Попов А. М. Лекции по линейной алгебре icon

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Контрольная работа по линейной алгебре II...
Матрицы
Технологии трансляции...
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Text] : учебное пособие / ред. Ю. М...
Методика обучения алгебре, алгебре и началам анализа в средней школе пенза 2008...
Александр Попов...
«Анализ модели множественной линейной регрессии»...
Тодор Попов, кмет на Пазарджик: Да не хленчим, а да си вършим работата...
Критерии оценки качества лекции...
План лекции. Зачем нужны текстуры? Пример линейной закраски треугольников...
Методические указания по эксплуатации газового хозяйства тепловых электростанций со 34. 20...
Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной алгебры)...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
вернуться в начало
скачать

^ 3.3. Отношение эквивалентности.

Определения.

1. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если xRx x Х.

2. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если для x, у Х из xRy следует yRx.

3. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если для x, у, z Х из xRy и yRz следует xRz.

4. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и тран­зи­тивно.

Упражнения.

1. Доказать, что отношение R на множестве Х рефлексивно

R X .

2. Доказать, что отношение R – симметрично  R-1 – симметрично  R = R-1.

3. Доказать, что отношение R – транзитивно  R2 R (здесь R2= RR) .

4. Доказать, что пустое отношение – симметрично и транзитивно.

5. Найти множества, для которых пустое отношение – рефлексивно.

6. Доказать, что на множестве Х наибольшее отношение

R= XX рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, следовательно, является отношением эквивалентности.

7. Доказать, что пересечение рефлексивных отношений – рефлексивно, пересечение симметричных отношений – симметрично, пересечение транзитивных отношений – транзитивно, пересечение отношений эквивалентности - отношение эквивалентности.

8. Доказать, что объединение рефлексивных отношений – рефлексивно, объединение симметричных отношений – симметрично. Привести пример транзитивных отношений, объединение которых не транзитивно.

9. Привести пример симметричных отношений, компози-

ция которых не симметрична. Привести пример транзитивных отношений, композиция которых не транзитивна.

Определение. Для отношения эквивалентности на мно­же­стве Х определим класс элемента х Х как

cl x = { y Х| y x }. Когда ясно, какое отношение эквивалентности имеется ввиду, будем обозначать класс элемента х также cl x или .

Утверждения. Пусть - отношение эквивалентности. Тогда

1) х Х х cl x.

2) Если х cl y, то y cl x.

3) Если y cl x, то cl y cl x.

4) Если y x, то cl y = cl x.

Доказательство 1) следует из определения рефлексивности, 2) – из определения симметричности, 3) – из определения транзитивности, 4) – из утверждений 2), 3).

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности , то множество Х разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов, то есть X = , где x, y X либо cl х ∩ cl y = , либо cl х = cl y. Наоборот, любое разбиение множества Х в объединение непересекающихся подмножеств получается из некоторого отношения эквивалентности, которое определено однозначно, то есть если Х = U Хi , где Хi ∩ Хj = при i j, то ! отношение эквивалентности такое, что i Хi = cl хi , где хi Хi .

Доказательство.

. 1. Очевидно, х Х х cl x X = .

2. Если cl х ∩ cl y , то есть cl х ∩ cl y z, то из утверждения 4) cl х = cl z = cl y.

. Пусть Х = U Хi , где Хi ∩ Хj = при i j. Если существует отношения эквивалентности , которое порождает данное разбиение, то есть i Хi = cl хi ,то все элементы из каждого подмножества Хi должны находиться в отношении , а элементы, не лежащие в одном подмножестве, не должны находиться в отношении . То есть ху i такое, что

х, у Хi . Это означает единственность .

Докажем существование. Как мы только что увидели, если , то ху i такое, что х, у Хi . Очевидно, так определенное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. хХ cl х – это множество элементов, находящихся с х в отношении , то есть подмножество Хi, содержащее элемент х. Это

означает существование .



Определение. Множество классов эквивалентных элементов по отношению называется фактор-множеством и обозначается Х/. Другими словами, элементами множества

Х/ являются классы эквивалентных элементов множества Х. Часто отношение эквивалентности обозначается знаком .

Упражнения.

1. Пусть 1 и 2 - отношения эквивалентности на Х. Найти классы эквивалентных элементов для отношения эквивалентности 1 2 .

2. Найти классы эквивалентных элементов для наименьшего отношения эквивалентности Х и для наибольшего отношения эквивалентности ХХ.


Лекция 5.


  1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


4.1. Определения.

Пусть P – некоторое поле.

Системой m линейных уравнений с п неизвестными называется система уравнений вида:

, (4.1)

где все aij , bi P.


Для простоты такую систему мы будем записывать таблицей вида:

Такая таблица называется расширенной матрицей системы линейных уравнений. Матрица

A =

называется основной матрицей системы. Сокращенно систему линейных уравнений будем называть СЛУ. Очевидно, по расширенной матрице СЛУ восстанавливается однозначно.

Решением системы линейных уравнений называется такой набор 1,…,сn) элементов из P, что при подстановке в систему х1 = с1, … , хп = сn получаются верные равенства:

a11 с1 + … + a1n сn = b1, a21 с1 + … + a2n сn = b2,

Если у системы имеются решения, то она называется совместной. Если у системы нет решений, то она называется несовместной. Если у системы имеется единственное решение 1,…,сn), то она называется определенной. Если у системы имеется более одного решения, то она называется неопределенной.

Определим для строчек с элементами из поля Р операции так: (a1,…, an)+ (b1,…,bn) = (a1 + b1, …, an + bn)сложение строчек, и с(a1,…,an)= (сa1,…,сan) умножение строчки на элемент с Р.

Такие операции мы будем проделывать со строчками расширенной матрицы СЛУ. Очевидно, сумме строчек расширенной матрицы соответствует сумма соответствующих уравнений системы, а умножению строчки на элемент с Р соответствует умножение соответствующего уравнения на с.

Будем говорить, что система S является следствием системы S, если любое решение системы S является решением системы S. Обозначать этот факт будем так: S S. Будем говорить, что системы S и S равносильны, если S S и S S. Записывать это будем так: S S. Другими словами, S S тогда и только тогда, когда множества решений систем S и S совпадают.

Утверждение. Отношение равносильности на множестве систем линейных уравнений с п неизвестными является отношением эквивалентности.

Доказательство очевидно.

Следовательно, множество систем линейных уравнений разбивается на классы эквивалентных. Для решения произвольной СЛУ было бы удобно найти в классе эквивалентных ей систем наиболее простую систему и найти все решения этой наиболее простой системы. Это множество решений будет совпадать с множеством решений первоначальной СЛУ. Далее мы и будем искать наиболее простые системы среди систем, эквивалентных данной.

^ 4.2. Элементарные преобразования.

Будем делать над системами линейных уравнений элементарные преобразования трёх типов.

Будем говорить, что СЛУ S получается из системы S элементарным преобразованием I-го типа (S S ), если i-е уравнение системы S получается прибавлением к i-му уравнению системы S j-го уравнения системы S, умноженного на коэффициент с Р (j i). А все остальные уравнения системы S совпадают с соответствующими уравнениями системы S. Элементарному преобразованию I-го типа системы линейных уравнений соответствует ЭП-I соответствующей расширенной матрицы, у которой при ЭП-I к i-й строке прибавляется j-я строка с коэффициентом с. Таким образом, все строки расширенной матрицы для СЛУ S, кроме i-й, совпадают с соответствующими строками расширенной матрицы для СЛУ S, а i-я строка имеет вид

(ai1+caj1, ai2+caj2,…, ain+cajn,| bi+cbj).

При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-е и j-е уравнения, а в соответствующей расширенной матрице меняются местами i-я и j-я строки.

При элементарном преобразовании III-го типа в системе S i-е уравнение умножается на коэффициент с Р, с 0, а в соответствующей расширенной матрице i-я строка умножается на с.

Упражнения.

1. Доказать, что если S S , то S S , причем обратное ЭП - того же типа.

2. Доказать, что если S S , то S S и, следовательно, S S .

На множестве СЛУ с п неизвестными введем отношение . Пусть по определению S S, если система S может быть получена из S с помощью цепочки ЭП: S S .

Упражнения.

3. Доказать, что отношение является отношением эквивалентности.

4. Доказать, что если S S, то S S, и, следовательно, отношение эквивалентности содержится в отношении эквивалентности .

Теорема. Любую матрицу размером mn

A =

c помощью ЭП можно привести к ступенчатому виду:

= ,

где число ненулевых строк равно r, r 0, и все элементы 0, i = 1,…,r.

Доказательство индукцией по m.

При m = 1 утверждение очевидно и ничего доказывать не надо.

Пусть для m – 1 утверждение верно. Докажем его для m. Пусть в 1-м столбце все элементы нулевые, во 2-м столбце все элементы нулевые и т.д. Пусть 1-й столбец, где встретится элемент, неравный нулю, имеет номер k1 , k1 1. Строку, где находится этот ненулевой элемент, поменяем местами с 1-й строкой. Элемент, который окажется на месте с номером (1, k1), обозначим , элемент, который окажется на месте с номером (1, j), обозначим , а элемент на произвольном

(i, j)-м месте (i 2) будем обозначать . Теперь с помощью ЭП-I сделаем нули под ненулевым элементом . Для этого от каждой строки с номером j, j 2, отнимем 1-ю строку с коэффициентом . После этого получим матрицу вида

.

Для подматрицы с m-1 строками



можно считать, что утверждение верно по предположению индукции. Отсюда и следует доказательство теоремы.



Число r ненулевых строк матрицы (число ступенек) называется рангом матрицы A и обозначается rgA. Корректность определения ранга (независимость от способа приведения A к ступенчатому виду) будет доказана позже.


Лекция 6.


^ 4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.

Рассмотрим СЛУ вида (4.1). Расширенную матрицу системы приведем с помощью ЭП к ступенчатому виду


. (4.2)

Здесь ранг основной матрицы системы равен rgA = r.

1. Если 0, то ранг расширенной матрицы rg= r+1, и (r+1)-е уравнение системы ступенчатого вида имеет вид

0 х1 + … + 0 хn = br+1, то есть несовместно. Значит, и вся СЛУ несовместна.

2. Если = 0, то ранг расширенной матрицы rg= rgA = r. Покажем, что в этом случае СЛУ совместна. Назовем все неизвестные , i = 1,…,r, с которых начинаются ступеньки, главными, а все остальные (nr) неизвестных – свободными. В системе ступенчатого вида, поднимаясь снизу вверх с r-го уравнения и до первого, выразим главные неизвестные через свободные: ,

. Затем в правую

часть этой формулы подставим выражение для главного

неизвестного из предыдущей формулы – получим выражение главного неизвестного только через свободные неизвестные. После этого из (r-2)-й строки системы (4.2) выразим и в правую часть формулы подставим выражения для главных неизвестных , из предыдущих формул – получим выражение главного неизвестного только через свободные неизвестные. Затем переходим к (r-3)-й строке системы (4.2) и так далее до 1-й строки.

На полученные r формул можно смотреть двояко. Во-первых, можно считать, что это СЛУ, равносильная первоначальной СЛУ (4.1) и записанная специфическим удобным способом, при котором некоторые неизвестные (главные) выражены через другие (свободные). Во-вторых, эти формулы можно считать общим решением системы (4.1), в котором свободные неизвестные являются параметрами и принимают произвольные значения из поля Р, а главные неизвестные однозначно находятся по нашим формулам. Для эстетов, которым не нравится второй взгляд, можно уточнить этот второй взгляд введением других букв. Присвоим свободным (nr) неизвестным произвольные значения t1, t2 ,…,tn-r из поля P, a значения главных неизвестных найдем по нашим формулам. Полученный набор значений неизвестных и будет решением системы (4.1).

Таким образом, нами доказана

Теорема Кронекера-Капелли. Система (4.1) совместна тогда и только тогда, когда rg A = rg.

Если r = n, то есть свободных неизвестных нет, и все неизвестные – главные, а матрица ступенчатого вида в (4.2) – треугольная, то система (4.1) имеет единственное решение, то есть является определенной. Если r n, то свободные неизвестные существуют, и система имеет более одного решения, то есть является неопределенной. Если поле Р – бесконечное, то при r n совместная СЛУ имеет бесконечно много решений.

^ 4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.

Как и при решении по Гауссу приведем расширенную матрицу системы (4.1) с помощью ЭП к ступенчатому виду (4.2). После удаления последних нулевых строк матрица примет вид:

.

Далее снизу вверх, начиная с r-й строки, проделаем над этой матрицей (соответственно, над СЛУ) следующую процедуру. Сделаем над этой матрицей ЭП-III – умножим r-ю строку на . Тогда r-я строка матрицы примет вид:

. С помощью ЭП-I, вычитая r-ю строку с соответствующими коэффициентами из выше расположенных строк, сделаем над 1 в r-й строке все элементы kr-го столбца нулевыми. Затем переходим к (r - 1)-й строке. С помощью ЭП-III сделаем 1 в начале строки на месте с номером (r – 1, kr-1), и с помощью ЭП-I сделаем нули везде выше над этой единицей в kr-1 –м столбце. Затем переходим к (r - 2)-й строке и т.д. После этой процедуры наша матрица примет вид .

Теперь в соответствующей СЛУ оставим главные неизвестные слева, а все остальные слагаемые перенесем в правые части уравнений. Получим, как и при решении по Гауссу, выражения главных неизвестных через свободные. В отличие от метода Гаусса, когда с помощью матрицы (4.2) мы выражали главные неизвестные через свободные, на каждом шаге подставляя в формулу выражения ранее найденных главных неизвестных, при методе Жордана все необходимые вычисления проводятся над матрицей, а в конце мы получаем готовые формулы выражений главных неизвестных через свободные.


Лекция 7.


  1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ


^ 5.1. Определения. Свойства.

На множестве квадратных (п п)-матриц (п = 1,2,3,…) с элементами из поля Р определим по индукции функцию det со значениями в поле Р. Значение этой функции на матрице А будем обозначать также |A| и называть определителем матрицы А.

Пусть для п = 1 для матрицы А = (а11) по определению detA = а11 .

Далее будем считать, что для всех (п – 1)(п – 1)-матриц функция det уже определена. Определим для (п п)-матрицы

A = функцию detA по формуле:

detA = а11 M11 - а21 M21 + а31 M31 - …+(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 – определитель (п – 1)(п – 1)-матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием 1-го столбца и k-й строки. По предположению индукции можно считать, что все эти определители мы вычислять умеем. Определители Mk1 называются минорами, соответствующими элементам аk1. Число п будем называть порядком (п п)-матрицы А, а также порядком определителя |A|.

Упражнение. Написать формулы для |A| при n = 2 и 3.

Замечание. detA можно рассматривать как функцию одного матричного аргумента A, можно рассматривать как функцию от п2 аргументов аij, можно рассматривать как функцию от п строк матрицы A .

Обозначим i-ю строку матрицы А через Аi . То есть Аi = (аi1 , аi2 ,…, аin ). Рассмотрим det как функцию п строк матрицы A: detA = det1 , А2 ,…, Аn ).

Утверждение 1.

det1 ,…,Аii ,…,Аn)=det1 ,…,Аi ,…,Аn)+det1 ,…,Аi,…,Аn).

Доказательство по индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которой i-я строка = Аii . По определению ||= а1121+…+(-1)i+1i1i1)Mi1+…+ +(-1)n+1аn1, где , k i, - миноры матрицы , Mi1минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 1 верно, то есть при k i = Mk1 + Mk1 , где Mk1 - миноры для det1 ,…,Аi ,…,Аn), а Mk1 – миноры для

det1 ,…,Аi,…,Аn). Таким образом,

||= а11(M11+M11) -а21(M21+M21)+…+(-1)i+1i1i1)Mi1+…+ +(-1)n+1аn1 (Mn1+ Mn1) =

= (а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1 Mi1+…+(-1)n+1аn1Mn1 )+

+ (а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1Mi1+…+(-1)n+1аn1 Mn1) =

= det1 ,…,Аi ,…,Аn) + det1 ,…,Аi,…,Аn).



Утверждение 2.

det1 ,…, сАi ,…, Аn) = сdet1 ,…, Аi ,…, Аn).

Доказательство по индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которой i-я строка = сАi . По

определению || = а11- а21+…+(-1)i+1саi1Mi1+…+

+(-1)n+1аn1, где , k i, - миноры матрицы , Mi1минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 2 верно, то есть при k i = сMk1 , где Mk1 - миноры для det1 ,…, Аi ,…, Аn). Таким образом,

||= а11сM11 - а21сM21 +…+ (-1)i+1саi1Mi1+…+ (-1)n+1аn1сMn1 =

= сdet1 ,…,Аi ,…,Аn) .



Свойства определителя из утверждений 1, 2 называются свойствами линейности определителя по i-й строке. Так как iпроизвольная строка, i = 1 n, то говорят, что определи­тель - полилинейная функция строк.

Утверждение 3.

det1 ,…, Аi , Аi ,…, Аn) = 0 – то есть определитель, у которого две соседние строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство по индукции.

При п = 2 утверждение очевидно из формулы для определителя 2-го порядка.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу А, у которой Аi+1= Аi . По определению |А| = а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1+…+

+(-1)n+1аn1Mn1 , где все миноры Mk1 , k i, i+1, – имеют две одинаковые соседние строки, и так как все Mk1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 3 верно, то есть при k i, i+1 Mk1 =0. А сумма (-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1= 0. Таким образом, |А| = 0.



Утверждение 4.

det1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) = - det1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn) – то

есть если у определителя поменять местами две соседние строки, то он изменит знак.

Доказательство. Из утверждений 3 и 1

0 =det1 ,…,Аii+1 ii+1 ,…,Аn) = det1 ,…, Аi , Аi ,…, Аn)+ + det1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn) + det1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) +

+ det1 ,…, Аi+1 , Аi+1 ,…, Аn) – в этой сумме 1-е и 4-е слагаемые по утверждению 3 равны 0 , то есть

det1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn)+ det1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn)= 0

det1 ,…, Аi , Аi+1 ,…, Аn) = - det1 ,…, Аi+1 , Аi ,…, Аn).



Утверждение 5. Если у матрицы А при i j Аi = Аj , то

|A|= 0 – то есть определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство. При j = i+1 определитель равен нулю по утверждению 3. Пусть j i+1. Переставим j-ю строку с (j -1)-й, затем с (j -2)-й, с (j -3)-й и т.д. пока не дойдем до

(i +1)-й и не получим определитель с двумя одинаковыми соседними строками – этот определитель по утверждению 3 равен нулю. Каждый раз при перестановке соседних строк по утверждению 4 определитель менял знак. После всех этих перестановок строк мы получим окончательный нулевой определитель, который отличается от нашего первоначального, может быть, разве что только знаком. Значит, и наш первоначальный определитель тоже равен нулю.



Утверждение 6.

det1 ,…, Аi ,…,Аj ,…, Аn) = - det1 ,…, Аj ,…, Аi ,…, Аn) – то есть если у определителя поменять местами i-ю и j-ю строки, то он изменит знак.

Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.

Упражнение. Доказать утверждение 6.

Свойство определителя из утверждения 5 называется свойством кососимметричности (или антисимметричности) определителя по строкам.

Итак, нами доказана

Теорема. Определитель матрицы является полилиней­ной кососимметричной функцией строк этой матрицы.





оставить комментарий
страница2/19
Дата12.10.2011
Размер3,5 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
плохо
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх