Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика» icon

Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика»



Смотрите также:
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
Периоды исторического развития математики...
Программа вступительного экзамена по математике в магистратуру...
Программа дисциплины дс...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Программа дисциплины опд. Фз...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа дисциплины дс. 11...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа по дисциплине «Компьютерные науки»...
Рабочая программа курса «Геометрия и алгебра» (наименование курса) Для государственных...
Чеченский государственный университет...



страницы: 1   2   3   4
вернуться в начало
скачать

Определение 1. Квадратичная форма f на называется

  1. положительно определенной, если

  2. отрицательно определенной, если

  3. неотрицательной, если

  4. неположительной, если

  5. неопределенной, если


Для определения типа квадратичной формы перейдем от ее диагонального вида к нормальному виду.

- диагональный вид. Пусть в диагональном виде f После невырожденного преобразования

, (которое не является в общем случае унитарным или ортогональным, т.к. меняет длины векторов; для - соответствующее преобразование базиса), квадратичная форма f имеет нормальный вид:

- для эрмитовой формы;

- для симметричной формы.


Определение 2. - положительный индекс инерции f.

- отрицательный индекс инерции f.



- сигнатура f.


^ Закон инерции для эрмитовых и симметричных квадратичных форм.


Числа а также являются инвариантами квадратичной формы f, т.е. не зависят от базиса, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид и, следовательно, от способа приведения к нормальному виду.

Доказательство. Инвариантность r доказана после def rg f.


Докажем от противного инвариантность Пусть два базиса

и , в которых f имеет разные нормальные виды:

в (1)

в (2)

и l < k.

Рассмотрим в подпространства





.


Следовательно,


Замечание. Эрмитова или симметричная квадратичная форма имеет 4 числовых инварианта: из которых любые 2 независимы, а остальные выражаются через них. Квадратичные формы f и g эквивалентны f и g имеют одинаковые инварианты (т.к. тогда и только тогда одну из них можно перевести невырожденным л.о. в другую через общий нормальный вид).


Если квадратичная форма f не эрмитова, то она принимает комплексные значения коэффициенты в ее диагональном виде комплексные нет числовой инвариант – ранг. Т.к. неэрмитова форма f принимает комплексные значения, для неэрмитовых квадратичных форм нет классификации по знаку.


Теорема. Эрмитова или симметричная квадратичная форма f на является:

1. положительно определенной

2. отрицательно определенной

3. неотрицательной

4. неположительной

5. неопределенной любое > 0.


Доказательство. Достаточно доказать 1,3,5, т.к. f - положительно определенная (неотрицательная) -f - отрицательно определенная (неположительная).

Пусть в базисе имеет нормальный вид






(5). Если то рассмотрим :

- неопределенная.

Обратно, если f - неопределенная, но (или ), то для - противоречие.

(3;1) f - неотрицательная

Если - положительно определенная.

Обратно, если f – положительно определенная, но r < n, то - противоречие.


Критерий Сильвестра. f – положительно определенная квадратичная форма

все главные миноры матрицы квадратичной формы f положительны.


^ Метод Лагранжа приведения симметричной квадратичной формы к диагональному

и нормальному видам – посмотреть по конспекту лекции или по учебному пособию Д.Н.Булгакова, А.М.Попова «Билинейные и квадратичные формы».


ЛЕКЦИЯ 8. Введение в теорию групп.


Определение 1. Группа - это алгебраическая система с одной бинарной

Операцией, удовлетворяющей условиям:

  1. - ассоциативность

  2. - «единица» группы




Определение 2. Пусть группа, H – непустое подмножество G.

называется подгруппой группы если является группой. Для этого необходимо и достаточно выполнение условий:



т.к. ассоциативность на H следует из ассоциативности


Условия 1-3 можно заменить одним условием:




Свойства подгрупп.

(можно без доказательств)


- группа, - ее подгруппа.





Доказательство.

1. Пусть Тогда Но

Т.о.,



Т.о., Следовательно,


  1. Обратно, если для некоторого то

Действительно,




Доказательство:





Доказательство.




Смежные классы группы по подгруппе.


Определение 3. Пусть - группа, - ее подгруппа. Левым смежным классом G по H называется множество где g - произвольный фиксированный элемент из G. Аналогично, - правый смежный класс.


В коммутативной группе правые и левые смежные классы совпадают.


^ Свойства левых смежных классов.

(для правых – аналогичные)


  1. Два левых смежных класса G по H или не пересекаются, или совпадают.

Доказательство. Пусть Тогда



  1. Любой элемент g группы G лежит в Поэтому вся группа G равна объединению непересекающихся левых смежных классов G по H.




  1. Любые два левых смежных класса G по H состоят из равного числа элементов, которое равно числу элементов в подгруппе H.

Доказательство. Для любого отображение -биекция.


  1. Число различных левых смежных классов G по H равно числу различных правых смежных классов G по H.

Доказательство. Отображение - биекция.

Ø Ø Ø. Поэтому при биекции



непересекающиеся левые смежные классы переходят в непересекающиеся правые смежные классы их число совпадает.


Определение 4. Число различных левых (или правых (по 4)) смежных классов G по ^ H называется индексом (G : H) подгруппы H в G.


(G : e) = число элементов в группе G.

H = {e}


Теорема Лагранжа. Для любой конечной группы G и ее подгруппы H




Доказательство. Из свойства 3 число элементов в любом смежном классе равно объединение всех непересекающихся смежных классов G по H равно G, а количество таких смежных классов равно Поэтому


Определение 5. Подгруппа группы называется нормальной если

Левые и правые смежные классы по нормальной подгруппе совпадают.

В коммутативной группе любая подгруппа нормальна.


Доказывается, что (будет использовано в основной теореме о гомоморфизме групп).


Факторгруппа.


Пусть - группа, H – ее нормальная подгруппа. - множество смежных классов G по H. На определим операцию




Основа этого определения: при произведение в смежных классов снова является смежным классом:




Покажем, что определено корректно, т.е. не зависит от выбора представителей смежных классов x H и y H


.








Теперь

Покажем, что - группа











Следовательно, - группа, которая называется факторгруппой G по H.

Обозначение:


Из теоремы Лагранжа


Гомоморфизм групп.


Определение 4. Пусть - группы. Отображение

называется гомоморфизмом групп, если

Гомоморфизм f называется изоморфизмом, если f - биекция.

- обозначение изоморфных групп.


Общие свойства гомоморфизма групп (без док-ва).


1. Пусть - единицы групп G и

2.

3.Композиция гомоморфизмов групп (если она определена) является гомоморфизмом групп.


Определение 5. - образ f.

- ядро f.


  1. - подгруппа в

- подгруппа в


Основная теорема о гомоморфизме групп.

I. Пусть - гомоморфизм групп,

Тогда: 1.

2. т.е. образ гомоморфизма изоморфен факторгруппе по ядру.

II. Обратно,

если - группа и сюръективный гомоморфизм и


Доказательство.

  1. 1.

2. - сюръекция (для любого отображения f).

Определим отображение



Это определение основывается на том, что гомоморфизм f на любом смежном классе gH принимает одно и то же значение:

если



(Это пояснение можно не приводить).


Корректность определения отображения



поэтому

- гомоморфизм:



умножение в факторгруппе G/H)


- инъекция:






- сюръекция:




b) - c) - биекция

a) - c) - изоморфизм групп.


  1. Пусть Определим отображение


Очевидно, что - сюръекция

- гомоморфизм: (группы на факторгруппу )




Найдем Если

следовательно,









Скачать 358,75 Kb.
оставить комментарий
страница4/4
Дата12.10.2011
Размер358,75 Kb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх