Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика» icon

Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика»



Смотрите также:
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
Периоды исторического развития математики...
Программа вступительного экзамена по математике в магистратуру...
Программа дисциплины дс...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Программа дисциплины опд. Фз...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа дисциплины дс. 11...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа по дисциплине «Компьютерные науки»...
Рабочая программа курса «Геометрия и алгебра» (наименование курса) Для государственных...
Чеченский государственный университет...



страницы: 1   2   3   4
вернуться в начало
скачать

^ Базис Жордана произвольного линейного оператора.


Пусть - л.о., над P – алгебраически замкнуто или содержит все корни характеристического многочлена

- характеристический многочлен при

- минимальный многочлен

Тогда существует


(1)

  • разложение в прямую сумму корневых подпространств,





где .

имеет единственное собственное значение базис (базис Жордана), в котором матрица - распавшаяся (блочно-диагональная) и равна прямой сумме Ж – клеток с собственными значениями Число этих клеток = число линейно независимых собственных векторов ) с собственными значениями max

высота Ж – клетки = - кратность в min многочлене

Объединим базисы Из разложения (1) следует, что получим базис всего В базисе e, который называется Ж – базисом л.о. , матрица = прямая сумма Ж – клеток с собственными значениями т.е. имеет по def НФЖ.


Замечание. Ж – базис л.о. не единственный, НФЖ матрицы л.о. определена с точностью до перестановки ее Ж – клеток (следует из единственности разложения в сумму корневых подпространств, единственности min многочлена и единственности цепи (1) в предыдущем разделе).


(!) В ы в о д : для любого л.о. над P - алгебраически замкнуто или содержит все корни характеристического многочлена Ж – базис в котором матрица имеет НФЖ.

(!) Следствие. Любая квадратная матрица над алгебраически замкнутым полем или полем, содержащим все корни характеристического многочлена этой матрицы, эквивалентна матрице, имеющей НФЖ.


ЛЕКЦИЯ 5. Классы линейных операторов, действующих на унитарных и

евклидовых пространствах.


Пусть - л.о. на унитарном или евклидовом пространстве ,

- сопряженный к л.о., определяемый равенством



В ортонормированном базисе матрицы и связаны соотношением

Нормальные операторы и их свойства.


Определение 1. Л.о. на унитарном или евклидовом пространстве называется нормальным, если

В ортонормированном базисе это эквивалентно следующему свойству матрицы




Теорема 1. Если a - собственный вектор нормального л.о. с собственным значением p, то a - собственный вектор с собственным значением


Доказательство.






Теорема 2. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям нормального л.о. ортогональны:


Доказательство.




Теорема о каноническом виде матрицы нормального л.о. на унитарном пространстве. Пусть - нормальный л.о. на унитарном Тогда в

Ортонормированный базис из собственных векторов в котором матрица диагональна.


Доказательство.

  1. Пусть - собственный вектор (он существует, т.к. над С – алгебраически замкнуто), - ортогональное дополнение к инвариантному подпространству размерности 1. Покажем, что - инвариантно относительно

т.к.

Т.о., - прямая сумма инвариантных подпространств (сумма прямая, т.к. для любого подпространства

2. В собственный вектор индуцированного оператора над С – алгебраически замкнуто),

Как на 1 – ом шаге показывается, что

- прямая сумма инвариантных относительно подпространств,

где - ортогональное дополнение к в пространстве

За n-1 шаг получим ортогональное разложение





где - собственный вектор с собственным значением при Из ортогональности разложения следует, что - ортогональный базис

из собственных векторов Перейдем от него к ортонормированному базису e:

Т.к. e – базис из собственных векторов, матрица в e диагональна и по ее главной диагонали стоят собственные значения


Теорема о каноническом виде матрицы нормального оператора на евклидовом пространстве.

Пусть - нормальный л.о. на евклидовом пространстве. Тогда в

ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид



где k + 2l = n, k или l могут = 0,

- действительные корни характеристического многочлена


- модуль i – ой пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения


Унитарные и ортогональные операторы.


Определение 2. Л.о. на унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если сохраняет скалярное произведение:




Из определения 2

Поэтому унитарный (ортогональный) л.о. является нормальным !

Т.к. унитарный (ортогональный) л.о. сохраняет скалярное произведение, то он сохраняет длину вектора, угол между векторами, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис и т.д.

Матрица унитарного (ортогонального) линейного оператора в ортонормированном базисе удовлетворяет условию и называется унитарной (ортогональной) матрицей.


Лемма 1. Все корни характеристического многочлена унитарного (ортогонального) л.о. равны по модулю 1.


Доказательство для унитарного л.о. Пусть - корень характеристического многочлена унитарного л.о. Тогда собственный вектор a л.о. с собственным значением - унитарный




Теорема о каноническом виде матрицы унитарного л.о.

В ортонормированный базис из собственных векторов в котором матрица диагональна и диагональные элементы по модулю равны 1.

Следует из теоремы о каноническом виде матрицы нормального л.о. на унитарном пространстве и леммы 1.


Теорема о каноническом виде матрицы ортогонального л.о.

В ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид



где


Следует из теоремы о каноническом виде матрицы нормального л.о. на евклидовом пространстве и леммы 1:


Самосопряженные (симметричные, эрмитовы) операторы.


Определение 3. Л.о. на унитарном или евклидовом пространстве называется самосопряженным, если

Из определения 3 () следует, что самосопряженный л.о. является нормальным.



Лемма 2. Все корни характеристического многочлена самосопряженного л.о. – действительные числа.


Доказательство для самосопряженного л.о. на унитарном пространстве

Пусть - корень характеристического многочлена л.о. Тогда в - собственный вектор с собственным значением




Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного л.о. на унитарном или евклидовом пространстве.

Пусть - самосопряженный л.о. на унитарном или евклидовом пространстве Тогда в ортонормированный базис из собственных векторов в котором матрица диагональна и по диагонали – действительные собственные значения

Следует из теорем о канонических видах матрицы нормального л.о. на унитарном и евклидовом пространствах и леммы 2.




ЛЕКЦИЯ 6. Билинейные и квадратичные формы.


Определение 1. Билинейная форма F на линейном пространстве над С или R - это отображение




удовлетворяющее условиям:


  1. фиксированного



2. фиксированного




Как правило, билинейные и квадратичные формы рассматриваются на унитарном или евклидовом пространстве


Матрица билинейной формы.


Пусть базис






- матрица F в базисе

- вектор, сопряженный к y,

транспонирование.


Зависимость матрицы билинейной формы от выбора базиса.


Пусть - другой базис - матрица перехода от e к

Тогда




где - матрица перехода от e к


Определение 2. - ранг матрицы билинейной формы в каком-либо базисе


Корректность этого def: т.к. умножение на невырожденные матрицы не меняют


Определение 3. Пусть F - билинейная форма на Отображение или R, называется квадратичной формой, определяемой билинейной формой F.

В комплексном случае билинейная форма однозначно восстанавливается по своей квадратичной форме, в действительном случае это выполнено, когда квадратичная форма определена симметричной билинейной формой (т.е. когда ). (Доказательство не нужно)


Определение 4. , т.е. ранг квадратичной формы равен рангу ее билинейной формы.


В базисе - матрица билинейной формы F в e.

- матрица F в


Определение 5. Билинейные (квадратичные) формы f и g на называются эквивалентными, ~ g , если невырожденный л.о. такой, что

- для билинейных форм;

- для квадратичных форм.

Если - унитарный или ортогональный л.о., то f и g называются унитарно эквивалентными.


Отношение ~ разбивает множество квадратичных (билинейных) форм на непересекающиеся классы эквивалентности. Какой наиболее простой вид имеет представитель каждого класса? Этот вопрос решается для следующих типов форм.


^ Эрмитовы и симметричные билинейные и квадратичные формы.


Определение 6. Билинейная форма F называется эрмитовой (симметричной), если

над C

Квадратичная форма f называется эрмитовой (симметричной), если соответствующая ей билинейная форма F эрмитова (симметричная).


Пример эрмитовой (симметричная) билинейной формы – скалярное произведение на унитарном (евклидовом) пространстве


Свойства эрмитовых (симметричных) форм.


  1. Матрица эрмитовой (симметричной) формы в любом базисе – эрмитова (симметричная):




  1. Если в некотором базисе матрица A билинейной или квадратичной формы F или f является эрмитовой (симметричной), то F или f - эрмитова (симметричная).



Доказательство. Пусть Тогда

- эрмитова (симметричная).

  1. Билинейная форма - эрмитова т.е. соответствующая ей квадратичная форма принимает только действительные значения.


Доказательство.

Пусть F – эрмитова,



не надо (сложно).


Определение 7. Эрмитова (симметричная) билинейная форма F имеет в базисе

пространства диагональный или канонический вид, если

, где все




Эрмитова (симметричная) квадратичная форма f имеет в базисе a диагональный или канонический вид, если

для симметричной f), где все

То есть в каноническом виде этих типов форм их матрица диагональная и диагональные элементы – действительные числа.


Теорема. Пусть F и f - эрмитовы (симметричные) формы на унитарном (евклидовом) пространстве Тогда в ортонормированный базис, в котором F и f имеют диагональный вид.

Доказательство. Пусть A – матрица F и f в некотором ортонормированном базисе e. A – эрмитова (симм.) матрица унитарная (ортог.) матрица U такая, что

- диагональная, - собственные значения матрицы A, , т.к. ^ A эрмитова (симм.).

Но по свойству унитарной (ортог.) матрицы U, так что

в ортонормированном базисе из векторов, сопряженных к собственным векторам матрицы A, F и f имеют диагональный вид (т.к. - матрица F и f в этом базисе).

Следствие. Эрмитова или симметричная форма унитарно эквивалентна форме, имеющей диагональный вид.

Пусть имеет собственное значение 0 кратности n-r. Тогда

и диагональный вид f записывается в виде

для эрмитовой f, для симметричной f.


ЛЕКЦИЯ 7. Классификация эрмитовых и симметричных квадратичных форм по

знаку.


Было доказано, что - эрмитова (симм.) квадратичная форма. Поэтому только эрмитовы и симметричные квадратичные формы можно классифицировать по знаку.





Скачать 358,75 Kb.
оставить комментарий
страница3/4
Дата12.10.2011
Размер358,75 Kb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх