Попов А. М. Лекции по линейной алгебре icon

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Контрольная работа по линейной алгебре II...
Матрицы
Технологии трансляции...
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Text] : учебное пособие / ред. Ю. М...
Методика обучения алгебре, алгебре и началам анализа в средней школе пенза 2008...
Александр Попов...
«Анализ модели множественной линейной регрессии»...
Тодор Попов, кмет на Пазарджик: Да не хленчим, а да си вършим работата...
Критерии оценки качества лекции...
План лекции. Зачем нужны текстуры? Пример линейной закраски треугольников...
Методические указания по эксплуатации газового хозяйства тепловых электростанций со 34. 20...
Рабочая программа курса «высшая математика (элементы аналитической геометрии и линейной алгебры)...



страницы:   1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
А.М. Попов


ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ


Для студентов I курса бакалавриата, обучающихся по направлениям «Прикладная математика. Информатика», «Математика. Компьютерные науки», «Математика. Прикладная математика»


Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2007


У т в е р ж д е н о

РИС Ученого совета

Российского университета

дружбы народов


Попов А.М.

Лекции по линейной алгебре. - М.: Изд-во РУДН, 2007. – 183 с.


Вошедшие в Лекции разделы изучаются в курсе алгебры на математических специальностях бакалавриата.

Для студентов I курса бакалавриата по направлениям «Прикладная мате­матика. Информатика», «Математика. Компьютерные науки», «Математика. Прикладная математика».

Подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики.




© А.М. Попов, 2007

© Издательство Российского университета дружбы народов, 2007

Лекция 1.


  1. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА




    1. 1.1. Комбинаторика.

Пусть Х = {х1 , х2 , …, хn } – множество из n элементов.

Определение. Размещением из n элементов по k называется упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличающиеся порядком, считаются различными.

Количество таких размещений обозначается и называется коротко количеством размещений из п по k.

Пример. 3 , х2 , х5 }, {х3 , х2 , х4 }, 2 , х3 , х4 } – различные размещения из п по 3.

Мы будем записывать также размещения в виде х3 х2 х5 ;

х3 х2 х4 ; х2 х3 х4 .

Определение. Сочетанием из n элементов по k называется (неупорядоченное) подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличающиеся порядком, считаются одинаковыми.

Количество таких сочетаний обозначается и называется коротко количеством сочетаний из п по k.

Пример. 1 , х2}, {х1 , х3}, 1 , х4}, 2 , х3}, 2 , х4},

3 , х4} – все сочетания из 4 по 2.

Мы будем записывать также сочетания в виде х1 х2 , х1 х3 , х1 х4 и т.д.

Определение. Перестановкой из n элементов называется размещение из п элементов по п.

Количество таких перестановок обозначается Pn.

Пример. 1, х2, х3}, {х2, х3, х1}, 3, х1, х2},{х2, х1, х3},

3, х2, х1}, 1, х3, х2} – все перестановки из трёх элементов.

Утверждение 1.1. = п(п -1)(п – 2)…(п – k + 1).

Доказательство индукцией по k (для произвольного п,

k п).

k = 1. Очевидно, = п , так как размещениями из п по 1 являются подмножества в Х, состоящие из одного элемента, а количество таких подмножеств равно количеству элементов в Х, то есть п.

Пусть утверждение верно для k - 1. То есть m k-1

= m(m -1)(m – 2)…(mk + 2).

Докажем его для k. Рассмотрим k мест:


1

2



k - 1

k
. Произвольное размещение из п по


k получается размещением на 1-е место любого из п элементов множества Х (таких возможностей имеется п), а на оставшиеся k - 1 мест - произвольного размещения из оставшихся m = n – 1 элементов множества Х (таких размещений имеется ). Отсюда = п и по предположению индукции = п = n(n -1)(n –2)…(nk + 1)= n! /(nk)! .



Следствие. Pn = = n!

Утверждение 1.2. = n(n -1)(n – 2)…(nk + 1) / k! .

Доказательство. Так как все размещения из п по k получаются выборками из множества Х различных сочетаний из k элементов, а затем их всевозможными перестановками, то

= Pk = / Pk = n(n -1)(n – 2)…(nk + 1) / k! =

= n! /((nk)! k!) .

Утверждение 1.3. а) = = 1, б) = ,

в) = + .

Упражнение. Доказать утверждение с помощью формул.

Доказательство утверждения 1.3 без формул (для умных, но ленивых).

а) Очевидно, из п элементов ничего не выбирать или выбрать все элементы можно только одним способом.

б) Очевидно, каждому выбранному сочетанию из п по k соответствует сочетание оставшихся в Х пk элементов, и количество сочетаний выбранных элементов равно количеству сочетаний оставшихся элементов.

в) сочетания из п + 1 элементов по k + 1 можно выбирать двумя способами: или выбрать все k + 1 элементов из первых п элементов – это можно сделать способами, или обязательно включить в сочетание (п + 1)-й элемент, а остальные k элементов выбирать из первых п элементов – это можно сделать способами.



    1. ^ 1.2. Бином Ньютона.

Теорема. (a + b)n =an +an-1b + an-2b2 +…+ bn =

= . Эта формула называется биномом Ньютона.

^ Первое доказательство (индукцией по п).

п = 1. Утверждение очевидно: (a + b)1 =a1 +b1 = a + b.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.

(a + b)n = (a + b)(a + b)n-1 =(a + b) = =++= = aп ++ bп .



^ Второе доказательство (для умных, но ленивых).

Раскроем скобки в выражении

(a + b)n = (a + b)(a + b) (a + b), (1.1)

выбирая из каждого двучлена справа или a или b, и записывая их в произведение с сохранением порядка множителей. Так, например произведение aababb получится, если мы выберем из первого двучлена a, из 2-го a, из 3-го b, из 4-го a, из 5-го b, из 6-го b и т.д. Если мы теперь все множители a запишем слева, а множители b справа, то получим одночлен вида an-kbk. Все одночлены такого вида получаются при выборе из п двучленов в (1.1) подмножества (сочетания) из k двучленов, в которых при раскрывании скобок мы выбираем в качестве множителей элементы b (а из остальных двучленов, естественно, выбираются в качестве множителей элементы a). Количество таких подобных одночленов равно количеству сочетаний из n по k. Если мы их всех просуммируем, то получим слагаемое в разложении бинома Ньютона.



Утверждение 1.4.

а) +++…+ = 2n,

б) +++…= +++…= 2n-1

Доказательство а). Из бинома Ньютона при a = b =1

(1 + 1)n = + + +…+ .

Доказательство а) для умных, но ленивых. Сумма

+++…+ равна количеству всех подмножеств в множестве Х из п элементов, включая  и само множество Х.

Это количество можно посчитать иначе. Для выделения любого подмножества в ^ Х мы для каждого элемента из Х должны указать, входит этот элемент в наше подмножество или нет. Таким образом, для каждого элемента имеется 2 возможности – быть включенным в любое подмножество или нет, а для п элементов из Х имеется 2n возможностей быть включенными или нет в различные подмножества. Включая или не включая произвольный элемент в подмножества, мы получаем различные подмножества. Таким образом, количество различных подмножеств в Х равно 2n .



Упражнение. Доказать утверждение 1.4, б) с помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = - 1.


Лекция 2.


  1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


Будем считать известными множества натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R.

Определение. Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел (a,b), a,b R.

Множество комплексных чисел будем обозначать буквой С.

С = {(a,b), a,b R}.

I. Определим на множестве С операции:

1. по определению (a,b)+ (с,d) = (a+с, b+d) – операция сложения,

2. по определению (a,b) (с,d) = (aс - bd, ad+bc) – операция умножения,

3. для с R по определению с (a,b)= (ca, cb) – операция умножения комплексных чисел на действительные.

II. Утверждение. Для определенных на С операций выполняются свойства:

1. (z1 + z2) + z3 = z1 +( z2 + z3) z1 , z2 , z3 C, z1 =(a1,b1),

z2 = (a2,b2), z3 =(a3,b3),

2. элемент 0С = (0,0) C такой, что 0С+z = z + 0С = z zC. 0С называется нейтральным элементом в C по сложению.

3. z C, z =(a ,b), z C такой, что z+ z = 0С . В самом деле, z = (- a, - b). z обозначается как - z и называется элементом, противоположным к z.

4. z1 + z2 = z2 + z1 z1 , z2 C,

5. (z1 z2) z3 = z1 ( z2 z3) z1 , z2 , z3 C,

6. элемент 1С = (1,0) C такой, что 1С z = z 1С = z zC. 1С называется нейтральным элементом в С по умножению или единицей.

7. z C, z 0С , z =(a ,b), z1 C такой, что z z1 = 1С . В самом деле, z1 = ( a/(a2 + b2), - b/(a2 + b2)). z1 обозначается как z-1 и называется элементом, обратным к z .

8. z1 z2 = z2 z1 z1 , z2 C,

9. (z1 +z2)z3 = z1 z3 + z2 z3 , z1(z2 + z3)= z1 z2+ z1z3 z1, z2, z3 C.

i. c(z1 + z2) = cz1 + cz2 z1, z2 C, c R,

ii. (c + d)z = cz + dz c, d R, z C,

iii. (c d)z = c(dz) c, d R, z C,

iv. 1С z = z z C.

Очевидно, все эти свойства следуют из определений операций и свойств действительных чисел, которые мы считаем известными.

Упражнение. Доказать свойства 1  9 и i  iv.

Множество (не обязательно числовое), на котором

I. определены операции, обозначаемые знаками + и  ,

II. и для которых выполнены свойства 1  9, называется полем.

Очевидно, полями являются множества Q и R. Теперь мы видим, что множество С также является полем.

Обозначим число (0, 1) C буквой i. Число i называется мнимой единицей. Очевидно, z C, z = (a ,b) = a (1, 0) + + b (0, 1)= a 1С + b i. Обычно единицу в качестве множителя не пишут. Поэтому и мы будем записывать число z в виде

z = a + b i, а единицу 1С , когда это не вызовет недоразумений, мы будем записывать в виде 1.

Легко видеть, что i2 = - 1. Для комплексного числа

z = a + b i будем называть комплексное число a - b i комплексно сопряженным к z и обозначать . Очевидно,

а) =+, б) = , в) z= a2 + b2.

Определение. Модулем комплексного числа z = a + b i называется число | z | =.

Так как z= | z |2, то |z1 z2|2 = z1z2 = z1z2 = | z1|2| z2|2,

и |z1 z2| = | z1| |z2|.

Комплексное число a + b i можно изображать точкой на плоскости с координатами (a , b) или вектором на плоскости с координатами (a , b). Легко видеть, что комплексные числа складываются как векторы по правилу параллелограмма (или по правилу треугольника). Очевидно (см. рис.),

a + b i = r cos +r sin i = r(cos +i sin).



Запись комплексного числа в виде r(cos +i sin) называется тригонометрической формой записи. Угол называется аргументом комплексного числа (определен неоднозначно). Очевидно, r = | z |.

Легко проверить, что r1(cos1+i sin1) r2(cos2+i sin2)=

= r1r2(cos(1+2)+i sin(1+2)). Отсюда следует

формула Муавра: (cos +i sin)n = cos n + i sin n ,

а также ещё раз мы получаем, что |z1 z2| = r1r2 = |z1| |z2|.

Упражнения.

1) С помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = i вычислить +++…, +++…, +++…, +++…

2) С помощью формулы Муавра вычислить устно sin 4 и cos 5 .


Лекция 3.


  1. СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ


^ 3.1. Соответствия. Функции. Отношения.

Определение. Будем говорить, что на множестве Х задано бинарное отношение R, если x, y X мы можем определить (по какому-нибудь правилу) находятся эти элементы в отношении R или нет.

Определим понятие отношения более строго.

Введем понятие декартова (прямого) произведение AB произвольных множеств A и B.

По определению AB = { (a, b), a A , b B}. Аналогично определяется декартово произведение 3-х, 4-х и произвольного числа множеств. По определению AAA = An.

Определения.

1. Соответствием S из множества A в множество B называется подмножество S AB. Тот факт, что элементы a A, b B находятся в соответствии S, мы будем записывать в виде (a, b) S или в виде aSb.

2. Естественным образом для соответствий S1 и S2 определяются S1S2 и S1U S2 – как пересечение и объединение подмножеств. Как и для любых подмножеств определяется понятие включения соответствий S1S2. Так S1S2

из a S1b a S2b.

3. Для соответствий S1 AB и S2 BC определим композицию соответствий S1S2 AС. Будем считать, что для элементов a A, с С по определению a S1S2 с b B такой, что a S1 b и b S2 с.

4. Для соответствия S AB определим соответствие

S -1 BA так: по определению bS -1a a S b.

5. Пусть по определению соответствие A AA,

A={(a,a), a A}.

6. Соответствие F из множества A в множество B называется функцией, определенной на A, со значениями в B (или отображением из A в B), если a A ! b B такой, что aFb. В этом случае будем писать также aF = b или, более привычно, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со своим графиком. В наших обозначениях aF1F2 с можно записать в виде с = (aF1)F2 . Композиция F2F1 функций означает по определению, что (F2F1 )(a)= F2(F1 (a)). Таким образом, F2F1 = F1F2 .

7. Для отображения F из A в B образом подмножества A1 A

называется подмножество F(A1)= {F(a)| a A1} B, а прообразом подмножества B1 B называется подмножество

F -1(B1)= { a A | F(a) B1 } A .

8. Отображение F из A в B называется инъекцией, если из

a1 a2 Fa1 Fa2.

9. Отображение F из A в B называется сюръекцией, если

b B a A такой, что Fa = b.

10. Отображение F из A в B называется биекцией или взаимнооднозначным отображением, если F – инъекция и сюръекция одновременно.

11. Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой.

12. ^ Бинарным отношением на множестве Х называется подмножество R XX. Тот факт, что элементы x, y X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) R или в виде xRy.

Упражнения.

1. Проверить, что AS = S, SB =S S AB.

2. Проверить, что

(S1S2)S3 = S1(S2S3) S1 AB, S2 BC, S3 CD.

3. Проверить, что (S -1) -1 = S S AB.

4. Проверить, что (S1S2) -1 = S2-1 S1-1 S1 AB, S2 BC.

5. Доказать, что если отображения F1 из A в B и F2 из B в C являются инъекциями, то F2F1 – инъекция.

6. Доказать, что если отображения F1 из A в B и F2 из B в C являются сюръекциями, то F2F1 – сюръекция.

7. Доказать, что если отображения F1 из A в B и F2 из B в C являются биекциями, то F2F1 – биекция.

8. Доказать, что для отображения F из A в B соответствие F -1 будет отображением из B в AF – биекция. В этом случае F -1 - также биекция, и F F -1 =A , F -1 F =B .

9. Доказать, что для отображения F из A в B

уравнение Fx= b имеет  1 решения b F инъекция,

уравнение Fx= b имеет 1 решения bF сюръекция,

уравнение Fx=b имеет ровно одно решение bF биекция.

10. Доказать, что отображение F из A в B является инъекцией  F F -1 =A.

11. Доказать, что отображение F из A в B является сюръекцией  F -1 F =B.

Пусть S(X) – множество биекций множества Х. Тогда

I. f, g S(X) f g S(X) (из упр. 5),

II. 1. f, g, h S(X) (f g) h = f (gh) (из упр. 2),

2. X S(X) (очевидно, X – биекция из Х в Х и X(х)=х х X) и f S(X) f X = X f = f (из упр.1). Биекция X обозначается ещё idX или id.

3. f S(X) f -1 S(X) и f -1f = f f -1= X (из упр.6).

Далее множества с такими свойствами мы будем называть группами. Таким образом, S(X) - группа.

3.2. Подстановки.

Пусть Х – конечное множество, Х = {х1, х2 ,…, хn }. Группу подстановок S(X) в этом случае мы будем обозначать Sn. Подстановку множества Х можно записывать в виде таблицы = , где в нижней строке стоят каким-то образом переставленные элементы множества Х. Такая таблица означает, что 1)= , 2)= , 3)=

Так как - инъекция, то все элементы нижней строки различные. Так как - сюръекция, то в нижней строке присутствуют все элементы множества Х. То есть, нижняя строка – это перестановка множества Х. Таким образом, различных подстановок существует ровно столько, сколько имеется различных перестановок множества Х, то есть n!, и, значит, группа Sn подстановок множества из п элементов состоит из n! элементов.

Упражнение. Доказать, что для конечного множества Х

из инъективности следует её сюръективность, а из сюръективности - инъективность.

Чаще всего мы будем считать, что Х = {1, 2, 3, …, n }. В этом случае подстановки мы будем записывать в виде

=, где i1, i2 ,…, in - перестановка чисел 1, 2, 3, …, п.

Для композиции подстановок 12 вначале выполняется подстановка 2, а затем 1, а для композиции 12 - вначале 1, а затем 2 .

Пусть k = - произведение k множителей. Так как Х - конечное множество, то x Х  Sn { kx | k N} – конечное подмножество в Х, то есть k m такие, что k x = m x. Тогда, если k m, то, очевидно,

k-m x = x. Пусть s – наименьшее натуральное число такое, что sx = x. Тогда подмножество {x, x, 2x, 3x,…, s-1x} будем называть циклом, порожденным элементом х, и обозначать O(х). Очевидно, все элементы в O(х) – различны, то есть O(х) состоит из s элементов. Будем считать, что по определению 0 = id, 0x= х.

Упражнения.

1. Проверить, что, s+1x = x, s+2x = 2x, -1x = s-1x, …, (О(x))=О(х), k(О(х)) = О(x), О(x) =О(х), О( kх) = О(x), О(х) = { kx| k =0,1, 2,…, s-1 } = { kx| k Z }.

2. Проверить, что циклы разных элементов либо не пересекаются, либо совпадают.

Таким образом, множество ^ Х разбивается в объединение непересекающихся циклов.

Пусть х = a1, x = a2 , 2x = a3 , 3x = a4 ,…, s-1x = as , и соответственно цикл О(х) ={a1, a2 ,.., as}. Тогда (О(x))= О(х), и на О(x) является биекцией, которую можно записать в виде таблицы или в виде таблицы с одной строкой: (a1, a2, a3,…, as ). Запись в виде такой строки означает, что a1= a2, a2= a3 ,…, as-1= as , as= a1 . Записывая подстановку на каждом цикле в виде одной строки, получим циклическую запись подстановки. Так, например, подстановка

= в циклической записи имеет вид =(1, 4, 2, 5)(3)(6, 8, 7).

Определение. Транспозицией будем называть подстановку tij такую, что tij (i)= j , tij (j) = i , tij (k) = k при k i, kj.

Очевидно, tij-1 = tij , tij2 = tij .

Утверждение. Любую подстановку Sn , п 2, можно разложить в композицию транспозиций.

Доказательство по индукции.

1. При п =2 утверждение очевидно, так как S2 состоит из двух элементов: id и tij .

2. Пусть для п – 1 утверждение верно. Рассмотрим Sn . Пусть (п) = q, и 1 = tqn. Тогда 1 (n) = n, и 1 – биекция множества {1, 2, 3, …, n -1 } из (п-1)-го элемента. По предположению индукции можно считать, что для 1 утверждение верно, то есть 1=12r - композиция транспозиций. Но = tqn-11 = tqn1 = tqn12r - композиция транспозиций.



Очевидно, разложение подстановки в композицию транспозиций неоднозначно.

На практике очень легко раскладывать подстановку в произведение транспозиций, если она задана в циклической записи. Так, например, легко проверить, что

(1, 3, 7, 2, 4)(5, 6)(8) = t13 t37 t72 t24 t56 .

Будем говорить, что в последовательности чисел i1, i2 ,..,in два числа ik и il образуют инверсию, если ik il, но ik расположено левее il . Подстановка = называется четной, если количество инверсий в её нижней строке

че­тно, и называется нечетной, если количество инверсий в

её нижней строке нечетно.

Утверждение. Если количество инверсий в нижней строке подстановки равно m, то можно разложить в произведение m транспозиций.

Доказательство. Пусть два соседних элемента ik и ik+1 в нижней строке подстановки образуют инверсию. Тогда

1= =, и число инверсий в нижней строке у 1 равно m – 1. Продолжая эту процедуру далее, получим, что существуют транспозиции 1 ,2 , …,m такие, что подстановка mm-11 не имеет инверсий в нижней строке, то есть mm-11 = id. Умножая последнее равенство слева на m , затем на m-1 и так далее до 1 , и учитывая, что все i2= id, получим, что = 12m .



Лекция 4.





оставить комментарий
страница1/19
Дата12.10.2011
Размер3.5 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
плохо
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх