Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика» icon

Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика»



Смотрите также:
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
Периоды исторического развития математики...
Программа вступительного экзамена по математике в магистратуру...
Программа дисциплины дс...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Программа дисциплины опд. Фз...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа дисциплины дс. 11...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа по дисциплине «Компьютерные науки»...
Рабочая программа курса «Геометрия и алгебра» (наименование курса) Для государственных...
Чеченский государственный университет...



страницы: 1   2   3   4
вернуться в начало
скачать

Определение. Ранг матрицы А - это max число ее линейно независимых строк или столбцов.


Следствие из теоремы. rgA = число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы А.

Теорема Кронекера –Капелли. Система линейных уравнений совместна


Доказательство.

Если система совместна, то столбец В линейно выражается через столбцы

Пусть Тогда В линейно выражается через столбцы А (иначе rgA =

= rgA+1) - решение системы.


Теорема. rgA = наивысшему порядку миноров матрицы А, не равных 0.


Доказательство. Заметим, что ЭП могут только изменить знак минора матрицы А, но не меняют его свойство быть равным 0 или не быть равным 0.

Пусть rgA=r. В ступенчатом виде матрицы А минор r – го порядка, стоящий на пересечении первых r строк с базисными столбцами равен а все миноры порядка > r имеют нулевую строку и, следовательно, равны 0. Сделаем с помощью ЭП переход от к А. Из свойств миноров при ЭП следует, что max порядок миноров матрицы А, не равных 0, равен r=rgA.

Следствие. Для квадратной матрицы А порядка n detA = 0 строки (столбцы) матрицы А линейно зависимы

Доказательство.

rgA< n минор порядка n (detA) равен 0 detA =0.


ЛЕКЦИЯ 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.


- линейное пространство над полем P

- линейный оператор (л.о.).


Определение 1. Вектор называется собственным вектором л.о. с собственным значением если


^ Нахождение собственных векторов и собственных значений л.о.


Пусть - некоторый базис , ^ А – матрица л.о. в базисе e,

- столбец координат x в e. в координатах (в базисе е)

где Е – единичная матрица,

()


- однородная система n линейных уравнений с n неизвестными и параметром

По определению 1 собственный вектор поэтому нужны ненулевые решения системы (). Система имеет ненулевые решения т.к., если то имеет единственное решение – нулевое.

Но - многочлен n – ой степени относительно (характеристический многочлен л.о. ), поэтому имеет ненулевое решение [x]

и т.е. - корень характеристического многочлена л.о. , принадлежащий полю P.

Пусть - корни принадлежащие P.

Подставим в ФСР при - множество линейно независимых собственных векторов л.о. с собственным значением

Подставим в последовательно и найдем как при все линейно независимые собственные векторы л.о. с собственными значениями


Замечание. Если P - алгебраически замкнутое поле, то все корни лежат в P и, следовательно, являются собственными значениями (для каждого корня собственный вектор). Поэтому над алгебраически замкнутым полем л.о. имеет хотя бы один собственный вектор. Если ^ P не алгебраически замкнуто, то корни могут не лежать в P и в этом случае не имеет собственных векторов (пример: - поворот ).


^ Диагональный вид матрицы линейного оператора.


Когда в базис, в котором матрица л.о. диагональна?

Напоминание: матрица л.о. в базисе е :

- столбец координат в базисе e.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования у л.о. диагональной матрицы).

Л.о. имеет в некотором базисе e матрицу диагонального вида базис e состоит из собственных векторов л.о. , а - собственные значения л.о.

Доказательство.

Пусть в базисе л.о. имеет диагональную матрицу

Тогда

= т.е. базис e состоит из собственных векторов л.о. с собственными значениями

Если базис состоит из собственных векторов л.о. с собственными значениями то матрица в e имеет вид

т.е. диагональна.


Следствие. У л.о диагональная матрица в базис, состоящий из собственных векторов л.о.

При каких условиях базис , состоящий из собственных векторов л.о. ?


Лемма. Собственные векторы л.о. , принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть - собственные векторы с различными собственными значениями при

Индукция по k.

При k = 1 - линейно независимая система, т.к.

Пусть линейно независимы. Покажем, что в этом предположении линейно независимы.

Пусть

  1. - подействуем

  2. т.к.

Умножим (1) на и вычтем из полученного равенства (2):

. Но - линейно независимы, поэтому Тогда из (1)

Следовательно, в (1) все коэффициенты равны 0

линейно независимы.


Теорема 2 (достаточное условие для существования у л.о. матрицы диагонального вида).

Если характеристический многочлен л.о. над P, имеет в поле P n различных корней (т.е. все его корни и различны), то в базис из собственных векторов , в котором матрица диагональна.

Доказательство. Действительно, в этом случае в линейно независимых (лемма!) собственных векторов , которые образуют базис из собственных векторов . По теореме 1 матрица в таком базисе диагональна.


Замечание. Условие достаточное, но не необходимое: тождественный оператор

имеет единственное собственное значение 1, но любой базис состоит из собственных векторов л.о.


ЛЕКЦИЯ 4. НФЖ матрицы линейного оператора.


- л.о., над P - алгебраически замкнутое поле.


Определение 1. называется корневым вектором высоты с собственным значением л.о. если но где

считается корневым вектором высоты 0, принадлежащим любому собственному значению л.о. Собственный вектор является корневым высоты 1.


Теорема 1. Множество всех корневых векторов с собственным значением является инвариантным подпространством в называется корневым подпространством с собственным значением


Теорема 2. где h – кратность корня в минимальном многочлене л.о.


Теорема 3. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям л.о. линейно независимы.


Разложение в прямую сумму корневых подпространств.


Теорема 4. Пусть - все различные собственные числа (значения) л.о.

Тогда

(*)

- прямая сумма корневых ( инвариантных) подпространств, где




Следствие. Для л.о. существует разложение в прямую сумму л.о.:

где

При этом л.о. имеет единственное собственное значение

Таким образом исследование л.о. сводится к исследованию линейных операторов , каждый из которых имеет единственное собственное значение


^ Построение Ж-базиса для л.о. с единственным собственным значением.


Нужная техника: понятие линейной независимости над подпространством.


Определение 1. Пусть L - подпространство в над P. Система векторов называется независимой над L, если или при Обычная линейная независимость – это линейная независимость над


Определение 2. Базис над L - это линейно независимая система из которая при дополнении ее любым базисом L дает базис


Лемма. Любую линейно независимую над ^ L систему можно дополнить до базиса над L.


Пусть л.о. над P - алгебраически замкнуто) имеет единственное собственное значение Тогда характеристический многочлен л.о. имеет вид - нулевой оператор

все векторы - корневые.

Минимальный многочлен л.о. делит

высота каждого вектора из

Для краткости записи определим л.о.

Из вида следует, что

Заметим, что:

  1. Инвариантные относительно и относительно подпространства совпадают:

L инвариантно относительно инвариантно относительно

Действительно,



  1. Собственные векторы имеют собственное значение 0 и являются собственными векторами с собственным значением и обратно.

Действительно, (единственность для )

Определим подпространства (i = 0,…,k)

- подпространство корневых векторов и высоты


При любом i - инвариантное относительно и подпространство.

Эти подпространства образуют цепь инвариантных подпространств:

почему?) (1)

(2)


Построим в Ж – базис (базис, в котором матрица имеет НФЖ).

Пусть - базис над Из (2) Покажем, что

- линейно независимы над Если не все = 0, такие, что

то

линейно зависимы над - противоречие.

Дополним линейно независимую над систему до базиса над

- базис над

Тогда

и линейно независимы над

дополним эту систему до базиса над и т.д.

За k-1 шаг получим следующие системы:


базис над

над

над

……………………………………………………….. ……………..

над

над


Теперь: (1) – базис - базис - базис




Перенумеруем базисные векторы снизу вверх, начиная с левого столбца:




………………………………………….






Найдем матрицу л.о. на инвариантном подпространстве




Поэтому в базисе подпространства матрица равна

- Ж – клетка порядка k.


В подпространствах, порожденных другими столбцами базиса - аналогично: матрица индуцированного л.о. будет клеткой Жордана с высотой, равной высоте столбца.

Т.к. = прямая сумма инвариантных подпространств, порожденных столбцами базиса т.к. все , матрица в базисе (Ж- базисе) есть прямая сумма Ж-клеток с собственными значениями .Число Ж-клеток = число линейно независимых собственных векторов (= число столбцов в (1) – (k)). Порядок Ж-клетки = высота соответствующего столбца. Максимальный порядок Ж-клетки = k =

= кратность множителя в минимальном многочлене .


Замечание. Очевидно, что Ж-базис не единственный.





Скачать 358,75 Kb.
оставить комментарий
страница2/4
Дата12.10.2011
Размер358,75 Kb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх