скачатьУрок №1ТЕМА: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЦЕЛЬ: повторить основные элементы комбинаторики; рассмотреть этапы развития теории вероятностей как науки. ФОРМА УРОКА: обзорная лекция. ОБОРУДОВАНИЕ: презентация «ver_Urok№1» в рамках проекта. ХОД УРОКА.
Устная работа. Основные элементы комбинаторики. СЛАЙД 1-2.
Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.
![]()
![]() Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т.е. ![]() Практическая работа. ^ Задача.1. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр? Решение: 1) ![]() 2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти ![]() 3) ![]() Задача.2. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три. Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются. ![]() Задача.3. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом? Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять. ![]() ![]() ![]() Задача.4. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать? Решение: ![]() Задача.5. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных. Решение: ![]() Белые шары ![]() Черных шаров ![]() Тогда ![]() В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается. Задача.6. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на 2 подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5, а во второй – не более 9 человек. Решение: Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4, либо из 5 человек. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача.7. Десять команд участвуют в разыгрывание первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может будут учитывать, если только положение первых трех и последних 2-х команд? Решение: 1-е три места может будут распределены: ![]() ![]() Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к. порядок выбывших команд не учитывается => ![]() Тогда число возможных результатов = ![]() Задача.8. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет вызван дважды и на занятии может будет опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен. Решение:
если только 2-х то ![]() Тогда он всего опросит ![]() III. Новый материал. Проект «Предмет теории вероятностей». ^ Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности можно разбить на следующие этапы. СЛАЙД 10.
^ СЛАЙД 12-13. К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. СЛАЙД 5. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности. ^ , в которой впервые была строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. СЛАЙД14. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности. ^ СЛАЙД 15. За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности. В теории вероятностей создалось положение, когда дальнейшее ее развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования. Это было осуществлено русской математической школой во главе с П. Л. Чебышевым. Среди ее крупнейших представителей мы видим А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а также происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова). Понятие вероятности получило большое распространение в естественных науках, в первую очередь это относится к физике. Появляются работы Максвелла, а затем Больцмана и Д. Гиббса. Их трудами создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей. Развитие теории вероятностей в начале ХХ в. привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ, в первую очередь понятия вероятности. Следует иметь в виду и то, что к началу ХХ в. аксиоматический метод стал проникать во многие области математики (работы Д. Гильберта, Пеано и др.), что также оказало влияние на теорию вероятностей. В результате всего этого возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия — вероятности. ^ начался с установления аксиоматики. СЛАЙД 16-17. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов. Первые работы этого периода связаны с именами С. Н, Бернштейна, Р. Мизеса, Э. Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы ХХ в. Анализ тенденций развития теории вероятностей позволил А. Н. Колмогорову создать общепринятую аксиоматику. В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки. Возникают самые различные определения вероятности, несводимые друг к другу. Многообразие определений основных понятий — существенная черта современной науки, и понятие вероятности не исключение. ^ СЛАЙД 18.
Решение: ![]()
Решение: ![]()
Решение: ![]() 4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать: а) двух дежурных, б) старосту и его заместителя?
|