Методический комплекс по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» icon

Методический комплекс по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»


Смотрите также:
Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств...
Задачи урока: Образовательные задачи: Закрепить знания обучающихся по теме: «Механика»...
Элективный курс по математике...
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный...
Оказалась для меня сложной...
Программа элективного курса профильной подготовки учащихся 11 классов решение уравнений и...
Урок лекция тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений...
Методическая разработка урока по предмету «Алгебра и начала анализа»...
Программа по математике для вступительных испытаний...
Программа по математике для вступительных испытаний проводимых вузом самостоятельно Новосибирск...
Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами»...
«Решение простейших тригонометрических неравенств, 10 класс 10. 02, 1 урок, каб. 207 Петрухина М...



Загрузка...
скачать


МОУСОШ с. Б-Лука

Алгебра и начало анализа 10 класс

Методический комплекс

по теме:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Разработала : учитель математики МОУСОШ с. Б-Лука Вадинского района Пилипенко Н.Ф.


План.

  • Методическое описание темы. 1-5 стр.

  • Конспекты уроков по теме (схема) 6-13 стр.

  • Содержание зачета по теории и методика его организации. 16-27 стр.

  • Проведение зачета практикума. 13-14 стр.

  • Конспект урока по углублениюзнаний и выработке навыков. 28-32 стр.

  • Текст контрольной работы. 15 стр.

  • Конспект урока-лекции. 16-22 стр.


При анализе изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», как и при изучении других тем, я придерживаюсь схемы анализа темы, которая предусматривает следующее:

  1. Отбор задач, требующих изучение определенного теоретического материала.

  2. Определение понятий, подлежащих изучению.

  3. Приложение изученных свойств к решению задач и упражнений.

  4. Трудные вопросы данной темы (что нужно повторить из ранее изученного, чтобы обеспечить усвоение темы).

  5. Связь данной темы с ранее изученным и значение ее для дальнейшего программного материала.

  6. Что должен знать и уметь каждый ученик после изучения данной темы.

  7. Степень освоения данной темы:

а) чтобы учащиеся знали, умели рассказать, объяснить основной материал темы и умели применять к решению задач;

б) умели решать задачи, аналогичные рассмотренным.

Несомненно, очень важно проводить самоанализ каждого урока, постоянно работая над тем, что следует изменить в методике изложения данного материала и как?

В результате изучения темы учащиеся должны знать теорему о корне, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулы решения простейших тригонометрических уравнений Sin x=a, Cos x=a,

tg x=a, уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные относительно одной из тригонометрических функций Sin x, Cos x, tg x, однородные уравнения первой и второй степени относительно Sin x, Сos x)

Анализ заданий, предлагаемых абитуриентам на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, ставят перед учителем задачу, научить решать тригонометрические уравнения других видов. Тем более в учебном пособии А.Н.Колмогорова «Алгебра и начала анализа» в теме «Примеры решения тригонометрических уравнений» виды уравнений не указываются, что затрудняет выбор способа решений уравнений.

При изучении указанной темы учащиеся чаще всего допускают ошибки:

а) при выборе дуги числовой окружности, когда решают неравенства;

б) вместо частных решений уравнений вида Gos t=+ 1, Cos t=o, Sin t=+ 1, Sin t=o записывают общие формулы решения уравнений;

в) при нахождении наименьшего положительного корня, наибольшего отрицательного корня, а также корней, принадлежащих данному промежутку.

Сложность усвоения вопроса, записанного выше (под буквой «в») обусловлено тем, что в учебнике даётся только одно такое задание. Хотя на выпускных экзаменах выносятся задания, подобные данным.

Работая в старших классах, я столкнулась с проблемой активизации познавательной деятельности учащихся. Игровой метод уже нельзя применять так широко, в отличие от среднего звена. Поэтому я несколько тем давала, используя блочный метод изучения, ознакомившись с ними на страницах журнала «Математика в школе». Чем этот метод мне стал интересен?

Есть возможность подготовить учащихся к лекционному изучению теоретического материала. На протяжении всей серии уроков повторяется самое главное из предыдущих тем, даются обобщения. Кроме того, учащиеся с первого урока понимают, для чего нужно изучать арксинус, арккосинус, арктангенс. Учащиеся видят общую картину изучаемой темы. Учатся решать не частные случаи уравнений, а различные виды уравнений, а также распознавать их. Но самое главное зачётная форма позволяет развивать самодисциплину, самоконтроль у учащихся. И даёт возможность освободить время для решения дополнительных заданий.


^ ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ:


  1. Блочное изучение теории и первичное закрепление- .




  1. Проведение зачёта по теории – 2ч.




  1. Проведение зачёта – практикума – 1ч.




  1. Уроки углубления знаний и выработки навыков – 5ч.




  1. Контрольная работа №3 – 1ч.


На первом уроке объясняю тему п. 8 «Арксинус, арккосинус, арктангенс».


    1. Доказательство теоремы о корне.

    2. Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа.

Значительное внимание уделяла объяснению, почему

3) Использовала исторический материал, сообщив учащимся, что современные обозначения появились в 1772г в работах венского математика Шерфера и известного французского учёного Лагранжа, хотя несколько ранее их рассматривал Бернулли, который употреблял иную символику. Приставка « арк » (латин.) arcus (лук,дуга) .

4) Первичное закрепление решением №116,121,122,123

5) Задание на дом: п.8 №117, часть заданий №121,122,123 повторить п.4 (чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций).

6) В оставшееся время, использую модель тригонометрического круга, мелом на единичной окружности отмечаем точки Рt для которых соответствующее значение t удовлетворяет данному равенству, т.е. решаются №118,119,120 (а,в). Если времени остаётся достаточно, то решаются все задания названных номеров.


На втором уроке:

    1. Проверяется домашнее задание (используя взаимопроверку учащихся, коллективную проверку). Это сопровождается небольшим шорохом и подвижностью учащихся, которые находят ошибки и объясняют, почему именно так, а не иначе. Чтобы не возникало лишнего шума, пишу на обратной стороне дополнительной доски верные ответы. Проверка укладывается в 2-3 минуты.

    2. Объяснение темы «Решение простейших тригонометрических уравнений» провожу методом беседы с использованием модели тригонометрического круга и плаката, вернее таблицы. На одной координатной плоскости построены графики функций у= Sinx и у=а. Непосредственно из рисунка видно, что при /а/ > 1 уравнение не имеет решений. Этот рисунок наглядно демонстрирует бесконечное множество решений уравнения.



При /а/ < 1 на отрезке уравнение имеет одно решение

x =arcsin a. На отрезке функция Sin убывает и принимает все значения от -1 до 1. По теореме о корне и на этом отрезке уравнение имеет один корень. Из рисунка видно, что этот корень есть число х = П – arcsin a.

Действительно, если вычислить

Sin x = Sin (П-arcsin a) = Sin ( П –х ), т.е.

Sin x = Sin(П –х )=а .

Учитывая, что период синуса равен 2П, получаем формулы для записи всех решений:

t = arcsin a +2 П n, t = П -arcsin a + 2Пn .

Удобно эти решения уравнения записывать не двумя, а одной формулой:


t= (-1)arcsin a + Пk, k Z.

Правомерность такой записи ребята проверяют подстановкой k=2n (чётное число) и k= 2n + 1 (нечётное число).

Если а =1, то числа arcsin a и П- arcsin a совпадают, поэтому решение уравнения принято записывать так

x= П/2+2Пn, n Z.

При a= -1, х=-П/2+ 2Пn, n Z. При а=0 х=Пn, n Z.


2) Аналогично рассматривается решение уравнения Cos x=a . Я давала для подготовки этот вопрос сильному ученику. Решение уравнения tgx=a

Я давала ребятам на самостоятельную работу с учеником, предварительно повторив свойства функции y=tgx (область определения, значений, промежутки возрастания). Затем разбирается пример 9, ctgx=- 3 .

3) для первичного закрепления на уроке решаются задания №136,138,140.

На дом: п.9 №137 (а,б), 139 (а,б), 141 (а,б) с обязательным пояснением. Как уравнения


привести к виду


На третьем уроке:

1) проверка домашнего задания и выяснения непонятных вопросов 2 или 3 минуты. На доске записано решение домашнего задания. Краткий анализ, кто и какие ошибки допустил. Учёт допущенных ошибок даёт направление, на какие вопросы больше составлять устных заданий. Устные упражнения решаются на последних 5 уроках. Иногда, если остаётся время, устные упражнения решаются и на уроках изучения теории.

2) Объяснение темы: «Решение простейших тригонометрических неравенств» целесообразно дать два способа решения:

1) графический

2) с помощью числовой окружности. Второй способ не требует построения синусоиды, а построение числовой окружности требует гораздо меньше времени. Однако 2-ой способ вызывает затруднения, когда выполнять обход против часовой стрелки.

1-ый способ решения ( графический)

Например решить неравенство Sin x<

  1. На одном и том же чертеже построили графики функции у= Sin x и у=



2) На чертеже отметим один из промежутков, в котором Sin x< , т.е. та часть графика функции у= Sin x, которая расположена ниже прямой у=

( на промежутке ВА), начиная от точки А .

3) Вычислим абсциссы точек А и В:

Sin x= ,

Найдём два частных решения этого уравнения на отрезке

если

если

Замечание:

а) если точка В окажется правее А , то берём =1

б) вычисление можно оформить и так А

^ 4) Запишем частное решение неравенства

5) Учитывая периодичность функции у= Sin x, записываем полное решение неравенства:

Ответ:


2-ой способ ( с помощью тригонометрического круга)

1) Начертить единичную окружность

2) Найти на ней точки, ординаты

которых равны

(провести прямую у=

3) Отметить точки, удовлетворяющие

данному неравенству, совершив

обход по часовой стрелке.

4) Чтобы убедиться, что дуга

отмечена верно, можно взять на

ней контрольную точку, хотя бы

х=0. Подставим в данное неравен-

ство Sin o < , т.е. о <

верно

5) Следующие шаги аналогичны в 1 способе с 3 по 5 . Ответ:


После рассмотрения решения неравенства Cos t < (пример 3) в учебнике, рассматривается решение неравенства tg x < 1.

Находим решения неравенства, принадлежащие промежутку ( )

Отмечаем на линии тангенсов число, равно 1. Затем точку А(1;1)

Соединяем с центром числовой окружности и находим точку пересечения с окружностью, точку Р . Множество таких точек- дуга , выделенная на рисунке (обратить внимание, что точка Р не принадлежит рассматриваемому промежутку).


Находим условие, при котором точка

Р принадлежит дуге ,

следовательно

. Значит t

удовлетворяет условию .

Учитывая периодичность тангенса,

получаем ответ:


В конце данного урока перед учащимися ставятся вопросы:

1) что из ранее изученного применяли при изучении темы «Решение простейших тригонометрических неравенств».

Учащиеся отвечают:

а) свойства тригонометрических функций;

б) арксинус, арккосинус, арктангенс числа;

в) решение тригонометрических уравнений (простейших).

  1. Как проверить, правильно ли выбрана дуга?

Ответ: надо взять на это дуге контрольную точку и подставить в неравенство.

На дом: №151-153 (в, г), №154 (б), №155 (б), №156 (а).

В классе для первичного закрепления решить задания №151-153 (а, б), №154 (а), №155 (а) .


Оставшиеся два часа на блочное изучение теории и первичное закрепление отвожу изучению темы «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений» читается лекция с привлечением учащихся (конспект занятия прилагается).

Следующие 2 часа- отводятся на проведение зачётов по теории. Суть зачёта в том, чтобы после него вес учащиеся были готовы к активному применению теории.

Затем урок зачёт – практикум. Домашнюю работу на этом уроке проверяла , собрав тетради пока они пишут зачётную работу. Зачёт – практикум отличается от контрольной работы тем, что даётся значительно большее количество примеров. В каждом номере по 3,4 примера. И обязательно даётся дополнительное задание более сложное. И ребятам представляется выбор заданий. Кроме того, сообщаю ребятам, что оценка будет выше, если вы решите по данному заданию из каждого номера, а не несколько из одного и того же номера. Я давала два варианта


1 вариант



  1. Вычислите:




  1. Решите уравнения:




  1. Решите уравнение:




  1. Решите неравенство:



2 вариант



  1. Вычислите:




  1. Решите уравнение:




  1. Решите уравнение:




  1. Решите неравенство:


Дополнительное задание:

а) Вычислите:


б) Решите уравнение:


в) Упростите:


г) Найдите все корни уравнения на отрезке


На первом уроке углубления знаний и выработки навыков подводим итог по зачету- практикуму и перед каждым учащимся ставлю конкретные проблемы, решив которые он сможет хорошо подготовиться к письменной контрольной работе. На этих оставшихся пяти уроках решаются задания, помещенные под чертой в учебном пособии. Тетради для домашних заданий по данной теме сдается на проверку. Учитель сможет по своему усмотрению распределить материал на этих уроках, в зависимости от степени усвоения его ученика.

(Конспект урока прилагается).


На последнем уроке выполняется контрольная работа в два варианта.

1 вариант 2 вариант


  1. Решите уравнение:




  1. Решите неравенство:




  1. Решите уравнение:




  1. Решите систему уравнений:



Особенности темы:

а) большой объем изучаемого материала;

б) множество тригонометрических формул;

в) задания, выполнение которых требует применение калькуляторов или таблиц;

г) четкое разделение приемов решения тригонометрических уравнений и неравенств.


Конспект

Урока- лекции.

Тема:


«Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.»

[ 2 часа]


Цель: 1) Научить учащихся решать тригонометрические уравнения.


2)Выработать умение распознавать приемы решения

тригонометрических уравнений и систем уравнений.


3)Совершенствовать навыки учащихся в изучении нового

материала лекционным методом.


План





  1. Вступление. (5 мин.)

  2. Приемы решения тригонометрических уравнений. (1- 3) (30 мин.)

  3. Минутка отдыха. (3 мин.)

  4. Приемы решения Тригонометрических уравнений. (4- 5) (30 мин.)

  5. Решение тригонометрических систем уравнений. (20 мин.)

  6. Домашнее задание. (2 мин.)



Сегодня два часа изучение темы «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.» Мы попытаемся с вами выделить некоторые приемы решения тригонометрических уравнений. Для этого, пожалуйста вспомните виды уравнения, которые изучали вами ранее. И приведем примеры таких уравнений

  1. линейное уравнение

  2. квадратное уравнение

  3. биквадратное

  4. уравнение третьей степени

  5. дробно- рациональное уравнение


Рассмотрим некоторые приемы решения тригонометрических уравнений.

  1. Уравнение, приводящиеся к алгебраическим с помощью основных формул.

  2. Уравнения, однородные относительно и .

То есть уравнение вида.


  1. Уравнения, решаемые понижением степени.

  2. Уравнение, вида

  3. Уравнение, решаемые преобразованием тригонометрических сумм в произведение.

  4. Уравнение, решаемые преобразованием произведений в сумму.

При этом указываю минимум решаемых уравнений на «3», «4» и «5».

Так, для получения «3» достаточно научиться решать уравнения первого, второго и третьего вида.

Ι Рассмотрим решение уравнений, приводимых к алгебраическим.

Возьмем примеры 1 и 2 из учебного пособия. При этом сразу делаю примечание. Если тригонометрическое уравнение целого вида содержит только синусы и косинусы, то О.Д.З. переменного – все множество действительных чисел, так как эти функции определены для любого действительного значения аргумента Поэтому при рассмотрении таких О.Д.З. переменного не устанавливаются.

А вот решение уравнений, приводящихся к виду

Левая часть которых является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, обязательно сопровождается нахождения О.Д.З. переменной. Так как произведение обращается в нуль, если хотя бы один из множителей равен нулю, но ни один из остальных не должен терять числового смысла О.Д.З. следует находить и в тех уравнениях, в которых встречаются

ΙΙ Понятие однородных уравнений.

Уравнение, в которых каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным данной степени (первой или второй. Решается пример 4 из учебного пособия.

Значения x, при которых , не являются решениями этого уравнения, так как если , то должно выполняться равенство , а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению

откуда и


ΙΙΙ Уравнение решаемые понижением степени.

Выведение формул понижения степени давались учащимся на дом.


Пример.


^

ΙΥ Уравнение, вида


Пример:


Получили однородное уравнение, решение которого уже рассматривали.


Υ Уравнение решаемые преобразованием тригонометрических сумм в произведение.

Учащимся уже известны формулы суммы и разности синусов ( косинусов). Посмотреть их они могут на форзаце учебника. А их применение мы рассмотрим на примере.


ΥІ Уравнения, решаемые преобразованием произведения в сумму.

Вывод формул дается предварительно нескольким учащимся. В классе записываются окончательные формулы один из учащихся. Остальные контролируют, верно ли выведены формулы. Если есть разногласия, то выполняется и вывод формул.


Учащимся для вывода указываются исходные формулы сложения (стр.7 учебного пособия)

Пример:


Далее рассматривается решение системы уравнений. Напоминается учащимся, что значит решить систему. То есть найти значение переменных удовлетворяющих оба уравнения.


Решаем второе уравнение системы:


Ответ:

Задание на дом: п. 11, записи в тетрадях.

Решение уравнений не задавала , так как, на мой взгляд, много теоретического материала записано в тетрадях, и рассмотреть нужно все примеры п. 11.

Сильных учащихся можно попросить пр.5 из учебного пособия привести к виду 4.


Методика

проведения

зачета по теории.


Тема:


«Решение тригонометрических уравнений и неравенств.»


[2 часа.]


На проведение зачета по теории отводятся 2 часа. Суть зачета в том, чтобы после него все учащиеся были готовы к активному применению теории. Предварительно определяю объем обязательных знаний, т.е. получение оценки «3» или зачтено. Что же входит в объем обязательных знаний?

Формулировка теоремы о корне (без доказательства); определение арксинуса, арккосинуса; формулы решения простейших тригонометрических уравнений (без вывода), в том числе и частные решения; уметь объяснять решение простейших тригонометрических неравенств и приемы решения тригонометрических уравнений (определение однородных уравнений, формулы, применяемые для понижения степени).

На первом уроке зачета по теории сначала вызывают 2 или 3 учащихся, которые с интересом занимаются математикой. Ребята сами задают им вопросы, а они отвечают. Можно спросить непонятные им моменты и получить консультацию. На этот опрос уходит 15-20 минут. Можно задать и такие вопросы: как будет отвечающий у доски решать то или иное задание. Например: решить уравнение 4Sin x + 11Sin x – 3=0 или 3Sin x + Sin x Cos x =2Cos x. Ученик только объясняет ход решения, но не решает. Затем (15-20 минут) учащиеся, разделившись на группы, одному из лидеров отвечают на вопросы, выносимые на зачет. Лидер должен дать оценку «зачет» или «незачет». И затем учитель в оставшееся время на первом занятии вызывает для ответа тех, кто занимается слабее и медленнее усваивает изучаемое. В конце урока подводится итог первой части зачета, учитывается мнение и учащихся, отмечаются недостатки. Ну, как правило, с этой частью зачета по теории учащиеся справляются успешно. Потому что многократное повторение обеспечивает правильное понимание теории всеми и знание ее в мере, необходимой для выработки умений и навыков.

Второй зачетный урок должен подготовить учащихся к уроку-практикуму, который в свою очередь служит подготовкой к проведению уроков углубления знаний. На лоске записываются вопросы, разбитые на группы.


^ Для «сильных» учащихся.


I группа. Доказать теорему о корне.

II группа. 1) Понятие арккосинуса.

2) Понятие арксинуса.

3) Понятие арктангенса.

III группа. Вывести формулу корней уравнения:

    1. Cos x = a; 2) Sin x = a; 3) tg x = a;

IV группа. Описать решение неравенства:

  1. Sin t < 0,5; 2) Cos t > 0,5; 3) tg t < 1;

V группа. 1) Формулы, используемые для преобразования суммы в произведение.

2) Формулы, используемые для преобразования произведения в сумму (можно с выводом).

3) Приведите примеры однородных уравнений первой и второй степени относительно Sin x и Cos x.

4)Запишите формулы, используемые для понижения степени уравнения.


Чтобы получить «5», надо из каждой группы выбрать по одному вопросу и ответить на них письменно. Чтобы получить «4», - ответить на 4 выбранных вопроса. Те, кто не пожелали повысить оценку за знание теоретического материала, кого удовлетворило «зачтено», то есть «3», на предыдущем уроке, решали задание, готовясь к зачету по практике. Сдающие зачет сели по одному человеку за парту, другие группами. Задание для них брала из дидактического материала. I вариант С – 13(1), С – 14(а,б,в), С – 16. Решают самостоятельно с последующей проверкой на доске и у доски. Те, кто заканчивал отвечать по теории, присоединялся к нам. Можно разрешить ученикам выбирать из учебника наиболее интересные для них примеры.


Задание на дом: № 124, 125 (устно), № 126 (а, б), 127 (а, б), 138 (в, г), 141 (в), 154 (г), 155 (г), решать все не обязательно, достаточно любые три номера.





Скачать 157,96 Kb.
оставить комментарий
Пилипенко Н.Ф
Дата27.09.2011
Размер157,96 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх