Лекция Вопросы: Аксиоматический метод в обучении математике icon

Лекция Вопросы: Аксиоматический метод в обучении математике


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Задачи в обучении математике. Задачи как средство обучения и как цель обучения...
«Аксиоматика и аксиоматический метод»...
Роль математики в современном мире...
Избранные вопросы теории и методики обучения математике...
2. Аксиоматический метод, его относительная применимость в нематематических науках...
Особенности мультимедийного проектирования в обучении иностранным языкам...
Формирование профессионально важных качеств морских инженеров при обучении математике 13. 00...
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика и информатика» Специальность 050602...
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика и информатика» Специальность 0500703...
Вопросы к зачёту по мчп...
Лекция 8: Индукция. Метод математической индукции...
Лекция №15



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5   6
скачать
Лекция 1.

Вопросы:

Аксиоматический метод в обучении математике.

Общая характеристика школьного курса геометрии.

Первые уроки систематического курса планиметрии.

Работа с теоремами.

В школьном обучении аксиоматический метод прежде всего выступает как метод изложения математического материала в виде цепочки последовательных дедуктивных умозаключений, опирающихся на некоторые основные понятия и положения и проводимых на основе определенных законов логики.



Формирование представлений школьников об аксиоматическом методе происходит постепенно. Так, например, при изучении курса геометрии VI класса подчеркивается, что «... дедуктивное изложение геометрии подчинено следующим требованиям:


Рис.122.

1) выделяется небольшое число основных понятий, которые явно указываются, остальные же понятия определяются через основные;

2) все утверждения отчетливо формулируются при помощи основных понятий или понятий, уже получивших определение;

3) выделяется некоторое число утверждений, формулируемых в качестве аксиом, а все дальнейшие утверждения строго доказываются в виде теорем».

Понятно, что при непосредственном проведении дедуктивных рассуждений используются определенные логические понятия (в частности, правила вывода). Однако на уровне восьмилетней школы об этом явно не говорится. Применяемые правила вывода

(например, ) считаются само собой разумеющимися.

Таким образом, аксиоматический метод дает учащимся материал, исходя из которого и посредством которого они могут учиться рассуждать. Применение этого метода в обучении математике напоминает игру в «Откуда мы знаем?». В эту игру играют и ученик, и учитель; игра проводится по правилам, известным и тому и другому. Игра «Откуда мы знаем?» — это игра, играя в которую выигрывают все.

При формировании представлений школьников об аксиоматическом методе как методе построения математической теории немалую дидактическую ценность могут иметь упражнения по дополнениям «логических диаграмм» доказательств.

Приведем два примера.

Указать обоснование каждого шага приводимого ниже доказательства:

а) Дано: АВС,

Доказать: АВС – равнобедренный.

Доказательство (рис.122).

1) ^ [СК)||[АВ], [ВС][АВ], [ВС][СК)

2) 1СК)||[АВ], [AD) [АВ], [AD) [СК)

3) (Почему?)

(Почему?)

(Почему?)

равнобедренный.

б) Доказать:(-a-b)3 = -(a+b)3

Доказательство.(-a-b)3=

=












Анализ этих доказательств (особенно второго) показывает, что основанием для последнего шага в каждом из них является транзитивность импликации, т. е. правило вывода . Нетрудно выявить и другие правила вывода, применяемые при доказательстве данных утверждений.

В процессе обучения математике следует планомерно (хотя и весьма осторожно) способствовать правильному пониманию учащимися (на интуитивном уровне) сущности элементарных логических операций (отрицания, дизъюнкции, конъюнкции и импликации), а также основных правил вывода, лежащих в основе математических доказательств.

Пусть учащимся предложено применить известную им теорему (ab=0)(а=0Vb=0) к объяснению того, что уравнение (х-3)(х-5)=0 не может иметь корней, кроме 3 и 5.

Для того чтобы учащиеся смогли это сделать, они должны по­нимать сущность дизъюнктивного и конъюнктивного утверждений и знать зависимость между прямой теоремой и теоремой, противоположной обратной, т. е. закон контрпозиции; q)(). Если учащиеся, хотя бы на уровне «здравого смысла», знакомы с этими фактами, то требуемое объяснение проводится ими без труда.

Итак, если х{3,5}, то х-30х-50, значит, (х-3)(х-5), потому что .

Отметим, кстати, что следует всячески способствовать созданию у учащихся представлений о дедуктивном характере матема тики в целом, понимания ими того, что доказательства в курсе алгебры столь же естественны и необходимы, как и в курсе геометрии.

Проникновение дедуктивного метода в школьное обучение математике не ограничивается научением школьников доказательству математических утверждений. Использование его в обучении дает возможность проводить логический анализ при рассмотрении самых разнообразных вопросов.

Пусть, например, решается уравнение 5+, где хR— действительное число).

Учащиеся знают, что при решении уравнений мы иногда получаем «посторонние корни». Аксиоматический метод в применении к процессу решения уравнения помогает объяснить, почему это происходит.

Осуществим известный процесс решения этого уравнения, но придадим ему характер логического анализа.

Предположим, что является корнем данного уравнения. Тогда

Мы показали, что если является элементом множества корней данного уравнения, то {2,9}. Так как из истинности импликации рq не следует обязательность истинности импликации qр, нет никаких оснований полагать, что любой элемент {2,9} является корнем данного уравнения, В процессе решения этого уравнения мы установили только то, что {x|5+}{2,9}. Проверка показывает, что число 9 содержится в множестве корней уравнения, а число 2 не содержится в нем.

Следует иметь в виду, что аксиоматическое изложение некоторого раздела математики обычно предполагает, что учащиеся достаточно далеко продвинулись в обучении и развитии.

Математика как наука никогда не развивалась через аксиоматизацию. Процесс аксиоматизации науки есть эволюционный процесс, который обычно начинается при отыскании взаимной связи определенной группы теорем и попытках их упрощения в целом, а также при включении новых фактов в уже известную (или в более общую) математическую систему.

При изучении дедуктивно построенного раздела математики мы обычно не знакомим учащихся с эволюцией данной аксиоматики, а показываем ее в «готовом виде», формально. Нередко вредным последствием такого введения аксиоматики становится представление школьника о математике как о важной, но совершенно законченной науке, которую полезно изучать, применять и в которой уже невозможно что-либо изменить, а тем более развить дальше.

«Удивительно, что нам вообще удается привлечь его внимание; что некоторые из наших учеников все-таки со временем решают принять участие в этой игре, вместо того чтобы навсегда оставаться с краю, в качестве зрителей».

Чаще всего аксиоматический метод в обучении применяется тогда, когда учащиеся уже обладают известным объемом знаний с целью обобщить эти знания и организовать их в систему.

Именно так (см. даже, XIX.5) по давней традиции строится курс геометрии. Значительно меньшее внимание уделяется логической организации учебного материала по арифметике, алгебре и началам анализа. В связи с этим вполне уместно поставить вопрос об аксиоматическом построении в школьном курсе хотя бы теории натурального числа. Покажем, как можно увязать этот вопрос с изучением темы «Принцип математической индукции» в IX классе.

Поставим задачу выявить перечень основных понятий и аксиом, достаточный для логического обоснования построения множества натуральных чисел.

Рассмотрим множество, которое мы называем множеством на­туральных чисел, т. е. множество:

N={1,2,3,4,....п,...}.

Попробуем выделить его существенные свойства. При первом приближении они могут быть выражены так:

  1. Начальным (наименьшим) элементом множества натуральных чисел является единица.

  2. Для каждого элемента множества имеется сосед справа, и притом один.

  3. Для каждого элемента множества, кроме единицы, имеется сосед слева, и притом один.

  4. Каждый следующий элемент множества на единицу больше предыдущего.

5) У множества натуральных чисел нет последнего (наибольшего) элемента.

Этот перечень свойств можно продолжить. Однако в этом нет необходимости.

Уже в тех высказываниях, которые отмечены выше, содержится много специальных терминов: «единица», «натуральное число», «начальный элемент», «сосед справа», «следующий элемент», «больше» и т. д. Возникает вопрос: надо ли все эти термины (точнее, обозначаемые ими понятия) включать в список основных, а если нет, то какие включать и какие не включать? Возникает и второй вопрос: все ли отмеченные высказывания следует считать аксиомами или не все (тогда-какие именно)?

Оказывается, что все понятия и высказывания, относящиеся к натуральным числам, можно вывести (определить, доказать) на следующей основе:

1) Основные понятия: единица, натуральное число, «непосредственно следует за».

  1. Аксиомы. I. Единица есть натуральное число, которое непосредственно не следует ни за каким другим натуральным числом.

II. Каково бы ни было натуральное число п, существует одно и только одно натуральное число п' (п-штрих), непосредственно следующее за п.

  1. Каково бы ни было натуральное число п, отличное от единицы, существует одно и только одно натуральное число 'п (штрих п) такое, что п непосредственно следует за 'п.

  2. Если некоторое множество М из натуральных чисел обладает свойствами:

а) единица принадлежит множеству М и

б) если пМ, то и п'М, то множество ^ М есть множество (всех) натуральных чисел =N).

На базе этих основных понятий и аксиом можно строго опреде­лить отношения порядка и арифметические операции на множестве натуральных чисел, а также — строго доказать все свойства этих отношений и операций. Мы всего этого делать не будем, ограничимся лишь некоторыми примерами.

Заметим прежде всего, что множество N как множество {1,2,3,4,...} известных символов возникает в результате принятия обозначений:

«единица»=1, 1'=2, 2'=3, 3'=4,...

Определение суммы натуральных чисел выражается системой двух равенств:

n+1=n' и n+m'=(n+т)'.

На основе этого определения и принятых обозначений может быть составлена таблица сложения однозначных чисел. Потом, когда будет принято определение произведения чисел, можно будет аналогичным образом составить и таблицу умножения.

Отметим два ближайших следствия принятых аксиом:

1) Теорема. ^ Множество натуральных чисел бесконечно. Допустим, что множество N конечно, мы вынуждены будем признать существование числа пN, за которым не следует никакого другого числа; это приведет к противоречию с аксиомой II, согласно которой для любого натурального числа существует пос­ледующее (на 1 большее). Следовательно, наше допущение ложно. Остается допустить то, что утверждается в теореме.

2) Теорема. ^ Если некоторое предложение р(n) с переменной п истинно при п=1 и если из истинности р(п) при некотором п=k (k1) следует истинность р(п) и при п=k+1, то предложение р(п) истинно для всех п.

Нам надо доказать, что если условия теоремы выполнены, то выполняется и ее заключение. Допустим, что условия теоремы выполнены. Это допущение бу­дет означать, что истинны высказывания:

(1)

р (k) => р (k + 1).

Обозначив через М множество тех п, для которых высказыва­ние истинно, из условий (1) и (2) сделаем заключения:





Из и в силу аксиомы IV будет следовать



Следовательно, высказывание р (п) истинно для всех натураль­ных п. Теорема доказана.

Значение доказанной теоремы для математики состоит в том, что она позволяет заключать об истинности высказывания типа на основе установленной истинности лишь двух выска­зываний: р (1) и р (k) => p (k + 1). Иными словами, эта теорема является обоснованием правила вывода методом математической индукции. При доказательстве конкретных высказываний типа можно ссылаться как на саму теорему (об индукции), так и на вытекающее из нее правило вывода.

Ограничимся здесь рассмотрением лишь одного примера на применение метода. Имеется в виду, что другие сведения о методе и подходящие задачи учитель найдет в учебных пособиях [3.8], [1.76] и в главе III первой части нашего пособия.

Задача. Доказать, что при любом число де­лится на 6.

Предстоит доказать истинность высказывания



1) При п = 1 высказывание истинно.

  1. Пусть , т. е. = 6q, где . Тогда



где , т. е. .

Мы доказали истинность высказывания

3) Из (1) и (2) по теореме об индукции заключаем, что — истинное высказывание. Утверждение полно­стью доказано.

Итак, аксиоматический метод в школьном обучении мате­матике может проявляться двояко.

1) Во-первых, он может быть применен тогда, когда учащиеся уже обладают известными знаниями по некоторому разделу мате­матики и когда возникает необходимость обобщить и систематизировать эти знания.

В такой, например, форме он реализуется в систематическом курсе геометрии.

Здесь аксиоматический метод выступает как метод изложения знаний, как метод построения систематического курса математики (в частности, геометрии).

2) Во-вторых, он может применяться как один из методов изу­чения некоторых разделов математики, т. е. как один из математиче­ских методов познания реальной действительности.

Рассматривая аксиоматический метод в этом аспекте, прежде всего следует помочь учащимся овладеть этим методом, показать им, в чем состоит его сущность, каковы возможности его применения.

И если первый из этих аспектов во многом предопределяется программами и учебниками, то второй реализуется в основном че­рез методику изучения.

В связи с попыткой «осовременить» содержание школьного курса математики аксиоматический метод нам представляется наиболее подходящим для этой цели методом изложения новых его идей.

Однако не менее важно в процессе обучения математике пока­зать учащимся, как систематизируются и организуются в единое целое наши математические познания, научить их это делать са­мостоятельно хотя бы в ситуациях, имеющих только учебный ха­рактер.

Полезность развития в школьном обучении математике перво­го из этих двух аспектов трудно мотивировать. Именно этот аспект вызывает возражения и у ученых, и у передовых учителей.

Второй аспект не вызывает принципиальных возражений, хотя требует от учителя и учащегося гораздо большего умственного напряжения. Применение аксиоматического метода как метода изучения математики в первую очередь означает обучение школь­ников математической деятельности и уже во вторую очередь обу­чение результатам этой деятельности.

Если рассматривать аксиоматический метод именно в этом аспекте, то первой фазой его является определенный подготови­тельный, исследовательский период учебной работы, в процессе которой школьниками приобретаются определенные знания, воз­никающие в результате эвристической деятельности.

По мере того как растет объем полученных школьниками мате­матических знаний, имеет место переход ко второй фазе — фазе классификации этих знаний. Встает вопрос о том, какие теоремы выводятся из других теорем? Какие положения принимаются за ос­новные? Каков наиболее краткий путь перехода от одних утверждений к другим? Являются ли необходимые условия, сформулирован­ные в том или ином следствии, достаточными? Определены ли основ­ные понятия достаточно точно? Не являются ли данные определения избыточными? Не допускают ли они двусмысленного толкования? и т. д.

Отвечая на эти вопросы, школьники начинают различать струк­турные соотношения между доказанными и недоказанными утверж­дениями, устанавливают, какие утверждения можно принять без доказательства, а какие нужно доказать; на этом этапе можно вы­делить понятия, которые следует считать неопределяемыми.

Постепенно они начинают понимать, что все утверждения изу­чаемой системы математических знаний могут быть выведены из других, взятых в весьма небольшом числе, что некоторые понятия не могут быть определены, тогда как все остальные понятия этой системы можно и нужно определять.

Отобранное подмножество понятий и утверждений организуется в определенную подсистему неопределяемых (первичных) терми­нов и недоказываемых утверждений (аксиом), являющуюся тем фундаментом, на котором может быть построена вся система зна­ний по данному вопросу.

Вслед за этим возникает третья фаза — поиски более совершен­ной структуры в этой системе знаний хотя бы с помощью таких критериев, как простота и краткость.

За последнее время во многих зарубежных странах (и прежде всего во Франции, Бельгии и США) движению за аксиоматизацию школьного курса математики стало придаваться явно преувеличен­ное значение. Это привело к тому, что ряд видных ученых (мате­матиков и педагогов) стали выступать против излишеств в аксиома­тическом подходе, проявляющихся в новых программах и учебниках. К числу таких излишеств справедливо относят попытки чрезмерной алгебраизации школьного курса геометрии 1, отказ от изучения евклидовой геометрии в пользу изучения геометрии векторного про­странства, излишняя формализация учебного материала и т. п.

Одно из интересных в этом плане выступлений принадлежит из­вестному французскому математику Р. Тому, к статье которого мы и отсылаем читателя 2.

Однако было бы неверным полностью отрицать большую роль аксиоматического метода и в изложении школьного учебного мате­риала, и в обучении. Противопоставление аксиоматического ме­тода в обучении математике методу эвристическому не является правомерным.

В самом деле, при правильной методике каждому формальному доказательству должна предшествовать целая система вводных

упражнений, лабораторных заданий, приводящих школьников к высказыванию правдоподобных гипотез и просто догадок.

Знакомство учащихся с сущностью аксиоматического метода, использование этого метода как метода изучения математики от­нюдь не сковывает их эвристическую учебную деятельность. Нап­ротив, использование этого метода открывает и новые перспективы в расширении такого рода деятельности в учебной работе школь­ника.

Так, учебные задания по формулировке и установлению истин­ности (или ложности) всех остальных видов теорем, связанных с уже доказанной теоремой, не только ведут к возможности более широко и глубоко изучить рассматриваемый вопрос, но и к воз­можности осуществлять деятельность исследовательского харак­тера. В процессе этой деятельности учащиеся сталкиваются с мно­жеством нетривиальных предположений, о которых ничего не говорится в учебнике. Каждое из высказанных школьниками пред­положений относительно той или иной теоремы ставит перед нами своеобразную исследовательскую задачу.

Если сформулированное утверждение истинно, то учащиеся должны отыскать его доказательство. Если учащиеся усматривают ложность сделанного ими утверждения, можно (и достаточно) отыс­кать соответствующий ему опровергающий пример.

Например, если речь идет о свойствах параллелограмма, то из утверждения «ABCD — параллелограмм» по определению имеем:

(1)

(2)

(3)

(4)

Имеем еще 14 связанных с ним утверждений. 6 утвержде­ний из этих 14 обособляются после словесной формулировки в фор­му теорем, из которых 4 теоремы истинны. Утверждение, в условии которого лежит конъюнкция условий (1) и (3), дидактически осо­бенно интересно.

Понятно, что учебная деятельность школьников, выполняю­щих такого рода задание, неизбежно будет иметь эвристический характер.

Нет сомнения и в том, что выполнение подобного рода заданий способствует овладению школьниками аксиоматическим методом.

Аксиоматический метод не имеет особого преимущества, даю­щего основание считать его универсальным. Как и всякий метод обучения, он эффективен лишь в сочетании с другими методами обучения и во многом зависит от содержания рассматриваемого вопроса программы, от запаса соответствующих знаний и умений учащихся на данном уровне обучения и, наконец, от мастерства учителя в его применении. Главное его достоинство заключается не в отборе того материала, который в дедуктивном построении

курса математики следует изучать. Главное заключается в том, что его применение в обучении способно научить школьников тому, как следует думать (и рассуждать), чтобы эта мысль (и это рассуж­дение) имела право считаться математической. Аксиоматический метод как метод обучения математике в явном виде следует исполь­зовать в VIII—X классах.

Реализация идеи аксиоматического метода в школьном обучении может проходить различными путями. Прежде всего сле­дует указать на ее проявление в построении того или иного учеб­ного предмета. В этом отношении особенно богатые возможности заложены в новом школьном курсе геометрии, в котором приобще­ние школьников к идее аксиоматического метода проводится сис­тематически и последовательно 1.

Немалые возможности для этого представляют также занятия математического кружка и факультативные занятия, в тематику которых могут быть явно включены вопросы, связанные с изуче­нием различных математических структур. Наконец, знакомство школьников с аксиоматическим методом, с идеей математической структуры может происходить с помощью специальных учебных ситуаций, выступающих в форме своеобразных дидактических моделей.

Так, например, известный польский педагог-математик З. Крыговская предлагает следующий пример такой ситуации 2. (Кстати говоря, этот пример ярко иллюстрирует и вышеуказанные четыре этапа в овладении школьниками идеей аксиоматического метода 3.)

В некотором доме по случаю праздника собираются друзья и родственники хозяев. Когда все гости садятся за праздничный стол, между ними возникает отношение соседства (S). Пусть запись вида xSy означает, что человек «» является соседом сидящему за столом человеку «у». Пусть также запись вида xRy означает, что «х» и «у»— родственники. Пусть L означает множество гостей и хозяев.

Учащимся предлагается (с помощью известной им логико-мате­матической символики) записать следующее утверждение:

«Каждый из гостей имеет соседа слева и справа». На символи­ческом языке это утверждение выглядит так:

I. .

Далее учащимся предлагается оценить информацию о празднич­ной встрече, представленную в виде следующей совокупности утверждений:

II. .

III. .


IV.

V.


Рис. 123.

Школьникам вновь предлагается записать сим­волически требование, выдвинутое хозяевами о том, чтобы родственники не сидели за столом ря­дом друг с другом.

(VI. )

Далее перед учащимися ставится новая задача. Как может оце­нить информацию I—VI человек, который не знает, из какой кон­кретной ситуации она возникла?

Проводится несколько возможных вариантов ответа на этот вопрос. В частности, указывается на следующую возможность трак­товки множества L и отношений S и R:

а) L — множество рабочих-строителей.

xSy означает, что рабочие «х» и «у» работают в одной бригаде.

xRy означает, что рабочие «х» и «у» имеют одну и ту же специ­альность.

б) L — множество прямых плоскости,



Рассмотрение подобного рода учебных ситуаций подводит школь­ников к мысли о том, что информация, заданная отношениями S и R и свойствами I—VI, является математической моделью бес­конечного множества различных конкретных ситуаций. Таким образом, учащиеся подготовлены к знакомству с идеей аксиомати­ческого метода, с идеей математических структур.

Приведем теперь пример задания проблемного типа, подводя­щего учащихся к изучению одной из важнейших алгебраических структур — структуры группы.

Вырежем из картона прямоугольник и проделаем в одном из углов круглое отверстие (рис. 123). Существует 4 возможных поло­жения этого отверстия на прямоугольнике, которые указаны на рис. 124, а, б, в, г.



1. Убедитесь на опыте в том, что существует перемещение, кото­рое переводит этот прямоуголь­ник из начального положения а в положения б, в, г.

Среди этих перемещений вы­берем следующие:

1)перемещение оставляющее прямоугольник на месте в положении а (рис. 125, а); обозначим это перемещение через Р;

2)симметрию относительно прямой, проходящей через середины боковых сторон прямоу





В




А

р




0







С













б)







А




В










С




Скачать 1,05 Mb.
оставить комментарий
страница1/6
Дата27.09.2011
Размер1,05 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх