Урок лекция тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений icon

Урок лекция тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений


3 чел. помогло.
Смотрите также:
Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств...
План конспект па алгебре и началам анализа в 10 классе Тема урока: Тригонометрические уравнения...
Методическая разработка урока по предмету «Алгебра и начала анализа»...
Курс № тема л п 1 Текстовые задачи на составление уравнений, систем уравнений, неравенств. 1...
Программа по математике для вступительных испытаний...
Программа по математике для вступительных испытаний проводимых вузом самостоятельно Новосибирск...
Тема: Тригонометрические уравнения...
Конспект урока «Методы решения иррациональных уравнений»...
Задачи урока: Образовательные задачи: Закрепить знания обучающихся по теме: «Механика»...
План-конспект урока «Основные типы иррациональных уравнений»...
Учебная программа по дисциплине «Численные методы» Специальность 010200 Прикладная математика и...
Тема урока: Теорема Безу. Корни многочленов...



Загрузка...
скачать
УРОК – ЛЕКЦИЯ


Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений


Цели

Образовательные: - научить решать некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные) относительно одной из тригонометрических функций;

- однородные уравнения первой и второй степени относительно и.

Развивающие: - развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.

Воспитательные: - воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: - наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы.


Структура урока:

  1. Повторение изученного материала (устный счёт).

  2. Изучение нового материала.

  3. Закрепление изученного материала.

  4. Итог

  5. Домашнее задание.


^ ХОД УРОКА.


  1. Организационный момент

- Здравствуйте! Садитесь

  1. Работа на уроке

2.1) устная

Установите соответствие:

















Ответ:

1-5

2-6

3-7

4-8

5-9

6-10

7-11

8-12

9-1

10-2

11-3

12-4


^ 2.2) Изучение нового материала

На предыдущих уроках мы с вами научились решать

- базовые уравнения вида: ;

- простейшие уравнения вида:

Сегодня мы изучим с вами


- квадратные уравнения относительно или. (явного вида, пример 1-а), или сводящиеся к явному виду после использования основного тригонометрического тождества – это пример 1-б)) При их решении будим использовать метод замены переменной и метод разложения на множители;


- уравнения специального вида: однородные уравнения первой степени,

однородные уравнения второй степени.


^ 1.Метод замены переменной


Итак, начнём с вами решать уравнения, представляющие собой квадратные уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции, либо сводимые к нему используя метод замены переменной. Этот метод вам хорошо известен, вы не раз применяли его при решении различных уравнений.


ПРИМЕР 1-а)


Решение: Введём новую переменную: . Тогда уравнение примет вид:

D=25-16=9,

Значит, либо , либо

Первое из этих уравнений не имеет решений, а для второго получаем:

Ответ:


ПРИМЕР 1-б)

Решение: Если в уравнение входят тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом следует выбрать эту функцию так, чтобы получилось квадратное относительно неё уравнение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:



Ответ:


2. Метод разложения на множители.


Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений – методе разложения на множители. Решение уравнений, левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные (при этом значении переменной) имеют смысл, также сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом значении переменной. Т.е. если уравнение удаётся преобразовать к виду , то либо , либо.В подобных случаях обычно говорят так: задача сводится к решению совокупности уравнений ; .

При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: вынесения общего множителя за скобки; группировка; применение формул сокращённого умножения и деления, искусственные приёмы.


ПРИМЕР 2-а)

Решение: Задача сводится к решению совокупности уравнений:

Из этих уравнений находим соответственно:

Ответ:


Внимание! Хочу сразу обратить ваше внимание на один вопрос, который обычно беспокоит учащихся, особенно в начале изучения темы «Тригонометрические уравнения»: обязательно ли при записи разных серий решений тригонометрического уравнения использовать в качестве параметра различные буквы. Вернёмся к уравнению 1-б). Мы свели его к совокупности уравнений и записали ответ в виде:

Далее, мы рассмотрели уравнение 2-а), свели его к совокупности уравнений и записали ответ в виде:

В обоих случаях в качестве параметра использовалась одна и та же буква (в первом примере – k, во втором – n).И это правильно. Но если бы мы записали ответы в виде, соответственно:



то это тоже было бы верным. Здесь речь идёт о совокупности уравнений, т.е. о независимых друг от друга уравнениях. А вот в системах тригонометрических уравнений дело обстоит иначе: там необходимо использовать разные обозначения для параметра в различных уравнениях системы, это носит принципиальный характер.


ПРИМЕР 2-б)

Решение: Имеем: . Значит приходим к совокупности уравнений .

Из первого уравнения находим: .

Из второго уравнения находим: .

Ответ: ,


Внимание! Переход от уравнения к совокупности уравнений , не всегда безопасен.


ПРИМЕР 2-в)

Из уравнения находим: ;

из уравнения находим .

Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях входящий в заданное уравнение множитель не имеет смысла, т.е. значения не принадлежат области определения уравнения (ОДЗ) – это посторонний корень.


Ответ:


^ 3. Однородные тригонометрические уравнения.


В заключении познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.


Определение: Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени относительно и . В результате получается уравнение вида .


Определение: Уравнение вида называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени относительно и .

Если , то разделим обе части уравнения на , получаем уравнение ;

Если , то уравнение принимает вид и решается разложением на множители левой части: .


1. Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента (a и b) отличны от нуля, т.к. если , уравнение принимает вид , т.е. - такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает. Аналогично, получаем: , что тоже не требует отдельного обсуждения.

Итак, дано уравнение , где , . Разделив обе части уравнения почленно на , получим:

,

т.е. .

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению


Внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя).Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что . Тогда однородное уравнение примет вид , т.е. (вы ведь не забыли, что коэффициент отличен от нуля). Получается, что и , и , а это не возможно, т.к. и

обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на - вполне благополучная операция.

Уравнения вида тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения почленно делят на .


ПРИМЕР 3.1-а)

Решение: Разделим обе части уравнения на , получим:



Ответ: .

ПРИМЕР 3.1-б)

Решение: Разделим обе части уравнения почленно на , получим:



Ответ:


2. Рассмотрим теперь однородные тригонометрические уравнения второй степени.



Если коэффициент отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, легко убедится в том, что при интересующих нас значениях переменной не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на :



Это квадратное уравнение относительно новой переменной .

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении



коэффициент , т.е. отсутствует член . Тогда уравнение принимает вид



Это уравнение можно решить методом разложения на множители:



или

Получились два уравнения, которые мы решать умеем.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда , т.е. когда однородное уравнение имеет вид (здесь можно вынести за скобки ).

Фактически мы выработали

Алгоритм решения уравнения







  1. Посмотреть, есть ли в уравнении член .

  2. Если член в уравнении содержится (т.е. ), то уравнение решается делением обеих частей на и последующим введением новой переменной .

  3. Если член в уравнении не содержится (т.е. ), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносится .



Так же обстоит дело и в однородных уравнениях вида




ПРИМЕР 3.2-а) .

Решение: Разделим обе части уравнения почленно на , получим:



Значит, либо , либо

Из первого уравнения находим: , т.е. .

Из второго уравнения находим: .

Ответ: ;

ПРИМЕР 3.2-б)

Решение: Здесь отсутствует член вида , значит, делить обе части уравнения на нельзя. Решим уравнение методом разложения на множители:



Из первого уравнения находим: .

Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения на :




Ответ: , .


^ 3. Закрепление изученного.

Какие из уравнений в столбиках 1 – 3 лишние и почему?

1.



2.






3.




4. Домашнее задание: п.23, №23.1 – 23.4(а), 23.6(а), 23.8(а), 23.12 – 23.14(а)


Во время объяснения у доски решения уравнений учащиеся ничего не записывают в тетрадях. Весь класс смотрит на доску и мысленно прорабатывает каждый этап решения. После окончания решения на доске, каждый ученик должен воспроизвести это решение в тетрадях по памяти.






Скачать 85.94 Kb.
оставить комментарий
Дата01.10.2011
Размер85.94 Kb.
ТипУрок, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  3
средне
  1
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх