Попов А. М. Лекции по линейной алгебре icon

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Контрольная работа по линейной алгебре II...
Матрицы
Технологии трансляции...
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Text] : учебное пособие / ред. Ю. М...
Методика обучения алгебре, алгебре и началам анализа в средней школе пенза 2008...
Александр Попов...
«Анализ модели множественной линейной регрессии»...
Тодор Попов, кмет на Пазарджик: Да не хленчим, а да си вършим работата...
Критерии оценки качества лекции...
План лекции. Зачем нужны текстуры? Пример линейной закраски треугольников...
Методические указания по эксплуатации газового хозяйства тепловых электростанций со 34. 20...
Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной алгебры)...



Загрузка...
страницы: 1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19
вернуться в начало
скачать

28.4. Теорема о разложении морфизма.

Пусть ^ Н - нормальная подгруппа в группе G, G / Н –

факторгруппа. Рассмотрим отображение : G G / Н та-

кое, что g G (g) = .

Утверждение. - эпиморфизм групп, причем Ker = H.

Доказательство. Так как a, b G (ab) = = =

= (a)(b), то - морфизм групп. И конечно же, - сюръекция, то есть - эпиморфизм. Этот эпиморфизм называется каноническим и обозначается сап. Очевидно, g Ker = g gН. Следовательно, Ker = Ker сап =H.



Следствие. Мы видели, что ядро любого морфизма – нормальная подгруппа. Теперь мы увидели, что любая нормальная подгруппа является ядром некоторого морфизма, например, канонического. Таким образом, нормальные подгруппы – это в точности те подгруппы, которые являются ядрами некоторых морфизмов.

Пусть теперь : G1 G2 - морфизм групп, Н = Ker, G1/ Н – факторгруппа, сап: G1 G1 / Н – канонический эпиморфизм.

Определим отображение : G1 / Н G2 следующим

образом: пусть по определению () = g G1 / Н. Наше определение корректно, так как = gH, и (gH)= =g(H) = g2 = g. Кроме того, , G1 / Н

() = () = (ab) =ab = ()(), то есть - морфизм групп. Если Ker , то () = g = 2

g Ker = H = Ker = {} - инъекция (см. п.28.3, утверждение 3). Следовательно, - мономорфизм групп. И наконец, если мы будем рассматривать не как отображение G1/ Н в G2, а как отображение G1/ Н в Im = (G1), то будет ещё и сюръекцией, то есть и биекцией. Таким образом, : G1 / Н Im - изоморфизм групп. Так как Im G2, то обозначим через i тождественное вложение i : Im G2, i(g) = g g Im . Очевидно, i морфизм и инъекция, то есть мономорфизм. Кроме того,

g G1 (ican)(g) = i((can(g)))= i(()) = i(g)= g ican = . Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении морфизма. Если : G1 G2 - морфизм групп, то коммутативна следующая диаграмма:

, то есть ican = ,

причем сап – эпиморфизм, - изоморфизм, i - мономорфизм групп.

Следствие. Для того, чтобы найти факторгруппу G / H группы G по нормальной подгруппе Н достаточно найти морфизм группы G такой, что Ker = H. И тогда

G / H Im .

Пример. Пусть G = С* - (коммутативная) группа ненуле-

вых комплексных чисел по умножению, Н=Un= {z C| zn= 1} – множество корней п-й степени из 1.

Пример. Доказать, что Un - подгруппа в С* (и следовательно, нормальная подгруппа).

Найдем G / H = С*/ Un . Для этого рассмотрим отображение : С* С* такое, что z C* z = zn. Очевидно,

1. - морфизм (эндоморфизм группы C*), так как (z1z2)= = (z1z2)n = z1nz2n = z1 z2 .

2. Ker = H = Un. Отсюда, в частности, следует Упражнение.

3. Im = C*, так как и C* z C* такой, что и = zn= z. Следовательно, С*/ Un С*.

^ 28.5. Циклические группы.

Пусть G – группа, g G. Будем считать по определению, что для n Z g n = при n N, g n = , при n = 0, g n = (g -n) -1 при -nN.

Упражнение. Доказать, что g ng m = g n+m, (g n)-1= g -n n,

m Z.

Определение. Циклической подгруппой элемента g называется 3)наименьшая 1)подгруппа в G, 2)содержащая эле-

мент g.

Обозначать циклическую подгруппу элемента g мы будем <g>. Элемент g называется образующим элементом циклической группы <g>.

Пусть В = {g n | п Z}.

Утверждение. В = <g>.

Доказательство.

0. Рассмотрим некоторую подгруппу А G такую, что g A. Очевидно, gg = g 2 A, g g 2 = g 3 A,…, g п A п N и п Z.

1. Пусть g s, g t В g sg t = g s+tВ, (g s)-1= g -sВ, = g 0 В В – подгруппа в G.

2. g = g 1 В.

3. Если подгруппа А g , то А В (из п.0) В – наименьшая подгруппа, содержащая элемент g В = <g>.

Рассмотрим циклическую группу <g> = {g n | п Z }.

Возможны два случая:

1. Все элементы g n - различны. Тогда |<g>| = , <g> - бесконечная циклическая группа.

2. Существуют m n такие, что g т = g n. Можно считать, что т > n. Тогда g т-п = , т – п N. Пусть d наименьшее натуральное число такое, что g d = . Тогда d называется порядком элемента g: пор.g = d (в случае 1 пор.g =). Пусть пор.g = d < . В этом случае, если п Z, то, разделив п на d с остатком, получим: п = dq + r, 0 r < d, и

g n = g dq+r = (g d)qg r = g r = g r <g> = {g r | r = 0,1,…,d-1} |<g>| = d - порядок циклической группы равен порядку образующего элемента этой группы.

Следствие. g n = d | n .

Упражнения.

1. Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная)

группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2. Доказать, что Zт – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3. Найти все подгруппы группы Z .

4. Доказать, что подгруппа циклической группы – цикличе­ская группа.

Пусть g G. Рассмотрим отображение : Z G такое, что (п) = g n п Z. Очевидно, - морфизм групп, так как (т+п) = g т+п = g т g п = т п . Кроме того,

Im = , Ker = {n Z | g п = }. Если Ker = { 0 }, то по Теореме о разложении морфизма Im = <g> Z / Ker = = Z / { 0 } Z , то есть < g > - бесконечная циклическая группа. Если же Ker { 0 }, то Ker = dZ, Im = <g> Z / Ker = Z / dZ Zd , то есть < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Zd .


Литература, использованная при подготовке Курса лекций:

1. Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006

2. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003


СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение

эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Группы, кольца, поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8. Системы линейных уравнений (продолжение) . . . . . . . . . 70

Лекция 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Лекция 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Лекция 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Лекция 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10. Алгебра многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Лекция 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Лекция 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Лекция 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11. Поле рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

12. Прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

14. Матрица перехода от одного базиса к другому . . . . . . .113

15. Образ и ядро линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . 117

Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

16. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

17. Диагонализируемые линейные операторы . . . . . . . . . . .130

Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

18. Евклидовы векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . 133

Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

19. Ортогональные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . 138

Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

20. Самосопряженные линейные операторы . . . . . . . . . . . .144

Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

21. Унитарные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . .149

22. Унитарные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

23. Эрмитовы линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

24. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекция 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Лекция 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . .168

Лекция 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

26. Эрмитовы формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Лекция 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве . . . . . . . . 177

Лекция 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

27. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

Лекция 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186




оставить комментарий
страница19/19
Дата12.10.2011
Размер3,5 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19
плохо
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх