус-вектором r0. Выяснить, в каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки O.

Ответ: M’ = - r0p. B случае, когда = 0, т.е. в системе центра масс.


5.6. Небольшая шайба массы m = 50 г начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой h = 100 см и угол наклона к горизонту α = 150 . Найти модуль момента импульса шайбы относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, через t = 1,3 c после начала движения.

Ответ: M =  mghtsin2α/2 = 1,6∙10-2 кг∙м2/с.


5.7. Найти момент импульса Земли относительно ее полярной оси. Считать Землю правильным шаром радиуса R = 6000 км, имеющим плотность  = 5,5 г/см3.

Ответ: M = 16R52/15Т = 52∙1040 г∙см2/c.


5.8. Найти момент инерции: а) однородного тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны a и b, а ее масса - m.

Ответ: а) I = ml2/3; б) I = m(a2 + b2)/3.


5.9. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом а и массы m относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Ответ: I = ma2/2.


5.10. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Ответ: I = 2mR2/3.


5.11. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m. В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Ответ: а) ω = gt/R(1+M/2m); б) Ek = mg2t2/2(1+M/2m).


5.12. Однородный шар массы m = 5,0 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α = 300 с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через t = 1,6 c после начала движения.

Ответ: Ek = 5mg2t2sin2α/14 = 0,11 кДж.





5.13. Найти ускорение грузов и натяжение нитей в установке, изображенной на рисунке 5.3, учитывая момент инерции I вращающегося блока, при условии, что нить не скользит по блоку. Радиус блока r.

Ответ: a2 = -a1 = (m2-m1)g/(m2+m1+I/r2);

T1 = (2m1m2g+m1gI/r2)/(m1+m2+I/r2);

T2 = (2m1m2g+m2gI/r2)/(m1+m2+I/r2).



Рис.5.3





5.14. На горизонтальную неподвижную ось насажен блок, представляющий собой сплошной цилиндр массы М. Через него перекинута невесомая веревка, на концах которой висят две обезъяны массой m каждая. Первая обезъяна начинает подниматься с ускорением а относительно веревки. Определить, с каким ускорением относительно неподвижной системы координат будет двигаться вторая обезъяна.

Ответ: a2 = 2ma/(M+4m).


5.15. По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение а центра диска.

Ответ: a = 2gsinα/3.


5.16. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=300, скатывается без скольжения сплошной однородный цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.

Ответ: F = mg sinα/3.


5.17. На краю свободно вращающегося горизонтального диска радиуса R, имеющего момент инерции I, стоит человек массы m. Диск совершает n об/мин. Как изменится скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится при этом кинетическая энергия? Размерами человека по сравнению с радиусом диска можно пренебречь.

Ответ: Скорость вращения и кинетическая энергия возрастут в (1+mR2/I) раз.


5.18. Найти ускорение а центра однородного шара, скатывающегося без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Чему равна сила трения сцепления шара и плоскости?

Ответ: a = 5g sinα/7; Tтр = 2mg sinα/7, где m – масса шара.


5.19. Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

Ответ:


5.20. Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m«М, найти скорость летевшей пули.

Ответ: v = (M/m)(2gl/3)1/2sin(α/2).






оставить комментарий
страница5/6
Дата27.09.2011
Размер0.5 Mb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6
плохо
  8
не очень плохо
  1
средне
  4
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх