Попов А. М. Лекции по линейной алгебре icon

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Контрольная работа по линейной алгебре II...
Матрицы
Технологии трансляции...
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Text] : учебное пособие / ред. Ю. М...
Методика обучения алгебре, алгебре и началам анализа в средней школе пенза 2008...
Александр Попов...
«Анализ модели множественной линейной регрессии»...
Тодор Попов, кмет на Пазарджик: Да не хленчим, а да си вършим работата...
Критерии оценки качества лекции...
План лекции. Зачем нужны текстуры? Пример линейной закраски треугольников...
Методические указания по эксплуатации газового хозяйства тепловых электростанций со 34. 20...
Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной алгебры)...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
вернуться в начало
скачать

7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА


7.1. Определения, примеры.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Множество L называется линейным (или векторным) пространством над полем Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть a, b L определен результат операции

a+bL, и aL, P определен результат операции aL, и

II. для этих операций выполнены 8 свойств:

1. (a + b)+ c = a + (b + c) a, b, c L.

2. элемент 0L L такой, что a + 0L= 0L +a = a a L.

0L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

3. a L элемент a L такой, что a + a = a + a = 0L .

a называется элементом, противо­положным к a и обозначается -a.

4. a + b = b + a a, b L,

5. (a+b) = a + b a, b L P,

6. (+) a = a+ a, a L , P,

7. () a = ( a) a L , P,

8. 1P a = a a L.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций , то

= {+,-(.), 0L ,|P }.

Определение. Подмножество L1 L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций .

Упражнения.

1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L1 выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть a, b L1 a + b L1; aL1, P aL1 ; 0L L1.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.

Примеры линейных пространств.

1. Поле Р является линейным пространством над Р.

2. Поле является линейным пространством над любым своим подполем.

3. Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.

4. Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.

5. Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р является линейным пространством над Р.

Упражнения.

1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

2. Доказать, что в линейном пространстве L  0L=0L P,

0Pa = 0L , (-1)a = - a aL.

Утверждение. Множество L = Р n ={(1,…,n)| все iP} является линейным пространством над полем Р.

Доказательство. I. Пусть по определению для элементов из Р n (1,…,n)+ (1,…, n)= (1+1,…,n+ n),

(1,…,n)= (1,…, n).

II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

((1,…,n)+(1,…, n))+(1,…, n)=((1+1)+1,…,(n+ n)+ +n)= (1+(1+1),…,n+( n+n)) =(1,…,n)+((1,…, n) + +(1,…, n)).

2. Очевидно, (1,…,n)+(0,…,0)= (0,…,0) + (1,…,n) =

= (1,…,n) (1,…,n) Р n. То есть (0,…,0)= - в Р n существует нейтрал по сложению.

3. Очевидно, (1,…,n)+ (-1,…,-n)= (0,…,0), то есть в Р n

(1,…,n) существует противоположный элемент.

Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения линейного пространства.

Определения.

1. Пусть элементы a1,…,ak L, 1,…,k Р. Выражение 1a1+…+kak называется линейной комбинацией элементов a1,…,ak.

2. Говорят, что элементы a1,…,ak L линейно зависимы, если существуют 1,…,k Р, не все равные нулю, такие, что 1a1+…+kak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства 1a1+…+kak = 0L следует, что все i = 0.

3. Говорят, что размерность линейного пространства L равна

п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а

любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства ^ L будем обозначать dim L.

4. Говорят, что размерность линейного пространства L бесконечна, если в L п существуют п линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.

^ 7.2. Теоремы о базисах.

Теорема 1. Пусть е1,…,епбазис линейного пространства L. Тогда любой вектор а L однозначно выражается через базис в виде а = 1е1+…+пеп для некоторых 1,…,п Р.

Доказательство. Пусть а L. Так как dim L = п, то п+1 векторов а,е1,…,еп линейно зависимы, то есть ,1,…,пР, не все равные нулю, такие, что а +1е1+…+пеп=0L , причем 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. Тогда а= -11е1+…+ -1пеп=1е1+…+пеп, где 1= -11,…, п = -1п .

Докажем однозначность. Пусть а = 1е1+…+пеп =

=1е1+…+пеп (1 -11+…+(п -пп= 0L 1 - 1 =0,…, п -п= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы

1 = 1 ,…, п = п – это и означает однозначность.



Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,ептакая система векторов в L, что любой вектор а L однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = 1е1+…+пеп для некоторых

1,…,п Р. Тогда е1,…,епбазис линейного пространства L.

Доказательство. 1. е1,…,еплинейно независимая система векторов в L, так как если 1е1 +…+пеп = 0L =

= 0е1 +…+ 0еп , то из однозначности 1= 0,…,п = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.

2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.

Пусть а1,…,ап+1 L. Тогда а1 = 11е1+…+1пеп ,…,

ап+1 =п+1,1е1+…+п+1,пеп . Покажем, что существуют

х1,…,хп+1 Р, не все равные нулю, такие, что

х1а1+…+хп+1а п+1 = 0. Но х1а1+…+хп+1а п+1 =

= (11 х1+…+п+1,1хп+11+…+(1п х1+…+п+1,пхп+1п , и однородная система п уравнений с п+1 неизвестным

имеет ненулевое решение (см.^ 4.3).

Таким образом, dim L = n, и е1,…,епбазис в L.



Теорема 3. Если е1,…,епбазис линейного пространства L, то е1,…,еп максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.

Доказательство. Так как е1,…,епбазис, то dim L = n, и из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.



Теорема 4 (обратная). Если е1,…,епмаксимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп базис линейного пространства L.

Доказательство. Пусть а L. Так как п +1 векторов

а, е1,…,еп линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е1,…,еп . Из линейной независимости векторов е1,…,еп , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп базис линейного пространства L.



Теорема 5. dim P n = n.

Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,

еn =(0,0,0,…,1). Тогда (1,2,…,n) Р n

(1,2,…,n)= (1,0,…,0)+ (0,2,…,0)+ …+(0,0,…,n)=

=1(1,0,…,0)+ 2(0,1,…,0)+ …+n(0,0,…,1)= 1е1 +…+пеп и это представление однозначно. Значит, по Теореме 2 е1,…,еп базис в P n, и dim P n = n.



Лекция 14.


Теорема 6. Любую линейно независимую систему векторов в пространстве L можно дополнить до базиса L.

Доказательство. Пусть а1,…,аkлинейно независимая система векторов в L. Если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk базис линейного пространства L по Теореме 4. Если это не максимальная линейно независимая система векторов, то существует некоторый вектор аk+1 такой, что а1,…,аk k+1 - линейно независимая система векторов в L. Опять, если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk+1 базис линейного пространства L, а если не максимальная, то добавляем вектор аk+2 и т.д. пока не получим максимальную линейно независимую систему векторов, то есть базис.



Пусть е1,…,еп базис линейного пространства L и хL. Тогда х = х1е1 +…+хпеп , и набор 1,…,хп) называется координатами вектора х в базисе е1,…,еп .

Упражнение. Доказать, что если 1,…,хп) координаты вектора х, а 1,…,уп) координаты вектора у в базисе е1,…,еп , то координатами вектора х+у будет набор 11,…,хпп), а координатами вектора х, Р, будет набор ( х1,…, хп).

^ 7.3. Изоморфизм линейных пространств.

Определение. Отображение : L1 L2 линейных пространств над полем Р называется изоморфизмом линейных пространств, если

  1.  - биекция,

  2.  - линейное отображение линейных пространств, то есть (х+у)= х + у, ( х) = х х,уL1, Р.

Тот факт, что линейные пространства L1 и L2 изоморфны, обозначают L1 L2 .

Упражнение. Доказать, что если :L1 L2 - изоморфизм линейных пространств, то (0L)= 0L, (- a)=- (a) a L1.

Утверждение. Если L1 L2 , то L2 L1 (это симметричность изоморфизма).

Доказательство. Пусть отображение :L1 L2 - изоморфизм линейных пространств. Так как - биекция, то существует отображение -1, и -1– биекция. Покажем, что -1- линейное отображение. Пусть -1х = а, -1у = b. Тогда а = х, b = у (а + b)= х + у -1(х + у)= а + b = -1х+ -1у,

( а) = х -1( х)= а = -1х.

Упражнения.

1. Доказать, что L1 L1 (это рефлексивность изоморфизма).

2. Доказать, что если L1 L2 и L2 L3 , то L1 L3 (это транзитивность изоморфизма).

Таким образом, отношение изоморфности между линейными пространствами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, все линейные пространства разбиваются на непересекающиеся классы изоморфных.

Утверждение. Если L1 L2 , то dim L1 = dim L2.

Доказательство. Пусть : L1 L2 - изоморфизм линейных пространств, и е1,…,еп базис линейного пространства L1. Покажем, что е1,…,еп базис линейного пространства L2. В самом деле, если у L2 , то -1у L1 ,

-1у=1е1 +…+пеп у = 1е1 +…+пеп . Кроме того, е1,…,еп линейно независимы, так как если

1е1 +…+пеп = 0, то (1е1 +…+пеп) = 0 = (0)

1е1 +…+пеп = 0 (из инъективности ) 1 =…=п = 0.

Таким образом, любой вектор из L2 представляется в виде линейной комбинации векторов е1,…,еп , и из их линейной независимости следует, что это представление однозначно (см. Теорему 1). Из Теоремы 2 следует, что е1,…,еп

базис в L2 .



Теорема. Если dim L = n, то L P n.

Доказательство. Пусть dim L = n, и е1,…,еп базис в L . Рассмотрим : L P n такое, что х = х1е1 +…+хпеп L

х= (х1 ,…,хп) P n. Из однозначности представления х в виде х = х1е1 +…+хпеп следует, что определено корректно. Биективность очевидна. Линейность требовалось доказать в упражнении в 7.2.



Следствие. Все пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство P n. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.

7.4. Подпространства.

Пусть L - п-мерное линейное пространство над полем Р (так как L P n, то, не теряя общности, можно было бы считать, что L = P n).

Утверждение. Пересечение любого семейства подпространств в L является подпространством.

Доказательство. Пусть Li ,i I, - подпространства в L, где Iнекоторое множество индексов, L = . Докажем, что L - подпространство в L.

I. Пусть х, у L х, у Li i I х+ у, х Li i I,  P х+ у, х = L.

II.2. Так как 0L Li i I 0L = L.



Утверждение. Пусть L1, L2 подпространства, и L1 L2 .

Тогда dimL1 dimL2 , и если dimL1= dimL2 , то L1= L2 .

Доказательство. Пусть L1 L2. Тогда базис подпространства L1 является линейно независимой системой векторов в L2 , и её можно дополнить до базиса L2 . И значит, число векторов в базисе L2 не меньше, чем число векторов в базисе L1, то есть dimL1 dimL2. Если же dimL1= dimL2 , то любой базис

подпространства L1 является базисом подпространства L2 , и любой вектор из L2 , являясь линейной комбинацией базисных векторов, содержится в L1. Следовательно, L2 L1

L2= L1.



Рассмотрим способы задания подпространств в L.

Определение. Пусть векторы а1,…,аmL. Линейной оболочкой системы векторов 1,…,аm} называется 3)наименьшее 1)подпространство в L , 2)содержащее векторы а1,…,аm. Эту линейную оболочку мы будем обозначать 1,…,аm>.

В нашем определении для линейной оболочки требуется выполнение трех условий: 1) 1,…,аm> - подпространство, 2) это подпространство должно содержать векторы а1,…,аm, 3) среди всех таких подпространств линейная оболочка – наименьшее (по включению) подпространство, то есть содержится в любом другом подпространстве, для которого выполняются условия 1), 2).

Покажем, что линейная оболочка системы векторов существует.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов 1,…,аm} равна пересечению всех подпространств из L, содержащих эти векторы.

Доказательство. Очевидно, множество таких подпространств не пусто, так как содержит тривиальное подпространство L. Далее, 1)пересечение всех таких подпространств – подпространство, 2)содержащее векторы 1,…,аm}. И наконец, 3)это подпространство - наименьшее, так как пересечение подмножеств содержится в любом из пересекающихся подмножеств.



Утверждение.1,…,аm>= {1a1 +…+mam|1,…,m P}, то есть линейная оболочка системы векторов 1,…,аm} равна множеству всевозможных линейных комбинаций векторов 1,…,аm}.

Доказательство. 1)Докажем, что

V = {1a1 +…+mam|1,…,m P} – подпространство.

I. Пусть х, у V, x = 1a1 +…+mam , y = 1a1 +…+mam

x+y=(1+1)a1+…+(m+m)am , x= (1)a1+…+(m)am V.

II.2. 0 = 0a1 +…+0am V.

2)Очевидно, а1 = 1а1 + 0а2 +…+ 0аm V. Аналогично,

а2,…, аm V.

3)Пусть подпространство W а1, а2 ,…, аm все

1a1 +…+mam W V W.

Следовательно, V – наименьшее подпространство, содержащее векторы а1, а2 ,…, аm V = 1,…,аm>.



Определение. Если V = 1,…,аm>, то векторы а1,…,аm называются образующими подпространства V.

В этом случае любой вектор из V представляется в виде линейной комбинации системы образующих. Если к тому же векторы а1,…,аm линейно независимы, то такое представление однозначно, и система образующих является базисом линейного пространства V.


Лекция 15.





оставить комментарий
страница5/19
Дата12.10.2011
Размер3,5 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
плохо
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх