Исследование по результатам решенных задач «Копилка методов и советов Мода Исследование по теме «Техника чтения школьников» Наибольшее и наименьшее значение. Размах icon

Исследование по результатам решенных задач «Копилка методов и советов Мода Исследование по теме «Техника чтения школьников» Наибольшее и наименьшее значение. Размах


Смотрите также:
Лекция 15. Определённый интеграл...
По теме: Статистические характеристики на уроке алгебры...
Исследование методов и методик развития математических способностей младших школьников...
Задачи на оптимизацию Тест...
Задачи: проанализировать литературу по данной теме...
С. Ю. Ключников Книга известного психолога С. Ю. Ключникова посвящена теме защищенности человека...
«Исследование методов маршрутизации в компьютерных сетях»...
Исследование и изучение Земли Тема Вклад в исследование и изучение Африки Васко да Гама...
Исследование множества комплексных корней полиномов специального вида...
Курсовая работа исследование динамики упругого пространства...
Исследование этого вопроса составляет одну из задач военной историографии...
А. В. Бурмистров исследование уровня подготовки по физике...



Загрузка...
скачать
Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 80»


РЕФЕРАТ


по теме: Статистические характеристики на уроке алгебры.


Выполнили

ученики 7«Б» класса:

Коварж Галина Юрьевна,

Лебедев Александр Станиславович

Руководитель:

Ласточкина Ольга Геннадьевна-

учитель математики


2009г.

Содержание





    Введение………………………………………………………………..................3

  1. «Начала» исследования…………….………………………………………….5

  2. Первые шаги в исследовании……………………………………………........6

  3. Среднее арифметическое…………………………………………….…..........7

    3.1.Упражнения…………………………………………………….................8

    3.2.Исследование из серии «Школьная статистика»……………….............9

  1. Медиана……………………………………………………………………….10

    4.1.Задачи………………………………………………………..…………..12

    4.2Исследование по результатам решенных задач «Копилка

    методов и советов………………………......................................................12

  1. Мода…………………………………………………………………………...13

    5.1.Исследование по теме «Техника чтения школьников»……………….14

  1. Наибольшее и наименьшее значение. Размах……..……………………..…15

    6.1. Исследовательская мини-задача из серии «Школьная

    статистика»………………………………………………………………..15

    6.2. Упражнения……………………………………………………………...16

    7. Отклонения…………………………………………………………………...17

  1. Дисперсия……………………………………………………………..……....18

    8.1. Примеры и упражнения…………………………………………….......18

    8.2. Исследовательский социологический мониторинг по ЕГЭ………….19

  1. Статистика вокруг нас……………………………………..............................20

    9.1 Эконометрика. Расчет средней заработной платы…………….……....20

9.2 Линейный тренд температуры……………………………………….....22

9.3 Анализ отклонения прибыли…………………………………………....23

9.4 Резюме: Оценка «здоровья здорового человека»……………………...24

  1. Заключение……………………………………………………………………25

  2. Список литературы…………………………………………………………...26

  3. Приложение

    12.1. Словарь для тех, кто хочет знать больше……….………………........27

    Введение.


На уроке алгебры мы познакомились с темой «Статистические характеристики». Среднее арифметическое, медиана, размах и мода. Мода в математике? А медиана в алгебре? Удивительно!

Мы провели математическое исследование, где, задавая вопросы один за другим, определяли направление пути исследования. Нас эта тема очень заинтересовала. Материал был живой, современный и увлекательный.

Поэтому мы решили написать по этой теме реферат и сделать компьютерную презентацию. Нам было интересно узнать о том, что такое мода и среднее значение, их применение в жизни человека. Для чего нужна медиана? Мы занялись поисками, исследованиями. Оказывается, она является одним из показателей средней зарплаты работников на предприятии. Мы открыли, что при массовом пошиве одежды обязательно в расчетах используются описательные статистические характеристики. Следующим нашим открытием были отклонения и дисперсия.

И так, пошив одежды, производство пшеницы в стране, среднемесячные температуры, выдача зарплаты, качество сдачи экзаменов, подсчёт населения городов и многое другое в жизни современного человека характеризуется с помощью описательной статистики.

Мы встречались с выпускниками нашей школы, беседовали и читали их лекции. Они учатся в разных вузах: политехническом университете медицинском, педагогическом, университете, ТУСУРе и им всем приходится выполнять расчеты и обрабатывать результаты, находя среднее значение, медиану, размах, моду, наибольшее и наименьшее значения, отклонения и дисперсию. А они будущие экономисты, психологи, инженеры, менеджеры, врачи. Значит, где бы мы не продолжили свое образование, скорее всего нам придется заниматься статистическими расчетами.

Оказывается, описательная статистика в нашей жизни сейчас занимает не малую роль. Поэтому продолжим исследование и побудем в роли открывателей научных сокровищ и глубин статистики в математике.


Наша цель:

Раскрыть особенности статистических характеристик.


Задачи:

1. Изучить и обобщить собранный материал по теме.

2. Создать творческую разработку в виде реферата, медиапродукта и приложений к ним.

3. Научиться решать и составлять задачи по статистике.

4. Выявить удивительное.


Гипотеза:

Если начать исследование с рассмотрения основных положений описательной статистики с разных точек зрения, то отыщутся различные объяснения и ключи понимания её значимости.


Объект исследования:

Описательная статистика


Предмет исследования:

Среднее арифметическое, медиана, размах и мода, наибольшее и наименьшее значения, отклонения и дисперсия.


1. «Начала» математического исследования


Проблемные вопросы


  • Если ты профессиональный статист, то чем бы тебе пришлось заниматься?

  • Какие бы ты решал статистические задачи и как?

  • Какой области знаний человечества они принадлежат?

  • Роль данных характеристик в описательной статистике.

????? ?????


Мы такие проблемы выдвигаем


  • -Что нужно понимать под терминами статистика, числовой ряд, среднее арифметическое, медиана, размах и мода, наибольшее и наименьшее значения отклонения и дисперсия?

  • - Зачем нужны эти статистические характеристики?

  • - Можно ли их сравнивать? Чем объясняются отличия?

  • - Какая из характеристик наиболее полно отражает явление?

  • - Какие задачи можно решать?

  • -Можем ли сами составлять задачи по статистике?

  • - Поиски подхода к решению задач.

  • - Как выяснить, существуют ли различные способы и методы решения?

  • -Какой области научных знаний принадлежат задачи описательной статистики?

????? ?????


2. Первые шаги исследования


Мы познакомились с определениями среднего арифметического, медианы, моды и размаха. И подумали, а смогут ли ребята, зная только определение среднего арифметического, определить, что такое размах, медиана и мода. Мы составили для них вот такое задание, которое назвали «Испорченные определения и предложили найти верные ответы.


«Испорченные» определения

  • Отношение суммы нескольких чисел к их количеству называется …




  • Число, которое разделяет упорядоченный числовой набор на две одинаковые по численности части, называется …




  • Число, которое в числовом наборе встречается чаще других называется …




  • Разность между наибольшим и наименьшим числом набора чисел называется …







  • Мода




  • Среднее арифметическое



  • Размах




  • Медиана





Верные определения

  • Отношение суммы нескольких чисел к их количеству называется …




  • Число, которое разделяет упорядоченный числовой набор на две одинаковые по численности части, называется …




  • Число, которое в числовом наборе встречается чаще других называется …




  • Разность между наибольшим и наименьшим числом набора чисел называется …







  • Среднее арифметическое




  • Медиана




  • Мода




  • Размах





Выводы эксперимента:

    • Задание вызвало большой интерес.

    • Все справились успешно.

    • Можно приступить к более глубокому рассмотрению вопросов.




  1. Среднее арифметическое


Рассмотрим данные о производстве пшеницы в России в 1995-2001гг.(в миллионах тонн).Они приведены в таблице 1.

Таблица 1.Производство пшеницы в России в 1995-2001гг.


Год

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Производство, млн. тонн

30,1

34,9

44,3

27,0

31,0

34,5

47,0



Как видно из таблицы 1, производство пшеницы в разные годы различается.

Оно зависит от погодных условий, площади посева и других обстоятельств. Поэтому производство пшеницы за один год не даёт полного представления об уровне производства пшеницы в стране. Для этой цели лучше использовать среднее значение за ряд лет.

По данным таблицы мы можем вычислить среднее производство пшеницы за 7 лет. Для этого надо сложить годовые сборы пшеницы и затем сумму разделить на число слагаемых.

В данном случае получаем

(30,1+34,9+44,3+27,0+31,0+34,5+47,0)/7=35,5

Получаем, что среднее производство пшеницы в России за рассматриваемый период 1995-2001гг. составляло приблизительно 35,5 млн. тонн в год.

Вычисленное нами значение называется средним арифметическим или просто средним.


  • Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.


Другими словами, среднее арифметическое - это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а в знаменателе - их количество.

К вычислениям средних значений прибегают во многих подобных задач.

Можно нанести данные о производстве пшеницы из таблицы 1 на числовую ось в виде точек, а среднее значение в виде вертикальной черты.

Значит, среднее арифметическое числового набора характеризует в целом положение этого набора на числовой прямой. [1]


3.1. Упражнения.

  1. Каким было производство пшеницы в 1996г., в 2000г.?

  2. В каком году производство пшеницы было:

А) наибольшим; б) наименьшим?

3.Совпадает ли производство пшеницы в среднем за 7 лет со значением в каком-нибудь году?


Предлагаем задачи для самостоятельного решения:

  1. Придумайте четыре таких числа, что их среднее арифметическое равно:

А) второму по величине числу; б) третьему по величине числу;

В) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

2. В таблице 3 приведено число жителей шести крупнейших городов

Московской области в разные годы в тысячах человек. Города указаны в алфавитном порядке.


Таблица 3.Население шести крупнейших городов Московской области в разные годы, тыс. человек.


Города

1959

1970

1981

2002

Коломна

118

136

150

147

Люберцы

95

139

163

163

Мытищи

99

119

145

158

Подольск

129

169

205

190

Химки

47

85

121

136

Электросталь

97

123

143

146


А) Найдите среднее число жителей крупнейших городов Московской области в 1959г.

Б) Найдите среднее число жителей крупнейших городов Московской области в 1970г.

В) Найдите среднее число жителей крупнейших городов Московской области в 1981г.

Г) Найдите среднее число жителей крупнейших городов Московской области в 2002г.

Д) Сравните число жителей в данных городах в 1959г. и в 1970г. Верно ли, что число жителей возросло за эти годы?

Е) Сравните число жителей в данных городах в 1981г. и в 2002г. Можно ли заключить, что число жителей возросло за эти годы? Сравните среднее число жителей этих городов в 1981 и 2002гг. [1]


^ 3.2. Исследование из серии «Школьная статистика»


Мини - задача



В школе открыты классы по некоторым образовательным направлениям.
Составьте упорядоченный набор чисел, вычислите среднее арифметическое, медиану, размах и моду.




Выводы: Данные для нахождения статистических характеристик могут быть оформлены в виде диаграмм, а могут - в виде таблиц.


^ Социологическое исследование


по теме «Читательский интерес современного подростка»


Мы провели анкету среди учащихся 5-11 класса, взяв по одному классу в каждой параллели. Учащиеся выбирали те библиотеки, которые они посещают.

1. Нужны ли современным подросткам библиотеки?


Школьная библиотека

35%

Среднее арифметическое: (35+29+25+11):4= 50(%)

Моды нет

Размах: 35-11=24(%)

Медиана 27%

Общественная библиотека

29%

Интернет-библиотека

25%

Домашняя библиотека


11%


Выводы:

Медиана не совпадает со средним арифметическим. Однако медиана ближе к значениям 29% и 25% , значит, лучше даёт преставление о посещении библиотеки, как «средней», «типичной». Надо проверить это утверждение, поэтому поближе познакомимся с понятием медиана и рассмотрим некоторые примеры.

4. Медиана.


Не только среднее арифметическое показывает, где на числовой прямой располагаются числа какого-либо набора. Другим показателем является медиана. Это число, которое разделяет этот набор на две части, одинаковые по численности. Поясним на примерах, как найти медианы разных наборов чисел.


Пример 1. Возьмём какой-нибудь набор различных чисел, например 1, 4, 7, 9, 11. Подберём число m так, чтобы в наборе оказалось поровну чисел, которые меньше и которые больше чем m.

На пробу возьмём m=5. Два числа в наборе меньше чем 5, но три числа больше чем 5. Значит, число 5 не годится.

Теперь возьмём m=7. Меньше числа 7 два числа, больше числа 7 тоже два числа. Следовательно, число 7 делит этот набор на две равные части. Число 7-медиана набора чисел 1, 4, 7, 9, 11.

В этом примере набор состоял из 5 чисел, записанных в порядке возрастания. Медианой в этом случае оказывается число, стоящее в точности посередине.


Пример 2. Рассмотрим набор 1, 3, 6, 11. Числа тоже записаны по возрастанию, но их четыре, поэтому среди них нет числа, стоящего точно посередине. В таком случае нужно взять два числа, расположенных посередине, и вычислить их полусумму:

(3+6):2=4,5

Медианой этого набора считают число 4,5


Пример 3. Найдём медиану набора 17, 4, 9, 11, 3. В этом наборе числа стоят не по порядку. Следовательно, сначала их нужно упорядочить: 3, 4, 9, 11, 17. Медианой служит число 9, поскольку два числа меньше чем 9 и два числа больше чем 9.

Точно так же следует поступать с любым другим набором.


^ Метод вычисления медианы.

Чтобы найти медиану набора, числа следует записать по возрастанию. Затем нужно выбрать одно число посередине, либо два числа и найти их полусумму.

Если в полученном наборе нечётное количество чисел, то медиана – полусумма двух чисел, расположенных посередине этого набора на числовой оси.


Пример 4. Вернёмся к таблице 1 производства пшеницы в России.

Производство пшеницы в России в 1995-2001гг., млн. тонн


Год

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Производство

30,1

34,9

44,3

27,0

31,0

34,5

47,0



Средний урожай мы уже находили. Он равен 35,5 млн. тонн в год. Вычислим медиану. Упорядочим числа:

27,0; 30,1; 31,; 34,5; 34,9; 44,3; 47,0.

Медиана равна 34,5 млн. тонн (урожай 2000г.)

В последнем примере медиана совсем немного отличается от среднего арифметического. Так бывает часто, но не всегда. Если числа резко различаются, то медиана и среднее арифметическое могут отличаться значительно. Например, для набора чисел 1, 2, 102 медиана равна 2, а среднее арифметическое равно 35.

Если в наборе чисел есть резко выделяющиеся значения, то медиана лучше, чем среднее арифметическое, показывает, как этот набор расположен на числовой прямой.


Пример 5. В России в 2002г. Было 13 городов с числом жителей более 1 млн. человек. Данные о население этих городов в тысячах человек за разные годы приведены в таблице 4.

Найдём среднее значение численности жителей этих городов в 2002г. Для этого нужно сложить числа последнего столбца и сумму разделить на 13.


(1013 +1293+1105+10358+1311+1426+1134+1000+1070+1158+

+ 4669+1042+1078): 13=2127,5


Таблица 4. города России с числом жителей более 1 млн. человек.


Город Население, тыс. человек




1979

1989

2002

Волгоград

926

999

1013

Екатеринбург

1210

1296

1293

Казань

989

1085

1105

Москва

8057

8878

10358

Нижний Новгород

1342

1400

1311

Новосибирск

1309

1420

1426

Омск

1016

1149

1134

Пермь

989

1041

1000

Ростов-на-Дону

925

1008

1070

Самара

1192

1222

1158

Санкт - Петербург

4569

4989

4669

Уфа

977

1080

1042

Челябинск

1030

1107

1078


Обратите внимание: в таблице нет города, население которого было бы близко к этой величине. Почти во всех городах население немного превышало 1 млн. человек. Исключение составляют Москва и Санкт - Петербург. Из-за этих двух городов среднее арифметическое не даёт преставления о населении «среднего», «типичного» крупного города. [1]


Мы познакомились ещё с одним показателем, позволяющим судить о том, где располагается набор чисел, - с медианой набора. Иногда медиана точнее характеризует набор в целом, чем среднее арифметическое. [1]


4.1. Задачи.


  1. Пользуясь таблицей 4, укажите:

а) самый большой город России по числу жителей в 2002г.;

б) второй по населению город в России 2002г.;

в) третий и четвёртый по числу жителей города в России в 2002г.


2. Пользуясь таблицей 4, ответьте на вопросы.

а) Насколько изменилось среднее число жителей крупнейших городов России в 2002г. по сравнению с 1989г.? Можно ли считать, что их население среднем возросло за этот период?

б) Насколько изменилось среднее число жителей крупнейших городов России в 2002г. по сравнению с 1979г.? Можно ли считать, что их население в среднем возросло за этот период?

в) Найдите медиану числа жителей городов в 1989г. Сравните её с медианой, вычисленной для 2002г.(1134 тыс. человек). [1]


^ 4.2 Исследование по результатам решенных задач


Мы решили некоторые задачи. Теперь попробуем составить методы и советы по их решению для начинающих или для тех, кто будет решать их самостоятельно, список наш можно продолжить


^ В копилку методов и советов


Советы решающему статистическую задачу:


  • Используй теоретические сведения и данные задачи

  • Выбери путь, по которому может пойти решение задачи

  • Когда решил задачу , подумай над результатом

  • Удивление полученным результатом рождает мысль и ведет к новым исследованиям




Методы решающему статистическую задачу:


  • Упорядочи числовой набор, т.е. запиши числа в порядке возрастания

  • Чтобы найти медиану, в числовом наборе нужно выбрать одно число посередине либо два числа и найти их полусумму





5. Мода.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел

47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 53, 47, 52

Две моды - это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа – менее трёх раз.

В ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моды нет.

Моду ряду данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определённый день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующихся наибольшим спросом. Среднее арифметическое в этом случае не даёт полезной информацией.

Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространённой на рынке, и т. п.

Рассмотрим ещё пример. Пусть, проведя учёт деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдём для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т. е. такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего. Получим

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39. 39.

Среднее арифметическое: ( 352 + 368 + 374 + 383 + 394 ) : 21 = 37

Размах равен 39-35=4

Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего повторяется в этом ряду.

Вывод:

37 деталей – это средняя выработка рабочих за смену, различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей, типичной является выработка, равная 36 деталям.

Понятие мода относится не только к числовым данным. Модой могут служить те ответы, которые встречаются чаще всего при опросе людей. [1]


^ 5.1 Исследование по теме «Техника чтения школьников»


Анализ техники чтения учащихся в нашей школе

за последние пять лет (2003-2007)


В исследовании одни и те же классы в течение пяти лет. Техника чтения учащихся проверялась дважды в каждом учебном году. Важным критерием при проверке техники чтения является беглость, так как ученику, имеющему хороший навык беглого чтения, легче осваивать учебные дисциплины и добывать знания по предметам.

^ Результаты исследования:


Можно отметить, что большинство учащихся обладают сформированным навыком осознанного чтения вслух в определенном темпе; умеют читать выразительно, без ошибок; пересказывать текст и отвечать на вопросы по прочитанному.

Норму вычитывают около 62% процентов учащихся, выше нормы 16%, ниже нормы 21%. При скоростном чтении допускают ошибки примерно 37% учащихся.Мы заметили, что техника чтения в 6 и резко в ..7 классах падает и ниже нормы соответственно на 24% и 40%, увеличивается процент читающих хуже до 31% в 7 классах.


Класс

Год

Кол-во

учеников

Норма

Вы

ше нор

мы

Ни

же нор

мы

Стали лучше читать

Ста

ли

хуже читать

Читают

без ошибок

Понимают

прочитанное

на уровне сюжета

5

2003-2004

84

69%

22%

9%

35%

7%

79%

95%

6

2004-2005

85

68%

17%

15%

32%

9%

72%

94%

7

2005-2006

88

65%

16%

19%

31%

11%

69%

89%

8

2006-2007

90

66%

18%

16%

34%

4%

72%

95%

9

2007-2008

89

64%

23%

13%

39%

7%

75%

92%


Задание №1: Составьте упорядоченные ряды. Найдите медиану, моду.


Задание №2: Вычислите наибольшее и наименьшее значения, отклонения. Вычислите дисперсию (это можно будет выполнить, если будете читать дальше)


^

6.Наибольшее и наименьшее значение. Размах.



Иногда интересные не только средние значения или медианы, но и другие величины, связанные с наборами различных чисел.

Если мы хотим узнать, победил в прыжках в длине в соревнованиях класса, то выберем того, кто пробежал быстрее всех, т.е. показал наименьшее время.

Наибольшие и наименьшие значения часто интересуют нас в самых разных областях.

  • Определение. Разность между наибольшим и наименьшим числом называется размахом набора числа.


Мы узнали, что размах показывает, насколько велико рассеивание значений в числовом наборе.




^ 6.1. Исследовательская мини - задача из серии


«Школьная статистика»


Составьте упорядоченный набор чисел, вычислите среднее арифметическое, медиану, наибольшее и наименьшее значения, размах и моду, если учащиеся считают, что в учебе предпрофильная подготовка:





  • Помогает значительно-31%





  • Помогла, но не значительно-60%





  • Практически не помогла-9%



6.2.Упражнения.

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значение, размах, среднее значение и медиану набора чисел;

а) 12, 7, 25, 3, 19, 15; б) 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19.

2. В таблице 7 приведены данные о производстве зерновых в России в 1996-2002гг.

Таблица 1.

Производство зерна в России.

Показатель

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Производство зерновых, млн. т


69,3


88,6


47,9


54,7


65,5


85,2


86,6

Урожай зерновых, ц/га


14,9


17,8


12,9


14,4


15,6


19,4


19,6


Производство пшеницы, млн. т


34,9


44,3


27,0


31,0


34,5

47,0


57,7


По таблице 1 найдите наибольшее, значение и размах:

а) производство зерновых в 1996-2002 гг.;

б) производство пшеницы в 1996-2002 гг.;

в) урожайности зерновых в 1996-2002 гг. [1]


^ Из лекций наших выпускников:


Студент юридического факультета

При подсчете доходов россиян Правительственная (администрация) партия выберет среднее значение, а оппозиционная - значение медианы, так как для администрации выгодно использовать среднее значение, так как хочет показать доход россиян высоким, а оппозиционная - медиану, так как хочет показать реальные факты о доходах россиян.


^ Студент экономического факультета

Предположим, что шьется партия готовой одежды без снятия мерок. Для этого полезно знать средний размер группы людей, но важно знать и разброс их размеров. Зная вариацию можно рассчитать, как должны варьироваться изготовляемые размеры.


^ Студентка психологического факультета

В психологии меры центральной тенденции (среднее значение, медиана, мода) и меры вариативности ( размах, дисперсия, отклонения ) используются для обработки результатов исследования, тестов, для определения выборки и генеральной совокупности. Меры вариативности также называются мерами рассеивания и мерами изменчивости.

7. Отклонения

Попробуем узнать, как числа некоторого набора расположены по отношению к своему среднему арифметическому. Зная только размах, разность между наибольшим и наименьшим значением, мы не можем судить о том, как расположены числа в имеющемся наборе. Для примера возьмём набор 1, 6, 7, 9, 12. Вычислим среднее арифметическое: (1+6+7+9+12):5=7. Найдём отклонение каждого числа от среднего:

1 -7= - 6,

6 -7= - 1,

7 – 7 = 0,

9 – 7 = 2,

12 – 7 = 5.

Получился новый набор, который состоит из отклонений. Если число меньше среднего, то его отклонение отрицательного, если число больше среднего, то его отклонение положительно.

В одном случае – для числа 7, которое совпало со средним арифметическим, - отклонение равно нулю. По набору отклонений можно судить о том, насколько разнообразны числа в наборе.

Если отклонения малы, то числа в наборе расположены близко к среднему арифметическому. А если среди отклонений есть большие по модулю, то числа в наборе сильно разбросаны.

Для любого набора, если только не все числа в нём равны, часть отклонений будет положительно, а часть – отрицательна. При этом сумма всех отклонений равна 0. Убедимся в этом на нашем примере:

-6–1+0 +2+5=0

В этом состоит основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от среднего арифметического этих чисел равна нулю.


В этом пункте рассказывалось об отклонениях величины от среднего значения. Кроме того, мы узнали, что сумма всех отклонений в наборе от среднего равна нулю. [1]


8. Дисперсия.


Наиболее полной характеристикой разброса набора чисел является набор их отклонений от среднего арифметического. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.

Размах - слишком грубая мера разброса чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наибольшее и наименьшее. Можно попробовать взять «среднее отклонение». Но сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому среднее арифметическое отклонений тоже равно нулю и его нельзя использовать как меру разброса.

Чтобы судить о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а не от их знаков.

Чем больше отклонения чисел от среднего арифметического, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией.


  • Определение. Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется в статистике дисперсией набора чисел.


^ 8.1. Примеры и упражнения


Пример 1.

Покажем на простом примере, как дисперсия характеризует разброс наблюдений. Возьмём два набора чисел 1, 2, 3 и 0, 2, 4. Среднее арифметическое значение обоих наборов равно 2. Для обоих наборов вычислим отклонения и квадраты отклонений, и все данные занесём в таблицу.


1-й набор

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

2-й набор

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

1

-1

1

0

-2

4

2

0

0

2

0

0

3

1

1

4

2

4

Дисперсия первого набора: (1+0+1)=

Дисперсия второго набора: (4+0+4)=

Числа в первом наборе расположены более кучно – ближе друг к другу и к своему среднему,- чем числа во втором наборе. Поэтому дисперсия первого набора получилась меньше, чем второго.


Упражнения.

  1. Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из наборов. Дисперсия, какого набора больше?

а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3; б)2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.

  1. Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Сравните дисперсии:

а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8; б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18. [1]


^ 8.2. Исследовательский социологический мониторинг


Проведены в последние годы два массовых исследования старшеклассников: международное исследование PISA (Program for International Student Assessment, 2003) и Анализ результатов ЕГЭ, 2002-2004гг. Оба исследования позволяют выделить сформированность основных навыков грамотного чтения и грамотного читателя у старших школьников.

Выделим некоторые из них (в скобках указан процент школьников, имеющих соответствующий навык по PISA), далее в нашей школе:

- умение выделить главную мысль текста (71%),

(69 - 71%);

- умение находить заданную информацию в тексте (77 %),

(73 - 78%);

- понимание связности и последовательности событий (63%),

(81-90%).


Задача №1: Составьте два набора чисел. Вычислите отклонения от среднего и их квадраты.

^ Исследования PISA 2003



Школьные исследования


  • Умение выделить главную мысль теста




  • Умение находить заданную информацию в тесте




  • Понимание связности и последовательности событий




нет снижения


на том же уровне




выше




^ 9. Статистика вокруг нас


9.1. Эконометрика [2]

Расчет средней заработной платы

Говоря о средней зарплате, среднем доходе и других средних для конкретных экономических данных, подразумевают под "средним" среднее арифметическое. Такая традиция может приводить к ошибочным выводам.

Покажем это на примере расчета средней заработной платы (среднего дохода) работников условного предприятия (табл.1).


№ п/п

Категория работников

Число работников

Заработная плата

Суммарные доходы

1

Низкоквалифицированные рабочие

40

100

4000

2

Высококвалифицированные рабочие

30

200

6000

3

Инженеры и служащие

25

300

7500

4

Менеджеры

4

1000

4000

5

Генеральный директор

(Владелец)

1

18500

18500

6

Всего

100




40000


Первые три строки в табл.1 вряд ли требуют пояснений. Менеджеры - это директора по направлениям, а именно, по производству (главный инженер), по финансам, по маркетингу и сбыту, по персоналу (по кадрам). Владелец сам руководит предприятием в качестве генерального директора. В столбце "заработная плата" указаны доходы одного работника соответствующей категории, а в столбце "суммарные доходы" - доходы всех работников соответствующей категории.

Фонд оплаты труда составляет 40000 единиц, работников всего 100, следовательно, средняя заработная плата составляет 40000/100 = 400 единиц. Однако эта средняя арифметическая величина явно не соответствует интуитивному представлению о "средней зарплате". Из 100 работников лишь 5 имеют заработную плату, ее превышающую, а зарплата остальных 95 существенно меньше средней арифметической. Причина очевидна - заработная плата одного человека - генерального директора - превышает заработную плату 95 работников - низкоквалифицированных и высококвалифицированных рабочих, инженеров и служащих.

Ситуация напоминает описанную в известном рассказе о больнице, в которой 10 больных, из них у 9 температура 40 °С, а один уже отмучился, лежи в морге с температурой 0 °С. Между тем средняя температура по больнице равна 36 °С - лучше не бывает!

Сказанное показывает, что среднее арифметическое можно использовать лишь для достаточно однородных совокупностей (без больших выбросов в ту или иную сторону).

А какие средние использовать для описания заработной платы? Вполне естественно использовать медиану. Для данных табл.1 медиана - среднее арифметическое 50-го и 51-го работника, если их заработные платы расположены в порядке неубывания.

Сначала идут зарплаты 40 низкоквалифицированных рабочих, а затем - с 41-го до 70-го работника - заработные платы высококвалифицированных рабочих. Следовательно, медиана попадает именно на них и равна 200. У 50-ти работников заработная плата не превосходит 200, и у 50-ти - не менее 200, поэтому медиана показывает "центр", около которого группируется основная масса исследуемых величин.

Еще одна средняя величина - мода, наиболее часто встречающееся значение. В рассматриваемом случае это заработная плата низкоквалифицируемых рабочих, т.е. 100. Таким образом, для описания зарплаты имеем три средние величины - моду (100 единиц),

медиану (200 единиц)

и среднее арифметическое (400 единиц).

Для наблюдающихся в реальной жизни распределений доходов и заработной платы справедлива та же закономерность: мода меньше медианы, а медиана меньше среднего арифметического. [2]

http://www.aup.ru/books/m153/3_2.htm






    1. Линейный тренд температуры


Средняя по регионам РФ аномалия среднегодовой температуры воздуха

(отклонение от средней температуры базового периода)

Жирная кривая показывает 11-летнее скользящее среднее.


Показан линейный тренд температуры.

http://climate.mecom.ru/bulletins/2002/index.html





9.3. Анализ отклонения прибыли


  • При анализе валовой прибыли изучаются причины, вызывающие ее изменение, соответствующие факторы отражаются в отчете и позволяют принять корректирующие меры.


Причины отклонения прибыли:

  • Изменения в цене продажи и в затратах на единицу продукции.

  • Изменения в объеме продаж.

  • Изменения в ассортименте продаж.




  • Данные для согласования фактических операций с бюджетными значениями получаются на основе анализа изменений между фактическими и бюджетными операциями за текущий год, между фактическими операциями предыдущего года и соответствующими операциями текущего года. Могут рассматриваться изменения в валовой прибыли всей компании или выбранной продуктовой линии.

  • http://www.iteam.ru/publications/finances/section_11/article_3389/



9.4. Резюме:


Оценка «здоровья здорового человека»


Показатели ВРС у здоровых людей. Оценка «здоровья здорового человека».


  • Суммируются собственные наблюдения и результаты ряда работ, которые позволяют следующим образом сформулировать основные параметры ВРС, характерные для здорового человека. В таблицах 5-2 - 5-4 приведены показатели математического анализа ВРС, полученные при обследовании практически здоровых лиц молодого возраста. Учитывая, что распределение показателей ВРС отличается от нормального, все данные представлены в виде медианы и интерквантильного размаха. Интерквантильный размах указывается в виде 25% и 75% перцентилей.

  • http://www.neurosoft.ru/rus/product/book/hrv-2/chapter5.aspx



10. Заключение


Работая над темой реферата,

«Статистические характеристики на уроках алгебры», мы


  • изучили учебные пособия;

  • познакомились с материалами по нашей теме в Интернете, выполнили их отбор, проанализировали и обобщили;

  • заключили, что статистика - огромное поле смысложизненных ориентиров;

  • научились решать и создавать статистические задачи,

  • провели социологические исследования в школе;

  • познакомились с технологией исследования в математике, оформлять выводы и результаты;

  • научились наглядно представлять результаты исследования в виде таблиц, диаграмм;

  • провели презентацию реферата Статистические характеристики на уроке алгебры» на родительском собрании «Математика для родителей»;

  • создали фото - вернисаж с уроков алгебры по изучению статистических характеристик, выполненный на компьютере;

  • познакомили учащихся нашего класса с результатами исследования в статистике школы;

  • подготовили компьютерную презентацию реферата, сделанную в редакторе Microsoft Power Point;

  • выявили удивительное: неожиданно многое в жизни человека описывается статистическими характеристиками, да как интересно;

  • поняли, что изучать статистику необходимо и это нам пригодиться при обучении в вузе, а так же в выборе профессии;

  • сделали вывод из приложений и словаря, которые мы посмотрели в сети Интернет, что статистика тесно связана с непростыми математическими расчетами, которые нам еще предстоит преодолеть,

  • думаем, что знания, полученные при работе над данной темой, пригодятся нам в дальнейшей учебе и в жизни.

  • научились работать в команде, распределять обязанности, работать в сотрудничестве.

Наше математическое исследование это путешествие в глубины неизвестного и интересного в статистике. Задавая вопросы один за другим, главное не останавливаться, мы определяли направление пути исследования. Путей было много, направление выбирали сами. Мы открыли тайны большой и интересной науки статистики и математики.

Исследование наше не заканчивается. Возникают новые вопросы, есть желание вновь открывать научные сокровища и глубины математики.


^ 11. Список литературы.


1) Алгебра : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова); под ред. С. А. Теляковского. – 16-е изд. – М. : Просвещение,2007. – 240 с. : ил. – ISBN 978-5-09-016309-5

2) Теория вероятности и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.-256с., ил. ISBN 5-94057-161-1

3) А.И. Орлов. Эконометрика. Учебник. М.: Издательство "Экзамен", 2002. Глава 3. Основы теории измерений 3.2. Инвариантные алгоритмы и средние величины

4) Словари и энциклопедии на Академике [Электронный ресурс] / Медиана –16.02.2009 – Режим доступа : http://dic.academic.ru/dic.nsf/efremova/184948/Медиана

5) Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс] /Медиана– Электрон. дан. –16.02.2009. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Медиана_(статистика)_

6)Информационно-развлекательная социальная сеть http://nirvana.tomsk.ru/dictionary?id=9&word=%EC%E5%E4%E8%E0%ED%E0/

7) История возникновения медианы http://www.statsoft.ru/home/portal/glossary/glossarytwo/M%5CMedian.htm

8) Наибольшее и наименьшее значения функции http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/079/808.htm

9) Словари и энциклопедии по Академики http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/207574

10)Словарь. Яндекс. Размах. http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00064/79600.htm

11) Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс] Среднее значение http://ru.wikipedia.org/wiki/Среднее

12)Викизнание http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Среднее_значение


12. Приложение


^ 12.1 Словарь для тех, кто хочет знать больше


Взгляд в свое будущее


Среднее значение — числовая характеристика множества чисел или функций; — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений. (http://ru.wikipedia.org/wiki/Среднее)


^ Среднее значение или арифметическое среднее наиболее широко используется в статистике. Это одно значение может использоваться для представления некоторого набора данных. В этом случае среднее значение можно назвать "центром тяжести" этого набора. Среднее значение вычисляется следующим образом: складываются все значения выборки и результат делится на общее число значений. Например, сумма набора значений. (http://www.cyberguru.ru/programming/pascal/turbopascal-encyclopaedia2-page5.html)

^ Среднее значение — числовая характеристика множества чисел или числовых функций; — некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из их значений; а также множественно – значная характеристика совокупности множеств или сет-функций; — некоторое множество, содержащее пересечение и содержащееся в объединении этих множеств.

(http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Среднее_значение)


Медиана— в статистике - значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот или частостей. Сумма абсолютных величин линейных отклонений от медианы минимальна.…

http://dic.academic.ru/dic.nsf/efremova/184948/Медиана


Медиана - (термин был впервые введен Гальтоном, 1882) выборки - это значение, которое разбивает выборку на две равные части (при ранжировании). Половина наблюдений лежит ниже медианы, и половина наблюдений лежит выше медианы. Если число наблюдений в выборке нечетно, то медиана вычисляется как среднее двух средних значений.


МЕДИАНА - один из показателей центра распределения для порядковых и количественных переменных обозначается Ме. Представляет собой значение переменной, которое делит выборку пополам таким образом, чтобы для 50% объектов из выборки значения переменной не превосходили Ме, а для других 50% объектов - были не меньше, чем Ме.


Для небольшой выборки М. может быть найдена как середина ряда упорядоченных значений переменной (указываются все повторяющиеся значения). Например, в ряду из 9 значений 27 29 30 30 32 37 46 50 52 М. будет число 32, расположенное в центре ряда (Ме = 32).


Для выборки значительного размера М. можно найти как значение хi, соответствующее накопленной частоте Fi = 50% (см. Распределение частот). Если переменная является дискретной и ее значения повторяются, М. может быть найдена только приблизительно, по значению накопленной частоты, наиболее близкому к 50%. Например, при объеме выборки n = 120 М. будет соответствовать накопленная частота Fi = n/2 = 60. В приведенном ниже распределении наиболее близким к 60 значением накопленной частоты является F2 = 45, поэтому М. в данном случае будет соответствующее ей значение x2 = 2. Таким образом, Me ≈ 2 (балла).


^ Наибольшее и наименьшее значения функции - понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения. (http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/207574)

Наибольшее и наименьшее значения функции, понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x0 всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x0, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x0. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных. (http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/079/808.htm)

Дисперсия

(от лат. dispersio — рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д.

есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин xi от их среднего арифметического




Скачать 339.11 Kb.
оставить комментарий
Дата13.10.2011
Размер339.11 Kb.
ТипИсследование, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх