Задачи с параметрами разбиваются на два типа. Первый тип: \"найти все решения некоторого уравнения или нера­венства\", второй: \"найти все значения параметра, при icon

Задачи с параметрами разбиваются на два типа. Первый тип: "найти все решения некоторого уравнения или нера­венства", второй: "найти все значения параметра, при


Смотрите также:
Контрольная работа №1...
Решение. 1 Переформулируем условие задачи: найти значения параметра...
Решение во время лекции задач типа: “ Найти все что можно найти”...
Реферат Христианство в системе мировых религий...
Рабочая программа элективного курса по математике Уравнения и неравенства с параметрами 10 класс...
Шейла О'Фланаган...
Как правило, в земной жизни человеку нужно решить четыре задачи: найти Бога, раскрыть Любовь...
Задача частного выбора); в) Найти все оптимальные значения управления (задача полного выбора)...
3. основы проектирования производственных зданий...
Задачи по теории вероятностей и математической статистике...
Общие приемы конспект...
1. 3 Постановка задачи коммивояжера как задачи на графе...



Загрузка...
скачать
ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами разбиваются на два типа. Первый тип: "найти все решения некоторого уравнения или нера­венства", второй: "найти все значения параметра, при которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям." Напри­мер, задача "Решить уравнение относительно х (а - 4)х = а + 2 " от­носится к первому типу, задача "Найти целые решения уравнения х(а - 4) = а + 2 " - ко второму.

Методика обучения решению задач с параметрами состоит из трех этапов. Первый этап - подготовительный, второй - рассмотрение примеров решений задач с параметрами, третий - непосредственное ре­шение задач в следующей последовательности: решение за­дач первого типа, затем - второго.

На первом этапе осуществляется специальная подготовка учащихся посредством определенного блока задач, решение которых базируется на изученном ранее материале.


^ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Первый этап: для подготовки учащихся к решению линейных урав­нений с параметром следует повторить решение конкретных линейных уравнений вида:

Зх = 6, 2х - 3 + 4(х - 1) = 5, 0х = 7, 2х - 3 + 2(х - 1) = 4(1 - х) + 5, 0х = 0 , 2х + 3 - 6(х - 1) = 4(1 - х) + 5.

При ана­лизе результатов решения этих частных случаев выясняются соответству­ющие логические условия, от выполнения которых зависит разнообра­зие результатов. Это можно показать с помощью наглядной таблицы




Линейные уравнения имеют три различных типа результатов:

Р1 - единственное решение;

Р2 -отсутствие решений;

Р3 - бесконечное множество решений.

Таблица дает возможность перейти от решения частных задач к описа­нию алгоритма решения класса задач (линейных уравнений).

Уравнение, записанное в виде ах =b, будем называть стандартным.

Учащимся предлагается задание: "Привести уравнения к стандартному виду".

1) ах + 5 = 4х - 8;

2) х + а - 4ах = 7;

3) 8а2 - х = 4(х - а);

4) 3b - 3 = 2х(b - 4);

5) Зс - 8х = х - 3;

6) 2а(х + 5) = х(а - 4);

7) - 2(х - а) + 2х = 3(х + а) - 4а + 3 ;

8) а(х - 1) = Зх - 3;

9) (2 - а)(2 + а) + Зх = 1 + 2а2х;

10) - 3 + 2а + х = а2 + 1 - 2а.

Второй этап: Рассматриваются примеры решения уравнений с пара­метром.

Пример 1. Решить уравнение: х - 4 = ах .

Решение.

1 шаг: приведем уравнение к стандартному виду

х - ах = 4, х(1 - а) = 4.

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) если 1 - а0, то ;

2) если 1 - а = 0, то стандартное уравнение принимает вид: 0х = 4 -

уравнение решений не имеет.

3 шаг: Запишем ответ. При записи ответа важно отразить все этапы решения.

Ответ: если а1 то х = 4/(1 - а);

если а = 1, то нет решения.

Замечание. Ответ можно записать и в следующем виде:

х = 4/(1 - а), при а1; нет решений при а =1.


ВЫВОД: решить уравнение (неравенство) с параметром - значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства).

При подборе линейных уравнений (неравенств) с параметром необхо­димо относительно а, b рассмотреть случаи: а) а - многочлен относи­тельно параметра, b -число; б) а - число, b- многочлен относительно параметра;

в) а и b многочлены относительно параметра.

В зависимости от класса многочлены могут быть разных степеней.

Пример 2. Решить уравнение относительно х : 4х +1 = а.

Решение.

4х = а - 1, .

Ответ: , а - любое.

Пример 3. Решить уравнение относительно х : 4х + 1 = а-1

Решение.

1) , если а 0;

2) если а = 0, то решений нет.

Ответ: если а 0, то ; если а = 0, то решений нет.

Пример 4. Решить уравнение относительно х : (а+ 1)х =а + 1 .

Решение.

1) а + 10, при а- 1, х = 1;

2) а + 1 = 0, при а = -1, уравнение принимает вид 0х = 0, решением его является любое число.

Ответ: х = 1 при а-1; х - любое при а = - 1.


Пример 5. Решить уравнение относительно х : b2 х - 7 = 49х + b.

Решение.

1 шаг: приведем уравнение к стандартному виду:

b2х - 49х = b+ 7,

х(b2 - 49) = b + 7,

х(b - 7)(b + 7) = b + 7.

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) (b7)(b+ 7) 0, то есть b 7,b-7 :

2)(b-7)(b+7)=0.

а) b= 7, то стандартное уравнение принимает вид 0х = 14 - решений нет;

б) b= -7, то стандартное уравнение принимает вид 0х = 0, х - любое.

З шаг:

Ответ: при b 7,b-7 ;

решений нет при b= 7 ;

x- любое при b= -7.


^ ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

При решении неравенств важно помнить, что при делении неравенст­ва на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное - меняется на противоположный.

Пример 6. Решить неравенство ах - 2х > 4 относительно х.

Решение.

1 шаг: Приведем неравенство к стандартному виду

ах - 2х > 4, (a - 2) > 4.

2 шаг: Рассмотрим три случая а - 2> 0, а - 2 < 0, а - 2 = 0.

1) если а-2>0, а >2, то x >.

2)если а-2<0, то х <.

3) если а - 2 = 0, а = 2,то стандартное неравенство примет вид 0х > 4, оно не имеет решений.

3 шаг:

Ответ: при а > 2, x >;

при а < 2, х <;

при а = 2 нет решений.

Пример 7. Решить неравенство 4х > 2х + а + 1 относительно х .

Решение.

4х - 2х > а + 1, 2х > а + 1 - стандартный вид.

x >, а - любое.

Ответ: х > при любом а .

Третий этап:

Задачи.

Линейные уравнения и неравенства.

11.Заполнить пропуски.

а) ах + 1 = х.

Приведем уравнение к стандартному виду

х(а-...) = -1.

1) а... х =.

2) а..., то стандартное уравнение примет вид х... = -1, уравнение ............

Ответ: при а... х =;

при а =...

б) 3(х + а) = 2(х - 4).

Приведем уравнение к стандартному виду Зх + За = 2х - 8,

х=...-8,

Ответ: х =..., а-

в) (а - 4)х = а2-16.

1) а - 40, то есть а 4,то х = а + 4;

2) а - 4 =..., то есть а =..., то уравнение принимает вид ...х =...

х-...

Ответ: если а ..., то х = а - 4 ;

если а =... ,то х-...

12. В уравнении (с - 2)х = с 2 - 4 замените параметр с числом:

а)с = 1; б)с = 2; в)с = 4. Найдите корни полученного уравнения.

13. При каком значении параметра b прямая у = 2х + b проходит через точку

А(-1;5)?


14. При каком значении параметра а прямая у = Зх - 4a проходит через точку

В(-2;8)?

15. Указать, при каких значениях параметра а уравнение ах + 7 = 2х + 3 имеет

корень, равный а) 1; б) 2 ?

16. Найдите корни уравнения (b2 - 9)х = b - 3 при :

а) b= 1; б)b = 3;в)b= -3.

Решить уравнения относительно х .

17. сх + 3 = х; 21. (а - 1)х + 2 = а + 1;

18. bх = 4; 22. а2х = 9х + 3 + а;

19. х - 4 = с; 23. с2х-4 = 16х + с;

20. Зх - 1 = а + 2х + 3; 24. а(х - 1) = Зх - 3;

25. b(b + х) = 49 - 7х.

Решить неравенства относительно х.

26.bх>2; ЗЗ.ах + 5<5 + а;

27. - ах > Зх + 4; 34. х + 2 > ах;

28. ах + 3 > ах ; 35. (х + 2а) + (х - а) < За;

29. х > х - а; 36. (х - За) + (х - а) < 2а;

30. х + с<5; 37. с2х - 2>4х + с;

З1.ах >2 + х; 38. b2х - b> 25х + 5;

32. 2х - 2>х - 2; 39. а(а + х) > 16 - 4х;

40. х + а2 >х + а2.

41. При каком целом значении параметра b уравнение bх + 2 = 0 не имеет

решения?

42. Найдите значения а, при которых корень уравнения

2(х - 3) - а = x + 8 является положительным числом; отрицатель­ным

числом.

43. При каких целых значениях b уравнение (b - 1)х = 19 - (12 - х) имеет

целые корни ?

44. При каких значениях а уравнение 5(х - 1) - 3(а - 2) = 5 имеет ко­рень,

принадлежащий промежутку 1 < х < 6 ?

45. Найдите с, при которых корень уравнения сх - 3 = 4(2 - х) являет­ся целым

числом.

46. При каких а уравнение (а2 - 5а + 6)х = а - 2

1) не имеет корней;

2) корнем является любое число?

47. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

4х + 8а = 8 + 2х + За имеет корень, больший 1.

48. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

6 - За + 14х = 12х + За имеет корень, меньший 1.

49. При каком значении параметра а уравнение ах - 4 =Зх имеет ко­рень,

равный 8 ?

50. Указать, при каких значениях параметра а уравнение

0,5 (5х - 1) = 4,5 - 2а(х - 2) имеет бесконечное множество ре­шений.

51. При каком значении с среди решений неравенства сх < 5 есть реше­ние,

равное 1?

52. При каком значении а среди решений ах > -3 есть решение, равное 8?

53. При каком значении b неравенство bх - 3 > b - Зх имеет решения х>1 ?

54.При каком значении а неравенство ах - 4 < х имеет бесконечное

множество решений ?

55. Для какого значения b неравенство 2х > 8 - bх не имеет решений ?

56. Для какого значения b неравенство bх - 4 > b - 4х имеет решения х<1 ?


^ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ

ПАРАМЕТР

Подготовительный этап: Повторить методы решения систем линейных уравнений: подстановки, сложения, графический.

Можно разобрать следующие задачи:

1. Объясните, почему система уравнений не имеет решений

а) б)

2. Объясните, почему система уравнений имеет бесконечное множество

решений

а) б)

3. Объясните, почему система имеет единственное решение

а) б)

4. Решите графически систему уравнений, если известно, что первое уравнение этой системы обращается в верное равенство при х = 5, у = - 3



ВЫВОД: При решении системы линейных уравнений возможны три ситуации: система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений.

Повторенные способы решений систем линейных уравнений вполне пригодны для решения систем линейных уравнений, содержащих пара­метр.

^ Второй этап: Можно предложить учащимся схему решения систем линейных урав­нений, содержащих параметр, методом подстановки.

Схема.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение сис­темы.

3. Решить полученное уравнение с параметром относительно х .

4. Найти у, используя результаты третьего и первого шагов.

5. Записать ответ.

Пример 10. Для каждого значения параметра а решить систему

уравнений



Решение.

1 шаг: Выразим из первого уравнения у через х :

у = 1 - х.

2 шаг: Подставим найденное значение во второе уравнение:

ах + 1 - х = 2а

3 шаг: Приведем уравнение к стандартному виду:

ах - х = 2а - 1,

(а - 1)х = 2а - 1,

1) при а - 1 0, то есть, а 1, ;

2) при а - 1 = 0, то есть, а = 1, стандартное уравнение примет вид

0х = 1 - нет решений.

4 шаг: Найдем у, используя результаты третьего и первого шагов

1) если а 1,то ;


2) если а = 1, то у не существует

Ответ: если а 1, то ;

если а = 1, то решения нет.

При решении этой системы можно было воспользоваться методом алгебраического сложения.

Пример 11. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет бесконечное множество решений



Решение.

Первый способ (метод подстановки).

1. Из первого уравнения выразим х :

.

2. Подставим это выражение во второе уравнение, получаем

, далее умножим обе части уравнения на 3 и уп­ростим его За - а2у + 9у = 9 у(а2 - 9) = 3(а - 3) .Анализи­руя последнее уравнение, отметим, что при а = 3 оно имеет вид 0у = 0, решением этого уравнения является любой у, следовательно, при най­денном а и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а - 3 система имеет бесконечное множество решений.


Второй способ.

Система линейных уравнений имеет бесконечное множество реше­ний тогда и только тогда, когда коэффициенты при неизвестных и сво­бодные члены пропорциональны, то есть имеем : 3/а = а/3 = 3/3 , от­куда следует а = 3 .


Пример 12. Найдите все значения параметра а, при которых система

уравнений не имеет решений.

Решение.

Эту систему можно решать также двумя способами. Рас­смотрим второй способ.

Данная система не имеет решений тогда и только тогда, когда



1) Из уравнения находим : а2 = 1, откуда имеем а = 1, а = - 1,

2) Из уравнения а/1 = а/(2а - 1) имеем 2а2 - 2а = 0 2а(а - 1) = 0а = 0,

а = 1.

Из пунктов 1) и 2) имеем

и находим, что а = - 1.

Ответ: при а = - 1 система не имеет решений.

Пример 13. Найти все значения к, при которых система имеет

единственное решение

Предложить учащимся решить эту систему методом подстановки, а затем разобрать второй способ.

Решение.

Для того ,чтобы линейная система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, от­вечающие уравнениям пересекались, то есть, чтобы было выполнено

условие:. откуда получаем к24,т.е. к2,к-2. Следовательно, условию задачи удовлетворяют все значения параметра к, кроме к = 2,

к = -2.

Ответ: при к 2, к -2 система имеет единственное решение.

Для освоения решения систем линейных уравнений вторым спосо­бом необходимо в классе иметь справочную таблицу (таблица 1).

^ Третий этап:

Задачи.

57. Для каждого значения параметра решить систему

а) б) в)

г) д) е)

з) ж)

58. При каких значениях параметра а система не имеет решений ?

а) б) в)

г)


59.Найти все значения параметра b, при которых система имеет бесконечное

множество решений.


a) б) в)


г)

60.Найти все значения параметра с, при которых все решения системы

уравнений удовлетворяют заданному условию.

а)где х >0, y >0; б) где х > y.


ТАБЛИЦА 1.








a1/a2=b1/b2=c1/c2;

бесконечное множество решений

х - любое, y=c - ax/b.

y



x



пересекает ;



единственное решение










y


x


нет решений.




^ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР

Задачи первого типа с одним параметром представлены в школьных учебниках по алгебре 8-9 классов. Поэтому остановимся на некоторых задачах второго типа, а именно: задачах на расположение корней квад­ратного уравнения относительно числа А , пары чисел А и В , исследо­вания знаков корней. При решении таких задач учащиеся зачастую стре­мятся использовать сведения, лежащие на поверхности, и с их помощью как можно быстрее перевести задачу на формальный язык. Однако такой путь решения далеко не всегда является оптимальным.

Поясним это на примере. Пусть дана задача: "При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения

х2+(4а + 5)х + 3 - 2а = 0?"

Учащиеся предлагают, как правило, следующее решение.

Решение.

Пусть D>0, х1 и х2 - корни квадратного уравнения, при­чем х1< х2 . Формализуя требования задачи, получим следующую систе­му неравенств:



Но решить данную систему учащиеся в курсе девятилетней школы не могут, да и в курсе старших классов решение наталкивается на значи­тельные технические трудности. Поэтому возникает необходимость в отыскании условий, которые бы упростили решение рассмотренной выше задачи. Большую помощь в отыскании условий оказывает графический перевод данных задачи. Графические представления дают возможность взглянуть на все условия в совокупности и отыскать наиболее простой способ решения.

^ Подготовительный этап.

Задача 1. Схематично изобразить график трехчлена

у = х2 + х - 2 . На оси ОХ изобразите точку А = 3 . Сравните корни трехчлена с числом А . Может ли вершина параболы располагаться правее А ? Ответить на вопросы при А = 4 .

В этой задаче корни трехчлена были разных знаков. Можно предло­жить учащимся аналогичные задачи с одинаковыми знаками корней трех­члена.

Задача 2. Дан трехчлен у = - х2 - х + 2.

1) Найдите корни трехчлена. Сравните их с числом 3 .

2) Найдите вершину параболы. Как она расположена по отношению к числу х = 3 ?

3) Сравните значение трехчлена в точке х = 3 с нулем.

Схематично изобразите график трехчлена. Покажите на рисунке ус­ловия

1), 2), 3).

Задача 3. По графику трехчлена у = ах2 +bх + с ответить на во­просы:

1) Какой знак коэффициента а ?

2) Сравнить корни трехчлена, вершину параболы с числом х = А.

3) Какое по знаку число у(А) ?




Рис. 6.


Задача 4. По рис. 7 найдите число а, для которого x1 < а и х2 < а . Как расположена вершина параболы по отношению к числу а ?




Рис. 7.

Задача 4. Какой график соответствует трехчлену у = ах2 +bх + с , для которого выполнены условия:


а) б) в)


x2

x2

x2

x2

x2





Рис.8.

Второй этап: Обобщая решения предложенных выше задач, формулируется теоре­ма 1 о расположение корней квадратного уравнения. В зависимости от класса, профиля доказательство может проводиться или не проводиться.

Теорема 1. Пусть х1 и х2 корни квадратного трехчлена f(х) = ах2 +bх + с, у которого D = b2 - 4ас > 0, а 0 и дано число А - некоторая точка оси ОХ. Тогда оба корня меньше А , то есть, x1 < А и х2 < А тогда и только тогда, когда

или



a>0

x

f(A)


Рис. 9.

Приведем доказательство данной теоремы для случая а > 0 . Пусть оба корня меньше числа А . Тогда D > 0, так как корни действи­тельны; абсцисса вершины хв = - b/2а < А , так как она лежит между корнями, и, наконец,

f(А) > 0, так как А лежит вне интервала. И обрат­но, пусть выполнены условия. Тогда оба корни действительны; f(А) > О означает, что точка А лежит вне интервала между корнями, а условие хв < А обеспечивает то, что А больше большего корня, в противопо­ложном случае А было бы меньше меньшего корня, и следовательно, меньше полусуммы корней, которая равна b/2а .

Аналогично, пользуясь графическими представлениями, можно сфор­мулировать теорему о расположении корней трехчлена по разные сторо­ны от числа А . Приведем краткую формулировку.

Теорема 2. Корни квадратного трехчлена лежат по разные стороны от числа A , то есть, х1 < А < х2 тогда и только тогда, когда


или



Рис.10.


Предложить учащимся самостоятельно, пользуясь графическими представлениями, найти условия для случая, когда оба корня трехчлена больше числа А .

Теорема 3. Оба корня квадратного трехчлена больше числа А, то есть,

х1 > А и х2 > А тогда и только тогда, когда


или


a>0


Рис.11.


Пользуясь рисунками, можно сформулировать еще две теоремы.


a>0

a<0


Рис. 12.



Рис. 13.


Теорема 4. Оба корня лежат на интервале (А,В) , то есть, А<x1x2
или


Теорема 5. Числа А и В лежат между корнями, то есть, х1 < А < В < х2 тогда и только тогда, когда

или

Теорему 5 можно было сформулировать, используя понятие отрезка.


Пример 14. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 + (4а + 5+ 3 - 2а = 0 ?

Решение.

Воспользуемся теоремой о расположении корней квадрат­ного трехчлена (корни лежат по разные стороны от числа А ). Учащимся можно предложить перевести снова условие задачи на графический язык. Для удовлетворения требований задачи следует потребовать выполнения неравенства f(2) < 0, то есть,

4 + 2(4а + 5) + 3 - 2а < 0,

17 + 6а < 0, откуда получаем a<-17/6.

Ответ: а < - 17/6.

Пример 15. При каких значениях параметра а оба корня

х2 + ах + 36= 0 больше 1 ?

Решение.

Для того чтобы выполнялось условие х1 > 1, x2 > 1, составим систему

то есть,

Решение системы а (- 37,- 12) .

Ответ: а (- 37;- 12) .


Пример 16. Найдите, при каких значениях с квадратный трехчлен

х2+ сх + 6с отрицателен при всех х , удовлетворяющих условию

1 < х <2.

Решение. Эта задача сводится к выявлению условий, при которых ин­тервал (1;2) лежит между корнями трехчлена. Поэтому применим сформулированную выше теорему 5. Нужное требование выполняется, если

f(1) и f(2) отрицательны, то есть, выполняется система неравенств:


Имеем откуда получаем с< - 1/2.


Ответ: с < - 1/2.

Пример 17. Найти все значения а, при которых корни уравнения х2 + х + а =0 меньше 2.

Решение.

Воспользуемся теоремой 1. Запишем условия:


то есть,


Третье условие системы выполнимо при любом а, первое при а 1/4, второе - а >- 6 . Решение системы а (-6; 1/4].

Ответ: а (- 2; 1/4].

Не следует разучивать все теоремы, необходимо, чтобы учащиеся по­няли принцип получения их и умели проводить необходимые рассужде­ния. Поэтому решение всегда следует начинать с перевода условий задачи на графический язык, а затем уже записывать условия, необходимые для выполнения требований задачи.

Рассмотрим задачу, для решения которой нам придется "открыть" но­вую теорему.

Пример 18. Найти все те значения параметра b, при которых один из корней уравнения х2 + bх + 1 = 0 лежит на интервале - 1 < х < 1?

Решение.

Переведем условия задачи на графический язык (рис. 14). Ясно, что в первом случае


во втором

Эти условия можно записать: f(- 1)f(1) < 0. Итак, получили новую

теорему (рис. 15).

Теорема 6. Для того чтобы ровно один корень трехчлена лежал на интервале (А; В) необходимо и достаточно, чтобы в точках А и В трех­член имел значения разных знаков, то есть, f(А)f(В) < 0.

Для решаемой задачи имеем f( - 1) = 2- b, f( 1 ) = 2 + b, их произ­ведение – (2-d) (2 + b) < 0, откуда будем иметь b < - 2 или b >2.

Ответ: b < - 2 , b > 0 .




Рис.14.




Рис.15.а.




Рис.15.б.

Третий этап:


Задачи .

61.Найти все значения параметра р, при которых уравнение х2+ 4х - р = 0 имеет корни, меньшие - 1.

62. Найти все те значения параметра р, при которых корни квадратного

уравнения рх2 - 2х + 1 = 0 больше, чем - 1.

63. При каких значениях параметра а один из корней квадратного

трехчле­на f(х) = х2 + (а -2)х + а больше 3, а другой меньше 3 ?

64. Найти, при каких значениях b квадратный трехчлен

f(х) = x2 + 2bх + b - 3 отрицателен при всех х, удовлетворяющих

условию 2 < х < 3 ?

65. При каких значениях р корни квадратного трехчлена

f(х) = pх2 - (р - 1)х - 4 лежат по разные стороны от отрезка

[- 1;2] ?

66. Найти все те значения параметра b, при которых корни квадратного

уравнения х2 - 4хb = 0 лежат между числами 1 и 4 .

67. При каких значениях параметра к число - 2 заключено между корнями

уравнения х2 + (3к - 1)х + к - 1 = 0 ?

68. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ровно один

корень уравнения 3х + 2(а - 1)х + За + 1 = 0 удовлетворяет

неравенству - 1 < х < 1

69. При каких значениях параметра а число 3 заключено между корнями

уравнения х2 - (2а + 1)х + 4 - а = 0? .

70. Найдите все значения параметра а, при которых квадратное

уравнение Зх2 - 4(3а - 2)х + а + 2а2=0 имеет корни х1 и х2,

удовлетворяющие условию х1 < а < х2 .

71. Найдите все значения b, при которых корни уравнения х2 + x + b = 0

больше b .

72. При каких значениях а корни уравнения 2х2 - 2(2а + 1)х + а(а - 1) = 0

удовлетворяют неравенствам х1 < а < х2 ?

73. При каких значениях b уравнение (2 - b)х2 3bх + 2b = 0 имеет корни

x1 и х2 такие, что x1 < 1/2, х2 > 1/2 ?

74. При каких значениях параметра с один из корней квадратного

трехчлeна f(х) = 4х2 - 4х - Зс лежит на отрезке [-1;1] ?

75. При каких значениях параметра а оба корня трехчлена

f(х) = 4х2 - 4х - За расположены на отрезке [-1;1] ?

76. Найдите все значения параметра а, для которых уравнение

х2 - 2(х - 1) + 2а + 1 = 0 имеет два различных положительных кор­ня.

Последнюю задачу можно решать с использованием рассмотренного выше материала (А = 0) , а также и с использованием теоремы Виета.

Рассмотрим задачи с параметром на определение знаков корней квад­ратного трехчлена. Предварительно с учащимися повторить аналогичные задачи для квадратных уравнений, не содержащих параметр, например: "Не решая уравнения, определить знаки его корней:

1)х2 - 4х - 5 = 0; 3)х2+5х + 3 = 0;

2)х2 - 5х + 3 = 0; 4)х2 + 8х - 7 = 0".

Обратить внимание учащихся на то, что если свободный член уравне­ния - положительное число, то оба корня либо положительны, либо от­рицательны; если свободный член уравнения - отрицательное число, то корни различны по знаку. Сумма корней уточняет их знаки. Можно сфор­мулировать две теоремы, доказательство которых проводить не следует.

Теорема 7. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одина­ковые знаки, необходимо и достаточно выполнение соотноше­ний: D = b2 - 4ас > 0, х1х2 = с/а > 0, при этом оба корня будут пол­ожительны, если дополнительно выполняется условие х1 + х2 = - b> 0, и оба корня трехчлена отрицательны, если x1 + х2 = - b< 0.

Теорема 8. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение отношения:

x1x2 = с/а < 0.

Пример 19. Найти значения параметра а, при которых уравнение

x2 + 4х + а = 0 имеет два различных отрицательных корня.


Решение.

В соответствии с теоремой 7 запишем условия:



Первое соотношение выполняется при а < 4, второе - при а > 0, а третье - при всех значениях а. Решение этой системы а (0,4) .

Ответ: а (0,4) .

Пример 20. При каких значениях параметра т уравнение

x2 + 6x + 7 + т = 0 имеет корни разных знаков?

Решение.

Для решения воспользуемся теоремой 2.

х1х2 =7 + т <0, откуда т< -7.

Ответ: т < -7 .

Следует обратить внимание учащихся на то, что, если свободный член отрицателен, то дискриминант всегда принимает положительное значе­ние.

Пример 21. При каких значениях п оба корня уравнения x2 - 2пх + 2п + 3 = 0 положительны ?

Решение.

Запишем условия в соответствии с сформулированной тео­ремой:



Первое неравенство выполняется при п < - 1; п > 3 , второе - п > - 1,5 ,

третье - п > 0. Решением системы являются все п > 3 .

Ответ: п>b .

Пример 22. При каких значениях параметра а уравнение ах2 - 7х + 4а = 0 имеет отрицательные корни ?

Решение.

1. Рассмотрим а = 0, тогда уравнение принимает вид: 7х = 0, откуда х = 0 . Этот корень не удовлетворяет требованию задачи.

2. Пусть а 0, тогда по теореме 7 имеем:



Первое условие выполняется при - 7/4 а 7/4 ; второе верно для всех а , третье - а < 0 . Решением системы является [- 7/4 ;0) .

Ответ: [- 7/4 ; 0).

Третий этап:

Задачи.

77. При каких значениях а оба корня уравнения х2 (а + 1)х + а_+ 4 = 0

оказываются отрицательными?

78. При каких значениях т корни уравнения 4х2 -т + 1)х - т - 2 = 0 оба

положительны ?

79. При каких значениях р оба корня квадратного трехчлена

f(x) =x2 + 2(p+ 1)х +7p - 5 отрицательны ?

80. При каких а корни уравнения х2 - 7х + а - 4 = 0 разных знаков ?

81. При каких значениях п корни уравнения х 2 - 2пх + n + 3 = 0 раз­ных

знаков?

82. Найти все значения а, при которых оба корня уравнения Зх2 + ах - 6 = 0

разных знаков, причем отрицательный корень по модулю больше

положительного.

83. Найдите все значения т, при которых квадратный трехчлен

у = 2х2 + тх - 4 имеет положительный корень, больший по моду­лю,

чем отрицательный ?

84. Найдите все значения а, при которых корни уравнения

ах2 + 2(а + 3)х + а + 12 = 0 1) отрицательны; 2)неотрицательны.

85. Найдите значения а, при которых уравнение ах2 - (а + 1)х + а + 3 = 0

имеет корни разных знаков.

86. При каких n оба корня уравнения (п - 2)х2 2nх + n + 3 = 0

положительны ?

87. Определить т так, чтобы уравнение (т - 5)х - 4тх + т - 2 = 0 имело

корни противоположных зна­ков.

88. Для уравнения в № 87 определить m так, чтобы оба корня были положительны.

89. Установите, для каких значений а корни уравнения

х2 - 2(а - 1)х + а + 5=0 1) положительны; 2) отрицательны;

3) имеют разные знаки.

90. Найдите все значения к, при которых уравнение

(k - 4)х2 - 2(к - 3)х + к = 0 имеет положительные корни.

91. При каких значениях параметра р оба корня квадратного уравнения

(р - 2)х2 - 2рх + p+1 = 0 положительны?

92. При каких значениях а уравнение х2 - 2(а - 2)х + а2 - 2а - 3 = 0 имеет два

различных положитель­ных корня?


^ КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

При решении квадратных неравенств, содержащих параметр, также необходимо обратиться к графику квадратного трехчлена.

Подготовительный этап: Cостоит в повторении методов решения квадратных неравенств. Именно на этом этапе следует разобрать решение за­дач следующего типа: "Пользуясь рисунками, в каждом случае записать решение неравенства

1) ах2 +bx + c >0;

2)ах2+bх + c <0" (рис. 16).

Разбирая решение неравенств, необходимо каждый раз выяснять зна­ки дискриминанта, числа а .

^ Второй этап:Обычно у учащихся вызывают затруднения случаи а) и е). Эти случаи можно сформулировать как теоремы. Доказательство проводить не сле­дует.

Теорема 9. Если квадратный трехчлен ах2 + bх + с не имеет корней

(то есть, D < 0) и если при этом а > 0, то при всех х выполнено нера­венство ах2 + bх + с > 0 . В этом случае неравенство ах2 + bх + с < 0 не имеет смысла.




Рис.16.

Теорема 10. Если квадратный трехчлен не имеет корней (то есть, D < 0) и

если при этом а < 0, то при всех значениях х выполнено неравенство

ах2 +bх + с < 0 . В этом случае неравенство ах2 + bх + с > 0 не имеет смысла.

Рассмотрим решение квадратных неравенств, содержащих параметр.

Пример 23. Найдите все значения параметра b, для которых при всех действительных х выполнено неравенство х2 - (2 + b)х + 4>0.

Решение.

Коэффициент при х2 положительный, следовательно, что­бы неравенство выполнялось при всех х, трехчлен должен иметь отрицательный дискриминант. Найдем его: D = b2 +4b - 12, решим нера­венство

b2 + 4b - 12 < 0.

Трехчлен у = b2 + 4b - 12 имеет корни - 6 и 2 . Нарисуем схема­тично график параболы у = b2 + 4b12




Рис. 17.

Имеем D < 0 при - 6 < b< 2 . Именно при этих значениях пара­метра b исходное неравенство выполнено для всеx х .

Ответ: - 6< b <2.

Пример 24. Найдите все значения параметра а, для которых при всех действительных значениях х выполнено неравенство ах2 + ах + 3 < 0.

Решение.

1 шаг: Найдем дискриминант квадратного трехчлена D= а2 -12а.

2 шаг: Решим неравенство а2 - 12a<0.Имеем 0 <а < 12 .

3 шаг: Для того чтобы неравенство выполнялось при всех х, следует еще определить знак при х2.Он по теореме должен быть отрицательным чис­лом , то есть, а < 0

4 шаг: Найдем те а, при которых одновременно дискриминант и старший коэффициент - отрицательны, то есть надо найти решения системы

:

Ответ:таких а не существует

Пример 25. Решить неравенство относительно х: х2 +4х-4а> 0.


Решение.

1. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

D/4 = 4 + 4а.

2. Выясним, при каких значениях параметра а D0, D <0. Имеем D0 при а- 1; D < 0 при а < - 1.

3. В каждом из этих случаев схематично построим график квадратного трехчлена.

1) D0, а-1, корни трехчлена равны х1 = -2 -, x2=- 2+,

х1<x2 .




Рис. 19.

Неравенство в этом случае имеет решение х1 = -2 -, х2 = -2 +.

2) D <0, а < - 1. Получаем, квадратное уравнение не имеет кор­ней, то есть, парабола не пересекает ось ОХ . По теореме 9 решениями являются все действительные числа х .




Рис. 20.

Ответ: если а-1, то х1 = -2 -, x2=- 2+,

если а < - 1, то х - любое число.


Вывод: При решении неравенств, где требованием является его решение для каждого значения параметра, можно предложить примерную схему:

1. Найти дискриминант исходного квадратного трехчлена.

2. Выяснить, при каких значениях параметра D0, D <0.

3. Выяснить знак коэффициента при х2 .

4. Для каждого случая построить схематично график исходного квад­ратного трехчлена и определить промежутки, на которых выполнимо неравенство.

5. Записать ответ.

Третий этап:

Задачи.

93. Найти, при каких значениях параметра а неравенство

ах2+ Зх - 4 < 0 выполняется для всех действительных чисел х.

94. Установите, для каких значений параметра b неравенство

x2+ 2(b+ 3)х + 5 > 0 выполняется для всех действительных зна­чениях х . 95. Найдите все значения к, при которых при всех действительных х

выполняется неравенство (к + 1)х2+ 2х - к < 0.

96. При каких значениях параметра а неравенство х2+ ах - 1 > 0 выполняется

при все действительных значениях х ?

97. При каких значениях параметра b неравенство

x2 - bх – 6b < 0 выполняется при всех действительных х ?

98. При каждом значении параметра b решить неравенство

(b + 1)х2х - 4<0.

99. Решить неравенство, содержащее параметр с

х2 +8х + с + 1< 0.

100. При каждом значении параметра а решить неравенство

х2 (а + 1)х + а < 0.

101. Для каждого значения параметра к решить неравенство

х2 + (к + 3)х + bк < 0 .

102. При каждом значении параметра т решить неравенство

тх2 + 10х -4> 0.

103. Решить неравенство х2 - 2х - а < 0.

104. Определить, существуют ли такие значение с, при которых нера­венство

(с + 1)х2 - (с - 1)х - 2с < 0.

Решить неравенство относительно х.

105. ах2 + 1>0; 109. ах2 +2(а + 1)х + а > 0;

106. (а + 2)х - 4>0; 110. ах2 - 4 < 0;

107. ах2 +х + 1<0 111. х2 - (а - 3)х+1<0.

108. х2 + ах + 1>0;


ОТВЕТЫ

Линейные уравнения и неравенства

12. а) х = 3; б) х - любое; в) х = 6.

13. b = 1.

14. а = - 6.

15. если а = - 2 , то х = 1; если а = 0, то х = 2.

16. а) х = 1/4; б) х - любое; в) нет решений.

17. при с 1 х = - 3/(с - 1) ; при с = 1 нет решений.

18. если b 0, то х = 4/b ; если b = 0, то нет решений.

19. х = 4 + с, с - любое.

20. х = а + 4, а - любое.

21. при а 1 х = 1; при а = 1 х - любое.

22. при а3, а-3 х = 1/(а - 3) ; при а = 3 нет решений; при а = - 3

х - любое.

23. если с4,с-4,то х = 1/(с - 4) ; если с = 4 , то нет решений; если с = - 4 , то

х - любое.

24. если а 3, то х = 1; если а = 3, то х - любое.

25. если b -1, то х=b - 1; если х = -7, то х - любое.

26. если b > 0, то х > 2/6 ; если b < 0 , то х < 2/6 ; если b = 0, то решений нет.

27. если а > -3 , то х < - 4/(3 + а); если а < -3, то х > - 4/(3 + а) ; если а = -3, то решений нет.

37. если с < -2 ; с> 2 , то х> 1/(с - 2); если - 2 < с < 2 , то x < 1/(с - 2); если

с = -2 , с = 2 , то решений нет.

39. при а> -4 х>4 - а; при а < - 4 х < 4 - а; при а = -4 решений нет.

40. при любом а нет решений.

41. b = 0.

42. если а < -14, то х < 0; если а > -14, то х > 0; если а = -14 , то х = 0.

43. b = -1; 1; 7; -7.

44. 1/3 < а < 34/3 . 48. а < 2/3.

50. а = -1,25.

51. с<0, 0<с<5.

54. если а = 1, то х - любое.

55. если b = - 2 , то решений нет.

Системы линейных уравнений

57. б) при любом а система имеет единственное решение

(1 + а/2; а/2); д) если а-2 , то ;если а=-2,

то решений нет; ж) если а - 4/5 , то ; если

а = - 4/5 , то решений нет.

58. а) а = -1;в) а = 0; г) а = -12 .

59. а) b = 1; в) b = -2; г) b = -2.

60. а) c>10/7.


Квадратные уравнения и неравенства.

61. - 4 < р < -3 . 75. - 4 < а < -3 .

62. р (-;-3) [0;1]. 76. не существует таких т .

63. а < -3/4. 78. а<4.

64. b < -6/7. 83. -3<а<0.

65. p (0;1,5). 84. n <-3; 2 <n < 6.

66. b [-4;3)/{0} 87. 1)[4; ); (-5;-1);3)(- ;-5).

67. к <-3/5. 88. а<0; 4<а<4,5.

68. (-4;0). 90. 3<а<3,5.

69. а > 10/7. 91. а < -9/16.

70. а<-3;а>0. 92. -3- < b < -З +.

73. - 1/3 < а < 8/3. 93. не существует таких к .

74. а>4.


Рекомендуемая литература.

1. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей. М: Просвещение, 1972.

2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1976.







Скачать 467.41 Kb.
оставить комментарий
Дата27.09.2011
Размер467.41 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

хорошо
  1
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх