Попов А. М. Лекции по линейной алгебре icon

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Контрольная работа по линейной алгебре II...
Матрицы
Технологии трансляции...
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Text] : учебное пособие / ред. Ю. М...
Методика обучения алгебре, алгебре и началам анализа в средней школе пенза 2008...
Александр Попов...
«Анализ модели множественной линейной регрессии»...
Тодор Попов, кмет на Пазарджик: Да не хленчим, а да си вършим работата...
Критерии оценки качества лекции...
План лекции. Зачем нужны текстуры? Пример линейной закраски треугольников...
Методические указания по эксплуатации газового хозяйства тепловых электростанций со 34. 20...
Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной алгебры)...



Загрузка...
страницы: 1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19
вернуться в начало
скачать

Теорема 2.

1. О(Еn) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еn) O(n),

4. SО(Еn) – подгруппа в О(Еn), 5. SO(n) – подгруппа в O(n).

Доказательство.

1. I. Пусть , О(Еn) х, у Еn (()х, ()у) =

= ((х), (у)) = (х ,у) = (х, у)  О(Еn).

II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.

2. Очевидно, (idx, idy)=(x, y) х, у Еn, то есть О(Еn) idнейтральный элемент.

3. Пусть О(Еn). Тогда -1 О(Еn) – см. утверждение 2 из п.19.1.

Следовательно, О(Еn) – группа.


2. I. Пусть A, B О(n) A t = A -1, B t = B -1 (AB)t = B tAt= = B-1A-1 = (AB)-1 AB О(n).

II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).

2. Е t = Е -1 О(n) Е – нейтральный элемент.

3. Если A О(n), то | A | = 1 A-1 (A-1)t = (At)t = A = =(A-1) -1 A -1 О(n).

Следовательно, О(п) – группа.

3. Очевидно, биекция  [] из О(Еn) в О(n) ( и - некоторый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп ( так как [] = [][] , [ -1] = [] -1, [id] = E ).

Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2.

19.3. Структура ортогонального оператора.

Лемма. Пусть : Е Е - ортогональный оператор, Е L -

-инвариантное подпространство. Тогда L - -инвариантное

подпространство.

Доказательство. х L, y L ( x, y) = (x, y) = 0 (L) L . Но L = L (так как |L ортогональный и невырожденный) (L)L (L) L (на самом деле, (L) = L, так как на L - ортогональный и невырожден-

ный).



Пусть : Еп Еп - ортогональный оператор. По теореме из п. 16.7 в Еп L1 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L1 - -инвариантное подпространство, и Еп = L1L1. Так как на L1 - ортогональный оператор, то в L1 L2 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L к L2 в L1 также -инвариантно. Далее,

Еп = L1L2L, и в L L3 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Еп = L1L2…Lq , где все Li

-инвариантны, попарно ортогональны, и можно считать, что dimL1 = dimL2 =…= dimLs = 2, dimLs+1 =…= dimLq = 1.

Если Lевклидово пространство размерности 1, L = <e>, и : L L - ортогональный оператор, то е = е,

( е, е) = (е,е) 2(е,е) = (е,е) 2=1, = 1 = id.

Если же Lевклидово пространство размерности 2,

L = <и1, и2>, где 1, и2} – ортонормированный базис в L, и

: L L - ортогональный оператор, то | и1| = | и1| = 1 и1= cos и1+ sin и2 ; | и2|= | и2|=1, ( и2, и1)=(и2, и1)= = 0  и2 = (-sin и1 + cos и2).

a) Если и2= -sin и1+ cos и2, то [] = ,

и - поворот L на угол против часовой стрелки.

б) Если и2= sin и1 - cos и2, то [] = , и характеристический многочлен (t)= t2 – 1. Для собственных значений t1,2 = 1 два собственных вектора е1, е2 . Так как ( е1, е2)= (+е1, - е2)= (е1, е2), то 1, е2) = 0, е1 е2. Пусть L = <e1>, L = <e2>. Тогда L = L L - прямая

сумма одномерных взаимно ортогональных -инвариантных

подпространств таких, что |L = id, |L = - id.

В разложении Еп = L1L2…Lq выберем в каждом Li ортонормированный базис. Объединение и этих базисов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матрица ортогонального оператора имеет клеточно-диаго- нальный вид:

[] = ,

где П(i) = . Заметим, что = П(), = П(0). Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого ортогонального оператора

: Еп Еп ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица имеет вид:

[] = . (19.1)

В матрице -1 и 1 взяты в скобки, что означает, что эти элементы могут присутствовать, а могут и отсутствовать. Верно и обратное утверждение: если [] имеет вид (19.1), то -

ортогональный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой ортогональной матрицы А ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ имеет вид (19.1).

Очевидно, любая матрица вида (19.1) – ортогональная.


Лекция 31.


20. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

20.1. Сопряженные линейные пространства.

Пусть L =Ln – линейное пространство над полем Р. Обозначим через L* множество линейных функций на L со значениями в Р (см. п.13.1, важный частный случай линейных отображений). Так как множество Ф(Ln,Lm)={: Ln Lm} линейных отображе­ний из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на эле­менты поля является линейным пространством над полем P (см. п.13.5) и существует изоморфизм линейных пространств Ф(Ln,Lm) Мт,п(Р), то L*= Ф(Ln,Р) - линейное пространство, и L* М1,п(Р)= Р n dimL*=n= dimL. В частности, L* L, но этот изоморфизм не канонический – он зависит от выбора базисов в L и L*.

В качестве базисного вектора одномерного линейного пространства Р возьмем 1Р . Пусть е = {e1,…,eп} – базис пространства L, х = х1e1+…+хпeп , f L*. Тогда

f(x) = х1f(e1)+…+хпf(en) = х11+…+хпn , где все i P,

i = f(ei) = i1Р , и f [] = (1,…,n ) Р n. Базисным

строчкам (0,0,…,0,,0,…,0) в Р n соответствуют в L* линейные функции еi такие, что еi(х)= 0х1+…+1хi+…+0хn= хi . Очевидно, е*= {е1,…,еn} – базис в L*, и f = 1е1+…+пеп.

Кроме того, еij)= ij =

Определение. Линейное пространство L* называется

сопряженным (или двойственным, или дуальным) к простра-

нству L. Базис е* называется сопряженным (или двойственным, или дуальным) к базису е .

Пусть теперь L= Еп, fa(х)= (a, x).

Упражнение. Проверить, что fa п)*.

Утверждение. Отображение Ф: Еп п)* такое, что для а Еп Ф(а) = fa является изоморфизмом линейных пространств Еп ип)*.

Доказательство. Проверим линейность отображения Ф. Ф(а+b)= fa+b= Ф(а)+Ф(b) = fa+ fb , так как fa+b(х)= (а+b, x) = = (а, x)+ (b, x) = fa(х)+ fb(х) =( fa+ fb)(х). Ф(а)= fa= Ф(а)= = fa , так как fa(х) = (а, х) = (а, х) = (fa(х)) = ( fa)(х). Найдем теперь KerФ. Пусть а KerФ Ф(а) = fa = 0 fa(х) = 0 х fa(а) = (а, а) = 0 а = 0 KerФ = 0 Ф – инъекция, сюръекция, биекция (см. теорему 6 из п.15) Ф – изоморфизм.



Замечания.

1. Изоморфизм Ф является каноническим, так как он не зависит от базиса.

2. Изоморфизм ^ Ф позволяет перенести скалярное произведение с Еп нап)* по правилу (fa , fb) = (a, b). Таким образом, п)* становится евклидовым пространством, а Ф - изоморфизмом евклидовых пространств.

^ 20.2. Сопряженные линейные операторы.

Пусть : Еп Еп - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (a, x).

Упражнение. Проверить, что f линейная функция, то

есть f п)*, и следовательно, f = fb при некотором b Еп.

Будем считать, что b = *a, где * : Еп Еп - некоторое отображение. Из определения * получаем, что

(a, x) = (b, x) = (*a, x) или ( x, а) = (х, *a ).

Утверждение. * : Еп Еп – линейный оператор.

Доказательство. (х, *(a+b)) = ( x, a+b) = ( x, a) +

+ ( x, b) = (х, *a) + (х, *b) = (х, *a + *b) *(a+b) =

= *a+*b (см. утверждение из п. 20.1). Аналогично,

(х, *(a)) = ( x, a) = ( x, a)= (х, *a) = (х, *a)

*(a) = *a .

Определение. Линейный оператор *: Еп Еп называется сопряженным к линейному оператору .

Очевидно, ** = , так как ( х, у) = (х, *у) = (**х, у).

Заметим, что при отождествлении Ф: а fa получаем:

(a, x) = (*a, x), то есть fa( x) = *( fa )(x) *( fa )= fa .

Теорема. Для линейных операторов и на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий = *, = * ) :

1. ( x, у) = (х, у) х, у Еп.

2. ( еij)= (еi , еj) i, j (для некоторого) базиса е в Еп.

3. ( иij)= (иi , иj) i, j (для некоторого) ортонормированного базиса и в Еп.

4. [] t=[], или же [] =-1[] t, где - матрица Грама для базиса е. (Доказать, что Г-1 - см. также п.24.3).

5. [] = [] t.

Доказательство. Очевидно, из 1  2 (как частный случай), из 2 1 ввиду линейности и скалярного произведения. Аналогично, 1  3. Проверим, что 2  4. В самом деле, если [] = ks), [] = (bks), то ( еij) = (j) = = = ([] t)ij – (i,j)-й элемент матрицы [] t. А i , еj)= (еi ,) == ([])ij – (i,j)-й элемент матрицы []. Отсюда 2  4. Аналогично проверяется, что 3  5. 

^ 20.3. Самосопряженные линейные операторы.

Определение. Линейный оператор : Еп Еп называет-

ся самосопряженным, если * = , то есть если х, у Еп ( х,у) = (х, у).

Теорема. Для линейного оператора на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

условий = *) :

1. ( x, у) = (х, у) х, у Еп.

2. ( еij)= (еi , еj) i, j (для некоторого) базиса е в Еп.

3. ( иij)= (иi , иj) i, j (для некоторого) ортонормированного базиса и в Еп.

4. [] t = [], где - матрица Грама для базиса е .

5. [] t = [], то есть [] – симметричная матрица.

Доказательство следует из теоремы из п. 20.2.

^ 20.4. Структура самосопряженного оператора.

Лемма. Пусть : Еп Еп - самосопряженный оператор, Еп L - -инвариантное подпространство. Тогда L - -инва- риантное подпространство.

Доказательство. х L, y L ( x, y) = 0 = (x, y) (L)L (L) L .



Пусть : Еп Еп - самосопряженный оператор. По теореме из п. 16.7 в Еп L1 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L1 - -инвариантное подпространство, и Еп = L1L1. Так как на L1 - самосопряженный оператор, то в L1 L2 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L к L2 в L1 также -инвариантно. Далее,

Еп = L1L2L, и в L L3 - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Еп = L1L2…Lq , где все Li – подпространства размерности 1 или 2, -инвариантны и попарно ортогональны.

Если Lевклидово пространство размерности 2,

L = <и1, и2>, где 1, и2} – ортонормированный базис в L, и

: L L - самосопряженный оператор, то [] = , и характеристический многочлен (t)= t2- (a+c)t + ac - b2. Его дискриминант (а+с)2 – 4(ас - b2) = (а – с)2 + b2 0 в L собственный вектор, одномерное -инвариантное подпространство L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных -инвариантных подпространств.

Следовательно, в разложении Еп = L1L2…Lq можно считать, что все Li – подпространства размерности 1, попарно ортогональны и -инвариантны. Значит, n = q, и

Еп = L1L2…Lп .

Если Lевклидово пространство размерности 1, L = <e>, и : L L - самосопряженный оператор, то е = е,  R.

В разложении Еп = L1L2…Ln выберем в каждом Li

единичный вектор иi . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матрица самосопряженного оператора имеет вид:

[] = diag(1,2,…,n). Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого самосопряженного оператора

: Еп Еп ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица имеет вид:

[] = diag(1,2,…,n), где все s R. Наоборот, если

[] = diag(1,…,n), где все s R, то - самосопряженный.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой симметричной матрицы А ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ = diag(1,2,…,n), где все s R.


Лекция 32.





оставить комментарий
страница14/19
Дата12.10.2011
Размер3,5 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19
плохо
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх