Попов А. М. Лекции по линейной алгебре icon

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Контрольная работа по линейной алгебре II...
Матрицы
Технологии трансляции...
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Text] : учебное пособие / ред. Ю. М...
Методика обучения алгебре, алгебре и началам анализа в средней школе пенза 2008...
Александр Попов...
«Анализ модели множественной линейной регрессии»...
Тодор Попов, кмет на Пазарджик: Да не хленчим, а да си вършим работата...
Критерии оценки качества лекции...
План лекции. Зачем нужны текстуры? Пример линейной закраски треугольников...
Методические указания по эксплуатации газового хозяйства тепловых электростанций со 34. 20...
Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной алгебры)...



Загрузка...
страницы: 1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19
вернуться в начало
скачать

АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ




    1. 10.1. Построение алгебры многочленов.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Многочленом с коэффициентами в поле Р

будем называть бесконечную строчку (0,1,2,3,…), где все компоненты 0,1,2,3,… P и почти все i (то есть все, за исключением конечного числа) равны 0. Множество многочленов будем обозначать P[x].

I. Определим на множестве P[x] операции:

пусть для f = (0,1,2,…), g = (0, 1, 2,…) P[x], P по определению f = (0, 1, 2,…),

f + g = (0 +0, 1 +1, 2 +2,…), fg =(0, 1, 2,…), где

0 =00 , 1 = 01+10 , 2 =02+11 +20 , и k 0 k =0k+1k-1+2k-2 + …+k0 = =. Очевидно, у строчек f, f + g , fg также почти все компоненты равны нулю, то есть f, f + g , fg содержатся в P[x].

II. Легко проверить, что для определенных нами операций выполнены свойства АКУ-кольца (см. Лекцию 11):

  1. (f + g) + h = f + (g + h) f, g, h P[x],

  2.  элемент 0Р[x] P[x], 0Р[x] = (0,0,0,…) такой, что 0Р[x]+ f = f + 0Р[x] = f f P[x],

  3. f P[x] элемент - f P[x] такой, что (- f)+f = 0Р[x],

  4. f + g = g + f f, g P[x],

  5. (fg)h = f(gh) f, g, h P[x],

  6.  элемент 1Р[x] P[x], 1Р[x] = (1,0,0,…) такой, что

1Р[x]f = f1Р[x] = f f P[x],

8. fg = g f f, g P[x],

9. (f + g)h = fh +gh f, g, h P[x],

а также выполнены свойства линейного пространства:

v. (f+g) = f+g f, g P[x],  P,

vi. (+)f = f+ f f P[x], , P,

vii. ()f = ( f) f P[x], , P,

viii. 1f = f f P[x],

и свойство (fg) = (f)g = f(g) f, g P[x],  P.

Проверим, например, свойство 5. Пусть f = (0,1,2,…), g = (0, 1, 2,…), h = (0, 1, 2,…), fg =(0, 1, 2,…). Тогда к =, и s компонента строчки (fg)h равна

=, то есть совпадает с s компонентой строчки f(gh) s. Отсюда (fg)h = f(gh).

Упражнение. Доказать остальные свойства.

Таким образом, мы получаем, что P[x] является АКУ-кольцом, линейным пространством и алгеброй над полем Р

(см. Лекцию 18, п.9.1).

Определение. Пусть f = (0,1,2,…), и k 0, а при m k все m = 0. Тогда мы будем говорить, что степень многочлена f равна k и писать ст.f = k или deg.f = k. Будем считать по определению, что ст.0Р[x] = - .

Обозначим многочлен (0,1,0,0,0,…) через х. Тогда легко проверить, что х2=(0,0,1,0,0,…), х3= (0,0,0,1,0,…),…, и значит, f = (0,1,2,…)= (0,0,0,0,…)+(0,1,0,0,…)+(0,0,2,0,…)+…=

= 0(1,0,0,0,…) + 1(0,1,0,0,…) + 2(0,0,1 ,0,…) + …= 01Р[x]+ +1х +2х2+… Если в этом выражении не писать нулевые слагаемые и множитель 1Р[x], то f = 0 + 1х + 2х2+ …+kхk, где k = ст.f.

Теорема. ст.(fg) = ст.f + ст.g.

Доказательство. Если f = 0Р[x] или g = 0Р[x] , то левая и правая части равенства равны -, и утверждение теоремы верно. Если же ст.f 0, f=kхk + k-1хk-1+…+ 1х + 0, k 0, ст.g 0, g= mхm + m-1хm-1+…+ 1х + 0 , m 0, то

fg = kmхk+m+…, и km 0 ст.(fg) = k + m = ст.f + ст.g.



Следствие. В кольце Р[x] нет делителей нуля.

При построении кольца многочленов вместо поля Р можно аналогичным образом использовать произвольное АКУ-кольцо А. В этом случае мы получим АКУ-кольцо многочленов А[x] с коэффициентами в кольце А. Так, например, если А = Z, то мы получим кольцо многочленов Z[x] с целыми коэффициентами. Если А = Р[x1], то кольцо А[x2] = Р[x1][x2] = =Р[x1,x2] – это кольцо многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле Р.

Замечания.

1. Легко видеть, что кольца Р[x1][x2] и Р2][x1] – изоморфны (определение изоморфизма для колец такое же, как и для полей – см. Лекцию 12, 6.5).

2. Аналогичным образом п строится кольцо многочленов от п переменных P[x1,…,xn] с коэффициентами в поле Р.

Далее мы будем рассматривать кольцо многочленов Р[x]

с коэффициентами в некотором поле Р.

Когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать нейтральные элементы кольца Р[х] через 0 и 1.

    1. ^ 10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

Теорема 1. В кольце P[x] деление с остатком существует и единственно, то есть f(x), g(x) P[x], g(x) 0, единственная пара q(x), r(x) P[x] такая, что f(x) = g(x)q(x)+ r(x) и ст.r(x) ст.g(x). (r(x) называется остатком от деления f на g).

Доказательство существования деления индукцией по степени многочлена f.

Пусть f = kхk + k-1хk-1 +…+ 1х + 0,

g = mхm + m-1хm-1 +…+ 1х + 0 .

1. Если ст.f ст.g, то f = g0+ f, то есть q, r существуют, q= 0, r = f.

2. Если ст.f ст.g, то рассмотрим f1 = f - k(m)-1 x k-mg. Очевидно, ст.f1 ст.f, и по предположению индукции можно считать, что для f1 и g утверждение верно, то есть q1, r1 P[x] такие, что f1 = gq1 + r1 , и ст.r1 ст.g. Но тогда

f = f1 + k(m)-1x k-mg = gq1 + r1 + k(m)-1x k-mg =

= g(q1+k(m)-1x k-m)+r1= gq + r, где q = q1+k(m)-1x k-m, r = r1,

и ст.r1 ст.g. Таким образом, существование деления с остатком в P[x] доказано.

Докажем единственность. Пусть f = gq + r = gq1 + r1, и ст.r ст.g, ст.r1 ст.g. Тогда g(qq1)= r1 - r, и если q q1, то ст.g(qq1) ст.g, а ст.(r1r) ст.g - противоречие. Значит, q = q1, r = r1. Это и означает единственность деления с остатком в P[x].



Теорема Безу. Пусть f P[x], a P. Если rостаток от деления многочлена f на (х – а), то r = f(a).

Доказательство. Пусть f =(xa)q +r, ст.r ст.(х – а)=1 r P, и при х = а f(а) =(а – a)q(а) +r r = f(а).

Следствия.

1. Если многочлен f(x) имеет корень а, то есть f(a) = 0, то (х – а) | f(a), f(x) = (х – а)g(x).

2. Если многочлен f(x) имеет различные корни а1,а2,…, аk, то f(x) = (х – а1)(х – а2)… (х – аk)h(x).

Доказательство. В самом деле, если f(x) имеет корень а1, то f(x) = (х – а1)f1(x). Далее, если f2) = 0, то

f2) = (а2 – а1)f12) = 0 f12) = 0 f1(x) = (х – а2)f2(x) f(x) = (х – а1)(х – а2) f2(x). И так далее.

3. Если f(x) имеет k различных корней, то k ст.f.


Лекция 21.


^ 10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.

Определение. Многочлен F называется кратным многочлена f, если f |F. Многочлен F называется общим кратным многочленов f и g, если f |F, g |F. Многочлен т называется наименьшим общим кратным многочленов f и g, если т 0 и т имеет наименьшую степень среди всех общих кратных.

Очевидно, fgобщее кратное для f и g, то есть общие

кратные для f и g существуют, а следовательно, существуют и наименьшие общие кратные.

Теорема. Если М - общее кратное для f и g, а т - наименьшее общее кратное, то т | M.

Доказательство. Разделим М на т с остатком: М=тq+ r, и ст.r ст.т r = Mmq , и так как f и g делят правую часть равенства, то f | r, g |r, то есть r – общее кратное для f и g. Но т – наименьшее общее кратное для f и g, а ст.r ст.т r = 0 т | M.



Следствие. Если т1 и т2 наименьшие общие кратные для f и g, то т1|т2 и т2|т1 т2 = aт1, т1 = bт2 т2 = abт2 т2(1 – ab) = 0 1 – ab = 0 ab = 1 a, b P. Следовательно, любые два наименьших общих кратных для f и g

отличаются на ненулевой множитель из Р. Наоборот, если т – наименьшее общее кратное для f и g , то а Р, а 0, ат - также наименьшее общее кратное для f и g, и значит, {am Р, а 0} – множество всех наименьших общих кратных для f и g.

Определения.

1. Многочлен D называется наибольшим общим делителем многочленов f и g , если D имеет наибольшую степень среди всех общих делителей f и g.

2. Многочлены f и g называются взаимно простыми, если 1 является их наибольшим общим делителем.

Теорема. 1) Если т – наименьшее общее кратное для f и g, то D =(fg)/m – их наибольший общий делитель. 2) Если d - общий делитель многочленов f и g, а Dих наибольший общий делитель, то d |D.

Доказательство. Очевидно, D | f, так как f / D = m /g = =hP[x]. Аналогично, D | g. Следовательно, D - общий делитель для f и g. Если d – произвольный общий делитель для f и g , то M = (fg)/d – общее кратное для f и g , так как М / f = = g / d P[x] и аналогично М / g P[x]. По предыдущей теореме т | M, то есть М = qm (fg)/d = q(fg) / D D =qd d |D ст.D ст.d D – наибольший общий делитель для f и g.

Теперь если Dпроизвольный наибольший общий делитель многочленов f и g, то ст.D = ст.D, и D|D D = aD, а Р d |D.



Следствия.

1. Если D – наибольший общий делитель многочленов f

и g, то {aD | a P, a 0} – множество всех наибольших общих делителей многочленов f и g .

2. Если f и g – взаимно простые многочлены, то fg является их наименьшим общим кратным.

Определение. Пусть т, п N. Разделить т на п с остатком – это найти такие q и r, что m = nq + r, 0 r n .

Замечание. Для множества N натуральных чисел можно дать определения, аналогичные определениям из 10.3 и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3.

Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3, для N.

    1. ^ 10.4. Алгоритм Евклида.

Пусть f, g P[x], g 0. Разделим f на g с остатком и обозначим остаток r1. Далее разделим g на r1 c остатком и обозначим остаток r2. Затем разделим r1 на r2 c остатком и обозначим остаток r3 и т.д. Описанная процедура называется алгоритмом Евклида. Запишем её в следующую таблицу:

f = gq1 + r1, ст.r1 ст.g,

g = r1q2 + r2, ст.r2 ст.r1,

r1= r2q3 + r3, ст.r3 ст.r2,

……………………………… Так как ст.g ст.r1 ст.r2 -,

то процедура закончится за конечное число шагов:

rk-3= rk-2qk-1 + rk-1, ст.rk-1 ст.rk-2,

rk-2= rk-1qk + rk, ст.rk ст.rk-1,

rk-1= rkqk+1, то есть rk+1 = 0.

Лемма. Множество делителей для f и g совпадает с множеством делителей для g и r1.

Доказательство. Очевидно, если многочлен d | f , d | g , то d | g , d | r1, так как r1= fgq1. Наоборот, если d | g , d | r1, то d | f , d | g.



Следствия.

1. Множество делителей для f и g совпадает с множеством делителей для r1 и r2 , с множеством делителей для r2 и r3 , …, с множеством делителей для rk-1 и rk , с множеством делителей для rk .

2. Множество наибольших общих делителей для f и g совпадает с множеством наибольших общих делителей для rk, то есть rk - один из наибольших общих делителей для f и g.

Таким образом, алгоритм Евклида служит для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.

Обозначим наибольший общий делитель rk для f и g через D, и выразим его из предпоследней строки алгоритма Евклида: D= rk= rk-2rk-1qk. Затем поднимемся на одну строку вверх, выразим rk-1 через rk-3 и rk-2 и подставим это выражение в нашу формулу для D. Получим D = и1rk-3+v1rk-2 для некоторых и1, v1 P[x]. Далее поднимемся ещё на одну строку вверх, выразим rk-2 через rk-4 и rk-3 и снова подставим это выражение в нашу формулу для D. Получим D= и2rk-4+v2rk-3 для некоторых и2, v2 P[x]. И так далее. В конце концов получим выражение D через f и g : D= uf + vg, где u, v P[x].

Таким образом, в качестве следствия из алгоритма Евклида доказано следующее

Утверждение 1. Если D - наибольший общий делитель для f, g P[x], то u, v P[x] такие, что D = uf + vg .

Утверждение 2. В выражении D = uf + vg можно выбрать u, v так, что ст.и ст.g, ст.v ст.f.

Доказательство. Разделим и на g c остатком: и= gq+ r1, ст. r1 ст.g. Тогда

D = uf + vg = (gq + r1) f + vg =r1f + (qf+ v)g = r1f + vg , где v= (qf+ v), и ст.(vg) ст.(r1f) ст.v ст.f.



Упражнение. Написать алгоритм Евклида для N, сформулировать и доказать для N утверждения, аналогичные лемме, следствиям и утверждениям из 10.4.

^ 10.5. Однозначность разложения на простые множители в P[x] и в N.

Определение. Элемент р кольца K называется простым, если из разложения р = rs, r, s K, следует, что или r |1 или s |1. В кольце P[x] простые многочлены называют ещё неприводимыми многочленами.

Определение. Говорят, что в кольце К разложение на простые множители квазиоднозначно, если а K, а 0, из существования разложений на простые множители

а = р1р2…рk = q1q2qs (где все рi , qj простые элементы кольца K) следует, что k = s, и, может быть, после перенумерации мы можем получить р i = q ic i i, где c i | 1.

Теорема. В кольце P[x] разложение на простые многочлены существует.

Доказательство от противного. Пусть в P[x] разложение

на простые многочлены не существует. Значит, f P[x], для которого не существует разложение на простые многочлены. Следовательно, f – не простой (иначе разложение на простые многочлены для f существует и состоит из одного множителя). Если f – не простой, то f = а1а2 , где а1, а2 P[x], ст.а1 0, ст.а2 0, и либо для а1, либо для а2 разложение на простые множители не существует. Пусть не существует разложение на простые многочлены для а1. Очевидно,

ст.f ст.а1, и а1 - не простой а1 = b1b2 , где b1, b2 P[x], ст.b1 0, ст.b2 0, и либо для b1, либо для b2 разложение на простые множители не существует. Пусть не существует для b1 ст.a1 ст.b1, и b1 - не простой b1 = c1c2 и т.д. С одной стороны процесс никогда не закончится, а с другой стороны ст.f ст.а1 ст.b1…, и процесс до бесконечности продолжаться не может. Получили противоречие.



Лемма. Пусть h и f - взаимно простые, и h | (fg). Тогда h | g.

Доказательство. Так как h и f - взаимно простые, то hf является их наименьшим общим кратным, а fg - их общее кратное по условию леммы. По теореме из 10.3 (hf) |(fg), то есть h | g.



Теорема. В кольце P[x] разложение на простые многочлены квазиоднозначно.

Доказательство. Пусть для некоторого f P[x] имеем

разложения f = р1р2…рk = q1q2qs (где все рi , qj простые многочлены кольца P[x]). Очевидно, р1| q1(q2qs), и если р1 и q1 взаимно простые многочлены, то по лемме р1| (q2qs). Аналогично, если р1 и q2 взаимно простые, то р1| (q3qs), и т.д. В конце концов мы получим, что существует i такое, что р1 и qi не взаимно простые, то есть qi = с1р1, с1 P. Сократив равенство р1р2…рk = q1q2qs на р1, получим

р2…рk = с1q1q2qs (крышка над qi означает, что множи-

тель qi отсутствует). Далее переходим к р2. Как и ранее, получим, что для р2 существует qj такой, что qj = с2р2, с2 P. Опять сокращаем равенство на р2 и переходим к р3, и т.д. После сокращения на все левые множители р1, р2,…, рk, получим, что k = s и 1 = с1с2…сk .



Упражнение. Сформулировать и доказать существование и однозначность разложения на простые множители в N.


Лекция 22.





оставить комментарий
страница8/19
Дата12.10.2011
Размер3,5 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19
плохо
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх