Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика» icon

Учебное пособие Москва 2003 Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика»


Смотрите также:
Попов А. М. Лекции по линейной алгебре...
Периоды исторического развития математики...
Программа вступительного экзамена по математике в магистратуру...
Программа дисциплины дс...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Программа дисциплины опд. Фз...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа дисциплины дс. 11...
«Математика. Прикладная математика»...
Программа по дисциплине «Компьютерные науки»...
Рабочая программа курса «Геометрия и алгебра» (наименование курса) Для государственных...
Чеченский государственный университет...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4
скачать
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ


Д.Н.Булгаков, Т.Е.Денисова, А.М.Попов, А.Н.Щурова


ОБЗОРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ




Учебное пособие




Москва


2003


Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям

«Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика».


Подготовлено на кафедре математического анализа Российского университета дружбы народов.


Авторы выражают признательность Ассоциации друзей РУДН и Фонду поддержки факультета физико-математических и естественных наук, благодаря финансовой поддержке которых создано это пособие.


СОДЕРЖАНИЕ.


Лекция 1. Линейные пространства: базис и размерность ..…………………………. 3

Лекция 2. Ранг матрицы ……………………………………………………..…….….. 9

Лекция 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора … 13

Лекция 4. НФЖ матрицы линейного оператора …………………………………… 16

Лекция 5. Классы линейных операторов, действующих на унитарных и

Евклидовых пространствах ………………………………………………… 21

Лекция 6. Билинейные и квадратичные формы ……………………………………. 25

Лекция 7. Классификация эрмитовых и симметричных квадратичных форм

по знаку …………………………………………………………………….. 29

Лекция 8. Введение в теорию групп …………………………………………………. 32


^

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные пространства: базис и размерность.



Определение 1. Линейное пространство над полем P – это алгебраическая система, состоящая из непустого множества L с двумя алгебраическими операциями:

Сложение: Умножение на элементы поля P:



Эти операции должны удовлетворять условиям:


  1. - абелева группа с нулем (нулевой вектор), т.е.:

  1. «+» - ассоциативно





  2. «+» – коммутативно.




  1. Условия на «»:

  1. где 1 – единица в P.

  2. (обобщение ассоциативности)

  3. (обобщение

  4. дистрибутивности)


Элементы линейного пространства ^ L называются векторами.


Из 1 – 8 следуют обычные правила операций с векторами.


Примеры линейных пространств: , многочлены степени над ^ P, многочлены любых степеней над P,


Линейная зависимость и независимость векторов.




Определение 2. называется линейной комбинацией.

Определение 3. Система векторов называется линейно независимой,

если из (0 –нуль в P).

Система называется линейно зависимой, если , не все равные нулю, такие, что


Лемма 1. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов .


Доказательство очевидно (но надо знать!).


Лемма 2. Если каждый вектор системы линейно выражается (равен линейной комбинации) через систему , а каждый вектор системы линейно выражается через систему , то каждый вектор системы линейно выражается через систему .


Определение 4. Бесконечная система векторов линейно независима любая ее конечная подсистема линейно независима. Бесконечная система векторов линейно зависима в ней существует линейно зависимая подсистема.


Система образующих линейного пространства.


Определение 5. Подмножество M линейного пространства L называется системой образующих, если


Лемма 3. Если в системе образующих M линейно выражается через

, то также является системой образующих.


Доказательство. Любой линейно выражается через M, любой вектор из M линейно выражается через линейно выражается через

- система образующих векторов линейного пространства L.


Базис линейного пространства.


Определение 6. Базисом L называется любая линейно независимая система образующих L.

Определение 7. (Эквивалентное def) Базис L – любая max по линейно независимая система векторов в L.


Доказательство эквивалентности def 6-7.

Если А - базис по def 6, то для x = комбинация из А линейно зависима A – max по линейно независимая система в L.

Если А – базис по def 7, то - линейно зависимая система в ней существует конечная линейно зависимая подсистема (x – обязательно войдет в нее – иначе А будет линейно зависимой – противоречие) не все = 0 :

Заметим, что (иначе - линейно зависимы А – линейно зависима) - система образующих L и линейно независима


А – базис по def 6.


Теорема о существовании базиса. В любом линейном пространстве существует базис.


Доказательство основывается на лемме Цорна. (Этот вариант желателен, т.к. он входит в вопросы по функциональному анализу).


^ Лемма Цорна. Пусть частично упорядоченное множество удовлетворяет условию: если В - его произвольное линейно упорядоченное подмножество, то т.е. В ограничено сверху. Тогда любой элемент подчинен некоторому максимальному элементу (def max эл-та : если для некоторого , то ).


Пусть - множество всех линейно независимых систем векторов из L. - линейно независимая система Ø. Определим на А частичный порядок Покажем, что удовлетворяет условиям леммы Цорна.

Пусть и B – линейно упорядочено по Покажем, что

Действительно, определим Покажем, что т.е. A – линейно независимая система.

От противного: если А – линейно зависимая система, то такие, что

- линейно зависимая система. Но .

B – линейно упорядочено среди наибольшее по и, следовательно, по множество Получили, что линейно независимая система содержит линейно зависимую подсистему - противоречие.

Следовательно, и - выполнены условия леммы Цорна. По лемме Цорна в ^ А существуют max по линейно независимые системы – базисы L.


Замечание. Одновременно доказано, что любая линейно независимая система содержится в некоторой max по линейно независимой системе - некотором базисе L.


Вместо этой теоремы можно доказывать:


Теорема. Из любой конечной системы образующих (если она существует) линейного пространства ^ L можно выбрать базис L.

Доказательство. Последовательно исключаем из векторы, которые линейно выражаются через предыдущие:

Исключаем если , получим ; пусть ;

Исключаем , если линейно выражается через , получим

- система образующих по лемме 3;

Исключаем , если линейно выражается через и и т.д.

За m шагов получим систему образующих (лемма 3) Покажем, что она линейно независима, т.е. является базисом L. От противного: пусть линейно зависима не все = 0 : Пусть Тогда - линейно выражается через предыдущие векторы – противоречие с процессом построения Следовательно,

- линейно независимая система образующих - базис L.


Основные свойства базиса линейного пространства L.


1. Любой вектор равен линейной комбинации базисных векторов.

Следует из опр. 6: базис – линейно независимая система образующих.


2. По свойству 1 называются координатами x в этом базисе.

Координаты вектора в базисе определены однозначно.

Доказательство. Если то




Определение 8. Линейное пространство L называется конечномерным, если в нем конечный базис.


Теорема о равномощности базисов конечномерного линейного пространства.

Любые два базиса конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.


Доказательство. L – конечномерно базис

(1)

Пусть

(2)



  • другой базис L (возможно бесконечный). Покажем, что число векторов в базисе (2) .



1-ый шаг.

(3)


- линейно зависимы не все = 0:



т.к. входит в базис (2). - иначе - линейно зависимы. Поэтому

линейно выражается через остальные векторы системы (3). Исключаем из (3), получим

(4)


  1. - система образующих (по лемме 3).


2-ой шаг.

(5)


  • линейно зависимая система образующих, т.к. линейно выражается через систему образующих (4). - линейно независимы один из векторов линейно выражается через остальные векторы системы (5). Исключим его из (5), получим систему образующих


(6)


3-ий шаг.


Присоединим к (6) и т.д.


Если (2) содержит более n векторов, то за n шагов получим систему образующих


(7)


(7) линейно независима как подсистема базиса (2) (7) – базис L. Если - получим противоречие: должен линейно выражаться через базис (7) L, но система

как подсистема базиса не может быть линейно зависимой. Следовательно, (2) – конечная система и

Поменяем местами (1) и (2) и повторим доказательство. Получим


Доказанная теорема позволяет ввести

Определение 9. Для конечномерного L число векторов в любом базисе L.


полностью характеризует линейное пространство над P :


Теорема. Любые два линейных пространства над P одной размерности изоморфны между собой.


ЛЕКЦИЯ 2. Ранг матрицы.


Напоминание о линейной оболочке системы векторов

линейного пространства L над P.

по подпространство в L, которое содержит .

Доказывается, что - множество всевозможных линейных комбинаций из векторов - система образующих для

число линейно независимых векторов в системе

Базис - любая max по числу векторов линейно независимая подсистема в системе


- прямоугольная матрица с элементами из поля P.

-ая строка - пространство строк длины n над P.

- j –ый столбец - пространство столбцов высоты m над P.

- пространство строк матрицы А.

- пространство столбцов матрицы А.

Цель: доказать, что , или

max число линейно независимых строк в горизонтальный ранг А.

max число линейно независимых столбцов в вертикальный ранг А.

Инструмент для доказательства – элементарные преобразования (ЭП) со строками А.


Определение. Матрица получена из матрицы А одним ЭП строк, если:


ЭП1: при (перестановка строк s и t).

ЭП2: при

ЭП обратимы (внутри каждого типа).


Лемма об элементарных преобразованиях матрицы (можно без доказательства).

Если матрица получена из матрицы А конечным числом ЭП, то





Достаточно доказать 1. – 2. для случая , когда получена из А одним ЭП.







2. Рассмотрим систему уравнений ЭП приводит ее к эквивалентной системе, поэтому Отсюда любой max линейно независимой системе столбцов матрицы А соответствует max линейно независимая система столбцов матрицы с теми же номерами. Поэтому


Теорема о ранге матрицы. Для любой матрицы А max число линейно независимых строк = max число линейно независимых столбцов - ранг ^ А.

Доказательство. Если А – нулевая матрица, то - теорема верна.

Пусть А – не нулевая. Тогда конечным числом ЭП (как в методе Гаусса) она приводится к ступенчатому виду









По лемме поэтому достаточно показать, что

Ненулевые строки линейно независимы

Столбцы с номерами i,k,l,…,p,s линейно независимы, а любой другой столбец равен их линейной комбинации, коэффициенты которой однозначно определяются как решение системы линейных уравнений

произвольный столбец у которой матрица системы имеет треугольный вид.

Число этих базисных столбцов равно r, так как каждая ненулевая строка в начинается с ненулевого элемента, определяющего базисный столбец. Поэтому


Доказанная теорема позволяет дать





Скачать 358,75 Kb.
оставить комментарий
страница1/4
Дата12.10.2011
Размер358,75 Kb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх